显示找到的17个结果中的1-10个。
连接数a(n,k)=(n+1)^(k+1)-n^(k+1)(n>=0,k>=0)的平方数组由向上反对偶读取。
+10 44
1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 5, 7, 1, 1, 7, 19, 15, 1, 1, 9, 37, 65, 31, 1, 1, 11, 61, 175, 211, 63, 1, 1, 13, 91, 369, 781, 665, 127, 1, 1, 15, 127, 671, 2101, 3367, 2059, 255, 1, 1, 17, 169, 1105, 4651, 11529, 14197, 6305, 511, 1, 1, 19, 217, 1695, 9031
评论
如果每一行以初始0开头(即a(n,k)=(n+1)^k-n^k),那么每一行都是前一行的二项式变换-亨利·博托姆利2001年5月31日
a(n-1,k-1)是正整数的有序k元组的数目,使得这些整数中最大的是n-阿尔福德·阿诺德2005年9月7日
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
-----------------------------------------
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5
1 3 5 7 9 11
-----------------------------------------
1 3 6 10 15 21
4 12 24 40 60
1 3 6 10
1 7 19 37 61 91
-----------------------------------------
1 4 10 20 35 56
11 44 110 220 385
11 44 110 220
1 4 10
1 15 65 175 369 671
-----------------------------------------(完)
多项式n^k-(n-1)^k,k=1,2,3,。。。,它给出了该数组列中的非零项,满足黎曼假设:它们的零点位于复平面中的垂直线Re s=1/2。请参见A019538年关于A型置换面体对偶的单纯形复形的多项式n^k-(n-1)^k和Stirling多项式之间的联系。
(结束)
经验:(n+1)^(k+1)-n^(k+1)是长度为k+1的数字数组在0..n,k>0中的第一个差异数-R.H.哈丁2013年6月30日
a(n-1,k-1)是宽度k和高度n的条形图的数量。例如:a(1,2)=7,因为我们有[1,1,2]、[1,2,1]、[2,1,1]、[1,2,2],[2,1,2]、[2,2,1]和[2,2,2];a(2,1)=5,因为我们有[1,3]、[2,3],[3,1]、[3,2]和[3,3](条形图是以组成形式给出的)。这一评论相当于A.Arnold 2005年9月的评论-Emeric Deutsch公司2017年1月30日
参考文献
J.H.Conway和R.K.Guy,《数字之书》,哥白尼出版社,纽约,1996年,第54页。
链接
A.Blecher、C.Brennan、A.Knopfmacher和H.Prodinger,条形图的高度和宽度《离散应用数学》。180, (2015), 36-44.
配方奶粉
阵列行的例如f的O.g.f.:((1-x)*exp(y))/(1-x*exp(y))^2。
T(n,m)=和{k=0..m}k*(-1)^(m+k)*斯特林2(m,k)*C(n+k-1,n),T(n,0)=1。(完)
T(n,m)=a(n-m,m)=(n-m+1)^(m+1)-(n-m)^,。。。,n.(名词)。
数组行的示例f.:exp(y)*(1+x*(exp(y)-1))*exp(x*exp。
三角形指数行多项式R(n,y)=Sum_{m=0}T(n,m)*(y^m)/m!的O.g.fG(x,y)=经验(x*y)*(1-x)/(1-x*exp(x*y))^2。
(结束)
例子
数组a开始:
[答:][0 1 2 3 4 5 6。。。
[0] 1 1 1 1 1 1 1 ...
[1] 1 3 7 15 31 63 ...
[2] 1 5 19 65 211 ...
[3] 1 7 37 175 ...
...
三角形T开始于:
n\m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10。。。
0: 1
1: 1 1
2: 1 3 1
3: 1 5 7 1
4: 1 7 19 15 1
5: 1 9 37 65 31 1
6: 1 11 61 175 211 63 1
7: 1 13 91 369 781 665 127 1
8: 1 15 127 671 2101 3367 2059 255 1
9: 1 17 169 1105 4651 11529 14197 6305 511 1
10: 1 19 217 1695 9031 31031 61741 58975 19171 1023 1
数学
扁平[表[n=d-e;k=e;(n+1)^(k+1)-n^(k+1),{d,0,100},{e,0,d}]](*T.D.诺伊2012年2月22日*)
黄体脂酮素
(最大值)
T(n,m):=如果m=0,则1其他和(k!*(-1)^(m+k)*stirling2(m,k)*二项式(n+k-1,n),k,0,m)/*弗拉基米尔·克鲁奇宁,2018年1月28日*/
交叉参考
数组a的k列序列:(连接数):A000012号,A005408号,A003215号,A005917号(n+1),A022521号,A022522号,A022523号,A022524号,A022525号,A022526号,A022527号,A022528号.
