%I M4019 N1667#491 2024年4月6日09:03:11

%第1,1,5,611385505212702765199360981193915121452404879675441页，

%电话：3703711882375256934887439313790115514534163557086905，

%电话：4087072509293123892361125259641403629865468285441543893249023104553681277519391579539289436664789665

%N Euler（或正割或“Zig”）数字：例如f.（仅限偶数幂）sec（x）=1/cos（x）。

%C逆古德曼指数gd^（-1）（x）=对数（秒（x）+tan（x））=对数_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2011年3月19日

%C a（n）是[2n]的向下向上排列数。示例：a（2）=5计数4231、4132、3241、3142、2143_David Callan，2011年11月21日

%C a（n）是顶点{0,1,2，…，2n}上增加的全二叉树的数目，其中最左边的叶子被标记为2n.-_David Callan，2011年11月21日

%C a（n）是大小为2n+1且只允许偶数度的无序递增树的数目，度权生成函数由cosh（t）给出_马库斯·库巴，2014年9月13日

%C a（n）是斜形（n+1，n，n-1，…，3,2）/（n-1，n-2，…2,1）的标准Young表数_冉盼，2015年4月10日

%C由于cos（z）在z=Pi/2处有一个根，而在C中没有其他较小的|z|根，因此f.（预期复值）的收敛半径为Pi/2=A019669（另见A028296）_Stanislav Sykora，2016年10月7日

%C所有术语都是奇数_Alois P.Heinz，2018年7月22日

%C以a（1）开头的序列是任意奇数素数p的周期模。如果p==1 mod 4，最小周期为（p-1）/2，如果p==3 mod 4[Knuth&Buckholtz，1967，定理2]_Allen Stenger，2020年8月3日

%C猜想：将序列[a（n）：n>=1]取整数k的模，得到一个周期除以φ（k）的纯周期序列。例如，取模21的序列以6=φ（21）/2的表观周期开始[1、5、19、20、20、16、2、1、20、6、16、20、2、15、19、]_彼得·巴拉（Peter Bala），2023年5月8日

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%H<a href=“/index/Cor#core”>“core”序列的索引条目</a>

%H<a href=“/index/Bo#boutrophedon”>与boutropheredon变换相关的序列的索引项</a>

%例如：求和{n>=0}a（n）*x^（2*n）/（2*n）！=秒（x）.-_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2007年8月15日

%例如：求和{n>=0}a（n）*x^（2*n+1）/（2*n+1）！=gd^（-1）（x）.-_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2007年8月15日

%例如：求和{n>=0}a（n）*x^（2*n+1）/（2*n+1）！=2*阿卡坦（cosec（x）-科坦（x））_Ralf Stephan，2004年12月16日

%F Pi/4-[Sum_{k=0..n-1}（-1）^k/（2*k+1）]~（1/2）*[Sum_{k>=0}（-1）^k*E（k）/（2*n）^（2k+1）]表示正偶数n

%此外，对于正奇数n，log（2）-Sum_{k=1..（n-1）/2}（-1）^（k-1）/k~（-1）（（n-1-_Peter Bala，2016年10月29日

%F设M_n是n×n矩阵M_n（i，j）=二项式（2*i，2*（j-1））=A086645（i，j-1）；则对于n>0，a（n）=det（M_n）；示例：det（[1,1,0,0；1,6,1,0；1/15,15,1；1,28,70,28]）=1385_菲利普·德雷厄姆，2005年9月4日

%F该序列也是（-1）^n*EulerE（2*n）或abs（EulerE*n）Paul Abbott（Paul（AT）physics.uwa.edu.au），2006年4月14日

%F a（n）=2^n*E_n（1/2），其中E_n（x）是一个欧拉多项式。

%F a（k）=a（j）（mod 2^n）当且仅当k==j（mod 2 ^n）（k和j是偶数）。[Stern；另见Wagstaff和Sun]

%F E_k（3^（k+1）+1）/4=（3^k/2）*和{j=0..2^n-1}（-1）^（j-1）*（2j+1）^k*[（3j+1）/2^n]（mod 2^n），其中k是偶数，[x]是最大的整数函数。[周日]

%F a（n）~2^（2*n+2）*（2*n）/Pi^（2*n+1）表示n->无穷大。[由_Vaclav Kotesovec_修订，2021年7月10日]

