用户：Peter Luschny/SetPartitions

设置分区和
铃声号码。

集合分区已经研究了很长时间。请注意，这些符号（称为Genji-Kósymbols）被用作Murasaki仿制品封底设计的一部分19世纪。它们代表固定分区。下面将给出这些符号在现代符号中的确切数学含义。

关键词：设置分区、使用单粒子集分区设置分区、多粒子集分区、，贝尔数，广义贝尔数，第二类斯特灵数，中央皮尔士数，双枚举，根基-科符号。

与序列有关： A000012号,A000110号,A000262号,A000296号,A002720型,A003709号,A003712号,A003724号,A005046号,A005493号,A006505号,A007837号,A008277号,A008299号,A011965型,A011966号,A011967号,A011968号,A011969号,A011970型,A020556号,A024429号,A024430号,A033452号,A038041号,A057814号,A057837号,A059385号,A059386号,A069223号,A069948号,A071379美元,A080510号,A090209号,A090210型,A094577号,A097147号,A131632型,A178979号,A182924号,A182925号,A182930号,A182932号,A182933号。

集合分区的四种风格

让我们先看看{1,2，…，n}的集合分区数，其中|k|是最小的块，1=n，1=k=n。这个三角形开始于：

n\k（不可用）	1	2	三	4	5	6	7	8	9
1	1
2	1	0
三	2	1	1
4	5	三	2	1
5	15	10	7	5	4
6	52	37	27	20	15	11
7	203	151	114	87	67	52	41
8	877	674	523	409	322	255	203	162
9	4140	3263	2589	2066	1657	1335	1080	877	715

计数的集合分区为：

n\k（不可用）	1	2	三	4	5
1	1
2	1|2	-
三	1|23 1|2|3	2|13	3|12
4	1|234 1 | 2 | 34 1|3|24 1|4|23 1|2|3|4	2|134 2|3|14 2|4|13	3|124 3|4|12	4|123
5	1|2345 1|2|345 1|3|245 1|4|235 1|5|234 1|23|45 1 | 24 | 35 1|25|34 1|2|3|45 1|2|4|35 1|2|5|34 1|3|4|25 1|3|5|24 1|4|5|23 1|2|3|4|5	2|1345 2|3|145 2|4|135 2|5|134 2|13|45 2|14|35 2 | 15 | 34 2|3|4|15 2|3|5|14 2|4|5|13	3|1245 3|4|125 3|5|124 3 | 12 | 45 3|14|25 3|15|24 3|4|5|12	4|1235 4|5|123 4|12|35 4|13|25 4|15|23	5|1234 5|12|34 5|13|24 5|14|23

虽然这是枚举和计算集合分区的基本且自然的方法，但漂亮的三角形不在OEIS的数据库中。太神了。（编辑：现在是182930英镑.)

我也没有在其他地方看到上述描述。所以这可能很难计算？不，情况并非如此：

T:=proc（n，k）选项记忆；如果n=1，则为1elif n=k，则T（n-1,1）-T（n-1，n-1）否则T（n-1，k）+T（n，k+1）fi结束：

然而，不需要太多时间就可以意识到上述枚举并没有列出所有集合分区。以下是缺失的部分：

n个
1	-
2	12
三	123
4	1234, 12|34, 13|24, 14|23
5	12345, 12|345, 13|245, 14|235, 15|234, 23|145, 24|135, 25|134, 34|125, 35|124, 45|123

有一种很好的方法可以显示这两组集合分区，这两组集合分区一起使用Genji-Kô符号生成完整的集合分区。对于n=5的情况：

从这两张图片中我们可以直观地读出它们的定义：在第一张图片中，每个符号都至少有一个自由列（自由表示列之间没有任何连接列）。第二张图片显示了这个集合的补充：一个符号的每一列至少与另一列相连。

这里需要一些术语：我们将使用空闲列调用集合分区具有单态的分区（Ps）和那些只有连接柱的多子分区（Pm）因此集合分区是具有单子分区和多子分区的分区的不相交并集（或直接和）。

计算符号得出11+41=52。这种关系继续下去：41+162=203；162 + 715 = 877; 等。一般情况如下表所示。

序列\n		0	1	2	三	4	5	6	7	8	9	10
	P（n）	0	1	1	4	11	41	162	715	3425	17722	98253
A000296号	Pm（n）	1	0	1	1	4	11	41	162	715	3425	17722
A000110号	P（n）	1	1	2	5	15	52	203	877	4140	21147	115975

我们观察到两个身份：
（1） 卡（P（n））=卡（P
（2） 卡（Pm（n））=卡（Ps（n-1））（n≥1）

带有单子和多子分区的分区描述了第一对集合划分研究中的重要属性。第二对也可以很容易地从源氏符号表中识别：交叉和非交叉分区。例如12|345是非交叉分区，13|245是交叉分区分区（见上图）。正式定义如下：

给定集合[n]的分区p，p中的交叉是四个整数[a，b，c，d]1≤a<b<c<d≤n，其中a、c在一个块中在一起，b、d在一起在不同的块中。交叉分区就是有交叉的分区，非交叉分区就是没有交叉的分区。

序列\n		0	1	2	三	4	5	6	7	8	9	10
A016098型	Pc（n）	0	0	0	0	1	10	71	448	2710	16285	99179
A000108号	Pn（n）	1	1	2	5	14	42	132	429	1430	4862	16796
A000110号	P（n）	1	1	2	5	15	52	203	877	4140	21147	115975

分区阵列

Peirce-Bell-Aitken数组

A123346号,A011971号下表为三角形{1,2，…，n}的集合分区数，其中|k|是最小的块在本页开头给出，显示为方形数组。有一个小但是这个数组和两个Peirce-Bell-Aitken之间的显著差异 数据库中给出的方形数组：它在左边有一列手侧。

