显示找到的59个结果中的1-10个。
0, 1, 9, 60, 467, 3617, 29500, 248881, 2155288, 19016617, 170169241, 1539964486, 14063663530, 129413160100
配方奶粉
推测比率a（n）/A006880型（n） 因为n->无穷大是阿廷常数0.3739558136。。。
例子
a（1）=1，因为7是唯一的循环数<=10^1。
a（2）=9，因为以下是循环数<=10^2:7、17、19、23、29、47、59、61、97。
数学
DigitCycleLength[r_Rational，b_Integer？Positive]：=乘法阶[b，FixedPoint[商[#，GCD[#，b]]&，分母[r]]]；a=0；Do[If[Prime[n]-DigitCycleLength[1/Prime[n],10]==1，a++]，{n，2，PrimePi[10^7]}]打印[a]
17, 59, 179, 821, 1019, 1301, 1619, 2141, 2339, 3257, 3299, 3461, 4217, 4259, 4337, 4421, 5417, 5501, 5657, 5741, 6659, 6701, 7457, 8819, 8861, 9341, 10139, 10457, 10859, 10937, 11057, 11699, 11939, 12377, 12821, 13337, 13901, 15137, 15581, 15737, 16979, 17417, 17579, 18059, 19139, 19541, 19697
评论
术语数量<10^k:0，2，4，26，152，1015，7618，56282，436385。
数学
选择[Prime@Range@2300，MultiplicativeOrder[10，#]==#-1&&MultiplicationOrder[10,#+2]==#+1&]
选择[Partition[Prime[Range[2500]]，2，1]，#[2]]-#[1]]==2&&PrimitiveRoot[#，10]=={10，10}&][[All，1]](*哈维·P·戴尔2017年12月2日*）
素数p使得1/p的十进制展开式具有偶数长度的周期部分，但不是循环数(A001913号).
+20
1
11, 13, 73, 89, 101, 103, 127, 137, 139, 157, 197, 211, 241, 251, 281, 293, 331, 349, 353, 373, 401, 409, 421, 449, 457, 463, 521, 557, 569, 601, 607, 617, 641, 653, 661, 673, 677, 691, 739, 761, 769, 809, 829, 859, 877, 881, 929, 967, 997, 1009, 1049, 1061
MAPLE公司
f1_d:=进程（n）本地st，周期：
st:=ithprime（n）：
周期：=数字[顺序]（10，st）：
如果（modp（period，2）=0），则
如果（st-1<>周期），则
返回（st）：
图1：
fi：结束：seq（f1d（n），n=1..200）；
数学
选择[Prime[Range[200]]、EvenQ[Length[RealDigits[1/#][[1，1]]]&&乘法顺序[10，#]！=#-1 &] (*T.D.诺伊2012年10月1日*）
黄体脂酮素
（PARI）是（p）=如果（p>9&&isprime（p），my（o=znorder（Mod（10，p）））；o%2==0&&o+1=p、 0）\\查尔斯·格里特豪斯四世，2012年10月1日
5, 38, 387, 3755, 37523, 374126, 3740610, 37393725, 373953691, 3739544360
数学
f[n_Integer]：=块[{ds=Divisors[n-1]}，（n-1）/Take[ds，位置[PowerMod[10，ds，n]，1][1，1]][[-1]]]；c=0；k=4；Do[While[k<=10^n，a=f[Prime[k]]；如果[a==1，c++]；k++]；打印[c]，｛n，7｝]
