搜索： a000267-编号：a000266
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1, 3, 6, 9, 13, 17, 22, 27, 32, 38, 44, 50, 57, 64, 71, 78, 86, 94, 102, 110, 119, 128, 137, 146, 155, 165, 175, 185, 195, 205, 216, 227, 238, 249, 260, 271, 283, 295, 307, 319, 331, 343, 356, 369, 382, 395, 408, 421, 434, 448, 462, 476, 490, 504, 518, 532, 547
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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0,2
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评论
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链接
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数学
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累积@Array[Floor@Sqrt[4*#+1]&，100，0](*阿米拉姆·埃尔达尔2021年3月19日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=总和（i=0，n，平方（4*i+1））\\米歇尔·马库斯2021年3月19日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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经核准的
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A000196号
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| n的平方根的整数部分。或者，正方形数<=n。或者，n出现2n+1次。 |
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+10
331
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0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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0,5
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评论
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参考文献
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Tom M.Apostol，《解析数论导论》，Springer-Verlag，1976年，第73页，第23期。
莱昂内尔·莱文（Lionel Levine），《分形序列与限制性尼姆》（Fractal sequences and restricted Nim），阿尔斯·科姆（Ars Combin），80（2006），113-127。
保罗·麦卡锡（Paul J.McCarthy），《算术函数导论》，施普林格出版社，1986年，第28页。
N.J.A.Sloane和Allan Wilks，《关于Recaman类型的序列》，准备中的论文，2006年。
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链接
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莱昂内尔·莱文，分形序列与限制Nim，arXiv:math/0409408[math.CO]，2004年。
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配方奶粉
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a（n）=卡片（k，0<k<=n，使得k相对于核心（k）是素数），其中核心（x）是x的无平方部分-贝诺伊特·克洛伊特2002年5月2日
a（n）=a（n-1）+楼层（n/（a（n-1）+1）^2），a（0）=0-莱因哈德·祖姆凯勒2004年4月12日
G.f.：G（x）=（1/（1-x））*Sum_{j>=1}x^（j^2）=（theta_3（0，x）-1）/（2*（1-x。（结束）
Sum_｛n>0｝1/a（n）^s=2*ζ（s-1）+ζ（s），其中ζ是黎曼ζ函数-恩里克·佩雷斯·埃雷罗2013年10月15日
a（n）=（1/2）*和{i=1..n}（1-（-1）^A000005号（i） ），n>0。（结束）
a（n）=求和{k=1..n}层（n/k）*lambda（k）=求和{m=1..n{求和{d|m}lambda，A008836号. -杰弗里·克雷策2015年4月1日
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例子
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G.f.=x+x ^2+x ^3+2*x ^4+2*x ^5+2*x^6+2*x^7+2*×^8+3*x ^9+。。。
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MAPLE公司
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数学
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表[n，{n，0，20}，{2n+1}]//展平(*扎克·塞多夫2011年3月19日*）
整数部分[Sqrt[Range[0，110]](*哈维·P·戴尔2012年5月23日*）
楼层[Sqrt[Range[0，99]]](*阿隆索·德尔·阿特2013年12月31日*）
a[n_]：=级数系数[（椭圆θ[3，0，x]-1）/（2（1-x）），{x，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2014年5月28日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[Isqrt（n）:n在[0..100]]中；
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，floor（sqrt（n）））}；
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，平方（n））}；
（哈斯克尔）
导入数据。位（shiftL，shiftR）
a000196:：Integer->Integer
a000196 0=0
a000196 n=牛顿n（findx0 n 1），其中
--求x0==2^（a+1），这样4^a<=n<4^（a+1）。
findx0 0 b=b
findx0 a b=findx0（a‘shiftR’2）（b‘shiftL’1）
newton n x=如果x'<x，则newton n x'else x
其中x'=（x+n`div`x）`div` 2
a000196_list=concat$zipWith复制[1，3..][0..]