	A000296号	A000110号	A011968号	A011969号	A011970型	-	-
A000110号	1	1	2	5	15	52	203
A005493号	0	1	三	10	37	151	674
A011965美元	1	2	7	27	114	523	2589
A011966号	1	5	20	87	409	2066	11155
A011967号	4	15	67	322	1657	9089	52922
-	11	52	255	1335	7432	43833	272947

广义Peirce-Bell-Aitken阵列

最后一节中的观察结果表明，皮尔斯-贝尔-艾特肯方阵可以扩展以一种自然的方式，左手边可以被推得更远。该数组可以扩展到k的所有负指数，保持基本构造规则：

${\显示样式T（n，k）=T（n、k-1）+T（n+1、k-1$

n\k（不可用）	−5	−4	−3	−2	−1	潜水钟 0	1	2	三	4	5
0	1	1	1	1	1	1	2	5	15	52	203
1	0	0	0	0	0	1	三	10	37	151	674
2	0	0	0	0	1	2	7	27	114	523	2589
三	0	0	0	1	1	5	20	87	409	2066	11155
4	0	0	1	0	4	15	67	322	1657	9089	52922
5	0	1	−1	4	11	52	255	1335	7432	43833	272947
6	1	−2	5	7	41	203	1080	6097	36401	229114	1515903
7	−3	7	2	34	162	877	5017	30304	192713	1286789	8999244
8	10	−5	32	128	715	4140	25287	162409	1094076	7712455	56767747

这里是如何计算这个数组的：

gPBA:=proc（k，n）局部i；加法（（-1）^（i+n）*二项式（n，i）*组合[bell]（k+i+1），i=0..n）结束：seq（打印（[n]，seq（gPBA（k，n），k=-5..5）），n=0..8）；

中心对角线（0,0）、（1,1）、（2,2），。。。是皮尔士的数字吗A094577号。

所有n，k整数对的新（？）分区数组

下一个问题是：我们是否也可以将PBA数组扩展到n的负指数？以下是我的两个明显建议：

n\k（不可用）	−5	−4	−3	−2	−1	潜水钟 0	1	2	三	4	5
−5	−80	−34	−12	−3	0	1	2	4	8	16	32
−4	46	22	9	三	1	1	2	4	8	16	32
−3	−24	−13	−6	−2	0	1	2	4	8	16	33
−2	11	7	4	2	1	1	2	4	8	17	41
−1	−4	−3	−2	−1	0	1	2	4	9	24	76
0	1	1	1	1	1	1	2	5	15	52	203
1	0	0	0	0	0	1	三	10	37	151	674
2	0	0	0	0	1	2	7	27	114	523	2589
三	0	0	0	1	1	5	20	87	409	2066	11155
n\k（不可用）	−5	−4	−3	−2	−1	潜水钟 0	1	2	三	4	5
−5	−74	−19	11	28	40	52	67	87	114	151	203
−4	55	30	17	12	12	15	20	27	37	52	76
−3	−25	−13	−5	0	三	5	7	10	15	24	42
−2	12	8	5	三	2	2	三	5	9	18	42
−1	−4	−3	−2	−1	0	1	2	4	9	24	76
0	1	1	1	1	1	1	2	5	15	52	203
1	0	0	0	0	0	1	三	10	37	151	674
2	0	0	0	0	1	2	7	27	114	523	2589
三	0	0	0	1	1	5	20	87	409	2066	11155

在这两种情况下，下矩形（n≥0）与广义PBA阵列。在第一种情况下，Bell（−n）← n>0时为1；在第二种情况下潜水钟（−n）← 当n>0时，贝尔（n）。基本构造规则T（n，k）=T（n、k-1）+T（n+1，k-1）对于这两种变体仍然有效；B（−2）的值迫使阵列分开。

第二个数组可能被调用贝利斯贝利斯as（0,0）将Bell数序列辐射四次。

通过设置Bell（−n）获得第三个变量← n>0时为0。

n\k（不可用）	−5	−4	−3	−2	−1	潜水钟 0	1	2	三	4	5
−5	−126	−56	−21	−6	−1	0	0	0	0	0	1
−4	70	35	15	5	1	0	0	0	0	1	6
−3	−35	−20	−10	−4	−1	0	0	0	1	5	17
−2	15	10	6	三	1	0	0	1	4	12	35
−1	−5	−4	−3	−2	−1	0	1	三	8	23	75
0	1	1	1	1	1	1	2	5	15	52	203
1	0	0	0	0	0	1	三	10	37	151	674
2	0	0	0	0	1	2	7	27	114	523	2589
三	0	0	0	1	1	5	20	87	409	2066	11155

考虑从（2,0），（1,1），..开始的对角线。。 :2, 3, 5, 8, 12, 17, 23, 30, ..这些数字有很好的解释，这是一只n大小的大眼在围棋游戏中给予的自由数，正如安德烈·恩格斯在年所说A089071号。

接下来考虑从（0,0），（-1，-1），…开始的对角线。。 :1、-1、3、-10、35、-126、462、。。其绝对值是所有根中的叶子总数n条边的有序树（Michael Somos’A088218号)，或数量将n有序划分为n个部分（Vladeta Jovovic），或中心数Reinhard Zumkeller的A110555号; 事实上，左上角的三角形是A110555号作为三角形数组，进行索引转换。

另请注意A011968号,A011969号,A011970型, 分别是从（-1,1）、（-2,2）和（-3,3）开始的列。

铃声号码

接下来，让我们仔细看看三角形成员之间的相互关系。设B（n）=卡（P（n））表示贝尔数，C（n，k）表示二项式系数。进一步定义

U（n）：=总和{k=0..n}C（n，k）B（k）。S（n）：=总和{k=0..n}C（n，k）B（k）（-1）^（n-k）；A（n，k）：=总和{i=0..k}C（k，i）B（n-i）（-1）^i；

