显示找到的12个结果中的1-10个。
形式为4*k+3的素数。
（原名M2624 N1039）
+10
338
3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 67, 71, 79, 83, 103, 107, 127, 131, 139, 151, 163, 167, 179, 191, 199, 211, 223, 227, 239, 251, 263, 271, 283, 307, 311, 331, 347, 359, 367, 379, 383, 419, 431, 439, 443, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 523, 547, 563, 571
评论
或者，奇数素数p，使得-1不是平方模p，即勒让德符号（-1/p）=-1。[LeVeque I，第66页]-N.J.A.斯隆，2008年6月28日
自然素数也是高斯素数。（把这个序列称为“高斯素数”是一个常见的错误。）
字段Q中的惰性有理素数（sqrt（-1））-N.J.A.斯隆2017年12月25日
对n进行编号，使第（2n）个分圆多项式系数的乘积等于-1-贝诺伊特·克洛伊特，2002年10月22日
也可以用奇数素数p除（p-1）！！+1） 或（p-2）！！+1). -亚历山大·阿达姆楚克2006年11月30日
除（p-1）！！-的奇素数p1） 或（（p-2）！！-1). -亚历山大·阿达姆楚克2007年4月18日
Bernard Frénicle de Bessy发现这样的素数不可能是毕达哥拉斯三角形的斜边，而不是4*n+1形式的素数（参见A002144号). - 之后保罗·柯茨2008年9月10日
数字n>2，这样（（n-2）！！）^2==1（型号n）-托马斯·奥多夫斯基2016年7月24日
奇数n>1，这样（（n-1）！！）^2==1（型号n）-托马斯·奥多夫斯基2016年7月25日
素数p使得（p-2）！！==（p-3）！！（修订版）-托马斯·奥多夫斯基2016年7月28日
关于4k+1和4k+3形式素数相对数的讨论，请参阅Granville和Martin编辑，2017年5月1日
猜想：n>4的a（n）可以写成4k+1形式的3个素数之和，这意味着4k+3>=23形式的素数可以分解成6个非零平方和-托马斯·谢伊尔2023年2月9日
参考文献
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准应用数学局。1964年第55辑（以及各种重印本），第870页。
G.H.Hardy和E.M.Wright，《数字理论导论》，第5版，牛津大学出版社，1979年，第219页，第252页。
W.J.LeVeque，《数论专题》。Addison-Wesley，雷丁，马萨诸塞州，2卷。，1956年，第1卷，第66页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
大卫·威尔斯，《企鹅奇趣数字词典》。企鹅出版社，纽约，1986年，1987年修订版。见第90页。
链接
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。系列55，第十次印刷，1972年[替代扫描副本]。
Lenore Blum、Manuel Blum和Mike Shub，一种简单的不可预知伪随机数生成器《SIAM计算机杂志》15:2（1986年5月1日），第364-383页。
A.Granville和G.Martin，素数竞赛，arXiv:math/0408319[math.NT]，2004年。
欧内斯特·希布斯，素数的分量相互作用，《国会科技大学博士论文》（2022年），见第33页。
Lucas Lacasa、Bartolome Luque、Ignacio Gómez和Octavio Miramontes，关于一些素数序列的动力学方法，熵20.2（2018）：131，另见arXiv:1802.08349[math.NT]，2018。
E.T.Ordman，负素数判别式的类数表，存放在数学的未发布数学表文件中。公司。[带注释的扫描部分副本]
配方奶粉
产品{k>=1}（1+1/a（k））/（1+1/A002144号（k） ）=Pi/（4*A064533号^2) = 1.3447728438248695625516649942427635670667319092323632111110962...