%F a（n）=和{k=0..n}A094665（n，k）*2^（n-k）.-_Philippe Deléham_，2004年6月10日

%F递归：a（n）=-（-1）^n*Sum_{i=0..n-1}（-1）^i*a（i）*二项式（2*n，2*i）。-_拉尔夫·斯蒂芬，2005年2月24日

%F.O.g.F.：1/（1-x/（1-4*x/（1~9*x/_Paul D.Hanna，2005年10月7日

%F a（n）=（积分{t=0..Pi}对数（tan（t/2）^2）^（2n）dt）/Pi^（2 n+1）.-Logan Kleinwaks（美国普林斯顿大学校友），2007年3月15日

%F From _Peter Bala，2009年3月24日：（开始）

%F基本超几何生成函数：2*exp（-t）*Sum{n>=0}Product_{k=1..n}（1-exp（-（4*k-2）*t））*exp61*t^3/3！+。。。。对于具有类似类型生成函数的其他序列，请参见A000464、A002105、A002439、A079144和A158690。

%F a（n）=2*（-1）^n*L（-2*n），其中L（s）是Dirichlet L函数L（s（s）=1-1/3^s+1/5^s-+。。。。（结束）

%F和{n>=0}a（n）*z^（2*n）/（4*n）！！=Beta（1/2-z/（2*Pi），1/2+z/（2%Pi））/Beta（1/2，1/2），Beta（z，w）为Beta函数_Johannes W.Meijer，2009年7月6日

%F a（n）=总和（总和_（二项式（k，m）*（-1）^（n+k）/（2^（m-1））*总和_（二项式（m，j）*（2*j-m）^_弗拉基米尔·克鲁奇宁（Vladimir Kruchinin），2010年8月5日

%如果n是素数，那么a（n）==1（mod 2*n）_Vladimir Shevelev，2010年9月4日

%F From _Peter Bala，2011年1月21日：（开始）

%F（1）。。。a（n）=（-1/4）^n*B（2*n，-1），

%F其中{B（n，x）}n>=1=[1，1+x，1+6*x+x^2，1+23*x+23*x2+x^3，…]是B型欧拉多项式的序列-见A060187。等效地，

%F（2）。。。a（n）=和{k=0..2*n}和{j=0..k}（-1）^（n-j）*二项式（2*n+1，k-j）*（j+1/2）^。

%F我们还有

%F（3）。。。a（n）=2*a（2*n，i）/（1+i）^（2*n+1），

%F其中i=sqrt（-1），其中{A（n，x）}n>=1=[x，x+x^2，x+4*x^2+x^3，…]表示欧拉多项式序列-参见A008292。等效地，

%F（4）。。。a（n）=i*Sum_{k=1..2*n}（-1）^（n+k）*k*箍筋2（2*n，k）*（（1+i）/2）^（k-1）

%F=i*Sum_{k=1..2*n}（-1）^（n+k）*（（1+i）/2）^。

%F上述a（n）或（2）的显式公式均可用于获得a（n”）的同余结果。例如，对于素数p

%F（5a）。。。a（p）=1（mod p）

%F（5b）。。。a（2*p）=5（mod p）

%F和奇素数p

%F（6a）。。。a（（p+1）/2）=（-1）^（（p-1）/2）（mod p）

%F（6b）。。。a（（p-1）/2）=-1+（-1）^（（p-1/2）（mod p）。

%F（结束）

%F a（n）=（-1）^n*2^（4*n+1）*（zeta（-2*n，1/4）-zeta（-2-n，3/4））_Gerry Martens，2011年5月27日

%F a（n）可以表示为将2*n的所有组成部分取为偶数部分的多项式之和（Vella 2008）：a（n）=sum_{compositions 2*i_1+…+2*i_k=2*n}（-1）^（n+k）*多项式（2*n，2*i_1，…，2*i _k）。例如，数字6有4个组成部分为偶数，即6、4+2、2+4和2+2+2，因此a（3）=6/6! - 6!/(4!*2!) - 6!/(2!*4!) + 6!/(2!*2!*2!) = 61. Malenfant 2011给出了一个将A（n）表示为将2*n-1的组成取为奇数部分的多项式之和的伴随公式_Peter Bala，2011年7月7日