2, 3, 5, 11, 13, 31, 37, 41, 43, 53, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 101, 103, 107, 127, 137, 139, 151, 157, 163, 173, 191, 197, 199, 211, 227, 239, 241, 251, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 317, 331, 347, 349, 353, 359, 373, 397, 401, 409, 421, 431, 439, 443, 449, 457, 463, 467, 479
MAPLE公司
f1:=proc（n）局部st，周期：
st:=ithprime（n）：
周期：=数字[顺序]（10，st）：
如果（st-1<>周期），则
返回（st）：
fi：结束：seq（f1（n），n=1..150）；
具有本原根2的素数。
（原名M2473 N0981）
+10
143
3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 53, 59, 61, 67, 83, 101, 107, 131, 139, 149, 163, 173, 179, 181, 197, 211, 227, 269, 293, 317, 347, 349, 373, 379, 389, 419, 421, 443, 461, 467, 491, 509, 523, 541, 547, 557, 563, 587, 613, 619, 653, 659, 661, 677, 701, 709, 757, 773, 787, 797
评论
阿廷推测这个序列是无限的。
彼得·莫雷（Pieter Moree）写道（2004年10月20日）：假设广义黎曼假设，可以证明素数p的密度，使得指定的整数g具有阶数（p-1）/t，且t固定，并且可以计算。这个密度将是一个有理数乘以所谓的阿廷常数。对于2和10，原始根的密度是A，Artin常数本身。
素数p使得以2为底的1/p具有句点p-1，这是任何整数可能的最大句点。
这些是奇素数p，多项式1+x+x^2++x^（p-1）在GF（2）上是不可约的-V.拉曼，2012年9月17日[更正人N.J.A.斯隆2012年10月17日]
Pollack表明，在GRH上有一些C，使得a（n+1）-a（n）<C无限频繁（事实上，1可以被任何正整数替换）。此外，对于任意m，a（n），a（n+1）。。。，a（n+m）是无限频繁的连续素数-查尔斯·格里特豪斯四世2015年1月5日
所有项均等于模8的3或5。如果我们定义
Pi（N，b）=#{p素数，p<=N，p==b（mod 8）}；
Q（N）=#{p素数，p<=N，p在这个序列}中，
然后根据Artin猜想，Q（N）~C*N/log（N）~2*C*（Pi（N，3）+Pi（N,5）），其中C=A005596美元是阿廷常数。
推测：如果我们进一步定义
Q（N，b）=#{p素数，p<=N，p==b（mod 8），p在这个序列中}，
那么我们有：
Q（N，3）~（1/2）*Q（N）~C*Pi（N，三）；
Q（N，5）~（1/2）*Q（N）~C*Pi（N，五）。（结束）
猜想：对于素数p>5，p有本原根2，当p==+-3（mod 8）除以2^k+3得到一些k<p-1，除以2^m+5得到一些m<p-1。对于k<>2，所有形式为2^k+3的素数(A057732号)具有原始根2-托马斯·奥多夫斯基2023年11月27日
参考文献
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准局应用数学。1964年第55辑（以及各种重印本），第864页。
E.巴赫和杰弗里·沙利特，算法数论，I；见第221页。
J.H.Conway和R.K.Guy，《数字书》，哥白尼出版社，纽约，1996年；见第169页。
M.Kraitchik，《Nombres村的Recherches sur la Théorie des》。Gauthiers-Villars，巴黎，1924年第1卷，1929年第2卷，见第1卷第56页。
莱默·D·H·和莱默·艾玛；启发式，有人吗？《数学分析和相关主题研究》，第202-210页，斯坦福大学出版社，加利福尼亚州斯坦福市，1962年。
D.Shanks，数论中已解决和未解决的问题，第2版。编辑，切尔西，1978年，第81页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
链接
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。系列55，第十次印刷，1972年[替代扫描副本]。
C.胡利，关于Artin猜想J.Reine Angewandte数学。，225 (1967), 209-220.