产品{k>=1}（1-1/a（k））/（1-1/A002144号（k） ）=Pi/（8*A064533号^2） =0.672386421912434781275832497121381783533365954616181605555481…（结束）
求和{k>=1}1/a（k）^s=（1/2）*求和{n>=1奇数}莫比乌斯（n）*log（2*（2^（n*s）-1）*（n*s-1）！*zeta（n*s）/（Pi^（n*s）*abs（EulerE（n*s-1）））/n，s>=3奇数-迪米特里斯·瓦利亚纳托斯2020年5月20日
MAPLE公司
选项记忆；
如果n=1，则
三；
其他的
a:=下一素数（procname（n-1））；
而mod 4<>3可以
a:=下一个顶点（a）；
结束do；
返回a；
结束条件：；
结束进程：
数学
选择[4范围[150]-1，PrimeQ](*阿隆索·德尔·阿特2013年12月19日*）
选择[Prime@Range[2，110]，Length@Powers Representations[#^2，2，2]==1&]（*或*）
选择[Prime@Range[2，110]，JacobiSymbol[-1，#]==-1&](*罗伯特·威尔逊v2014年5月11日*）
黄体脂酮素
（PARI）表示质数（p=2，1e3，if（p%4==3，print1（p“，”））\\查尔斯·格里特豪斯四世，2011年6月10日
（哈斯克尔）
a002145 n=a002145_列表！！（n-1）
a002145_list=过滤器（（==1）。a010051）[3、7…]
（鼠尾草）
定义A002145号_列表（n）：如果p%4==3，则返回[p代表prime_range（1，n+1）中的p]#彼得·卢什尼2014年7月29日
a（n）=Sum{d除n，n/d=1模4}d-Sum{除n，n/d=3模4{d。
+10
24
1, 2, 2, 4, 6, 4, 6, 8, 7, 12, 10, 8, 14, 12, 12, 16, 18, 14, 18, 24, 12, 20, 22, 16, 31, 28, 20, 24, 30, 24, 30, 32, 20, 36, 36, 28, 38, 36, 28, 48, 42, 24, 42, 40, 42, 44, 46, 32, 43, 62, 36, 56, 54, 40, 60, 48, 36, 60, 58, 48, 62, 60, 42, 64, 84, 40
评论
如果p=2，则与a（p^e）=p^e相乘；如果p==1（mod 4），则与（p^（e+1）-1）/（p-1）相乘；否则，与a相乘（p^e+1）+（-1）^e）/（p+1）-迈克尔·索莫斯2005年5月2日
配方奶粉
通用公式：和{n>=1}n*x^n/（1+x^（2*n））-弗拉德塔·乔沃维奇2002年10月16日
O.g.f.：和{n>=1}（-1）^（n+1）*x^（2*n-1）/（1-x^-彼得·巴拉2021年1月4日
数学
f[p_，e_]：=其中[p==2，p^e，Mod[p，4]==1，（p^（e+1）-1）/（p-1），Mod[p，4]==3，（p ^（e+1）+（-1）^e）/（p+1）]；a[1]＝1；a[n_]：=倍@@（f@@@FactorInteger[n]）；数组[a，100](*阿米拉姆·埃尔达尔，2022年11月6日*）
黄体脂酮素
（PARI）a（n）=如果（n<1，0，sumdiv（n，d，d*（（n/d%4==1）-（n/d/4==3）））
（PARI）{a（n）=局部（a，p，e）；如果（n<2，n==1，a=系数（n）；prod（k=1，matsize（a）[1]，如果（p=a[k，1]，e=a[k,2]；如果（p=2，p^e，如果（p%4==1（p^（e+1）-1）/（p-1），（p^e+1）+（-1）^e）/（p+1））））}/*迈克尔·索莫斯2005年5月2日*/
（PARI）a（n）=如果（n<1，0，polcoeff（总和（k=1，n，k*x^k/（1+x^（2*k）），x*O（x^n）），n））
1/（2*K^2）的十进制展开式=Product_（p素数同余到3模4）（1-1/p^2），其中K是Landau-Ramanujan常数。
+10
14
8, 5, 6, 1, 0, 8, 9, 8, 1, 7, 2, 1, 8, 9, 3, 4, 7, 6, 9, 0, 6, 0, 3, 3, 0, 0, 6, 1, 4, 8, 0, 6, 1, 1, 7, 3, 4, 8, 1, 0, 7, 8, 4, 2, 7, 3, 8, 8, 1, 7, 3, 4, 9, 0, 8, 6, 0, 5, 1, 8, 4, 0, 0, 5, 8, 3, 4, 3, 0, 7, 9, 6, 1, 1, 1, 8, 6, 3, 6, 5, 8, 9, 6, 2, 3, 3, 8, 1, 2, 9, 4, 5, 1, 7, 7, 7, 7, 0, 9, 7, 6
评论
等于1/11.168075586..，其中1.168..是arxiv第3.3节表中的zeta_（m=4，n=3）（s=2）：1008.2547-R.J.马塔尔2014年11月14日
参考文献
Steven R.Finch，《数学常数》，剑桥大学出版社，2003年，第2.3节，Landau-Ramanujan常数，第101页。
配方奶粉
1/（2*K^2），其中K是Landau-Ramanujan常数(A064533号).
