A000364-OEIS公司

OEIS哀悼西蒙斯感谢西蒙斯基金会支持包括OEIS在内的许多科学分支的研究。

A000364号

Euler（或正割或“Zig”）数字：例如f.（仅限偶数幂）sec（x）=1/cos（x）。
（原名M4019 N1667）

264

1, 1, 5, 61, 1385, 50521, 2702765, 199360981, 19391512145, 2404879675441, 370371188237525, 69348874393137901, 15514534163557086905, 4087072509293123892361, 1252259641403629865468285, 441543893249023104553682821, 177519391579539289436664789665 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

	抵消	`0,3`
	评论	`古德曼逆gd^（-1）（x）=对数（秒（x）+tan（x））=对数-迈克尔·索莫斯2011年3月19日` `a（n）是[2n]的向下置换数。例如：a（2）=5计数4231、4132、3241、3142、2143-大卫·卡伦2011年11月21日` `a（n）是顶点{0,1,2，…，2n}上增加的全二叉树的数目，最左边的叶子被标记为2n-大卫·卡伦2011年11月21日` `a（n）是2n+1大小的无序增长树的个数，只允许偶数次，度权生成函数由cosh（t）给出-马库斯·库巴，2014年9月13日` `a（n）是斜形状（n+1，n，n-1，…，3,2）/（n-1，n-2，…2,1）的标准Young表的数量-冉·潘2015年4月10日` `由于cos（z）在z=Pi/2处有一个根，而在C中没有其他较小的\|z\|根，因此f.（预期复值）的收敛半径为Pi/2=A019669号（另请参阅A028296号). -斯坦尼斯拉夫·西科拉，2016年10月7日` `所有术语都很奇怪-阿洛伊斯·海因茨2018年7月22日` `以a（1）开始的序列是周期性的模任何奇素数p。如果p==1 mod 4，最小周期是（p-1）/2，如果p==3 mod 4，最小周期是p-1[Knuth&Buckholtz，1967，定理2]-艾伦·斯坦格2020年8月3日` `猜想：取序列[a（n）：n>=1]的模为整数k，得到一个周期除以φ（k）的纯周期序列。例如，取模21的序列以[1，5，19，20，16，2，1，5，19，20，16，2，1，5，19，20，16，2，1，5，19，…]开始，表观周期为6＝phi（21）/2-彼得·巴拉2023年5月8日`
	参考文献	`M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准应用数学局。1964年第55辑（及各种重印本），第810页；给出了带有符号的版本：E_{2n}=（-1）^n*a（n）（这是A028296号).` `Miklos Bona，编辑，《枚举组合数学手册》，CRC出版社，2015年，第932页。` `J.M.Borwein和D.M.Bailey，《实验数学》，彼得斯，波士顿，2004年；第49页` `J.M.Borwein、D.H.Bailey和R.Girgensohn，《数学实验》，A K Peters有限公司，马萨诸塞州纳蒂克，2004年。x+357页，见第141页。` `G.Chrystal，《代数》，第二卷，第342页。` `L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第49页。` `H.Doeriry，《初等数学100大问题》，纽约州多佛，1965年，第69页。` `L.Euler，仪器计算差异，第224节。` `S.Mukai，不变量和模简介，剑桥，2003；见第444页。` `L.Seidel，UE ber eine einfache Entstehungsweise der Bernoulli’schen Zahlen und einiger verwandten Reihen，Sitzungberichte der mathematich-physicalischen Classe der königlich bayerischen Akademie der Wissenschaften zu München，第7卷（1877），157-187。` `N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。` `N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。` `J.V.Uspensky和M.A.Heaslet，初等数论，纽约州麦格劳-希尔，1939年，第269页。`