%F a（n）=M^n中的左上项，其中M是无限平方生产矩阵；M[i，j]=A000290（i）=i^2，i>=1和1<=j<=i+1，并且M[i、j]=0，i>=1和j>=i+2（参见示例）_Gary W.Adamson，2011年7月18日

%F例如，A'（x）满足微分方程A'（x）=cos（A（x））。-_弗拉基米尔·克鲁奇宁（Vladimir Kruchinin），2011年11月3日

%F From _Peter Bala，2011年11月28日：（开始）

%F a（n）=D^（2*n）（cosh（x）），在x=0时计算，其中D是算子cosh（x）*D/dx。a（n）=D^（2*n-1）（f（x））在x=0时求值，其中f（x）=1+x+x^2/2！D是算子f（x）*D/dx。

%F其他生成函数：cosh（Integral_{t=0..x}1/cos（t））dt=1+x^2/2！+5*x^4/4！+61*x^6/6！+1385*x^8/8！+。。。。参见A012131。

%F A（x）：=弧（tan（x））=对数（秒（x）+tan（x））=x+x^3/3！+5*x^5/5！+61*x^7/7！+1385*x^9/9！+。。。。A（x）满足A'（x）=cosh（A（x”））。

%F B（x）：=序列反转（对数（秒（x）+tan（x）））=x-x^3/3！+5*x^5/5！-61*x^7/7！+1385*x^9/9！-…=arctan（sinh（x））。B（x）满足B’（x）＝cos（B（x））。（结束）

%F HANKEL转换为A097476。PSUM转换为A173226_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2012年5月12日

%F a（n+1）-a（n）=A006212（2*n）_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2012年5月12日

%F a（0）=1，当n>0时，a（n）=（-1）^n*（（4*n+1）/（2*n+1）-和{k=1..n}（4^（2*k）/2*k）*二项式（2*n，2*k-1）*A000367（k）/A002445（k））；请参阅Bucur等人的链接。-_L.Edson Jeffery，2012年9月17日

%F.O.g.F.：求和{n>=0}（2*n）/2^n*x^n/产品{k=1..n}（1+k^2*x）_Paul D.Hanna，2012年9月20日

%F From _Sergei N.Gladkovskii，2011年10月31日至2013年10月11日：（开始）

%F连分数：

%F例如：（秒（x））=1+x^2/T（0），T（k）=2（k+1）（2k+1）-x^2+x^2*（2k+1）（2k+2）/T（k/1）。

%F例如：2/Q（0），其中Q（k）=1+1/（1-x^2/（x^2-2*（k+1）*（2*k+1）/Q（k+1）））。

%F G.F.：1/Q（0），其中Q（k）=1+x*k*（3*k-1）-x*（k+1）*（2*k+1）x（x*k^2+1）/Q（k+1）。

%例如：（2+x^2+2*U（0））/（2+（2-x^2）*U（O）），其中U（k）=4*k+4+1/（1+x^2/（2-x^2+（2*k+3）*（2*k+4）/U（k+1）））。

%例如：1/cos（x）=8*（x^2+1）/（4*x^2+8-x^4*U（0）），其中U（k）=1+4*（k+1）*（k+2）/（2*k+3-x^2*（2*k+3）/。

%F G.F.：1/U（0），其中U（k）=1+x-x*（2*k+1）*（2xk+2）/（1-x*（2%k+1）x（2*k+2）/U（k+1））。

%F G.F.：1+x/G（0），其中G（k）=1+x-x*（2*k+2）*（2xk+3）/（1-x*（2%k+2。

%F设F（x）=秒（x^（1/2））=和{n>=0}a（n）*x^n/（2*n）！，则F（x）=2/（Q（0）+1），其中Q（k）=1-x/（2*k+1）/（2xk+2）/（1-1/（1+1/Q（k+1）））。

%F G.F.：Q（0），其中Q（k）=1-x*（k+1）^2/（x*（k+1）^2-1/Q（k+1））。

%例如：1/cos（x）=1+x^2/（2-x^2）*Q（0），其中Q（k）=1-2*x^2*（k+1）*（2*k+1）/。（结束）

%F a（n）=和{k=1..2*n}（和{i=0..k-1}（i-k）^（2*n）*二项式（2*k，i）*（-1）^_Vladimir Kruchinin，2012年10月5日

