|
| |
|
| A001615号 |
| Dedekind psi函数：n*Product_{p|n，p-prime}（1+1/p）。
（原名M2315 N0915）
|
|
302
|
|
|
|
1, 3, 4, 6, 6, 12, 8, 12, 12, 18, 12, 24, 14, 24, 24, 24, 18, 36, 20, 36, 32, 36, 24, 48, 30, 42, 36, 48, 30, 72, 32, 48, 48, 54, 48, 72, 38, 60, 56, 72, 42, 96, 44, 72, 72, 72, 48, 96, 56, 90, 72, 84, 54, 108, 72, 96, 80, 90, 60, 144, 62, 96, 96, 96, 84, 144, 68, 108, 96
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
1,2
|
|
|
评论
|
一般二维格中指数n的本原子格个数；也是SL_2（Z）中Gamma_0（n）的指数。
一般二维格L=<V，W>由mV+nW，（m，n个整数）形式的所有向量组成。子格S=<aV+bW，cV+dW>具有索引|ad-bc|，并且如果gcd（A，b，c，d）=1，则它是本原的。对于其他指数，一般格L精确地具有指数2的（2）=3个子格，即<2V，W>，<V，2W>和<V+W，2V>（即=<V+W,2W>），依此类推。
索引n的子格与[0..d-1]中a>0，ad=n，b的矩阵[a b；0 d]一一对应。它们的数量是Sum_{d|n}=sigma（n），即A000203号.如果gcd（A，b，d）=1，则子格是本原的；它们的数量是n*product{pn}（1+1/p），这是当前的序列。
SL_2（Z）=Gamma是所有2X2矩阵[a b；c d]的组，其中a，b，c，d是ad-bc=1的整数，Gamma_0（N）通常定义为N|c的该子组。但从概念上来说，Gamma最好被认为是格<V，W>的（正）自同构组，其典型元素取V->aV+bW，W->cV+dW，然后Gamma_0（N）可以定义为由固定索引N的子格<NV，W>的自同构组成的子群-J.H.康威2001年5月5日
Dedekind证明了，如果n=k_i*j_i代表i中i表示将n写成乘积的所有方法，而e_i=gcd（k_i，j_i），则a（n）=总和（k_i/（e_i*phi（e_i）），i in i）[比照Dickson，《数论史》，第1卷，第123页]。
此外，a（n）=n^2阶（1,1）型（Fricke）阿贝尔群中n阶循环子群的数目-伦·斯迈利2001年12月4日
与j（z）和j（nz）相关的n阶经典模方程的多项式阶为psi（n）（Fricke）-迈克尔·索莫斯，2006年11月10日；澄清人凯瑟琳·斯坦格2022年3月11日
当且仅当任意n>30时，a（n）/n-e^gamma*log（log（n））<0时，黎曼假设才成立-恩里克·佩雷斯·埃雷罗2011年7月12日
黎曼假设也等价于另一个不等式，参见Sole和Planat链接-托马斯·奥多夫斯基2017年5月28日
Psi（n）/n是每个原初值的新最大值(A002110号)[链接中的证据：Patrick Sole和Michel Planat，提案1第2页]-伯纳德·肖特2020年5月21日
a（n）是C_n X C_n同构于C_n的子群数，其中C_n是n阶循环群。证明：C_n XC_n中n阶元素的个数为A007434号（n） （它们是C_n X C_n中形式为（a，b）的元素，其中gcd（a，b，n）=1），并且同构于C_n的每个子群都包含phi（n）生成器，因此这样的子群的数量为A007434美元（n） /φ（n）=a（n）。
|
|
|
参考文献
|
Tom Apostol，简介。分析。数论，第71页，问题11，这里称为phi_1（n）。
David A.Cox，“形式x^2+ny^2的素数”，威利，1989年，第228页。
R.Fricke，Die elliptischen Funktitionen und ihre Anwendungen，Teubner，1922年，第2卷，见第220页。
理查德·盖伊（Richard K.Guy），《数论中未解决的问题》（Unsolved Problems in Number Theory），第三版，斯普林格出版社，2004年。见第B41节，第147页。
B.Schoeneberg，椭圆模函数，Springer-Verlag，纽约，1974年，第79页。
G.Shimura，《自守函数算术理论导论》，普林斯顿，1971年，见第25页，等式（1）。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