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	配方奶粉	`例如：求和{n>=0}a（n）x^（2n）/（2n）！=秒（x）-迈克尔·索莫斯2007年8月15日` `例如：和{n>=0}a（n）x^（2n+1）/（2n+1）！=gd^（-1）（x）-迈克尔·索莫斯2007年8月15日` `例如：和{n>=0}a（n）x^（2n+1）/（2n+1）！=2阿卡坦（cosec（x）-科坦（x））-拉尔夫·斯蒂芬2004年12月16日` `Pi/4-[Sum_{k=0..n-1}（-1）^k/（2k+1）]~（1/2）[Sum_{k>=0}（-1）^kE（k）/（2n）^（2k+1）]表示正偶数n` `此外，对于正奇数n，log（2）-Sum_{k=1..（n-1）/2}（-1）^（k-1）/k~（-1）qu（n-1-彼得·巴拉2016年10月29日` `设M_n是n×n矩阵M_n（i，j）=二项式（2i，2（j-1））=A086645美元（i，j-1）；则对于n>0，a（n）=det（M_n）；示例：det（[1,1,0,0；1,6,1,0；1/15,15,1；1,28,70,28]）=1385-菲利普·德尔汉姆2005年9月4日` `这个序列也是（-1）^nEulerE（2n）或abs（EulerEn）Paul Abbott（Paul（AT）physics.uwa.edu.au），2006年4月14日` `a（n）=2^nE_n（1/2），其中E_n（x）是一个欧拉多项式。` `a（k）=a（j）（mod 2^n）当且仅当k==j（mod 2 ^n）（k和j是偶数）。[Stern；另见Wagstaff和Sun]` `E_k（3^（k+1）+1）/4=（3^k/2）Sum_{j=0..2^n-1}（-1）^（j-1）（2j+1）^k[（3j+1）/2^n]（mod 2^n）其中k是偶数，[x]是最大的整数函数。[太阳]` `a（n）~2^（2n+2）（2n）/Pi^（2n+1）表示n->无穷大。[由更正瓦茨拉夫·科特索维奇2021年7月10日]` `a（n）=和{k=0..n}A094665号（n，k）2^（n-k）-菲利普·德尔汉姆2004年6月10日` `递归：a（n）=-（-1）^nSum_{i=0..n-1}（-1）^ia（i）二项式（2n，2i）-拉尔夫·斯蒂芬2005年2月24日` `O.g.f.：1/（1-x/（1-4x/（1~9x/）（1-16x/…-n^2x/，1-…）））（因T.J.Stieltjes而产生的续分数）-保罗·D·汉纳2005年10月7日` `a（n）=（积分{t=0..Pi}对数（tan（t/2）^2）^（2n）dt）/Pi^（2 n+1）.-Logan Kleinwaks（美国普林斯顿大学校友），2007年3月15日` `发件人彼得·巴拉，2009年3月24日：（开始）` `基本超几何生成函数：2exp（-t）Sum{n>=0}Product_{k=1..n}（1-exp（-（4k-2）t））exp61t^3/3！+。。。。有关具有类似类型生成函数的其他序列，请参见A000464号,A002105号,A002439号,A079144号和A158690型.` `a（n）=2（-1）^nL（-2n），其中L（s）是狄利克雷L函数L（s）=1-1/3^s+1/5^s-+。。。。（结束）` `求和{n>=0}a（n）z^（2n）/（4n）！！=Beta（1/2-z/（2Pi），1/2+z/（2%Pi））/Beta（1/2，1/2），Beta（z，w）为Beta函数-约翰内斯·梅耶尔2009年7月6日` `a（n）=总和（总和_（二项式（k，m）（-1）^（n+k）/（2^（m-1））总和_（二项式（m，j）（2j-m）^-弗拉基米尔·克鲁奇宁2010年8月5日` `如果n是素数，那么a（n）==1（mod 2n）-弗拉基米尔·谢维列夫，2010年9月4日` `发件人彼得·巴拉，2011年1月21日：（开始）` `(1)... a（n）=（-1/4）^nB（2n，-1），` `其中{B（n，x）}n>=1=[1，1+x，1+6x+x^2，1+23x+23x2+x^3，…]是B型欧拉多项式的序列-参见A060187号等效地，` `(2)... a（n）=和{k=0..2n}和{j=0..k}（-1）^（n-j）二项式（2n+1，k-j）（j+1/2）^。` `我们也有` `(3)... a（n）=2a（2n，i）/（1+i）^（2n+1），` `其中i=sqrt（-1）和{A（n，x）}n>=1=[x，x+x^2，x+4x^2+x^3，…]表示欧拉多项式序列-参见A008292号等效地，` `(4)... a（n）=iSum_{k=1..2n}（-1）^（n+k）k箍筋2（2n，k）（（1+i）/2）^（k-1）` `=iSum_{k=1..2n}（-1）^（n+k）（（1+i）/2）^。` `上述a（n）或（2）的显式公式均可用于获得a（n”）的同余结果。例如，对于素数p` `（5a）。。。