%F对于n>=1，似乎a（n）=3*A076552（n-1）+2*（-1）^n。猜想同余：对于n>=1，a（2*n）==5（mod 60）；对于n>=0，a（2*n+1）==1（mod 60.-_Peter Bala，2013年7月26日

%F From _Peter Bala，2015年3月9日：（开始）

%F O.g.F:求和{n>=0}1/2^n*求和{k=0..n}（-1）^k*二项式（n，k）/（1-sqrt（-x）*（2*k+1））=求和{n>=0{1/2^n*求和}k=0..n}（-1）^k*2）。

%F O.g.F.是1+x*d/dx（log（F（x））），其中F（x”）=1+x+3*x^2+23*x^3+371*x^4+。。。是A255881的o.g.f。（结束）

%F总和_（n>=1，A034947（n）/n^（2d+1））=a（d）*Pi^（2d+1）/（2^（2-d+2）-2）（2d）！对于d>=0；见Allouche和Sondow，2015年_Jonathan Sondow，2015年3月21日

%F渐近展开式：4*（4*n/（Pi*e））^（2*n+1/2）*exp（1/2+1/（24*n）-1/（2880*n^3）+1/（40320*n^5）-…）。（参见Luschny链接。）-Peter Luschny_，2015年7月14日

%Fa（n）=2*（-1）^n*Im（Li_{-2n}（i）），其中Li_n（x）是多对数，i=sqrt（-1）。-_Vladimir Reshetnikov，2015年10月22日

%F极限{n->infinity}（（2*n）/a（n））^（1/（2*n））=Pi/2.-_Stanislav Sykora，2016年10月7日

%F.O.g.F.：1/（1+x-2*x/（1-2*x/[1+x-12*x/_Peter Bala_，2017年11月9日

%F对于n>0，a（n）=（-PolyGamma（2*n，1/4）/2^（2*1）-（2^（2*n+2）-2）*Gamma_Vaclav Kotesovec_，2020年5月4日

%F a（n）~2^（4*n+3）*n^（2*n+1/2）/（Pi^（2*n+1/2）*exp_瓦茨拉夫·科特索维奇，2021年3月5日

%由于Stern（mod 4）和Knuth&Buckholtz（mod 3和5）的结果，F Peter Bala对n>=1和a（2n+1）==1（mod 60）的同余猜想成立_Charles R Greathouse IV，2022年3月23日

%总资产=1+x+5*x^2+61*x^3+1385*x^4+50521*x^5+2702765*x^6+199360981*x*7+。。。

%e秒（x）=1+1/2*x^2+5/24*x^4+61/720*x^6+。。。

%e来自_加里·W·亚当森，2011年7月18日：（开始）

%e矩阵M的前几行是：

%e 1，1，0，0。。。

%e 4、4、4，0、0。。。

%e 9、9、9，9、0。。。

%e 16、16、16，16、16。。。（结束）

%p序列（sec（x），x，40）：序列OSERIESMULT（%）：子序列（x=sqrt（y），%）：序列列表（%）；

%p#程序结束

%p A000364_list:=进程（n）局部S，k，j；S[0]：=1；

%对于从1到n的k，p表示S[k]：=k*S[k-1]od；

%p代表k从1到n do

%p代表j从k到n do

%p S[j]：=（j-k）*S[j-1]+（j-k+1）*S[j]od；

%p seq（S[j]，j=1..n）结束：

%p A000364_列表（16）；#_Peter Luschny_，2012年4月2日

%p A000364：=程序（n）

%p abs（欧拉（2*n））；

%结束程序：#_R.J.Mathar_，2013年3月14日

%t拍摄[范围[0，32]！*系数列表[系列[Sec[x]，｛x，0，32｝]，x]，｛1，32，2｝]（*RobertG.Wilson v_，2006年4月23日*）

%t表[Abs[EulerE[2n]]，｛n，0，30｝]（*_Ray Chandler_，2007年3月20日*）

%t a[n]：=如果[n<0，0，With[｛m=2 n｝，m！序列系数[Sec[x]，｛x，0，m｝]]；（*迈克尔·索莫斯，2013年11月22日*）

%t a[n_]：=如果[n<0，0，With[{m=2 n+1}，m！Series系数[Inverse Gudermannian[x]，{x，0，m}]]；（*迈克尔·索莫斯，2013年11月22日*）

