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| A000464号 |
| sin x/cos 2x的展开。
（原名M4812 N2059）
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19
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1, 11, 361, 24611, 2873041, 512343611, 129570724921, 44110959165011, 19450718635716001, 10784052561125704811, 7342627959965776406281, 6023130568334172003579011, 5858598896811701995459355761, 6667317162352419006959182803611, 8776621742176931117228228227924441
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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发件人彼得·巴拉，2021年12月22日：（开始）
推测：
1） 将序列（a（n））n>=1取整数k的模，得到周期除以φ（k）的纯周期序列。例如，取模21的序列以长度为6的表观周期开始[11、4、20、10、17、1、11、4、10、17,1、17、11、14、20、10,1、…]，将φ（21）除以12。
2） 对于i>=0，定义a_i（n）=a（n+i）。然后，对于每个i，高斯同余a_i（n*p^k）==a_i，（n*p ^（k-1））（mod p^ k）对所有素数p和正整数n和k都成立。如果为真，那么对于每个i来说，exp（Sum_{n>=1}a_i。
3） 对于k=2*v2（m）+4，a（m*n）==a（m）^n（mod 2^k），其中vp（i）表示i的p-adic估值。
4） （i）对于k=v_2（m）+4，a（2*m*n）==a（n）^（2*m）（mod 2^k）
（ii）对于k=v_2（m）+4，a（2*m+1）*n）==a（n）^（2*m+1）（mod 2^k）。（结束）
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参考文献
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H.Cohen，《数论-第二卷：分析和现代工具》，数学研究生教材。斯普林格·弗拉格。
J.W.L.Glaisher，“关于cos x/cos 2x和sin x/cos 2 x展开式中的系数”，夸脱。《纯粹与应用数学杂志》。，45 (1914), 187-222.
I.J.Schwatt，简介。《系列作战》，切尔西，第278页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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G.E.Andrews、J.Jimenez-Urroz和K.Ono，某些L函数的q级数恒等式和值，杜克大学数学系。，第108卷，第3期（2001），395-419。
D.柄，广义欧拉和类数.数学。公司。21 (1967) 689-694.
D.柄，广义欧拉和类数，数学。公司。21（1967），689-694；22 (1968), 699. [带注释的扫描副本]
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公式
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例如：和{k>=0}a（k）x^（2k+1）/（2k+1）！=正弦（x）/cos（2x）。
基本超几何生成函数：
a（n）=（-1）^（n+1）*L（-2*n-1），其中L是Dirichlet L函数L（s）=1-1/3^s-1/5^s+1/7^s+-+。。。[Andrews等人，定理5]。（结束）
a（n）=（-1）^n*B_（2*n+2）（X）/。请参见A161722号B_n（X）的值。
关于广义Bernoulli数B_n（X）和相关广义Bernowli多项式B-n（X，X）的理论和性质，请参见[Cohen，第9.4]节。
本序列也出现在计算有限幂和和{i=0..m-1}{（8*i+1）^n-（8*1+3）^n--（8*i+5）^n+（8*i+7）^n}，n=1,2，…-看见A151751号了解详细信息。（结束）
G.f.1/G（0），其中G（k）=1+x-x*（4*k+3）*（4*k+4）/（1-（4*k+4）*；（连分数，2步）-谢尔盖·格拉德科夫斯基，2012年8月11日
G.f.：1/E（0），其中E（k）=1-11*x-32*x*k*（k+1）-16*x^2*（k+1）^2*-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年9月17日
a（n）~（2*n+1）！*2^（4*n+7/2）/Pi^（2*n+2）-瓦茨拉夫·科特索维奇2014年5月3日
a（n）=（-1）^n*2^（6*n+4）*（Zeta（-2*n-1,5/8）-Zeta（-2-n-1,7/8））-彼得·卢什尼2015年10月15日
G.f.A（x）=1+11*x+361*x^2+…=1/（1+x-12*x/（1-20*x/。
A（x）=1/（1+9*x-20*x/（1-12*x/。
因此，A（x）的第一个二项式变换和A（x。（结束）
a（n）=（-1）^（n+1）*4^（2*n+1）*E（2*n+1,1/4），其中E（n，x）是第n个Euler多项式。参见。A002439号. -彼得·巴拉2017年8月13日
F（x）=经验（x）*（经验（2*x）-1）/（经验（4*x）+1）=x-11*x^3/3！+361x^5/5！-24611*x^7/7！+。。。是序列[1,0，-11，0，361，0，-24611，0，…]的示例f.，是该序列的签名和充气版本。
二项式变换exp（x）*F（x）=x+2*x^2/2！-8*x^3/3！-40*x^4/4！++--是一个e.g.f.，表示签名版本的A000828号（省略首字母）。（结束）
发件人彼得·巴拉，2021年12月22日：（开始）
a（1）=1，a（n）=（-1）^（n-1）-和{k=1..n}（-4）^k*C（2*n-1,2*k）*a（n-k）。
a（n）==1（mod 10）；a（5*n+1）==0模（11）；
a（n）==-23^（n+1）（mod 108）；a（n）==（7^2）*59^n（mod 144）；
a（n）==11^n（240模）；a（n）==（11^2）*131^n（mod 360）。（结束）
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MAPLE公司
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a:=n->（-1）^n*2^（6*n+4）*（Zeta（0，-2*n-1，5/8）-Zeta（0,-2*n-1,7/8））：
seq（a（n），n=0..12）#彼得·卢什尼2015年10月15日
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数学
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对于[{nn=30}，取[CoefficientList[Series[Sin[x]/Cos[2x]，{x，0，nn}]，x]范围[0，nn-1]！，｛2，-1，2｝]](*哈维·P·戴尔2012年3月23日*）
nmax=15；km0=10；d[n，km_]：=圆[（2^（4n-1/2）（2n-1）！和[JacobiSymbol[2，2k+1]/（2k+1）^（2n），{k，0，km}]）/Pi^（2 n）]；dd[km_]：=dd[km]=表[d[n，km]，{n，1，nmax}]；日[km0]；dd[km=2*km0]；而[dd[km]！=dd[km/2，km=2*km]]；A000464号=日[km](*Jean-François Alcover公司2016年2月8日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=如果（n<0，0，n+=n+1；n！*polceoff（sin（x+x*O（x^n））/cos（2*x+x*O（x*n）），n））/*迈克尔·索莫斯2006年2月9日*/
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交叉参考
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关键字
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非n,容易的,美好的
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作者
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扩展
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更好的描述，新参考，1995年8月15日
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状态
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经核准的
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