那么，对于n=0，n=k=0：

[T1]T（n+2.1）=U（n）（0=n）[T2]T（n+1，n+1）=S（n）（0=n）[T3]T（n+1,1）=B（n）（0=n）[T4]T（n+1，k+1）=A（n，k）（0=n，0=k=n）

根据这些身份

[T5]B（n+1）=U（n）（0=n）[T6]B（n）=S（n）+S（n+1）（0=n）

身份[T5]似乎首先由伯恩斯坦和斯隆证明。

{1,2，…，n}的分区数，其中|m|是某些1≤m≤k的最小块，是T（n，k）的部分行和。

11, 12, 3, 45, 8, 10, 1115, 25, 32, 37, 4152, 89, 116, 136, 151, 162203, 354, 468, 555, 622, 674, 715877, 1551, 2074, 2483, 2805, 3060, 3263, 3425

最小块既不是|1|也不是|n|的{1,2，…，n}的分区数是A033452号（n） 、和等于A005493号（n） Floor en Lyanne van Lamoen的评论得出的Bell（n+1），等于Vladeta Jovovic的评论得出的Bell（n+2）-2Bell（n+1）。

更一般地，考虑最小块既不是|k|也不是|n|，1≤k≤n的{1,2，…，n}的分区数。它们连接、推广并给出了A033452号和A005493号。

在左边对角线下方的三角形中A033452号（移位n→ n+2）和右边的对角线A005493号（移位n→ n+1）。

00, 11, 2, 35, 7, 8, 1022, 27, 30, 32, 3799, 114, 124, 131, 136, 151471, 523, 560, 587, 607, 622, 6742386, 2589, 2740, 2854, 2941, 3008, 3060, 3263

广义贝尔数

迭代贝尔数

A144150型方阵A（n，k），n≥0，k≥0，其中k列的g.f.为1+g^（k+1）（x），g=x→ 经验（x）-1。贝尔1938年研究。具有n片叶子的（k+1）级标记根树的数量。

	A000012号	A000110号	A000258号	A000307号	A000357号	A000405号	A001669号	A081624号	A081629号
A000012号	1	1	1	1	1	1	1	1	1
A000012号	1	1	1	1	1	1	1	1	1
A000027号	1	2	三	4	5	6	7	8	9
A000326号	1	5	12	22	35	51	70	92	117
A005945号	1	15	60	154	315	561	910	1380	1989
	1	52	358	1304	3455	7556	14532	25488	41709

#来自Alois P.Heinz，A144150型:g:=程序（p）局部b；b:=proc（n）选项记忆；局部k；`如果`（n=0,1，加上（二项式（n-1，k-1）*p（k）*b（n-k），k=1..n））结束端：A144150型：=（n，k）->（g@@k）（1）（n）；seq（打印（seq(144150英镑（n，k），k=0..8），n=0..5）；

指数

A189233号方阵A（n，k），n≥0，k≥0，其中k列的f.为exp（k*（e^x-1））。贝尔于1934年研究。

expnums:=proc（k，n）选项记忆；局部j`如果`（n=0,1，（1+add（二项式（n-1，j-1）*expnums（k，n-j），j=1..n-1））*k）结束：扩展名（-1，n）=1，-1，0，1，1，-2，-9，-9、50、267经验（1，n）=1，1，2，5，15，52，203，877，4140，21147

更一般的情况是，k=-7。。。0

n\k（不可用）		0	-1	-2	-3	-4	-5	-6	-7
		A000007号	A000587号	A000000元	A000000元	A000000元	A000000元	A000000元	A000000元
0	A000012号	1	1	1	1	1	1	1	1
1	A001489号	0	-1	-2	-3	-4	-5	-6	-7
2	A002378号	0	0	2	6	12	20	30	42
三	A000000元	0	1	2	-3	-20	-55	-114	-203
4	A000000元	0	1	-6	-21	-20	45	246	679
5	A000000元	0	-2	-14	24	172	370	318	-644个

…对于k=0。。。7:

n\k（不可用）		0	1	2	三	4	5	6	7
		A000007号	A000110号	A001861号	A027710号	A078944号	A144180号	A144223号	A144263号
0	A000012号	1	1	1	1	1	1	1	1
1	A001477号	0	1	2	三	4	5	6	7
2	A002378号	0	2	6	12	20	30	42	56
三	A033445号	0	5	22	57	116	205	330	497
4	A000000元	0	15	94	309	756	1555	2850	4809
5	A000000元	0	52	454	1866	5428	12880	26682	50134

Sage也有“expnums”。

基于卷积的广义贝尔数。

A182931号分区大小为的一组n个元素的分区数k、 k≥n。

n\k（不可用）	1	2	三	4	5
	A000110号	A000296号	A006505号	A057837号	A057814号
0	1	1	1	1	1
1	1	0	0	0	0
2	2	1	0	0	0
三	5	1	1	0	0
4	15	4	1	1	0
5	52	11	1	1	1
6	203	41	11	1	1
7	877	162	36	1	1
8	4140	715	92	36	1

行总和为A097147号。

Gamma（k，x）不完整的Gamma函数。egf:=k->exp（exp（x）*（1-GAMMA（k，x）/GAMMA（k））；T:=（n，k）->n*系数（级数（egf（k），x，n+1），x、n）：seq（打印（seq（T（n，k），k=1..8）），n=0..8）；