|
|
|
链接
|
Harriet Fell、Morris Newman和Edward Ordman，线性分数变换群的属表，J.Res.Nat.Bur。标准章节。B 67B 1963年61-68。
M.Hampejs、N.Holighaus、L.Toth和C.Wiesmeyr，表示和计算群Z_m X Z_n的子群，arXiv:1211.1797[math.GR]，2012年。
F.A.Lewis等人。，问题4002阿默尔。数学。《月刊》，第49卷，第9期，1942年11月，第618-619页。
Patrick Sole和Michel Planat，Dedekind Psi函数的极值，发表在《组合数学与数论杂志》上，arXiv:101011.1825[math.NT]，2010-2011。
|
|
|
配方奶粉
|
Dirichlet g.f.：zeta（s）*zeta（s-1）/zeta（2*s）-迈克尔·索莫斯2000年5月19日
与a（p^e）相乘=（p+1）*p^（e-1）-大卫·W·威尔逊2001年8月1日
a（n）=总和{d|n}mu（n/d）^2*d-乔格·阿恩特2011年7月6日
a（n）=J_2（n）/J_1（n）=J_2（n）/φ（n）=A007434号（n）/A000010号（n） ，其中J_k是第k个Jordan Totient函数。
a（n）=（1/phi（n））*Sum_{d|n}mu（n/d）*d^（b-1），对于b=3。（结束）
通用公式：总和{k>=1}亩（k）^2*x^k/（1-x^k）^2-伊利亚·古特科夫斯基2018年10月25日
a（n）=和{k=1..n}2^omega（gcd（n，k））。
a（n）=和{k=1..n}2^ω（n/gcd（n，k））*phi（gcd（n，k））/phi（n/gcd（n、k））。（结束）
|
|
|
示例
|
设L=<V，W>为二维格。索引4的6个原始子格由<4V，W>，<V，4W>，<4V，W+-V>，<2V+W，2W>，<02V，2W+V>生成。比较A000203号.
G.f.=x+3*x^2+4*x^3+6*x^4+6*x^5+12*x^6+8*x^7+12*x^8+12*x ^9+。。。
|
|
|
MAPLE公司
|
|
|
|
数学
|
联接[{1}，表[n次@@（1+1/Transpose[FactorInteger[n]][1]]），{n，2，100}]](*T.D.诺伊2006年6月11日*）
表[DirichletConvolve[j，MoebiusMu[j]^2，j，n]，{n，100}](*简·曼加尔丹2013年8月22日*）
a[n_]：=如果[n<1，0，n和[MoebiusMu[d]^2/d，{d，Divisors@n}]]；(*迈克尔·索莫斯2015年1月10日*）
表[n*积[1+1/p，{p，选择[Divisors[n]，PrimeQ]}]，{n，1，100}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2021年5月8日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）{a（n）=如果（n<1，0，direculer（p=2，n，（1+X）/（1-p*X））[n]）}；
（PARI）{a（n）=如果（n<1，0，n*sumdiv（n，d，moebius（d）^2/d））}/*迈克尔·索莫斯2006年11月10日*/
（PARI）a（n）=我的（f=系数（n））；prod（i=1，#f~，f[i，1]^f[i（2）]+f[i、1]^（f[i）-1）\\查尔斯·格里特豪斯四世，2013年8月22日
（哈斯克尔）
导入数据。比率（分子）
a001615 n=分子（来自积分n*（乘积$
地图（+1）。配方。from Integral）$a027748_当前n））
（鼠尾草）定义A001615号（n） ：return n*mul（prime_divisors（n）中p的1+1/p）
（岩浆）m:=75；R<x>：=PowerSeriesRing（整数（），m）；系数（R！（（&+[MoebiusMu（k）^2*x^k/（1-x^k）^2:k in[1..2*m]]））//G.C.格鲁贝尔2018年11月23日
（Python 3.8+）
从数学导入prod
从症状导入因子
plist=素数（n）
return n*prod（plist中p的p+1）//prod（plest）#柴华武2021年6月3日
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
非n,容易的,核心,美好的,多重
|
|
|
作者
|
|
|
|
扩展
|
|
|
|
状态
|
已批准
|
| |
|
|