按行读取的尼科马科斯三角形,T(n,k)=2^(n-k)*3^k,对于0<=k<=n。
+10 35
1, 2, 3, 4, 6, 9, 8, 12, 18, 27, 16, 24, 36, 54, 81, 32, 48, 72, 108, 162, 243, 64, 96, 144, 216, 324, 486, 729, 128, 192, 288, 432, 648, 972, 1458, 2187, 256, 384, 576, 864, 1296, 1944, 2916, 4374, 6561, 512, 768, 1152, 1728, 2592, 3888, 5832, 8748, 13122, 19683
评论
与这个序列有关的三角形具有这样的性质:每一行、每一列和每一对角线都包含一个非平凡的几何级数。更有趣的是,连接任意两个元素的每条线都包含一个非平凡的几何级数-阿玛纳斯·穆尔西2002年1月2日
Kappraff指出(第148-149页):“我将把它称为尼科马丘斯的表,因为在格拉萨的尼科马丘斯算术(约公元150年)中出现了一个相同的数字表。”莱昂·巴蒂斯塔·阿尔贝蒂在意大利文艺复兴时期重新发现了该表,他将这些数字融入了建筑的尺寸和音乐比例系统中。卡普拉夫说:“因此,一个房间可能会呈现出4:6或6:9的比例,但不是4:9。这确保了这些长度的比率将体现音乐比率”-加里·W·亚当森2003年8月18日
在尼科马库斯和阿尔贝蒂之后,几位文艺复兴时期的作家描述了这张表。例如,见1569年皮埃尔·德拉雷梅(Pierre de la Ramée)(链接部分中他的拉丁文算术论文的一页传真)-奥利维尔·杰拉德2013年7月4日
三角形和,请参见A180662号有关它们的定义,请将尼科马科斯的表与11个不同的序列联系起来,请参阅交叉引用。值得注意的是,这十一个序列可以用简单优雅的公式来描述。这个三角形的镜子是A175840个. -约翰内斯·梅耶尔2010年9月22日
其中d(n)是除数函数,则d(T(i,j))=A003991号,其中的行总和为四面体数A000292号(n+1)。例如,这个三角形的第4行的除数之和(i=4),给出d(16)+d(24)+d(36)+d(54)+d(81)=5+8+9+8+5=35=A000292号(5). 事实上,在p和q是不同素数的情况下,上述与除数函数和四面体数的关系可以推广到第i行为{p^(i-j)*q^j,0<=j<=i}形式的任何数字三角形;i>=0(例如。,A003593号,A003595号). -拉斐·弗兰克,2012年11月18日,2012年12月7日更正
由这些规则生成的序列(或树):1位于S中,如果x位于S,则2*x和3*x位于S中并在重复出现时删除;看见A232559型. -克拉克·金伯利2013年11月28日
通过在字母表{0,1}上选择一个(可能是空的)单词,然后在字母表{2,3,4}上连接一个长度为j的单词,形成一个长度为i的单词。T(i,j)是此类单词的数量-杰弗里·克雷策2016年6月23日
Zorach加法三角形的形式(参见A035312号)其中每个数字是西部和西北部数字的总和,附加条件是每个数字是紧邻其下两个数字的GCD-米歇尔·拉格诺2018年12月27日
参考文献
Jay Kappraff,《超越测量》,《世界科学》,2002年,第148页。
弗洛拉·莱文(Flora R.Levin),《毕达哥拉斯尼科马库斯和声手册》(The Manual of Harmonics of Nicomachus The Pythagorean),费恩斯出版社,1994年,第114页。
链接
Reinhard Zumkeller和Matthew House,行n=0..300的三角形,展平【第0行到第120行由Reinhard Zumkeller计算;第121行到第300行由Matthew House计算,2015年7月9日】
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对于n>=1,T(n,k)=T(n、k-1)+T(n-1、k-1-约翰内斯·梅耶尔2010年9月22日
T(n,k)=2^(k-1)*3^(n-1),n,k>0由反对偶函数读取-鲍里斯·普蒂夫斯基2013年1月8日
a(n)=2^(A004736号(n) -1)*3^(A002260号(n) -1),n>0或a(n)=2^(j-1)*3^(i-1)n>0,其中i=n-t*(t+1)/2,j=(t*t+3*t+4)/2-n,t=floor[(-1+sqrt(8*n-7)))/2]-鲍里斯·普蒂夫斯基2013年1月8日
G.f.:1/((1-2x)(1-3yx))-杰弗里·克雷策2016年6月23日
T(n,k)=(-1)^n*和{q=0..n}(-1)q*C(k+3*q,q)*C(n+2*q,n-q)-马尔科·里德尔2024年7月1日
例子
序列的开头是按行读取的三角形数组:
1
2 3
4 6 9
8 12 18 27
16 24 36 54 81
32 48 72 108 162 243
...
