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| A002439号 |
| Glaisher的T编号。
（原名M5138 N2228）
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31
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1, 23, 1681, 257543, 67637281, 27138236663, 15442193173681, 11828536957233383, 11735529528739490881, 14639678925928297567703, 22427641105413135505628881, 41393949926819051111431239623, 90592214447886493688036507587681, 231969423543894989257690172433129143
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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发件人彼得·巴拉，2021年12月18日：（开始）
Glaisher的T数出现在L函数L（X_12，s）的求值中：对于s的正偶数值，=Sum_{k>=1}X_12（k）/k^s，其中X_12=A110161号（n） 是一个非主Dirichlet字符mod 12：结果是L（X_12,2*n+2）=a（n）/（6*sqrt（3）*36^n*（2*n+1）！）*Pi^（2*n+2）。
我们做出以下推测：
1） 取序列模为整数k，得到周期除以φ（k）的最终周期序列。例如，取模50的序列开始于[1、23、31、43、31、13、31、33、31、3、31、23、31,43、31，13、31，33、31，3、31，23…]，似乎有一个长度为1的前周期和一个长度10=（1/2）*φ（50）的周期。
2） 设i>=0并定义a_i（n）=a（n+i）。然后对于每个i，高斯同余a_i（n*p^k）==a_i。
如果为true，那么对于每个i，exp的展开式（Sum_{n>=1}a_i（n）*x^n/n）具有整数系数。
3） （i）对于k=2*v_2（m）+7，a（m*n）==a（m）^n（mod 2^k），其中v_p（i）表示i的p-adic估值。
（ii）对于k=2*v_3（m）+2，a（m*n）==a（m）^n（mod 3^k）。
4） （i）对于k=v_2（m）+7，a（2*m*n）==a（n）^（2*m）（mod 2^k）
（ii）对于k=v_2（m）+7，a（（2*m+1）*n）==a（n）^（2*m+1）（mod 2^k）。
5） （i）对于k=v_3（m）+2，a（3*m*n）==a（n）^（3*m）（mod 3^k）
（ii）对于k=v_3（m）+2，a（（3*m+1）*n）==a（n）^（3*m+1）（mod 3^k）
（iii）a（（3*m+2）*n）==a（n）^（3*m+2）（mod 3^2）。
6） 对于素数p>=5，对于k=v_p（m-1）+1，a（（p-1）/2*n*m）==a（（p-1）/2*n）^m（mod p^k）。（结束）
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参考文献
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A.Fletcher、J.C.P.Miller、L.Rosenhead和L.J.Comrie，《数学表格索引》。卷。第1版和第2版，牛津大学布莱克威尔和艾迪森·韦斯利出版社，马萨诸塞州雷丁，1962年，第一卷，第76页。
J.W.L.Glaisher，数学信使。，28（1898），36-79，特别见第76页。
J.W.L.Glaisher，《关于伯努利函数》，Q.J.Pure Appl。数学。，29 (1898), 1-168.
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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G.E.Andrews、J.Jimenez-Urroz和K.Ono，某些L-函数的q-级数恒等式和值《杜克大学数学杂志》，第108卷，第3期（2001年），第395-419页。
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配方奶粉
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例如：sin（2*x）/（2*cos（3*x））=和a（n）*x^（2*n+1）/（2*n+1）！。
用偏移量1代替0:a（1）=1，a（n）=（-4）^（n-1）-Sum_{k=1..n}（-9）^k*C（2*n-1，2*k）*a（n-k）。
a（n）=-（-4）^n*3^（2n+1）*E_{2n+1}（1/6），其中E是欧拉多项式-高斯珀2001年8月8日，于2015年10月12日更正。
a（n）=（1/2）*（-1）^（n+1）*L（-2*n-1），其中L（s）是Dirichlet字符的DirichletL函数，模12:L（s。。。。查看Andrew的链接。（结束）
设I=sqrt（-1）和w=exp（2*Pi*I/6）。然后
a（n）=I/sqrt（3）*和{k=0..2*n+2}w^（n-k）*和{j=1.2*n=2}（-1）^（k-j）*二项式（2*n+2，k-j）x（2*j-1）^2*n+1）。
这个公式可以用来获得a（n）的同余。例如，对于奇数素数p，我们发现a（p-1）=1（mod p）和a（（p-1）/2）=（-1）^（（p1）/2）（mod p）。
a（n）=（-1）^n/（4*n+4）*12^（2*n+1）*和{k=1..12}X（k）*B（2*n+2，k/12），其中B（n，X）是贝努利多项式，X（n）是由X（n-彼得·巴拉2012年3月1日
设X=24*X.G.f.A（X）=1/（1+X-X/（1-2*X/（1+X-5*X/）（1-7*X/。。。，其中连分式部分分子中无符号系数的序列[1,2,5,7,12，…]是广义五边形数A001318号.
A（x）=1/（1+25*x-2*x/（1-x/（1+25*x-7*x/。
G.f.作为J分数：a（x）=1/（1-23*x-2*x^2/（1-167*x-5*7*x^2/（1-455*x-12*15*x^ 2/（1-887*x-…）））。
设B（x）=1/（1-x）*A（x/（1-x。那么B（x/24）是A079144号.（结束）
a（n）==23^n（mod（2^7）*（3^2））-彼得·巴拉2021年12月25日
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例子
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G.f.=1+23*x+1681*x ^2+257543*x ^3+67637281*x ^4+27138236663*x ^5+。。。
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MAPLE公司
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A002439号：=proc（n）选项记忆；如果n=0，则为1；else（-4）^n-加（（-9）^k*二项式（2*n+1，2*k）*procname（n-k），k=1..n+1）；结束条件：；结束进程：
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数学
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a[n]：=a[n]=（-4）^n-和[（-9）^k*二项式[2n+1，2k]*a[n-k]，{k，1，n}]；a[0]=1；表[a[n]，{n，0，11}](*Jean-François Alcover公司2011年12月5日，Maple之后*）
对于[{nn=30}，取[CoefficientList[Series[Sin[2x]/（2Cos[3x]），{x，0，nn}]，x]范围[0，nn-1]！，{2, -1, 2}]] (*哈维·P·戴尔2012年2月5日*）
a[n]：=-（-4）^n3^（1+2n）欧拉E[1+2n，1/6](*高斯珀2015年10月12日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=my（m=n+1）；如果（m<2，m>0，（-4）^（m-1）-和（k=1，m，（-9）^k*二项式（2*m-1，2*k）*a（n-k））}/*迈克尔·索莫斯1999年12月11日*/
（岩浆）m:=32；R<x>：=PowerSeriesRing（基本原理（），m）；b： =系数（R！（Sin（2*x）/（2*Cos（3*x）））；[阶乘（2*n-1）*b[2*n-1]：[1..楼层（（m-2）/2）]]中的n//G.C.格鲁贝尔2019年7月4日
（Sage）m=32；T=泰勒（sin（2*x）/（2*cos（3*x）），x，0，m）；[（0..（m-2）/2）中n的阶乘（2*n+1）*T系数（x，2*n+1]#G.C.格鲁贝尔2019年7月4日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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