例子
0.856108981721893476906033006148061173481...
数学
数字=101；LandauRamanujanK=1/Sqrt[2]*NProduct[（（1-2^（-2^n））*Zeta[2^n]/DirichletBeta[2^n]）^（1/2 ^（n+1）），{n，1，24}，工作精度->数字+5]；1/（2*LandauRamanujanK^2）//RealDigits[#，10，digits]//First（*2018年3月18日更新*）
192*K^2*G/Pi^4=Product_{p素数与1模4}（1+1/p^2）的十进制展开式，其中K是Landau-Ramanujan常数和G Catalan常数。
+10
11
1, 0, 5, 4, 4, 3, 9, 9, 4, 4, 7, 9, 9, 9, 4, 8, 4, 8, 9, 6, 4, 8, 8, 1, 9, 4, 6, 4, 8, 2, 6, 7, 1, 7, 9, 4, 8, 3, 1, 7, 3, 4, 3, 6, 5, 0, 6, 9, 7, 0, 6, 0, 4, 8, 8, 0, 7, 8, 4, 8, 9, 7, 2, 7, 6, 1, 8, 5, 7, 7, 4, 6, 8, 0, 4, 2, 1, 5, 8, 2, 9, 3, 8, 7, 1, 6, 4, 3, 3, 6, 0, 3, 3, 7, 6, 6, 8, 5, 7, 0, 9
参考文献
Steven R.Finch，《数学常数》，剑桥大学出版社，2003年，第2.3节，Landau-Ramanujan常数，第101页。
例子
1.0544399447999484896488194648267179483...
数学
数字=101；LandauRamanujanK=1/Sqrt[2]*NProduct[（（1-2^（-2^n））*Zeta[2^n]/DirichletBeta[2^n]）^（1/2 ^（n+1）），{n，1，24}，工作精度->数字+5]；192*LandauRamanujanK^2*Catalan/Pi^4//RealDigits[#，10，digits]//First（*2018年3月14日更新*）
Product_{k>=1}（1+1）的十进制展开式/A002145号（k） ^3）。
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1, 0, 4, 1, 1, 5, 8, 0, 7, 2, 8, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 8, 0, 3, 3, 8, 3, 6, 0, 5, 6, 9, 9, 2, 5, 6, 1, 5, 6, 6, 9, 3, 7, 6, 0, 7, 1, 3, 5, 1, 1, 3, 4, 9, 3, 5, 4, 1, 7, 3, 9, 4, 9, 8, 8, 6, 6, 6, 1, 7, 8, 5, 4, 1, 3, 5, 5, 8, 5, 6, 1, 3, 5, 0, 3, 5, 3, 5, 6, 0, 4, 7, 4, 5, 5, 4, 6, 7, 1, 0, 8, 7, 4, 3, 1, 5, 3, 6, 3
参考文献
B.C.Berndt，Ramanujan笔记本第四部分，Springer-Verlag，1994年，第64-65页。
例子
1.041158072823444580338360569925615669376071...
Product_{k>=1}（1+1）的十进制展开式/A002145号（k） ^4）。
+10
6
1, 0, 1, 2, 8, 4, 9, 7, 3, 7, 5, 0, 3, 6, 5, 8, 2, 4, 1, 0, 5, 3, 7, 3, 8, 8, 0, 9, 6, 3, 0, 1, 1, 2, 0, 3, 9, 6, 8, 4, 5, 0, 4, 2, 1, 6, 5, 5, 3, 8, 6, 9, 4, 5, 0, 9, 2, 2, 2, 1, 4, 4, 1, 8, 1, 9, 1, 3, 4, 1, 5, 6, 6, 9, 0, 0, 5, 5, 2, 5, 7, 1, 6, 6, 4, 2, 4, 8, 6, 1, 2, 7, 5, 4, 1, 3, 0, 2, 9, 9, 9, 3, 4, 4, 9
评论
通常，对于s>1，Product_{k>=1}（1+1/A002145号（k） ^s）/（1-1）/A002145号（k） ^s）=2^s*（2^s-1）*泽塔/（泽塔，1/4）-泽塔（s，3/4）。
参考文献
B.C.Berndt，Ramanujan笔记本第四部分，Springer-Verlag，1994年，第64-65页。
例子
1.01284973750365824105373880963011203968450421655386945092221...
