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欧拉数

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欧拉数，也称为正割数或zig数字，是为定义的|x |<pi/2通过

秒x-1=-（E_1^*x^2）/（2！）+（E_2^*x*4）/（4！）-（E_3^*x|6）/（6！）+。。。
（1）
秒-1=（E_1^*x^2）/（2！）+（E_2^*x*4）/（4！）+。。。，
（2）

哪里秒（z）是双曲正割sec是割线.欧拉数给出了古怪的 交替排列和相关Genocchi数.底座e（电子）的自然的对数有时称为欧拉数。

不同种类的欧拉数有限复形 K（K）,由定义

chi（K）=sum（-1）^恶作剧（C_p（K））。
(3)

这个欧拉数是一个拓扑不变量。

为了进一步混淆问题欧拉特性有时也称为“欧拉数”和由素数生成多项式 n^2-n+41有时被称为“欧拉数”（弗兰纳里和弗兰纳里2000，第47页）。在这项工作中，多项式产生的素数被称为欧拉素数和素数Euler是条款欧拉数素数.

（正割）Euler数的一些值为

E_1（E_1）^*=1
(4)
E_2（E_2）^*=5
(5)
电子3^*=61
(6)
E_4（E_4）^*=1385
(7)
E_5（E_5）^*=50521
(8)
E_6（E_6）^*=2702765
(9)
E_7（E_7）^*=199360981
(10)
E_8（E_8）^*=19391512145
(11)
E_9（E_9）^*=2404879675441
(12)
E_（10）^*=370371188237525
(13)
E_（11）^*=69348874393137901
(14)
E_（12）^*=15514534163557086905
(15)

（组织环境信息系统A000364号).

以下定义的稍有不同的约定

E_（2n）=（-1）^nE_n^*
（16）
E_（2n+1）=0
(17)

经常使用。例如，这些是由Wolfram语言功能欧洲[n个].此定义具有特别简单的序列定义

秒x=总和_（k=0）^infty（E_kx^k）/（k！）
(18)

并且相当于

E_n=2^nE_n（1/2），
(19)

哪里E_n（x）是一个欧拉多项式.

中的小数位数E_n（_n）对于n=0，2，4。。。是1、1、1，2、4、5、7、9、11、13、15、17。。。（组织环境信息系统A047893号). 十进制位数在里面E_（10^n）对于n=0, 1, ... 是1、5、139、2372、33699。。。（组织环境信息系统A103235号).

欧拉数具有渐近级数

E_（2n）～（-1）^n8sqrt（n/pi）（（4n）/（饼图））^（2n）。
(20)

下面给出了一个更有效的渐近级数

E_（2n）～（-1）^n8sqrt（n/pi）（（4n）/（饼图）（480n^2+9）/（480n*2-1））^（2n）
(21)

（P.Luschny，pers.comm.，2007年）。

扩大（E-i）^n即使如此n个给出了身份

（E-i）^n={0表示n偶数；-iT_（（n+1）/2）表示n奇数。
(22)

其中系数电子^n被解释为|E_n（_n）|（Ely 1882；Fort 1948；Trott 2004，p.69）和T_n（_n）是一个切线数.

斯特恩（1875）表明

E_k=E_l（模2^n）
(23)

若（iff） k=l（模块2^n）西尔维斯特之前曾说过这一结果1861年，但没有证据。

Shanks（1968）通过以下公式定义了欧拉数的泛化

c（a，n）=（2n）！L_a（2n+1））/（sqrt（a））（（2a）/pi）^（2n+1）。
(24)

在这里，

c_（1，n）=1/2（-1）^nE_（2n），
(25)

和c（2，n）是（2n）！乘以系数x^（2n）在系列扩展中cosx/cos（2x）。类似的表达式适用于c（3，n）但奇怪的是，不是因为c（a，n）具有a> =4。下表给出了的前几个值c（a，n）对于n=0, 1, ....

一OEIS公司c（a，n）
1A000364号1，1，5，61。。。
2A000281号1, 3, 57, 2763, ...
三A000436号1,8, 352, 38528, ...
4A000490号1, 16, 1280, 249856,...
5A000187号2, 30, 3522, 1066590, ...
6A000192号2,46, 7970, 3487246, ...
7A064068号1, 64, 15872, 9493504,...
8A064069号2, 96, 29184, 22634496, ...
9A064070型2,126, 49410, 48649086, ...
10A064071号2, 158, 79042, 96448478,...

另请参阅

伯努利数,欧拉特征,欧拉数质数,欧拉底漆,欧拉数,欧拉多项式的,欧拉Z字形数,杰诺其编号,整数序列素数,Lefschetz数,初级发电多项式的,切线数

相关Wolfram站点

http://functions.wolfram.com/IntegerFunctions/EulerE/

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工具书类

M.Abramowitz和I.A.Stegun。（编辑）。“伯努利多项式和欧拉多项式以及欧拉-马克拉林公式”手册《数学函数与公式、图形和数学表》，第9次印刷。纽约：多佛，第804-8061972页。Caldwell，C.“前20名：欧拉不规则。"http://primes.utm.edu/top20/page.php？id=25.康威，J.H。和Guy，R.K。在这个《数字书》。纽约：Springer-Verlag，第110-111页，1996年。伊利，通用标准。“关于伯努利数和欧拉数的一些注记。”阿默尔。数学杂志。 5第337-341页，1882页。T·福特。有限实域中的差分和差分方程。英国牛津：克拉伦登出版社，1948年。弗兰纳里S.和弗兰纳里D。在代码：数学之旅。伦敦：Profile Books，第47页，2000年。家伙，R.K.公司。“欧拉数”§B45未解决数论问题，第二版。纽约：Springer-Verlag，第101页，1994豪斯，M。Verallgemeinerte公司斯特林、伯努利和尤勒·扎伦、德伦·安文登根和施奈尔·康弗根特·莱亨福尔泽塔·芬克蒂翁。德国亚琛：Verlag Shaker，1995年。克努特，D.E.博士。和Buckholtz，T.J。“切线、Euler和Bernoulli的计算数字。"数学。计算。 21, 663-688, 1967.Munkres，J.R.公司。元素代数拓扑。纽约：珀尔修斯出版社。，第124页，1993年。柄，D.“广义欧拉和类号”数学。计算。 21,689-694, 1967.Shanks，D.“广义欧拉和类别编号。"数学。计算。 22，1968年第699页。斯隆，新泽西州。答：。序列A000364号/M4019，A014547号,A047893号,A092823号,A103234号,和A103235号在线百科全书整数序列的。"Spanier，J.和Oldham，K.B。“欧拉数，E_n（_n）."通道5英寸安功能地图集。华盛顿特区：《半球》，第39-421987页。斯特恩，文学硕士。“Euler Schen Zahlen的Zur理论”J.reine angew。数学。 79,67-98, 1875.特罗特，M。这个编程数学指南。纽约：Springer-Verlag，2004年。http://www.mathematicaguidebooks.org/.年轻，体育。“伯努利数、欧拉数和斯特林数的同余。”J。编号Th。 78, 204-227, 1999.

参考Wolfram | Alpha

欧拉数

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“欧拉数”来自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/EulerNumber.html

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