序列的开头为表T(n,k)n,k>0:
1 2 4 8 16 32 ...
3 6 12 24 48 96 ...
9 18 36 72 144 288 ...
27 54 108 216 432 864 ...
81 162 324 648 1296 2592 ...
243 486 972 1944 3888 7776 ...
...
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T:=proc(n,k)选项请记住:如果k=0,则2^n elif k>=1,则procname(n,k-1)+procname;
数学
扁平[表[2^(i-j)3^j,{i,0,12},{j,0,i}]](*扁平由哈维·P·戴尔2011年6月7日*)
黄体脂酮素
(PARI)对于(i=0,9,对于(j=0,i,print1(3^j<<(i-j)“,”))\\查尔斯·格里特豪斯四世2011年12月22日
(PARI){T(n,k)=如果(k<0|k>n,0,2^(n-k)*3^k)}/*迈克尔·索莫斯2012年5月28日*/
(哈斯克尔)
a036561 n k=a036561_tabf!!不!!k个
a036561_row n=a036561 _ tabf!!n个
a036561_tabf=迭代(\xs@(x:_)->x*2:map(*3)xs)[1]
(岩浆)/*作为三角形:*/[[(2^(i-j)*3^j)/3:j in[1..i]]:i in[1..10]]//文森佐·利班迪2014年10月17日
0, 1, 19, 271, 3439, 40951, 468559, 5217031, 56953279, 612579511, 6513215599, 68618940391, 717570463519, 7458134171671, 77123207545039, 794108867905351, 8146979811148159, 83322818300333431, 849905364703000879, 8649148282327007911, 87842334540943071199, 890581010868487640791
评论
几乎所有的数字都包含任何给定的数字序列(任何基)[哈代和赖特的定理143]。a(7)=5217031,超过52%的<10^7的数字包含任何给定的非零十进制数字-弗兰克·埃勒曼2001年5月30日
a(n)给出从0到10^n-1的整数数,其中包含(至少)除0以外的任何一个给定的十进制数字-迈克尔·塔克提科斯2004年8月24日
这些是a(n)=(积分{x=0到0.2}(1-0.5*x)^ndx)的分子。例如,a(3)=3439/20000。分母为b(n)=5*(n+1)*10^n。例如,b(3)=20000。-Al Hakanson(hawkuu(AT)excite.com),2004年2月22日
参考文献
G.H.Hardy和E.M.Wright,《数字理论导论》,第5版,牛津大学出版社,1979年,第143页
配方奶粉
通用:x/((1-9x)(1-10x))。
a(0)=0,a(1)=1,然后a(n+1)=9*a(n)+10^n。
a(n)=19*a(n-1)-90*a(n-2),n>1;a(0)=0,a(1)=1-菲利普·德尔汉姆2009年1月1日
黄体脂酮素
(岩浆)[0..20]]中的[10^n-9^n:n//文森佐·利班迪2011年4月26日
(哈斯克尔)
a016189 n=10^n-9^n
a016189_list=0:zipWith(+)(map(*9)a016189列表)a011557_list
(PARI)a(n)=10^n-9^n\\M.F.哈斯勒2015年5月4日
0, 1, 29, 787, 21257, 573955, 15496817, 418414123, 11297181449, 305023899379, 8235645283745, 222362422662139, 6003785411879801, 162102206120758723, 4376759565260493713, 118172508262033346635, 3190657723074900391913
评论
a(n+1)出现在尼科马科斯表的几个三角形和中A036561号即Ca2(3*n)、Ca2(3*n+1)/3、Ca2[3*n+2)/9和Ca3(n)。请参见A180662号了解这些骆驼和其他象棋的总和。
配方奶粉
a(n)=(27^n-2^n)/25。
G.f.:x/((27*x-1)*(2*x-1。
数学
(#[[1]]-#[2]])/25&/@分区[Riffle[27^范围[0,20],2^范围[0,20]],2](*哈维·P·戴尔2011年1月22日*)
黄体脂酮素
(PARI)a(n)=(27^n-2^n)/25\\伊恩·福克斯2017年12月12日
(PARI)第一(n)=Vec(x/((27*x-1)*(2*x-1”)+O(x^n),-n)\\伊恩·福克斯2017年12月12日
0, 1, 19, 313, 5035, 80641, 1290499, 20648713, 330381595, 5286112081, 84577812979, 1353245066713, 21651921244555, 346430740444321, 5542891848703459, 88686269584038313, 1418980313358961915
评论