%t a[n_]：=总和[二项式[k，m]（-1）^（n+k）/（2^（m-1））总和[二项式[m，j]*（2j-m）^；表[a[n]，{n，0，16}]（*_Jean-François Alcover_，2019年6月26日，在_Vladimir Kruchinin_*之后）

%o（PARI）{a（n）=本地（CF=1+x*o（x^n））；如果（n<0，返回（0），对于（k=1，n，CF=1/（1-（n-k+1）^2*x*CF））；返回（Vec（CF）[n+1]））}\\保罗·D·汉纳_ 2005年10月7日

%o（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，（2*n）！*polcoeff（1/cos（x+o（x^（2*n+1）））}；/*_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2002年6月18日*/

%o（PARI）{a（n）=我的（a）；如果（n<0，0，n=2*n+1；a=x*o（x^n）；n！*polceoff（log（1/cos（x+a）+tan（x+a）），n））}；/*_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2007年8月15日*/

%o（PARI）{a（n）=polcoeff（总和（m=0，n，（2*m）！/2^m*x^m/prod（k=1，m，1+k^2*x+x*o（x^n）），n）}\\_Paul D.Hanna，2012年9月20日

%o（PARI）列表（n）=我的（v=Vec（1/cos（x+o（x^（2*n+1））））；向量（n，i，v[2*i-1]*（2*i-2）！）\\_Charles R Greathouse IV，2012年10月16日

%o（PARI）a（n）=subst（bernpol（2*n+1），'x，1/4）*4^（2*n+1）*（-1）^（n+1）/（2*n+1）\\查尔斯·格里塔斯IV，2014年12月10日

%o（PARI）a（n）=abs（eulefrac（2*n））\\查尔斯·R·格里特豪斯四世，2022年3月23日

%o（极大值）a（n）：=总和（总和（二项式（k，m）*（-1）^（n+k）/（2^（m-1））*总和（二项式（m，j）*（2*j-m）^_弗拉基米尔·克鲁奇宁（Vladimir Kruchinin），2010年8月5日*/

%o（极大值）a[n]：=如果n=0，则1其他和（和（（i-k）^（2*n）*二项式（2*k，i）*（-1）^；makelist（a[n]，n，0，16）；\\_Vladimir Kruchinin，2012年10月5日

%o（鼠尾草）

%o#L.Seidel算法（1877）

%o#n->[a（0），a（1），…，a（n-1）]表示n>0。

%o定义A000364_list（长度）：

%o R=[]；A={-1:0，0:1}；k=0；e=1

%o对于（0..2*len-1）中的i：

%o Am=0；A[k+e]=0；e=-e

%o对于（0..i）中的j：Am+=A[k]；A[k]=美国；k+=e

%o如果e<0:R.append（A[-i//2]）

%o返回R

%o A0000364_list（17）#_Peter Luschny_，2012年3月31日

%o（Python）

%o从functools导入lru_cache

%o来自数学导入梳

%o@lru_cache（maxsize=无）

%o def A000364（n）：如果n==0 else（1 if n%2 else-1）*总和（（-1 if i%2 else 1）*A000364

%Y参见A000111、A000182、A011248、A019669、A034947、A060075、A013525、A000816、A002436、A000464、A002105、A00243、A079144、A158690。

%Y与A028296和A122045基本相同。

%Y三角形A060074的第一列。

%Y三角形A060058的两条主对角线（作为平方和的迭代）。

%Y A160485行和的绝对值。-_Johannes W.Meijer_，2009年7月6日

%Y三角形A210108的左边缘，另请参见A125053、A076552。参见A255881。

%A317139的Y等分（偶数部分）。

%Y序列[（-k^2）^n*Euler（2*n，1/k），n=0，1，…]是：A000007（k=1），A000364（k=2），|A210657|（k=3），AO00281（k=4），A272158（k=5），A002438（k=6），A273031（k=7）。

%K nonn，简单，漂亮，核心，改变了

%0、3

%A _N.J.A.斯隆_

%2015年12月1日，安德斯·克莱森更正了E拼写错误