a（p）=1（mod p）` `（5b）。。。a（2p）=5（mod p）` `对于奇素数p` `（6a）。。。a（（p+1）/2）=（-1）^（（p-1）/2）（mod p）` `（6b）。。。a（（p-1）/2）=-1+（-1）^（（p-1/2）（mod p）。` `（结束）` `a（n）=（-1）^n2^（4n+1）（zeta（-2n，1/4）-zeta（-2-n，3/4））-格里·马滕斯2011年5月27日` a（n）可以表示为将2n的所有组成部分取为偶数部分的多项式之和（Vella 2008）：a（n）=sum_{compositions 2i_1+…+2i_k=2n}（-1）^（n+k）多项式（2n，2i_1，…，2i _k）。例如，数字6有4个组成部分为偶数，即6、4+2、2+4和2+2+2，因此a（3）=6/6! - 6个/(4!2!) - 6!/(2!4!) + 6!/(2!2!2!) = 61. Malenfant 2011给出了一个伴随公式，将A（n）表示为将2n-1的成分转化为奇数部分的多项式之和-彼得·巴拉2011年7月7日 `a（n）=M^n中的左上项，其中M是无限平方生产矩阵；M[i，j]=A000290型（i） =i^2，i>=1和1<=j<=i+1，以及M[i，j]=0，i>=1和j>=i+2（参见示例）-加里·亚当森2011年7月18日` `例如，A'（x）满足微分方程A'（x）=cos（A（x））-弗拉基米尔·克鲁奇宁2011年11月3日` `发件人彼得·巴拉2011年11月28日：（开始）` `a（n）=D^（2n）（cosh（x）），在x=0处求值，其中D是算子cosh（x）D/dx。a（n）=D^（2n-1）（f（x））在x=0时求值，其中f（x）=1+x+x^2/2！D是算子f（x）D/dx。` `其他生成函数：cosh（Integral_{t=0..x}1/cos（t））dt=1+x^2/2！+5x^4/4！+61x^6/6！+1385x^8/8！+。。。。囊性纤维变性。A012131号.` `A（x）：=弧（tan（x））=对数（秒（x）+tan（x））=x+x^3/3！+5x^5/5！+61x^7/7！+1385x^9/9！+。。。。A（x）满足A'（x）=cosh（A（x”））。` `B（x）：=序列反转（对数（秒（x）+tan（x）））=x-x^3/3！+5x^5/5！-61x^7/7！+1385x^9/9！-…=arctan（sinh（x））。B（x）满足B'（x）=cos（B（x”））。（结束）` `HANKEL变换是A097476号.PSUM转换为A173226号. -迈克尔·索莫斯2012年5月12日` `a（n+1）-a（n）=A006212美元（2n）-迈克尔·索莫斯2012年5月12日` `a（0）=1，对于n>0，a（n）=（-1）^n（（4n+1）/（2n+1”）-和{k=1..n}（4^（2k）/2k）二项式（2n，2k-1）A000367号（k）/A002445号（k））；请参阅Bucur等人的链接-L.埃德森·杰弗里2012年9月17日` `O.g.f.：求和{n>=0}（2n）/2^nx^n/产品{k=1..n}（1+k^2x）-保罗·D·汉纳2012年9月20日` `发件人谢尔盖·格拉德科夫斯基2011年10月31日至2013年10月11日：（开始）` `连续分数：` `例如：（秒（x））=1+x^2/T（0），T（k）=2（k+1）（2k+1）-x^2+x^2（2k+1）（2k+2）/T（k+1）。` `例如：2/Q（0），其中Q（k）=1+1/（1-x^2/（x^2-2（k+1）（2k+1）/Q（k+1））。` `G.f.：1/Q（0），其中Q（k）=1+xk（3k-1）-x（k+1）（2k+1）x（xk^2+1）/Q（k+1）。` `例如：（2+x^2+2U（0））/（2+（2-x^2）U（O）），其中U（k）=4k+4+1/（1+x^2/（2-xk+3）（2k+4）/U（k+1）））。` `例如：1/cos（x）=8（x^2+1）/（4x^2+8-x^4U（0）），其中U（k）=1+4（k+1）（k+2）/（2k+3-x^2（2k+3）/。` `G.f.：1/U（0），其中U（k）=1+x-x（2k+1）（2k+2）/（1-x（2k+1）（2k+2）/U（k+1））。` `G.f.：1+x/G（0），其中G（k）=1+x-x（2k+2）（2xk+3）/（1-x（2%k+2。` `设F（x）=秒（x^（1/2））=和{n>=0}a（n）x^n/（2n）！，则F（x）=2/（Q（0）+1），其中Q（k）=1-x/（2k+1）/（2xk+2）/（1-1/（1+1/Q（k+1）））。` `G.f.：Q（0），其中Q（k）=1-x（k+1）^2/（x（k+1）^2-1/Q（k+1））。` `例如：1/cos（x）=1+x^2/（2-x^2）Q（0），其中Q（k）=1-2x^2（k+1）（2k+1）/。