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第页1
1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 2, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 0, 3, 0, 3, 0, 1, 1, 1, 3, 3, 3, 3, 1, 1, 1, 0, 4, 0, 6, 0, 4, 0, 1, 1, 1, 4, 4, 6, 6, 4, 4, 1, 1, 1, 0, 5, 0, 10, 0, 10, 0, 5, 0, 1, 1, 1, 5, 5, 10, 10, 10, 10, 5, 5, 1, 1, 1, 0, 6, 0, 15, 0, 20, 0, 15, 0, 6, 0, 1, 1, 1, 6, 6, 15, 15, 20, 20, 15, 15, 6, 6, 1, 1
评论
如果和{k=0..n}A（k）*T（n，k）=B（n），序列B是序列A的S-D变换-菲利普·德尔汉姆2006年8月2日
带有k个黑色珠子的n珠子黑白可逆串的数量；也是二进制网格；字符串是回文的-尤拉门迪2008年8月7日
（x+y）^n的展开系数，其中x和y反交换（y x=-x y），即q=-1时的q-多项式系数-迈克尔·索莫斯，2009年2月16日
在w=2处链接到Pascal三角形的一般多项式递归的系数序列在这里是w=0。行总和是{1、2、2、4、4、8、8、16、16、32、32、64…}-罗杰·巴古拉和加里·亚当森2009年12月4日
T（n，k）是n+1的回文成分数，精确到k+1部分。T（6,4）=3，因为我们有以下n+1=7的组成，长度k+1=5：1+1+3+1+1，2+1+1+1+2，1+2+1+2+1-杰弗里·克雷策，2014年3月15日[更正人：Petros Hadjicostas公司2017年11月3日]
设P（n，k）是n的回文成分的个数，正好是k个部分。MacMahon（1893）是第一个证明P（n，k）=T（n-1，k-1）的人，其中T（n，k）是这个序列中的数字（参见G.Critzer的上述注释）。他实际上证明了，对于1<=s<=m，我们有P（2*m，2*s）=P（2*m，2*s-1）=P。对于当前序列，可以将其转换为T（2*m-1，2*s-1）=T（2*m-1,2*s-2）=T-Petros Hadjicostas公司2017年11月3日
T是该序列的无穷下三角矩阵；定义另外两个U和V；设U（n，k）=e_k（-1,2，-3，…，（-1）^n n），其中e_k是第k个初等对称多项式，V是对角矩阵A057077号（周期序列1,1，-1，-1）。显然V^-1=V。猜测：U=U^-1，T=U。V、 T^-1=相对。U、 和|T|=|U|-乔治·贝克2017年12月16日
设T*（n，k）=T（n，k），但当n为奇数且k=（n+1）/2时除外，其中T*（n，k）=T（n、k）+2^（n-1）/2）。因此，T*（n，k）是具有n个单元和k个台阶的非同构对称楼梯的数量，即k-1改变方向。请参见A016116号. -克里斯蒂安·巴伦托斯和莎拉·米尼翁2018年7月29日
链接
Nantel Bergeron、Kelvin Chan、Yohana Solomon、Farhad Soltani和Mike Zabrocki，外代数的拟对称调和，arXiv:2206.02065[math.CO]，2022。
E.Burlachenko，分形广义Pascal矩阵，arXiv:1612.00970[math.NT]，2016年。见第3页。
F.Al-Kharousi、R.Kehinde和A.Umar，有限链部分等距半群的组合结果《澳大利亚组合数学杂志》，第58卷（3）（2014），363-375。
P.A.麦克马洪，数字合成理论回忆录，菲尔翻译。伦敦皇家学会，184（1893），835-901。
配方奶粉
T（n，k）=T（n-1，k-1）+T（n-1，k），如果n为奇数或k为偶数，否则为0。T（0，0）=1。