Product_{k>=1}（1+1）的十进制展开式/A002145号（k） ^5）。
+10
6
1, 0, 0, 4, 1, 8, 1, 8, 1, 6, 7, 7, 0, 8, 5, 6, 6, 9, 0, 3, 8, 8, 7, 2, 6, 9, 7, 6, 5, 6, 5, 8, 5, 6, 9, 6, 0, 6, 3, 1, 5, 8, 1, 9, 5, 0, 6, 3, 6, 7, 4, 3, 2, 8, 8, 2, 8, 3, 4, 2, 4, 9, 7, 6, 8, 6, 9, 7, 7, 9, 4, 4, 9, 6, 4, 3, 9, 9, 3, 8, 0, 8, 1, 9, 9, 2, 1, 4, 5, 9, 3, 8, 0, 5, 7, 9, 0, 0, 6, 2, 3, 4, 5, 2, 5
评论
通常，对于s>1，Product_{k>=1}（1+1/A002145号（k） ^s）/（1-1）/A002145号（k） ^s）=2^s*（2^s-1）*泽塔/（泽塔，1/4）-泽塔（s，3/4））。
参考文献
B.C.Berndt，Ramanujan笔记本第四部分，Springer-Verlag，1994年，第64-65页。
例子
1.0041818167708566903887269765658569606315819506367432882834249768697794496439...
勾股四元组的数目mod n；即w^2+x^2+y^2=z^2模n的解的个数。
+10
4
1, 8, 21, 64, 145, 168, 301, 512, 621, 1160, 1221, 1344, 2353, 2408, 3045, 4096, 5185, 4968, 6517, 9280, 6321, 9768, 11661, 10752, 18625, 18824, 16281, 19264, 25201, 24360, 28861, 32768, 25641, 41480, 43645, 39744, 51985, 52136, 49413, 74240
链接
A.H.哈卡米，二次型模p^m的小本原零点，拉曼。J.38（2015）189-198，n=4，det Q=-1，omega_J（y'）=p^（m-J）-p^（mj-1）的引理2.1。
配方奶粉
a（n）是乘法的。对于素数p的幂，有几种情况。对于p=2，我们有a（2^e）=2^（3e）。对于p==1（mod 4）的奇素数p，我们得到了a（p^e）=p^（2*e-1）*（p^e+1）+p^e-1）。对于p==3（mod 4）和偶数e的奇素数p，我们有a（p^e）=p^（3*e）+（p-1）*p^。对于奇素数p==3（mod 4）和奇素数e，我们有a（p^e）=p^（3*e）-（p-1）*p^。【2018年6月24日修订，R.J.马塔尔]
MAPLE公司
a:=1；
对于ifactors（n）[2]do中的pe
p:=op（1，pe）；
e：=op（2，pe）；
如果p=2，则
a:=a*p^（3*e）；
elif modp（p，4）=1那么
a:=a*p^（2*e-1）*（p^〔e+1〕+p^e-1）；
其他的
如果类型为（e，“偶数”），则
a:=a*（p^（3*e）+（p-1）*p^；
其他的
a:=a*（p^（3*e）-（p-1）*p^，（2*e-1）*（1+p^e）/（1+p））；
结束条件：；
结束条件：；
结束do：
a；
结束进程：
数学
表[cnt=0；Do[If[Mod[w^2+x^2+y^2-z^2，n]==0，cnt++]，{w，0，n-1}，{x，0，n-1}；碳纳米管{n，50}]
f[2，e_]：=2^（3*e）；f[p_，e_]：=如果[Mod[p，4]==1，p^（2*e-1）*（p^，e+1）+p^e-1）；a[1]＝1；a[n_]：=倍@@f@@FactorInteger[n]；数组[a，100](*阿米拉姆·埃尔达尔2020年9月11日*）
黄体脂酮素
（PARI）
M（n，f）={和（i=0，n-1，Mod（x^（f（i）%n），x^n-1））}