（结束）` `a（n）=Sum_{k=1..2n}（Sum_{i=0..k-1}（i-k）^（2n）二项式（2k，i）（-1^（i+k+n））/2^（k-1）对于n>0，a（0）=1-弗拉基米尔·克鲁奇宁2012年10月5日` `似乎a（n）=3A076552号当n>=1时，（n-1）+2（-1）^n。猜想同余：对于n>=1，a（2n）==5（mod 60）；对于n>=0，a（2n+1）==1（mod 600）-彼得·巴拉2013年7月26日` `发件人彼得·巴拉2015年3月9日：（开始）` `O.g.f:求和{n>=0}1/2^n求和{k=0..n}（-1）^k二项式（n，k）/（1-sqrt（-x）（2k+1））=求和{n>=0{1/2^n求和}k=0..n}。` `O.g.f.是1+xd/dx（log（f（x））），其中f（x”）=1+x+3x^2+23x^3+371x^4+。。。是o.g.fA255881型.（结束）` `总和_（n>=1，A034947号（n） /n^（2d+1））=a（d）Pi^（2d+1）/（2^（2-d+2）-2）（2d）！对于d>=0；参见Allouche和Sondow，2015年-乔纳森·桑多2015年3月21日` `渐近展开：4（4n/（Pie））^（2n+1/2）exp（1/2+1/（24n）-1/（2880n^3）+1/（40320n^5）-…）。（请参阅Luschny链接。）-彼得·卢什尼，2015年7月14日` `a（n）=2（-1）^nIm（Li_{-2n}（i）），其中Li_n（x）是多对数，i=sqrt（-1）-弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2015年10月22日` `极限{n->infinity}（（2n）/a（n））^（1/（2n））=Pi/2-斯坦尼斯拉夫·西科拉，2016年10月7日` `O.g.f.：1/（1+x-2x/（1-2x/[（1+x-12x/-彼得·巴拉2017年11月9日` `对于n>0，a（n）=（-PolyGamma（2n，1/4）/2^-瓦茨拉夫·科特索维奇2020年5月4日` `a（n）~2^（4n+3）n^（2n+1/2）/（Pi^（2n+1/2）exp（2n））exp（和{k>=1}伯努利（k+1）/（k（k+1”）2^k*n^k））-瓦茨拉夫·科特索维奇2021年3月5日` `由于Stern（mod 4）和Knuth&Buckholtz（mod 3和5）的结果，Peter Bala对n>=1和a（2n+1）==1（mod 60）的同余猜想成立-查尔斯·R·Greathouse IV2022年3月23日`
	例子	`G.f.=1+x+5x^2+61x^3+1385x^4+50521x^5+2702765x^6+199360981x^7+。。。` `秒（x）=1+1/2x^2+5/24x^4+61/720*x^6+。。。` `发件人加里·亚当森2011年7月18日：（开始）` `矩阵M的前几行是：` `1, 1, 0, 0, 0, ...` `4，4，4，0，0。。。` `9, 9, 9, 9, 0, ...` `16, 16, 16, 16, 16, ... （结束）`
	MAPLE公司	`序列（sec（x），x，40）：序列OSERIESMULT（%）：子序列（x=sqrt（y），%）：序列列表（%）；` `#程序结束` `A000364号_列表：=proc（n）局部S，k，j；S[0]：=1；` `对于从1到n的k，做S[k]：=kS[k-1]od；` `对于k从1到n do` `对于从k到n的j do` `S[j]：=（j-k）S[j-1]+（j-k+1）S[j]od；` `seq（S[j]，j=1..n）结束：` `A000364号_列表（16）#彼得·卢什尼2012年4月2日` `A000364号：=进程（n）` `abs（欧拉（2n））；` `结束进程：#R.J.马塔尔2013年3月14日`
	数学	`采取[范围[0，32]！系数列表[系列[第[x]节，{x，0，32}]，x]，{1，32，2}](罗伯特·威尔逊v2006年4月23日）` `表[Abs[EulerE[2n]]，{n，0，30}](雷·钱德勒2007年3月20日）` `a[n_]：=如果[n<0，0，With[{m=2 n}，m！Series系数[Sec[x]，{x，0，m}]]；(迈克尔·索莫斯2013年11月22日）` `a[n_]：=如果[n<0，0，With[{m=2n+1}，m！级数系数[Inverse Gudermannian[x]，{x，0，m}]]；(迈克尔·索莫斯，2013年11月22日）` `a[n]：=总和[二项式[k，m]（-1）^（n+k）/（2^（m-1））总和[二项式[m，j]（2j-m）^；表[a[n]，{n，0，16}](Jean-François Alcover公司2019年6月26日之后弗拉基米尔·克鲁奇宁)` `a[0]：=1；a[n_]：=a[n]=-和[a[n-k]/（2k）！，{k，1，n}]；映射[（-1）^#（2#）！a[#]&，范围[0，16]](奥利弗·塞佩尔2024年5月18日）`