基于下降阶乘幂的广义贝尔数。

A090210型下面给出的贝尔数推广背后的一些想法可以在Penson等地找到。

设B_{n}（x）=sum_{j≥0}（exp（j！/（j-n）*x-1）/j！）然后T（n，k）=k！[x^k]taylor（B_{n}（x）），其中[x^k]表示B_{n}（x）的泰勒级数中x^k的系数。设r{k-1}=[n+1，…，n+1]（n+1的k-1次出现），s_{k-1}=[1，…，1]（第k-1次出现，共1次）然后F是广义超几何函数T（n，k）=经验（-1）*n^（k-1）*F（r_{k-1}，s_{k-1}|1）。

说明T（n，k）作为方形数组写入时的交叉引用。

n\k（不可用）		0	1	2	三	4	5
		A000012号	A000012号	A002720型	A069948号	A182925号	182924英镑
0	A000012号	1	1	1	1	1	1
1	A000110号	1	1	2	5	15	52
2	A020556号	1	1	7	87	11657	43833
三	A069223号	1	1	34	2971	5513559	149670844
4	A071379号	1	1	209	163121	3326922081	..
5	A090209号	1	1	1546	112962661	..	..
6		1	1	13327	1395857215	..	..

FFPBell:=proc（n，k）局部r，s，i；如果k=0，则为1r：=[seq（n+1，i=1..k-1）]；s：=[seq（1，i=1..k-1）]；exp（-x）*n^（k-1）*hypergeom（r，s，x）；圆形（evalf（subs（x=1，%），99））fi结束：seq（lprint（seq（FFPBell（n，k），k=0..6）），n=0..6）；

基于阶乘幂上升的广义贝尔数。

A182933号

设B_{n}（x）=sum_{j≥0}（exp（（j+n-1）/（j-1）*x-1）/j！）则T（n，k）=k！[x^k]系列（B_{n}（x）），其中[x^k]表示B_{n}（x）的泰勒级数中x^k的系数。设r_k=[n+1，…，n+1]（n+1的k次出现），s_k=[1，…，1,2]（第k-1次出现，共1次）然后F是广义超几何函数T（n，k）=经验（-1）*n^k*F（r_k，s_k|1）。

说明T（n，k）作为方形数组写入时的交叉引用。

n\k（不可用）		0	1	2	三	4	5
		A000012号	A000262号	182934英镑
0	A000012号	1	1	1	1	1	1
1	A000110号	1	1	2	5	15	52
2	A094577号	1	三	27	409	9089	272947
三	A182932号	1	13	778	104149	25053583	9566642254
4		1	73	37553	57184313	192052025697	..
5		1	5501	2688546	56410245661	..	..
6		1	44051	265141267	..	..	..

RFPBell:=proc（n，k）局部r，s，i；r：=[seq（n+1，i=1..k）]；s：=[seq（1，i=1..k-1），2]；exp（-x）*n^k*超几何（r，s，x）；圆形（evalf（subs（x=1，%），99））结束：seq（lprint（seq（RFPBell（n，k），k=0..6）），n=0..6）；

基于广义斯特林数的广义贝尔数。

广义Stirling_2三角形k=-1
总计：A000110号	所有分区：A036040型	~按长度：A008277号	~最大部分：A080510号
1	[1]	[1]	[1]
1	[1]	[1]	[1]
2	[1,1]	[1,1]	[1,1]
5	[1,3,1]	[1,3,1]	[1,3,1]
15	[1,4,3,6,1]	[1,7,6,1]	[1，9，4，1]
52	[1,5,10,10,15,10,1]	[1,15,25,10,1]	[1,25,20,5,1]

A000110号（n） 是{1,2，..，n}的集合分区数。
A008277号（n，k）是块长度为k的{1,2，..，n}的集合分区数。
A080510号（n，k）是具有最大块长度k的{1,2，..，n}的集合分区的数目。
A036040型（n，k）是{1,2，..，n}的集合分区数，块长度由第k个整数给定n的分区，按照《数学函数手册》第831页的顺序进行整数分区。

因此，表的第一（总和）列中列出的所有序列广义Stirling-2三角形可以被视为Bell数的推广，即广义Stirling数的行和第二种。所以让我们看看这个数字是多少。

k个					A001844号
-6	A049412号	1	1	7	85	1465	32677
-5	A049120型	1	1	6	61	871	15996
-4	A049119号	1	1	5	41	465	6721
-3	A049118美元	1	1	4	25	211	2236
-2	A000262号	1	1	三	13	73	501
-1	A000110号	1	1	2	5	15	52
0	A000012号	1	1	1	1	1	1
1	A001515号	1	1	2	7	37	266
2	A015735号	1	1	三	17	145	1661
三	A016036号	1	1	4	31	361	5626
4	A028575号	1	1	5	49	721	14177
5	A028844号	1	1	6	71	1261	29906
					A056220型

特殊类型的隔墙

块大小相等的分区

A038041号具有相等块的n-集的分区数尺寸为

${\显示样式t（n）=\总和{d|n}{\分数{n！}{d！{\左（（n/d）！\右）}^{d}}\\.}$

A038041美元：=程序（n）局部d；添加（n！/（d！*（n/d）^d） ，d=numtheory[除数]（n））结束：

具有不同块大小的分区

A007837号具有不同块的n-集的分区数大小可以计算为a（0）＝1，并且

$显示样式a（n）=-\sum_{1\leqk\leqn}{\binom{n-1}{k-1}}s（k）a（n-k）。}$

这里我们使用了Vladeta Jovovic注释中的递归，我们有一点改为强调某些特殊多项式的使用系数(A182928号和A182927号)