Robert Jackson、Dmitriy Rumynin和Oleg V.Zaboronski，基于循环群的RAID-6方法，应用数学与信息科学，5（2）（2011），148-170。
彼得·莫雷，阿廷本原根猜想综述，arXiv:math/0412262[math.NT]，2004-2012年。
数学
选择[Prime@范围@200，原始根@#==2&](*罗伯特·威尔逊v2001年5月11日*）
pr=2；选择[Prime[Range[200]]，乘法顺序[pr，#]==#-1&](*N.J.A.斯隆2010年6月1日*）
黄体脂酮素
（PARI）表示质数（p=31000，如果（znorder（Mod（2，p））==（p-1），print1（p，“，”））；\\[由更正米歇尔·马库斯2014年10月8日]
（Python）
从itertools导入islice
从sympy导入nextprime，is_primitive_root
p=2
while（p:=下一素数（p））：
如果是primitive_root（2，p）：
产量p
交叉参考
囊性纤维变性。A002326号对于2mod2n+1的乘法阶。（或者，m的最小正值为2n+1除以2^m-1）。
Artin常数Product_{p=prime}（1-1/（p^2-p））的十进制展开式。
（原名M2608）
+10
89
3, 7, 3, 9, 5, 5, 8, 1, 3, 6, 1, 9, 2, 0, 2, 2, 8, 8, 0, 5, 4, 7, 2, 8, 0, 5, 4, 3, 4, 6, 4, 1, 6, 4, 1, 5, 1, 1, 1, 6, 2, 9, 2, 4, 8, 6, 0, 6, 1, 5, 0, 0, 4, 2, 0, 9, 4, 7, 4, 2, 8, 0, 2, 4, 1, 7, 3, 5, 0, 1, 8, 2, 0, 4, 0, 0, 2, 8, 0, 8, 2, 3, 4, 4, 3, 0, 4, 3, 1, 7, 0, 8, 7, 2, 5, 0, 5, 6, 8, 9, 8, 1, 6, 0, 3
评论
西蒙·普劳夫（Simon Plouffe）的网页（以及古腾堡项目免费提供的书）上给出的值错误为+1e-31，为“…651641…”，而不是“…641641……”。在引用的参考文献[Wrench，1961]中，这些数字是正确的。根据Oliveira e Silva的计算，他们在Plouffe的逆变器页面上也是正确的，他评论说Mathematica在200 MHz时花了1个小时。使用阿米拉姆·埃尔达尔在PARI程序中，同样的500位数字会立即计算出来（不到0.1秒）-M.F.哈斯勒2021年4月20日
以奥地利数学家埃米尔·阿廷（1898-1962）的名字命名-阿米拉姆·埃尔达尔2021年6月20日
参考文献
亨利·科恩（Henri Cohen），《数论》，第二卷：分析和现代工具，GTM第240卷，施普林格出版社，2007年；见第208-209页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
链接
史蒂文·芬奇，数学常数II《数学及其应用百科全书》，剑桥大学出版社，剑桥，2018年，第156页（常数C7）。
彼得·莫雷，阿廷本原根猜想综述，arXiv:math/04122262[math.NT]，2004-2012年。
彼得·莫雷，形式级数Witt变换，离散。数学。，第295卷，第1-3期（2005年），第143-160页。见第159页。
例子
0.37395581361920228805472805434641641511162924860615...
数学
a=经验[-NSum[（LucasL[n]-1）/n PrimeZetaP[n]，{n，2，无限}，精度目标->500，工作精度->500，NSumTerms->100000]]；真数字[a，10，111][[1](*罗伯特·威尔逊v2014年9月3日，摘自Mathematica关于PrimeZetaP*的帮助文件）
黄体脂酮素
（PARI）prodinf（n=2，1/zeta（n）^（sumdiv（n，d，moebius（n/d）*（斐波那契（d-1）+斐波那奇（d+1））/n））\\查尔斯·格里特豪斯四世2014年8月27日
（PARI）prodeulerrat（1-1/（p^2-p））\\阿米拉姆·埃尔达尔2021年3月12日
扩展