（Python）
#来自http://code.activestate.com/recipes/577821-integer-square-root-function（整数平方根函数）/
如果n<0：
raise ValueError（“仅为非负n定义”）
如果n==0：
返回0
a、 b=divmod（n.位长度（），2）
j=2**（a+b）
为True时：
k=（j+n//j）//2
如果k>=j：
返回j
j=k
（Python）
从数学导入isqrt
定义a（n）：返回isqrt（n）
打印（[a（n）代表范围（102）中的n]）#迈克尔·布拉尼基2023年2月15日
（方案）
;; 以下实现使用IntSeq-library中的高阶函数LEFTINV-LEASTMONO-NC2NC。它返回任何严格增长函数的最小单调左逆（定义见注释部分），虽然它不像许多专用整数平方根算法那样收敛到结果，但至少它不涉及任何浮点算法。因此，使用正确实现的bignum，即使使用非常大的参数，它也会产生正确的结果，而不仅仅是使用（sqrt n）。
;; LEFTINV-LEASTMONO-NC2NC的来源可以在以下位置找到https://github.com/karttu/IntSeq/blob/master/src/Transforms/Transforms-core.ss以及A000290型在该条目下给出。
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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A063826号
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| 让1、2、3、4表示向右、向下、向左和向上移动；该序列描述了顺时针方形螺旋（也称为乌拉姆螺旋）的运动。 |
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+10
48
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1, 2, 3, 3, 4, 4, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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0,2
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评论
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序列从1、2、3开始，然后可以分成8n+4个成员的组，因此如果n递增，从1开始，组遵循以下模式：3发生在组的开头，4然后发生2n次，1发生2n+1次，2发生2n+1次，3发生2n*1次；所以每组有8n+4个术语。
更简单的描述：2*（2n-1）+2*（2n）=8n-2项的组，n=1，2，3。。。，由2n-1乘以1，然后是2n-1乘2组成；然后2n乘以3，然后2n乘4。第n组从指数（4n-6）n+2开始，到指数（4n+2）n-1结束-M.F.哈斯勒2020年8月8日
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链接
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配方奶粉
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1<=a（n）<=4，a（n）==楼层（sqrt（4n+1））（mod 4）-M.F.哈斯勒2020年8月8日
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例子
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分为几组，我们有：1，2，3 n=1:3，4，4，1，1，1,2,2,2,2,3,n=2:3，4,4,1,1,1,1,2,2,2,2，2,3,3,33,3n=3:3,4,4,1,1,1,1,1,1,1,1，1,2,2,2。
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数学
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连接[{1，2，3}，扁平[Table[{{3}、PadRight[{}，2n，4]，Table[PadRight[}，2-n+1，k]，{k，3}]}，{n，5}]](*哈维·P·戴尔，2019年6月29日*）
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黄体脂酮素
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交叉参考
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关键词
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容易的,美好的,非n
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作者
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Wai Ha Lee（Wainson（AT）hotmail.com），2001年8月20日
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状态
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经核准的
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0, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 15, 15, 15, 15, 15, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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0,3
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评论
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PARI函数t1、t2可用于按从左到右的行读取三角形数组T（n，k）（n>=0，0<=k<=floor（n/2））：n->T（t1（n），t2（n））。
a（n）给出了[n/k]所取的不同正值的数量。例如，a（5）=3:[5/{1,2,3,4,5}]={5,2,1,1,1}-马克·勒布伦2001年5月17日
这个序列按集合{i+2j}的递增顺序给出元素，其中i>=0，j>=0-贝诺伊特·克洛伊特2012年9月22日
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链接
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Randell Heyman，楼层功能集的基数，arXiv:1905.00533[math.NT]，2019年。
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配方奶粉
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a（n）=天花板（2*sqrt（n+1））-2-米尔恰·梅卡2012年2月5日
a（0）=0，则对于n>=1a（n）=1+a（n-1-层（a（n-1）/2））-贝诺伊特·克洛伊特2017年5月8日
a（n）=楼面（b）+楼面（n/（楼面（b+1）），其中b=（sqrt（4*n+1）-1）/2-兰德尔·G·海曼2019年5月8日
和{k>=1}（-1）^（k+1）/a（k）=Pi/8+3*log（2）/4-阿米拉姆·埃尔达尔2024年1月26日