$显示样式s（n）=\sum_{d|n}（-1）^{d}{frac{n！}{d{左（（n/d）！\右）}^{d{}}\\.}$

s：=进程（n）局部d；添加（（-1）^d*n/（d*（n/d）^d） ，d=numtheory[除数]（n））结束：a:=proc（n）选项记忆；局部k；`如果`（n=0,1，-加（二项式（n-1，k-1）*s（k）*a（n-k），k=1..n））结束：

s（n）=-1、0、-3、8、-25、99、-721、5704、-40881a（n）=1、1、4、5、16、82、169、541、2272、17966

说明Vladeta Jovovic的A131632型，可以细化A007837号按块数：

n\k（不可用）	1	2
1	1
2	12
三	123	1|23, 2|13, 3|12
4	1234	1|234, 2|134, 3|124, 4|123
5	12345	1|2345, 2|1345, 3|1245, 4|1235, 5|1234, 12|345, 13|245, 14|235, 15|234, 23|145, 24|135, 25|134, 34|125, 35|124, 45|123

Even-odd集合分区

继L.Comtet（高级组合数学，第226页）之后，我们给出了基于分区长度奇偶性和块大小的双重枚举列表。在表格中下面的序列包括0s；这与OEIS的做法不同，如果0出现在所有偶数或奇数索引中，则会抑制0。我们的符号的优点是它使组合解释更加可见并出现错误，如调用A005046号“一个n集分成偶数块的分区数”的可能性较小。

数量 阻碍	的大小 每个区块	顺序 偏移量1	身份证件
无限制的	无限制的	1,2,5,15,52,203	A000110号
无限制的	古怪的	1,1,2,5,12,37,128	A003724号
无限制的	即使	0,1,0,4,0,31,0,379	A005046号
古怪的	无限制的	1,1,2,7,27,106,443	A024429号
即使	无限制的	0,1,3,8,25,97,434	A024430号
古怪的	古怪的	1,0,2,0,12,0,128	A003712号
古怪的	即使	0,1,0,1,0,16,0,211	A059385美元
即使	古怪的	0,1,0,5,0,37,0,457	A003709号
即使	即使	0,0,0,3,0,15,0,168	A059386号

指数生成函数为：

A000110_egf:=x->exp（exp（x）-1）；A003724_egf:=x->exp（sinh（x））；A005046_egf:=x->exp（cosh（x）-1）；A024429_egf:=x->sinh（exp（x）-1）；A024430_egf:=x->cosh（exp（x）-1）；A003712_egf:=x->sinh（sinh（x））；A059385_egf:=x->sinh（cosh（x）-1）；A003709_egf:=x->cosh（sinh（x））；A059386_egf:=x->cosh（cosh（x）-1）；

这只是冰山一角。感兴趣的读者可能会执行下面的Maple代码以找到更多有趣的序列。他们根据块的数量计算上述配置的集合分区。

B000110_egf:=k->exp（k*（exp（x）-1））；B003724_egf:=k->exp（k*sinh（x））；B005046_egf:=k->exp（k*（cosh（x）-1））；B024429_egf:=k->sinh（k*（exp（x）-1））；B024430_egf:=k->cosh（k*（exp（x）-1））；B003712_egf:=k->sinh（k*sinh（x））；B059385_egf:=k->sinh（k*（cosh（x）-1））；B003709_egf:=k->cosh（k*sinh（x））；B059386_egf:=k->cosh（k*（cosh（x）-1））；EGF:=[B000110_EGF，B003724_EGF、B005046_EGF和B024429_EGF，B024430_egf、B003712_egf、B059385_egf，B003709_egf和B059386_egf]：对于egf do中的egfT:=（n，k）->n*系数（级数（egf（k），x，n+1），x、n）：打印（egf）：seq（lprint（seq（T（n，k），k=1..8）），n=1..8od:

互补贝尔数

Rényi数

我们发现贝尔数最紧凑的形式是指数生成函数A000110_egf（x）=exp（+（exp（x）-1））。现在，如果我们只更改符号+会发生什么？

A000587_egf（x）=exp（-（exp（x）-1））；-1, 0, 1, 1, -2, -9, -9, 50, 267, 413, -2180,...

A000587号R.E.Beard（1950）首先研究了这些数字和阿尔弗雷德·雷尼（1966）. 安塔尔·费克特称这些数字为“雷尼数字”。我在这里听从他的领导。这个阿尔弗雷德·雷尼（Alfréd Rényi）关于这些数字的工作似乎被许多作者忽视了，可能是因为是用匈牙利语写的。在OEIS上，它们被称为“Rao Uppuluri-Carpenter”数字；尽管事实上Rao Uppuluri和Carpenter后来也研究了这些数字。

仔细观察A000587_egf:=k->exp（k*（1-exp（x））），我们发现下面的方形数组。

-1,  -2,   -3,    -4,    -5,    -6,    -7 0、2、6、12、20、30、421,   2,   -3,   -20,   -55,  -114,  -2031,  -6,  -21,   -20,    45,   246,   679-2, -14,   24,   172,   370,   318,  -644

显然，这个数组只不过是指数从A189233号对于k<0，已在上表中给出。

Rényi数的组合意义可以概括为F.T.Adams Watters的评论：“1..n的集合分区数偶数部分，减去带有奇数的此类分区的数量零件数量。“这也来自我们上面给出的表格贝尔数和雷尼数之间的关系可以表述为：

A024430号=	（B）n个+R（右）n个) / 2;
A024429号=	（B）n个−R（右）n个) / 2.