更多来自Tomás Oliveira e Silva的条款(网址：http://www.ieeta.pt/~托斯）
1/（第n个素数）的十进制展开周期（根据素数2和5的约定，为0）。
（原名M4050 N1680）
+10
54
0, 1, 0, 6, 2, 6, 16, 18, 22, 28, 15, 3, 5, 21, 46, 13, 58, 60, 33, 35, 8, 13, 41, 44, 96, 4, 34, 53, 108, 112, 42, 130, 8, 46, 148, 75, 78, 81, 166, 43, 178, 180, 95, 192, 98, 99, 30, 222, 113, 228, 232, 7, 30, 50, 256, 262, 268, 5, 69, 28, 141, 146, 153, 155, 312, 79, 110
评论
a（n）是模方程10^x==1（mod p）的最小解x，其中p=素数（n）-卡米娜·苏里亚诺2012年10月10日
a（n）=最小的m，使得111…11（m1）可以被第n素数整除，如果不存在这样的m，则为0（a（2）=3而不是1除外）。例如，第五素数11除以11，因此a（5）=2-N.J.A.斯隆2013年10月3日[评论由更正德里克·奥尔2014年6月14日]
参考文献
Albert H.Beiler，《数字理论中的娱乐》，第二版，纽约：多佛，1966年，第65、309页。国际标准书号0-486-21096-0。
约翰·H·康威和R·K·盖伊，《数字之书》，哥白尼出版社，第162页。
D.H.Lehmer，《数论表格指南》。第105号公报，国家研究委员会，华盛顿特区，1941年，第15页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
链接
马特·帕克和布雷迪·哈兰，素数的倒数，数字视频（2022）。
例子
A002371号（11） =15，因为第11个素数是31，而1/31=0.032258064516129032258065161290322586452……有句点15-理查德·里昂2022年3月29日
MAPLE公司
seq（subs（FAIL=0，numtheory:-顺序（10，ithprime（n））），n=1..100）#罗伯特·伊斯雷尔2016年7月15日
数学
表[Length[RealDigits[1/Prime[n]][[1，1]]]，｛n，1，70｝]
表[If[IntegerQ[#]，#，0]&[MultiplicativeOrder[10，Prime[n]]]，{n，1，70}](*简·曼加尔丹2020年7月7日*）
黄体脂酮素
（PARI）a（n）=如果（n<4，n==2，znorder（Mod（10，prime（n）））
（Python）
从sympy导入质数，n阶
定义A002371号（n） ：如果n==1或n==3，则返回0，否则为n_order（10，素数（n））#柴华武2022年2月7日
扩展
来自Arlin Anderson（starship1（AT）gmail.com）的更多条款
1, 1, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 2, 1, 6, 6, 1, 1, 16, 1, 18, 1, 6, 2, 22, 1, 1, 6, 3, 6, 28, 1, 15, 1, 2, 16, 6, 1, 3, 18, 6, 1, 5, 6, 21, 2, 1, 22, 46, 1, 42, 1, 16, 6, 13, 3, 2, 6, 18, 28, 58, 1, 60, 15, 6, 1, 6, 2, 33, 16, 22, 6, 35, 1, 8, 3, 1, 18, 6, 6, 13, 1, 9, 5, 41, 6, 16, 21, 28, 2, 44, 1
评论
当1/n具有有限的十进制展开式时（即当n=2^a*5^b），a（n）=1 whileA051626号（n） =0-M.F.哈斯勒2015年12月14日
参考文献
J.H.Conway和R.K.Guy，《数字之书》，哥白尼出版社，纽约，1996年，第159页等。
配方奶粉
注意，如果n=r*s，其中r是2的幂，s是奇数，那么a（n）=a（s）。此外，如果n=r*s，其中r是5的幂，s不可被5整除，则a（n）=a（s）。所以我们只需要不可被2或5整除的n的a（n）。这是n除以10^m-1的最小数字m；m是φ（n）的除数，其中φ=A000010号.