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数学
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扁平[表格[表格[n，{楼层[n/2]+1}]，{n，0，20}]](*哈维·P·戴尔2014年3月7日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=楼层（sqrt（4*n+1））-1}
（PARI）t1（n）=楼层（平方英尺（1+4*n）-1）/*A055086号*/
（PARI）t2（n）=（1+4*n-sqr（楼层（sqrt（1+4*n）））/*A055087号*/
（PARI）a（n）=如果（n<1，0，a（n-1-a（n-1）\2）+1）\\贝诺伊特·克洛伊特2017年5月9日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A080037号
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| a（0）=2；对于n>0，a（n）=n+楼层（sqrt（4n-3））+2。 |
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+10
21
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2, 4, 6, 8, 9, 11, 12, 14, 15, 16, 18, 19, 20, 22, 23, 24, 25, 27, 28, 29, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 41, 42, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 92
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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0,1
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评论
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a（0）=2，a（1）=4；对于n>2，如果n已经在序列中，则a（n）=a（n-1）+1，否则a（n）=a（n-1）+2。[由更正乔恩·肖恩菲尔德，2018年6月24日]
对于n>0，a（n）=天花板（（1+sqrt（n））^2）。实证观察-罗纳德·提比里奥，2018年6月24日
对于n>0，a（n）是将n张正方形纸固定在公告板上所需的最小图钉数-每张纸的每个角落都有一个图钉-允许轻微重叠，以便一个图章可以固定多达四张纸-罗纳德·提比里奥，2018年6月24日
整数m，以便将正方形螺旋的外部晶格点与m个晶格点连接起来，形成一个多边形（m在下图中用*表示）。
.
37--36*-35*-34*-33*-32*-31
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38* 17--16*-15*-14*-13 30*
| | | |
39* 18* 5---4*--3 12* 29*
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40* 19* 6* 1---2* 11* 28*
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41* 20* 7---8*--9*-10 27*
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42* 21--22*-23*-24*-25*-26
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43-44*-45*-46*-47*-48*-49*（结束）
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链接
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B.Cloitre、N.J.A.Sloane和M.J.Vandermast，Aronson序列的数值模拟，J.整数序列。，第6卷（2003年），#03.2.2。
B.Cloitre、N.J.A.Sloane和M.J.Vandermast，Aronson序列的数值模拟，arXiv:math/0305308[math.NT]，2003年。
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配方奶粉
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通用公式：（2-z）/（1-z）^2+Sum_{k>=1}z^（k^2+1）/（1-z）+Sum_{k>=0}z ^（k ^2+k+1）/-罗伯特·伊斯雷尔2023年7月27日
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MAPLE公司
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f： =n->n+楼层（sqrt（4*n-3））+2：
f（0）：=2:
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黄体脂酮素
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（Python）
从数学导入isqrt
定义A080037号（n） ：如果其他n为2，则返回n+2+isqrt（（n<<2）-1#柴华武2022年7月27日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A027434号
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| a（1）=2；然后由a（n）=最小数>=a（n-1）的属性定义，使得连续运行具有长度1,1,2,2,3,3,4,4。 |
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+10
14
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2, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 15, 15, 15, 15, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 17, 17, 17, 17, 17, 17, 17, 17, 18, 18, 18, 18
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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1,1
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评论
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此外，α=1+sqrt（n）-sqrt（n-1）族中Beatty序列的第一个跳过项的序列-艾莉莎·爱迪格2016年7月20日
如果b>0和c>0是一元二次型x^2+b*x+c的整数系数，如果它的判别式d^2=b^2-4c是一个完美平方，则它具有整数根。这个序列是b的值，用于按b然后c排序增加b。（b，c）=（2，1）的第一对有d=A082375号(0) = 0. 第n对（b，c）=（a（n），A350634型（n） ）和具有d=A082375美元（n-1）-弗兰克·M·杰克逊2024年1月21日
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参考文献