证明：cosh（exp（x）−1）−sinh（exp。

广义Beard-Rényi阵列

广义Beard-Rényi阵列与广义Peirce-Bell-Aitken阵列类似如上所示。基本构造规则仍然适用：

$｛\displaystyle T（n，k）=T（n，k-1）+T（n+1，k-1）｝$

核心区别是用互补的贝尔数，即Rényi数代替贝尔数。

n\k（不可用）	−5	−4	−3	−2	−1	雷尼 0	1	2	三	4	5
0	1	1	1	1	-1	1	0	-1	-1	2	9
1	0	0	0	-2	2	-1	-1	0	三	7	0
2	0	0	-2	4	-3	0	1	三	4	-7	-59
三	0	-2	6	-7	三	1	2	1	-11	-52	-99
4	-2	8	-13	10	-2	1	-1	-12	-41	-47	328
5	10	-21	23	-12	三	-2	-11	-29	-6	375	2111
6	-31	44	-35	15	-5	-9	-18个	23	381	1736	3001
7	75	-79	50	-20	-4	-9	41	358	1355	1265	-21590
8	-154	129	-70	16	-5	50	317	997	-90	-22855	-155473

这里是如何计算这个数组的：

gBR：=proc（k，n）局部i；加（（-1）^（i+n+1）*二项式（n，i）*A000587号（k+i+1），i=0..n）结束：seq（打印（[n]，seq（gBR（k，n），k=-5..5）），n=0..8）；

k≥0的行n=1开始-1，-1，0，3，7，0，-59，。。。通过评论来自Vladeta JovovicA074051号这可以通过以下公式计算

${\显示样式{\text{Row1}}（n）=\sum_{0\leqk\leqn}（-1）^{k+1}（k^{2} -3k个+1） \left\{{n\top k}\right\}.}{2} -3k个+1） \left\{{n\top k}\right\}.}$

n≥0时，列k=1从0、-1、1、2、-1、-11、-18……开始，。。。根据公式来自Vladeta JovovicA101851号这可以计算为

${\显示样式{\text{Col1}}（n）=\sum_{0\leqk\leqn}（-1）^{k} k个\左\{{n\top k}\right\}.}{k} k个\左\{{n\top k}\right\}.}$

连续推广

贝尔多项式

贝尔多项式B_n个（x） 是推广贝尔数B的多项式_n个和Rényi数R_n个这样B_n个（1） =B_n个和B_n个（-1）=R_n个定义这些多项式的一种方法是使用Dobinski公式。

$显示样式B_{n}（x）=e^{-x}\sum_{k\geq0}k^{n}{frac{x^{k}}{k！}}}$

多项式的系数为A106800标准. 有关贝尔多项式的更多信息，请参见K.N.博亚德日耶夫。

Bell函数

最近弗雷德里克·约翰逊使用Dobinski公式实现Bell多项式，因为该公式“推广到n的任意复数值，而不仅仅是整数。”约翰逊写道

不幸的是，在实施Dobinski的公式一般n：除非n是非负实数，否则第0项是单数。删除该术语完全破坏了与标准定义的兼容性n=0的Bell多项式。保持它要么使序列未定义，或至多使函数在单点n=0处不连续，其中当然不可取。作为解决方法，我将公式更改为

$显示样式B_{n}（x）=e^{-x}\左（\mathrm{sinc}（\pin）+\sum_{k\geq0}k^{n}{frac{x^{k}}{k！}}\右）}$

定义贝尔多项式（n，x）：定义sinc（x）：如果x==0，则返回1，否则为sin（pi*x）/（pi*x）定义（s，x）：k=变量（‘k’）返回和（（k^s/阶乘（k））*x^k，k，1，oo）如果n==0:r=1elif n==1:r=xelif n==2:r=x*（x+1）否则：r=（sinc（n）+es（n，x））/exp（x）返回系数（r）

约翰森（Johansson）称之为“变通方法”，这是一个很好的想法，确实有效。让我们看几个例子。

贝尔多项式：

对于（0..5）中的i：打印贝尔多项式（i，x）1x个x（x+1）x（1+3x+x^2）x（1+7x+6x^2+x^3）x（1+15x+25x^2+10x^3+x^4）

第二类斯特林数三角形S（n，n-k）：

对于0到5的m，do seq（系数（Bell（m，x），x，i），i=0..m）od；10, 10, 1, 10, 1, 3, 10, 1, 7, 6, 10, 1, 15, 25, 10, 1

钟声编号：贝尔（i，1），Rényi数字：贝尔（i，-1）。
一个神秘的序列：seq（贝尔（i，-i），i=1..9）；
-1, 2, -3, -20, 370, -4074, 34293, -138312, -2932533
另一个神秘的序列：seq（贝尔（i，i），i=1..9）；
1,6,57,756,12880,268098,6593839,187104200,6016681467
顺序：seq（贝尔（-i，i），i=1..9）；说明了这一点
贝尔（-i，i）=i*超几何（[seq（1，j=0..i）]，[seq[2，j=0..i）]，i）/exp（i））。

因此，Dobinski-Johansson函数给出了x的所有实值和复值的广义Bell数DJ（x）=Bell（x，1）。

DJ:=进程（x）`if`（x=0,1，（sin（Pi*x）/（Pi*x）+和（k^x/k！，k=1..无穷大））/exp（1））结束：

只是出于好奇，我计算了DJ（-1）。它有价值0.484829106995687646310西蒙·普劳夫的逆变器帮我发现了这一点DJ（-1）=（Ei（1）−γ）/exp（1），Ei为指数积分。

通过计算设置分区

有效计算集合分区

A000110号铃数：一组n个标记元素的分区数。

A000110_列表：=进程（m）局部A、R、n、k；A:=阵列（0..m-1）；A[0]：=1；R:=1；对于从0到m-1的n doA[n]：=A[0]；对于k x-1从n到1 doA[k-1]：=A[k-2]+A[k]od；R:=R，A[0]；od；R端：A0000110_list（20）；

与Sage相同：

#############################################n->[a（0），a（1），…，a（n）]表示n>0。############################################定义A000110_发电机（m）：A=[1]；产量A[0]对于n in（0..m-1）：对于范围（n，0，-1）中的k：A[k-1]+=A[k]A.附加（A[0]）产量A[0]列表（A000110_生成器（15））