a（n）=｛polcoeff（升力（M（n，i->i^2）^3*M（n，i->-（i^2）），0）｝\\安德鲁·霍罗伊德，2018年6月23日
（PARI）a（n）={my（f=因子（n））；prod（i=1，#f~，p=f[i，1]；e=f[i,2]；if（p==2，2^（3*e），if（p%4==1，p^（2*e-1）*+（p-1）*p^（2*e-1）*（1-p^e）/（1+p）））；}\\阿米拉姆·埃尔达尔2023年11月21日
与a（p^e）相乘=p^（e-1）*H（p）。如果p==1（mod 4），则H（2）=1，H（p）=p-1，如果p==3（mod4），那么H（p）=p+1。
+10
三
1, 1, 4, 2, 4, 4, 8, 4, 12, 4, 12, 8, 12, 8, 16, 8, 16, 12, 20, 8, 32, 12, 24, 16, 20, 12, 36, 16, 28, 16, 32, 16, 48, 16, 32, 24, 36, 20, 48, 16, 40, 32, 44, 24, 48, 24, 48, 32, 56, 20, 64, 24, 52, 36, 48, 32, 80, 28, 60, 32, 60, 32, 96, 32, 48, 48, 68, 32
MAPLE公司
带有（数字理论）：
a:=n->add（jacobi（-1，d）*mobius（d）*n/d，d以除数（n）表示）：
seq（a（n），n=1..60）#彼得·巴拉2023年12月26日
数学
ar[p_，s_]：=其中[Mod[p，4]==1，p^（s-1）*；算术[1]=1；arit[n_]：=乘积[ar[FactorInteger[n][[i，1]]，FactorIntelleger[n][i，2]]，{i，长度[FactorIntegrate[n]]}]；数组[arit，100]
黄体脂酮素
（PARI）A204617型（n） ={my（f=因子（n），p）；prod（i=1，#f~，p=f[i，1]；（p^（f[i、2]-1））*如果（2==p，1，如果（1==（p%4），p-1，p+1））；}\\Antti Karttunen公司2021年11月16日
B.Davis常数Pi^2/（8*G）的十进制展开式，这是一个Riesz-Kolmogorov常数，其中G是加泰罗尼亚常数。
+10
三
1, 3, 4, 6, 8, 8, 5, 2, 5, 1, 9, 9, 9, 4, 0, 6, 5, 9, 5, 1, 8, 2, 0, 0, 7, 5, 5, 5, 4, 4, 1, 1, 0, 7, 7, 9, 4, 7, 1, 5, 2, 5, 1, 6, 2, 5, 5, 6, 8, 9, 6, 8, 8, 2, 0, 8, 1, 9, 4, 2, 6, 2, 2, 8, 1, 2, 7, 0, 0, 8, 1, 0, 7, 3, 4, 2, 9, 5, 8, 3, 5, 2, 1, 0, 8, 2, 2, 9, 6, 3, 7, 7, 5, 4, 4, 7, 9, 8, 4, 7, 5
参考文献
Steven R.Finch，《数学常数》，剑桥大学出版社，2003年，第7.7节Riesz-Kolmogorov常数，第474页。
例子
1.3468852519994065951820075554411...
MAPLE公司
s： =转换（evalf（Pi^2/（8*Catalan），140），字符串）：
映射（解析，子（“.”=NULL，[seq（i，i=s）]）[]#阿洛伊斯·海因茨2014年5月23日
数学
真数字[Pi^2/（8*加泰罗尼亚语），10100]//第一个
黄体脂酮素
（PARI）默认值（realprecision，100）；Pi^2/（8*加泰罗尼亚语）\\G.C.格鲁贝尔，2018年8月25日
（Magma）SetDefaultRealField（RealFild（100））；R： =RealField（）；Pi（R）^2/（8*加泰罗尼亚语（R））//G.C.格鲁贝尔，2018年8月25日
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