phi（n）=n-1仅当n是素数时，并且由于a（n）除以phi（n），因此a（n）仅当n为素数时才能等于n-1Scott Hemphill（Hemphill，AT）校友.caltech.edu），2006年11月23日
MAPLE公司
a132740：=1；
对于ifactors（n）[2]do中的pe
如果{2,5}中没有op（1，pe），那么
a132740：=a132740*op（1，pe）^op（2，pe）；
结束条件：；
结束do：
如果a132740=1，则
1 ;
其他的
数字理论[顺序]（10，a132740）；
结束条件：；
结束过程：
数学
表[r=n/2^IntegerExponent[n，2]/5^Integer指数[n，5]；乘法顺序[10，r]，{n，100}](*T.D.诺伊2012年10月17日*）
黄体脂酮素
（PARI）a（n）=z阶（Mod（10，n/2^估值（n，2）/5^估值（n，5））\\查尔斯·格里特豪斯四世2013年1月14日
（鼠尾草）
定义a（n）：
n=ZZ（n）
rad=2**n.估价（2）*5**n.估值（5）
返回Zmod（n//rad）（10）.乘法顺序（）
[范围（1，20）中n的a（n）]
（Python）
从sympy导入n_order，multiplicity
定义A007732号（n） ：return n_order（10，n//2**重数（2，n）//5**重数#柴华武2022年2月7日
0, 0, 1, 0, 0, 1, 6, 0, 1, 0, 2, 1, 6, 6, 1, 0, 16, 1, 18, 0, 6, 2, 22, 1, 0, 6, 3, 6, 28, 1, 15, 0, 2, 16, 6, 1, 3, 18, 6, 0, 5, 6, 21, 2, 1, 22, 46, 1, 42, 0, 16, 6, 13, 3, 2, 6, 18, 28, 58, 1, 60, 15, 6, 0, 6, 2, 33, 16, 22, 6, 35, 1, 8, 3, 1, 18, 6, 6, 13, 0, 9, 5, 41, 6, 16, 21, 28, 2, 44, 1
评论
对于任何素数p：如果a（p）>0，a（p-大卫·斯皮策2017年1月9日
例子
a（1）=a（2）=0，因为1/1=1和1/2=0.5具有有限的十进制展开式。
a（3）=a（6）=a（9）=a（12）=1，因为1/3=0.｛3｝*，1/6=0.1｛6｝*，1/9=0.｛1｝*，1/12=0.08｛3｝*，其中无限重复的数字序列｛…｝*的长度为1。
a（7）=6，因为1/7=0.{142857}*，周期为6。
a（17）=16，因为1/17=0.{0588235294117647}*，周期为16。
a（19）=18，因为1/19=0.{052631578947368421}*，周期为18。（结束）
MAPLE公司
如果是A003592（n），则
返回（0）；
其他的
lpow：=1；
虽然是真的
通过-1 do将mpow从lpow-1转换为0
如果（10^lpow-10^mpow）mod n=0，则
返回（lpow-mpow）；
fi；
od；
lpow:=lpow+1；
od；
fi；
数学
r[x_]：=实际数字[1/x]；w[x_]：=第一个[r[x]]；f[x_]：=第一个[w[x]]；l[x_]：=最后一个[w[x]]；z[x_]：=最后[r[x]]；
d[x_]：=其中[IntegerQ[l[x]]，0，IntegerQ[f[x]]==假，长度[f[x]]，真，长度[l[x]]]；表[d[i]，{i，1，90}](*汉斯·哈弗曼2006年10月19日*）
fd[n_]：=块[｛q｝，q=最后一个[第一个[RealDigits[1/n]]]；如果[IntegerQ[q]，q={}]；长度[q]]；表[fd[n]，{n，100}](*雷·钱德勒2006年12月6日*）
表[长度[RealDigits[1/n][[1，-1]]，{n，90}](*哈维·P·戴尔2011年7月3日*）
黄体脂酮素
（PARI）A051626号（n） =如果（1<n/=5^估值（n，5）<<估值（n、2），znorder（Mod（10，n）），0）\\M.F.哈斯勒2015年12月14日
（Python）
如果是A003592（n）：
返回0
其他：
lpow=1
为True时：
对于mpow范围（lpow-1，-1，-1）：
如果（10**lpow-10**mpow）%n==0：
返回lpow-mpow
（Python）
从sympy导入多重性，n顺序
定义A051626号（n） ：如果（m:=（n>>（~n&n-1）.bit_length（））//5**重数（5，n））==1其他n_order（10，m），则返回0#柴华武2022年8月11日
搜索在0.034秒内完成
| 