A000587号Rényi数（或Uppuluri-Carpenter数）：互补的贝尔数。

A000587_列表：=进程（m）局部A、R、n、k；A:=阵列（0..m-1）；A[m-1]：=1；R：=1；对于从0到m-1的n doA[m-1-n]：=-A[m-1]；对于从m-n到m-1的k doA[k]：=A[k]+A[k-1]od；R：=R，A[m-1]；od；R端：A000587_列表（20）；

与Sage相同：

#############################################n->[a（0），a（1），…，a（n）]表示n>0。############################################定义A000587_生成器（n）：产量1；产量-1；A=[-1]对于（0..n-2）中的j：A.附加（-A[0]）对于范围（j，-1，-1）中的k：A[k]+=A[k+1]产量A[0]列表（A000587_生成器（15））

A000296号一组n个标记元素的多子分区数。

A0000296_list:=进程（n）局部A、R、i、k；如果n=0，则返回（1）fi；A:=阵列（0..n-1）；A[0]：=1；R:=1；对于i从0到n-2 doA[i+1]：=A[0]-A[i]；A[i]：=A[0]；对于k，从i乘以-1到1 doA[k-1]：=A[k-2]+A[k]od；R：=R，A[i+1]；od；R、 A[0]-A[i]端：A000296_列表（100）；

与Sage相同：

#############################################n->[a（0），a（1），…，a（n）]表示n>0。############################################定义A000296_生成器（n）：产量1；产量0；A=[1]对于（0..n-2）中的i：A.附加（A[0]-A[i]）A[i]=A[0]对于范围（i，0，-1）中的k：A[k-1]=A[k-1]+A[k]产量A[0]-A[i+1]列表（A000296_生成器（15））

A094577号中央皮尔士数：{1,2，..，2n+1}的集合分区数其中n+1是其块中最小的。

A094577_列表：=进程（m）局部A、R、M、n、k、j；M:=M+M-1；A:=阵列（1..M）；j:=1；R：=1；A[1]：=1；对于从2到M的n doA[n]：=A[1]；对于k从n到-1到2 doA[k-1]：=A[k-1]+A[k]od；如果是（n，奇数），则j:=j+1；R:=R，A[j]fiod；[R] 结束时间：A094577_列表（20）；

与Sage相同：

#############################################n->[a（0），a（1），…，a（n）]表示n>0。############################################定义A094577_生成器（m）：A=[1]；产量1对于n in（1..m）：A.附加（A[0]）对于范围（n，0，-1）中的k：A[k-1]+=A[k]如果is_even（n）：产量A[n//2]列表（A094577_生成器（15））

A020556号中央单体数：集合分区数带有{1,2，..，2n+1}的单例，其中n+1是其块中最小的。

T:=proc（n，k）选项记忆；如果n=1，则为1elif n=k，则T（n-1,1）-T（n-1，n-1）否则T（n-1，k）+T（n，k+1）fi结束：A020556号：=n->T（2*n+1，n+1）；序列(A020556号（n） ，n=0..99）；

发电机组分区（带Maple）

使用Maple生成集合分区很简单。

规格：=[S，{S=设置（U，卡≥1），U=设置（Z，卡≥1）}，标记]：combstruct[allstructs]（规范，大小=4）；

然而，结果却毫无用处。

[集合（集合（Z[4]），集合（Z[1]），集合，集合（Z[2]）、集合（Z[1]）、集合，集合（集合（Z[4]，Z[3]），集合（Z[1]，Z[2]）），集合，集合（Z[3]）、集合（集合（Z[2]）、集合，Set（Z[1]，Z[2]，Z[3]）），Set（Set（Z[3]），Set（Z[2]），Set（Z[4]），Set（Z[1]）），集合（集合（Z[3]）、集合（Z[2]）、集合，集合（Z[4]，Z[2]）），集合（集合（Z[1]，Z[4]，Z[2]，Z[3]）），集（集合（Z[2]），集合（Z[4]）、集合（Z[1]、Z[3]））、集合，集合（集合（Z[1]）、集合（Z[4]、Z[2]、Z[3]））、集合，设置（Z[1]，Z[3]）]

因此，我们必须编写自己的版本，它将生成在上述示例中，输出如下：

1234,13|2|4,2|4|3|1,234|1,14|23,24|13,34|2|1,23|4|1,12|34,12|4|3,24|3|1,14|2|3,124|3,134|2,123|4.

toString：=proc（p）局部s，t，i；s：=转换（p，字符串）；t:=空；对于i从2到长度-3 do如果s[i]=“}”和s[i+1]=“，”而不是（s[i-1]=“{”），则t:=t，``；elif s[i]=“}”和s[i+1]=“{”以及s[i+2]=“，”则t:=t，`，`；elif成员（s[i]，{“{”，“”，“，”，“}”}）然后；否则t:=猫（t，s[i]）最终：使用（combstruct）：设置分区：=proc（opt，n，k）局部P，G，F，j，w，parts；部件：=proc（n，b）局部i，T，P；所有结构（[B，{B=集合（集合（Z，卡≥B））}，标记]，大小=n）：eval（subs（Set=（（）->{args}），seq（Z[i]=i，i=1..n），%））结束：G:=（p，k）->`如果`（k=min（op（映射（op，选择（s->nops（s）=1，p））），p，NULL）：F:=`if`（opt='cardsingle'或opt='cardmulti'或opt='cardall'，nops，toString）；P:=`if`（opt='multiton'或opt='cardmulti'，部件（n，2），部件（n,1））；如果opt='multiton'或opt=`cardmulti'或opt=`cardall'或opt=`all'然后F（P）elif k>0，然后F（{seq（G（w，k），w=P）}）else seq（F（{seq（G（w，j），w=P）}），j=1..n）结束：

使用和测试：

n： =4：设置分区（'all'，n，0）；设置分区（'cardall'，n，0）；设置分区（“多个”，n，0）；设置分区（'cardmulti'，n，0）；seq（打印（[k]，设置分区（“单分区”，n，k），k=1..n）；设置分区（‘cardsingle’，n，0）；

