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从n中删除2的所有因子;或n的最大奇除数;或n的奇数部分。 (原名M2222 N0881)
+10 687
1, 1, 3, 1, 5, 3, 7, 1, 9, 5, 11, 3, 13, 7, 15, 1, 17, 9, 19, 5, 21, 11, 23, 3, 25, 13, 27, 7, 29, 15, 31, 1, 33, 17, 35, 9, 37, 19, 39, 5, 41, 21, 43, 11, 45, 23, 47, 3, 49, 25, 51, 13, 53, 27, 55, 7, 57, 29, 59, 15, 61, 31, 63, 1, 65, 33, 67, 17, 69, 35, 71, 9, 73, 37, 75, 19, 77
评论
连接线的斜率(o,a(o)),其中o=(2^k)(n-1)+1为2^k,(按设计)从(1,1)开始Josh Locker(joshlocker(AT)macfora.com),2004年4月17日
“顺序可以安排在表格中:
1
1 3 1
1 5 3 7 1
1 9 5 11 3 13 7 15 1
1 17 9 19 5 21 11 23 3 25 13 27 7 29 15 31 1
每一新行都是前一行,中间隔着奇数的延续。
这是一个分形序列。奇数元素表示奇数自然数。如果删除这些元素,则恢复原始序列-凯里·米切尔2005年12月7日
不难证明前2^n项的和是(4^n+2)/3-尼克·霍布森2005年1月14日
关于马可·马托西奇(Marco Matosic)评论中描述的表格表示:在他的绘图中,从第三行开始,行中的第一个项等于1(或者,行中最后一个项也等于1),并不是按照实际顺序,而是作为一个虚构的项添加到绘图中(为了对称); 实际的A000265号(n) 可以认为是a(j,k)(其中j>=1是行号,k>=1为列下标),因此a(j、1)=1:
1
1 3
1 5 3 7
1 9 5 11 3 13 7 15
1 17 9 19 5 21 11 23 3 25 13 27 7 29 15 31
等等。
每行的k和j之间的关系是1<=k<=2^(j-1)。在这个经过修正的表格表示法中,Marco的概念“每一新行都是前一行,中间穿插着奇数的延续”仍然成立。(结束)
此序列是截断三角形:
1, 1;
3, 1, 5;
3, 7, 1, 9;
5, 11, 3, 13, 7;
15, 1, 17, 9, 19, 5;
21, 11, 23, 3, 25, 13, 27;
7, 29, 15, 31, 1, 33, 17, 35;
...
c(n)=((n*(n+1)/2))/A069834号= 1, 1, 2, 2, 1, 1, 4, 4, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 8, 8, 1, 1, ... 对于n>0。n*(n+1)/2是A069834美元.(结束)
除了是乘法的,a(n)是一个强可除序列,即gcd(a(n,a(m))=a(gcd(n,m))对于n,m>=1。特别地,a(n)是一个可除序列:如果n除m,那么a(n”)除a(m)-彼得·巴拉2019年2月27日
参考文献
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
链接
V.Daiev和J.L.Brown,问题H-81,光纤。夸脱。,6 (1968), 52.
配方奶粉
如果p=2,则与a(p^e)=1相乘,如果p>2,则与p^e相乘-大卫·W·威尔逊2001年8月1日
通用公式:-x/(1-x)+和{k>=0}(2*x^(2^k)/-拉尔夫·斯蒂芬2003年9月5日
(a(k),a(2k),b(3k),…)=a(k)*(a(1)、a(2)、a一般来说,a(n*m)=a(n)*a(m).-Josh Locker(jlocker(AT)mail.rochester.edu),2005年10月4日
Dirichlet g.f.:zeta(s-1)*(2^s-2)/(2^s-1)-拉尔夫·斯蒂芬2007年6月18日
a(n)=n/gcd(2^n,n)。(这也表明实际偏移为0,a(0)=0。)-彼得·卢什尼2009年11月14日
对于Z中的所有n,a(-n)=-a(n)-迈克尔·索莫斯2011年9月19日
a((2*n-1)*2^p)=2*n-1,p>=0,n>=1-约翰内斯·梅耶尔2013年2月5日
G.f.:G(0)/(1-2*x^2+x^4)-1/(1-x),其中G(k)=1+1/(1-x^(2^k)*(1-2**^(k+1))+x^/G(k+1));(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年8月6日
素数p>2的a(2)=1和a(p)=p的完全乘法,即序列b(n)=a(n)*A008683号(n) 对于n>0,是a(n)的Dirichlet逆-沃纳·舒尔特2018年7月8日
外径:f(x)-f(x^2)-f。。。,其中F(x)=x/(1-x)^2是正整数的生成函数。
倒数的O.g.f.:和{n>=1}x^n/a(n)=L(x)+(1/2)*L(x^2)+(1/2)*L。。。,其中L(x)=对数(1/(1-x))。
求和{n>=1}x^n/a(n)=1/2*log(G(x)),其中G(x)=1+2*x+4*x^2+6*x^3+10*x^4+。。。是的o.g.fA000123号.(结束)
O.g.f.:和{n>=1}φ(2*n-1)*x^(2*n-1)/(1-x^A000010号. -彼得·巴拉,2019年3月22日
a(n)=和{d除以n}(-1)^(d+1)*phi(2*n/d)-彼得·巴拉,2024年1月14日
例子
G.f.=x+x ^2+3*x ^3+x ^4+5*x ^5+3*x^6+7*x ^7+x ^8+9*x ^9+5*x^10+11*x ^11+。。。
MAPLE公司
A000265号:=程序(n)局部t1,d;t1:=1;对于从1乘2到n的d,如果n mod d=0,则t1:=d;fi;od;t1;结束:连续(A000265号(n) ,n=1..77);
数学
a[n_Integer/;n>0]:=n/2^整数指数[n,2];阵列[a,77](*Josh Locker*)
a[n_]:=如果[n==0,0,n/2^整数指数[n,2];(*迈克尔·索莫斯2014年12月17日*)
黄体脂酮素
(PARI)
(哈斯克尔)
a000265=直到奇数(`div`2)
(方案)(定义(A000265号n) (let loop(n n))(如果(奇数?n)n(loop(/n 2)));;安蒂·卡图恩,2017年4月15日
(Python)
来自未来进口部
当不是n%2时:
n//=2
(Java)
而(n%2==0)n>>=1;
返回n;
}
(朱莉娅)
使用整数序列
[OddPart(n)for n in 1:77]|>打印ln#彼得·卢什尼2021年9月25日
(岩浆)
(SageMath)
扩展
更多来自Larry Reeves(larryr(AT)acm.org)的条款,2000年3月14日
1, 1, -2, -16, -64, -208, -608, -1664, -4352, -11008, -27136, -65536, -155648, -364544, -843776, -1933312, -4390912, -9895936, -22151168, -49283072, -109051904, -240123904, -526385152, -1149239296, -2499805184, -5419040768
配方奶粉
猜想:G.f.:-(4*x-1)*(x-1)/((2*x-1)^3)和a(n)=2^n-n*(n+1)*2^(n-2)-R.J.马塔尔2010年12月11日
数学
表[2^n-n*(n+1)*2^(n-2),{n,0,26}](*韦斯利·伊万·赫特2013年12月2日*)
黄体脂酮素
(岩浆)[2^n-n*(n+1)*2^(n-2):[0.30]]中的n//文森佐·利班迪2011年8月11日
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