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Sam Speed，整数序列（预打印）。
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链接
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配方奶粉
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a（n）=天花板（2*sqrt（n））。[米尔恰·梅卡2012年2月7日]
a（n）=楼层（1+sqrt（n）+sqert（n-1））-艾莉莎·爱迪格2016年7月20日
G.f.：x*（1+x^（-1/4）*theta_2（x）+theta_3（x））/（2*（1-x）），其中theta_k（x）是雅可比θ函数-伊利亚·古特科夫斯基2016年7月20日
a（n）=1+楼层（sqrt（4*n-1））-柴华武2022年7月27日
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MAPLE公司
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数学
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桌子[天花板[2*Sqrt[n]]，{n，100}](*韦斯利·伊万·赫特2014年3月1日*）
排序[Flatten[Table[#，{#[[1]]/2}]]&&@分区[Range[2，20]，2]//压扁(*哈维·P·戴尔2019年9月5日*）
lst={}；Do[If[IntegerQ[d=Sqrt[b^2-4c]]，AppendTo[lst，b]]，{b，1，20}，{c，1，b^2/4}]；第一次试验(*弗兰克·M·杰克逊2024年1月21日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a027434=（+1）。a000196。（减去3）。(* 4)
a027434_list=2:concat（映射（\x->replicate（x`div`2）x）[3.]）
（Python）
从数学导入isqrt
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交叉参考
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关键词
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非n,美好的,容易的
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作者
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Sam Speed（速度（AT）msci.menphis.edu）
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扩展
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更多条款来自Courtney Clipp（cclipp（AT）ashland.edu），2004年12月8日
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状态
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经核准的
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1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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0
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链接
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配方奶粉
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数学
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a240025 n=最大值（a005369 n）（a010052 n）
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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1、2、3、1、4、2、5、3、1、6、4、2、7、5、3、1、8、6、4、2、7、5、3、10、8、6、4、2、11、9、7、5、3、1、12、10、8、6、4、2、13、11、9、7、5、3、1、14、12、10、8、6、4、2、15、13、11、9、7、5、3、1、16、14、12、10、8、6、4、17、15、13，11，9，7，5，3，1，18，16，14，12，10，8，6，4，2，19，17
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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1,2
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评论
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的第一个差异A076644号.分形-删除每个整数的第一次出现将保留原始序列。此外，原始序列加1。1以平方指数出现。新值出现在指数m^2+1和m^2+m+1处。
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链接
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配方奶粉
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a（n）=楼层（sqrt（4*n-1））-2*（（n-1）mod（t+1）），其中t=楼层（（sqrt（4*n-3）-1）/2）。（结束）
T（n，k）=n-2*k+2，对于n>=1和1<=k<=楼层（（n+1）/2）。
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例子
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序列a（n）的前几行作为三角形T（n，k）：
不确定1 2 3
1 1
2 2
3 3, 1
4 4, 2
5 5, 3, 1
6 6, 4, 2
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MAPLE公司
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a:=proc（n）local t:t:=floor（（sqrt（4*n-3）-1）/2）：floor（sqrt（4*n-1））-2*（（n-1）mod（t+1））end:seq（a（n），n=1..92）；#结束第一个程序。
T:=（n，k）->n-2*k+2:seq（seq（T（n，k），k=1..层（（n+1）/2）），n=1..18）；#结束第二个程序。（结束）
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数学
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a122196 n=a122196_列表！！（n-1）
a122196_list=concatMap（\x->enumFromTheTo x（x-2）1）[1..]