结果：

> "1234,13|2|4,2|4|3|1,234|1,14|23,24|13,34|2|1,23|4|1,12|34,12|4|3,24|3|1,14|2|3,124|3,134|2,123|4"> 15> "1234,14|23,24|13,12|34"> 4> [1],"24|3|1,23|4|1,234|1,34|2|1,2|4|3|1"[2],"14|2|3,134|2,13|2|4"[3],"3|4|12,3|124"[4],"4|123"> 5,3,2,1

生成具有限制增长字符串的集合分区

最后，我们基于独立方式生成集合分区在限制增长的字符串上。下面是“goto”-free port fromJoerg Arndt的C++代码计算事项 。

#N字符串长度#I s[k]<=f[k]+I#I=1-->集合分区的RGSRgs:=proc（N，I）局部j，s，f，L，next_str；next_str：=proc（）局部k，j，sk，m1，mp；#返回s[]中第一个更改元素的索引，#如果当前字符串是最后一个，则返回零k：=N；做k：=k-1；如果k=0，则返回（0）fi；sk:=s[k]+1；m1：=f[k-1]；mp：=m1+I；如果sk>mp#“进位”然后s[k]：=0；其他的s[k]：=sk；如果sk=mp，则m1：=m1+I fi；对于从k到N-1的j，做f[j]：=m1 od；回报（k）；fi（菲涅耳）日结束；s：=数组（0..N-1）；#限制生长串f:=数组（0..N-1）；#值F（k）对于从0到N-1的j，做s[j]：=0 od；对于从0到N-1的j，do f[j]：=0 od；L:=空；做L:=L，转换（s，list）；如果next_str（）=0，则中断fi；od；[五十] 结束时间：分类：=proc（s）局部L，i，m；m：=1+最大值（op（s））；L:=[seq（[]，i=1..m）]；对于i从1到nops doL[s[i]+1]：=[op（L[s]+1]），i]；od；L端：设置分区：=proc（n）局部P，S，S；P:=空；S：=Rgs（n，1）；对于s do P:=P中的s，分类od：[P] 结束时间：

使用发电机的Sage也一样：

#返回s[]中第一个更改元素的索引，#如果当前字符串是最后一个，则返回零定义next_rgs（N，s，f）：k=否为True时：k=1如果k==0：返回0sk=s[k]+1m1=f[k-1]mp=m1+1如果sk>mp：#进位s[k]=0其他：s[k]=sk如果sk==mp：m1+=1对于j in（k..N-1）：f[j]=m1返回k#N字符串长度定义rgs_generator（N）：s=[0表示范围（N）内的j]#限制增长字符串f=[0表示范围（N）内的j值]#值f（k）为True时：产量s如果next_rgs（N，s，f）==0：返回定义分类：L=[[]对于i in（0..max（s））]对于范围内的i（长度）：L[s[i]].追加（i）返回L定义set_partitions_generator（n）：对于rgs_generator（n）中的s：产量分类对于set_partitions_generator（4）中的p：打印p

设置分区（5）；[[[1,2,3,4,5]],       [[1,2,3,4],[5]],[[1,2,3,5],[4]],      [[1,2,3],[4,5]],[[1,2,3],[4],[5]],    [[1,2,4,5],[3]],[[1,2,4],[3,5]],      [[1,2,4],[3],[5]],[[1,2,5],[3,4]],      [[1,2],[3,4,5]],[[1,2],[3,4],[5]],    [[1,2,5],[3],[4]],[[1,2],[3,5],[4]],    [[1,2],[3],[4,5]],[[1,2],[3],[4],[5]],  [[1,3,4,5],[2]],[[1,3,4],[2,5]],      [[1,3,4],[2],[5]],[[1,3,5],[2,4]],      [[1,3],[2,4,5]],[[1,3],[2,4],[5]],    [[1,3,5],[2],[4]],[[1,3],[2,5],[4]],    [[1,3],[2],[4,5]],[[1,3],[2],[4],[5]],  [[1,4,5],[2,3]],[[1,4]，[2,3,5]]，[[1,4]，[2,3]，[5]，[[1,5],[2,3,4]],      [[1],[2,3,4,5]],[[1],[2,3,4],[5]],    [[1,5],[2,3],[4]],[[1],[2,3,5],[4]],    [[1],[2,3],[4,5]],[[1],[2,3],[4],[5]],  [[1,4,5],[2],[3]],[[1,4],[2,5],[3]],    [[1,4],[2],[3,5]],[[1,4],[2],[3],[5]],  [[1,5],[2,4],[3]],[[1]，[2,4,5]，[3]，[[1]，[2,4]，[3,5]]，[[1],[2,4],[3],[5]],  [[1,5],[2],[3,4]],[[1],[2,5],[3,4]],    [[1],[2],[3,4,5]],[[1],[2],[3,4],[5]],  [[1,5],[2],[3],[4]],[[1],[2,5],[3],[4]],  [[1],[2],[3,5],[4]],[[1],[2],[3],[4,5]],  [[1],[2],[3],[4],[5]]].

清单揭示了一个很好的事实：我们的三角形A182930号我们从中开始计算集合分区可以简单地描述为：{1,2，..，n}的集合分区数，其中|k|是最小的单体块。如果a的指数小于B的索引（按上述顺序划分的部分，Joerg称之为“标准顺序”）。请注意，此顺序与块中的元素无关，也与与块大小有关。

使用Genji Genji-Kó符号设置4组分区。该图说明了生成分区的算法。

当指针设备（鼠标）放置在符号上时，还显示集合分区的现代表示法。由于此效果不会在此wiki上发生，请转到平民然后单击图片。

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