	黄体脂酮素	`（PARI）{a（n）=局部（CF=1+xO（x^n））；如果（n<0，返回（0），对于（k=1，n，CF=1/（1-（n-k+1）^2xCF））；返回（Vec（CF）[n+1]））}\\保罗·D·汉纳2005年10月7日` `（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，（2n）！polceoff（1/cos（x+O（x^（2n+1））），2n/迈克尔·索莫斯2002年6月18日/` `（PARI）{a（n）=my（a）；如果（n<0，0，n=2n+1；a=xO（x^n）；n！polceoff（log（1/cos（x+a）+tan（x+a）），n））}/迈克尔·索莫斯，2007年8月15日/` `（PARI）{a（n）=polceoff（和（m=0，n，（2m）！/2^mx^m/prod（k=1，m，1+k^2x+xO（x^n）），n）}\\保罗·D·汉纳2012年9月20日` `（PARI）列表（n）=我的（v=Vec（1/cos（x+O（x^（2n+1））））；向量（n，i，v[2i-1]（2i-2）！）\\查尔斯·R·Greathouse IV2012年10月16日` `（PARI）a（n）=subst（bernpol（2n+1），'x，1/4）4^（2n+1）（-1）^（n+1）/（2n+1）\\查尔斯·R·Greathouse IV2014年12月10日` `（PARI）a（n）=abs（欧拉法拉克（2n））\\查尔斯·R·Greathouse IV2022年3月23日` `（极大值）a（n）：=和（和（二项式（k，m）（-1）^（n+k）/（2^（m-1））和（二项式（m，j）（2j-m）^/弗拉基米尔·克鲁奇宁2010年8月5日/` `（极大值）a[n]：=如果n=0，则1其他和（和（（i-k）^（2n）二项式（2k，i）（-1）^；makelist（a[n]，n，0，16）\\弗拉基米尔·克鲁奇宁2012年10月5日` `（鼠尾草）` `#L.Seidel的算法（1877）` `#对于n>0，n->[a（0），a（1），…，a（n-1）]。` `定义A000364号_列表（长度）：` `R=[]；A={-1:0，0:1}；k=0；e=1` `对于（0..2len-1）中的i：` `Am=0；A[k+e]=0；e=-e` `对于（0..i）中的j：Am+=A[k]；A[k]=美国；k+=e` `如果e<0:R.append（A[-i//2]）` `返回R` `A000364号_列表（17）#彼得·卢什尼2012年3月31日` `（Python）` `从functools导入lru_cache` `从数学导入梳` `@lru_cache（最大大小=无）` `定义A000364号（n）：如果n==0 else，则返回1（如果n%2 else，返回1）总和（如果i%2 else 1，返回-1）A000364号（i）范围（n）中i的梳（2n，2i）#柴华武，2022年1月14日`
	交叉参考	`囊性纤维变性。A000111号,A000182号,A011248号,A019669号,A034947号,A060075型,A013525号,A000816号,A002436号,A000464美元,A002105号,A002439号,A079144号,A158690型.` `基本上与A028296号和A122045型.` `三角形的第一列A060074号.` `三角形的两条主对角线A060058型（作为平方和的迭代）。` `的行和的绝对值A160485型. -约翰内斯·梅耶尔2009年7月6日` `三角形的左边缘A210108型，另请参见A125053号,A076552号.参见。A255881型.` `的二等分（偶数部分）A317139型.` `序列[（-k^2）^nEuler（2n，1/k），n=0，1，…]是：A000007号（k=1），A000364号（k=2）\|A210657型\|（k=3），A000281号（k=4），A272158型（k=5），A002438号（k=6），A273031型（k=7）。` `上下文中的序列：A367385型 A096537号 A115047号A028296号 A159316型 A361556飞机` `相邻序列：A000361号 A000362号 A000363号A000365号 A000366号 A000367号`
	关键词	`非n,容易的,美好的,核心,改变`
	作者	`N.J.A.斯隆`
	扩展	`姓名错误更正人安德斯·克莱森2015年12月1日`
	状态	`经核准的`

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