a(n+1)出现在Nicomachus表的几个三角形和中A036561号即Gi1(4*n)、Gi1(4*n+1)/2、Gi1。请参见A180662号获取有关这些长颈鹿和其他象棋总和的信息。
配方奶粉
a(n)=(16^n-3^n)/13
G.f.:x/((16*x-1)*(3*x-1))
0, 1, 83, 6727, 544895, 44136511, 3575057423, 289579651327, 23455951757615, 1899932092367071, 153894499481733263, 12465454458020395327, 1009701811099652023535, 81785846699071813910431, 6624653582624816926753103
评论
a(n+1)出现在尼科马科斯表的几个三角形和中A036561号即Gi2(4*n)、Gi2(4*n+1)/2、Gi2。请参见A180662号获取有关这些长颈鹿和其他象棋总和的信息。
配方奶粉
a(n)=(81^n-2^n)/79。
G.f.:x/((81*x-1)*(2*x-1。
黄体脂酮素
(岩浆)[(81^n-2^n)/79:n in[0.50]]//文森佐·利班迪2011年4月15日
0, 1, 31, 853, 23095, 623821, 16844191, 454797253, 12279542215, 331547705341, 8951788306351, 241698285320053, 6525853707835735, 176198050128342061, 4757347353532344511, 128448378545641737253, 3468106220733400647655
评论
a(n+1)出现在Nicomachus表的几个三角形和中A036561号即Ze1(2*n)、Ze1(2*n+1)/2;Ze4(3*n)、Ze4(3*n+1)/3和Ze4(3+n+2)/9。请参见A180662号了解有关这些斑马和其他国际象棋总和的信息。
配方奶粉
a(n)=(27^n-4^n)/23。
G.f.:x/((27*x-1)*(4*x-1。
a(0)=0,a(1)=1,a(n)=31*a(n-1)-108*a(n-2)。【摘自Harvey P.Dale,2011年9月1日】
数学
表[(27^n-4^n)/23,{n,0,20}](*或*)线性递归[{31,-108},{0,1},20](*哈维·P·戴尔2011年9月1日*)
0, 1, 23, 397, 6095, 87781, 1214423, 16344637, 215622815, 2801832661, 35979939623, 457696700077, 5777672071535, 72470493235141, 904168630965623, 11229773405170717, 138934529031464255, 1713164078241143221
配方奶粉
通用:x/((1-11x)(1-12x))。
a(0)=0,a(n)=12*a(n-1)+11^(n-1_Vincenzo Librandi-,2011年2月9日
a(0)=0,a(1)=1,a(n)=23*a(n-1)-132*a(n-2)-文森佐·利班迪2011年2月9日
数学
系数列表[系列[x/((1-11x)(1-12x)),{x,0,30}],x](*文森佐·利班迪2014年8月3日*)
黄体脂酮素
(岩浆)[12^n-11^n:n in[0..40]]//文森佐·利班迪2014年8月3日
3, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307
数学
选择[Prime[Range[100]]!PrimeQ[9^#-8^#]&](*哈维·P·戴尔2011年5月1日*)
黄体脂酮素
(PARI)apmb(a,b,n)={对于素数(x=2,n,y=a^x-b^x;如果(!ispseudoprime(y),print1(x“,”);)}
1, 16, 200, 2248, 23816, 243016, 2416520, 23583688, 226933256, 2159839816, 20378082440, 190918934728, 1778399954696, 16486635929416, 152228014061960, 1400838452135368, 12853836673840136, 117654854901535816, 1074656292809619080, 9798007424852945608
评论
a(n-1)是最大数字等于8的n位数。注意,这与基数b>8无关。
相当于9个字母的字母表中n个字母的单词数,不能以字母表的最后一个字母开头,字母表的第一个字母必须出现在其中。
配方奶粉
G.f.:(1-x)/((1-8*x)*(1-9*x))-文森佐·利班迪2015年5月4日
例如:exp(8*x)*(8*exp(x)-7)-斯特凡诺·斯佩齐亚2023年11月15日
数学
表[8 9^n-7 8^n,{n,0,20}](*文森佐·利班迪2015年5月4日*)
线性递归[{17,-72},{1,16},30](*哈维·P·戴尔2019年5月26日*)
黄体脂酮素
(PARI)a(n)=8*9^n-7*8^n
(岩浆)[0..20]]中的[8*9^n-7*8^n:n//文森佐·利班迪2015年5月4日
(鼠尾草)[8*9^n-7*8^n代表n in(0..20)]#布鲁诺·贝塞利2015年5月4日
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