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交叉参考
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关键词
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容易的,非n,选项卡
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作者
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状态
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经核准的
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A209318型
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| 具有k个部分的n个分区的数量T（n，k），其中没有部分出现超过两次；三角形T（n，k），n>=0，0<=k<=A055086号（n） ，按行读取。 |
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+10
11
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1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 2, 1, 0, 1, 2, 2, 0, 1, 3, 2, 1, 0, 1, 3, 4, 1, 0, 1, 4, 5, 3, 0, 1, 4, 6, 4, 1, 0, 1, 5, 8, 6, 2, 0, 1, 5, 10, 8, 3, 0, 1, 6, 11, 12, 5, 1, 0, 1, 6, 14, 14, 8, 1, 0, 1, 7, 16, 19, 11, 3, 0, 1, 7, 18, 23, 16, 5
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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0,12
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链接
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例子
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T（8,3）=5:[6，1,1]，[5，2,1]，[4，3,1]，[4，2,2]，[3，3,2]。
T（8,4）=3:[4,2,1,1]，[3,3,1,1]，[3，2,2,1]。
T（9,3）=6:[7,1,1]，[6,2,1]，[5,3,1]，[C,4,1]，[5,2,2]，[4,3,2]。
T（9,4）=4:[5,2,1,1]，[4,3,1,1]，[4，2,2,1]，[3],2,1]。
T（9,5）=1:[3,2,1,1]。
三角形开始：
1;
0, 1;
0, 1, 1;
0, 1, 1;
0, 1, 2, 1;
0, 1, 2, 2;
0, 1, 3, 2, 1;
0, 1, 3, 4, 1;
0, 1, 4, 5, 3;
0, 1, 4, 6, 4, 1;
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MAPLE公司
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b： =proc（n，i）选项记住`如果`（n=0，1，`如果`（i<1，0，
加法（展开（b（n-i*j，i-1）*x^j），j=0..分钟（2，n/i））
结束时间：
T： =n->（p->seq（系数（p，x，i），i=0..度（p））（b（n$2））：
seq（T（n），n=0..20）；
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数学
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最大值=15；g=-1+乘积[1+t*x^j+t^2*x^（2j），{j，1，max}]；t[n_，k_]：=级数系数[g，{x，0，n}，{t，0，k}]；t[0,0]=1；表[表[t[n，k]，{k，0，n}]/。{a__，0..}->{a}，{n，0，max}]//展平(*Jean-François Alcover公司2014年1月8日*）
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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0, 1, 2, 5, 4, 9, 8, 17, 16, 23, 32, 39, 40, 71, 72, 87, 80, 151, 144, 167, 160, 295, 288, 327, 320, 351, 576, 607, 640, 671, 672, 1183, 1184, 1311, 1312, 1375, 1344, 2399, 2368, 2655, 2624, 2719, 2688, 4767, 4736, 5279, 5248, 5407, 5376, 5503, 9472, 9599, 10496
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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0,3
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评论
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描述中的单词“minimuminal”意味着在其二进制表示中对n的无序分区进行编码的整数应该尽可能小。这个序列为每个n提供了这样一个最小整数，它编码一个无序分区，其和为n。编码系统的详细信息在A227183号.
项目：寻找一种算法，该算法使用更复杂的方法计算a（n），而不仅仅是通过盲目搜索。这是一种将n表示为特殊的“位打包”和的优化问题：大小x的最小和花费x位，其在和中的任何后续使用每次只花费一位。第一次使用时，使用任何额外的和y>x将花费（y-x）+1位，然后再次使用，每个额外的用法仅花费一位。目标：最小化所需的位数。如果找到具有相同位数的多个候选，则产生最小整数（当被解释为二进制数时）的那个将获胜。
对于任意组合n=t*u，a（n）的大小的上界是t+u-1位。
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链接
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配方奶粉
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例子
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n a（n）二进制对应分区和=n
0 0 0 (0) 0
1 1 1 (1) 1
2 2 10 (1 + 1) 2
3 5 101 (1 + 1 + 1) 3
4 4 100 (2 + 2) 4
5 9 1001 (1 + 2 + 2) 5
6 8 1000 (3 + 3) 6
7 17 10001 (1 + 3 + 3) 7
8 16 10000 (4 + 4) 8
9 23 10111 (3 + 3 + 3) 9
10 32 100000 (5 + 5) 10
11 39 100111 (3 + 4 + 4) 11
12 40 101000 (3 + 3 + 3 + 3) 12
13 71 1000111 (3 + 5 + 5) 13
14 72 1001000 (3 + 3 + 4 + 4) 14
15 87 1010111（3+3+3+3）15
16 80 1010000 (4 + 4 + 4 + 4) 16
17 151 10010111 (3 + 3 + 3 + 4 + 4) 17
18 144 10010000 (4 + 4 + 5 + 5) 18
19 167 10100111 (3 + 4 + 4 + 4 + 4) 19
20 160 10100000 (5 + 5 + 5 + 5) 20
注意，对于20，例如还有一个代码175，二进制的“10101111”，这会产生一个分区（4+4+4+4+4）（=20），但由于160＜175，并且没有其他20的分区会产生更小的代码号，160是赢家（最小代码），因此a（20）=160。
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黄体脂酮素
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（Python）
k=0
返回（k）
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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