T（n，k）=T（n-2，k-2）+T（n-2，k）。T（0,0）=T（1,0）=T（1,1）=1。
通过将第一行/列设置为1（A（i，0）=A（0，j）=1）而生成的方形数组；A（1，1）=0；A（1,j）=A（1,j-2）；A（i，1）=A（i-2，1）；其他条目A（i，j）=A（i-2，j）+A（i、j-2）-杰拉尔德·麦卡维2004年8月21日
通用格式：（1+x+x*y）/（1-x^2-y^2*x^2）-菲利普·德尔汉姆2014年3月11日
对于n，k>=1，当n奇数和k偶数时T（n，k）=0；否则，T（n，k）=二项式（floor（n-1）/2），floor（k-1）/2）-克里斯蒂安·巴伦托斯2020年3月14日
T（n，k）=T（n-1，k-1）+（-1）^k*T。
矩阵逆是T ^-1（n，k）=（-1）^（（n-k）*（n+k+1）/2）*T（n，k）对于0<=k<=n。（结束）
双Riordan阵列（1/（1-x）；Davenport等人。
第2*n列的G.f:（1+x）*x^（2*n）/（1-x^2）^（n+1）；第2*n+1:x^（2*n+1）/（1-x^2）^（n+1）列的G.f
行多项式：R（2*n，x）=（1+x^2）^n；R（2*n+1，x）=（1+x）*（1+x^2）^n。
这个三角形的无穷小生成器在主次对角线上有序列[1，0，1，0，1，0，…]，在正下方的对角线上有序列[1，1，2，2，3，3，4，4，…]，在其他地方为零。
让T表示这个下三角数组。那么T^a，对于C中的a，是双Riordan数组（（1+a*x）/（1-a*x^2）；x/（1+a*x），（1+a*x）/（1-a*x^2）），带o.g.f.（1+x*（a+y））/（1-x^2*（a+y^2）。。。。
T^a的第（2*n）行多项式是（a+y^2）^n；T^a的第（2*n+1）行多项式是（a+y）*（a+y^2）^n。（End）
例子
三角形开始：
{1},
{1, 1},
{1, 0, 1},
{1, 1, 1, 1},
{1, 0, 2, 0, 1},
{1, 1, 2, 2, 1, 1},
{1, 0, 3, 0, 3, 0, 1},
{1, 1, 3, 3, 3, 3, 1, 1},
{1, 0, 4, 0, 6, 0, 4, 0, 1},
{1, 1, 4, 4, 6, 6, 4, 4, 1, 1},
{1, 0, 5, 0, 10, 0, 10, 0, 5, 0, 1},
{1, 1, 5, 5, 10, 10, 10, 10, 5, 5, 1, 1}
MAPLE公司
T： =proc（n，k）选项记忆`如果`（n=0且k=0，1，
`如果`（n<0或k<0，0，`如果`（irem（n，2）=1或
irem（k，2）=0，T（n-1，k-1）+T（n-1，k），0））
结束时间：
seq（seq（T（n，k），k=0..n），n=0..14）#阿洛伊斯·海因茨2014年7月12日
数学
T[n_，k_]：=Q二项式[n，k，-1]；(*迈克尔·索莫斯2011年6月14日；自V7*起）
清除[p，n，x，a]
w=0；
p[x，1]：=1；
p[x_，n_]：=p[x，n]=如果[Mod[n，2]==0，（x+1）*p[x、n-1]，（x^2+w*x+1）^楼层[n/2]]
a=表[系数列表[p[x，n]，x]，{n，1，12}]
黄体脂酮素
（PARI）{T（n，k）=二项式（n%2，k%2）*二项式（n\2，k\2）}；
（哈斯克尔）
a051159 n k=a051159_tabl！！n！！k个
a051159_行n=a051159-tabl！！n个
a051159_tabl=[1]：f[1][1]，1]其中
f us vs=vs:f vs（zipWith（+）（[0,0]++us）（us++[0,0]）
（SageMath）
@缓存函数
定义T（n，k）：
如果k==0或k==n：返回1
返回T（n-1，k-1）+（-1）^k*T（n-1，k）
对于n in（0..12）：打印（[T（n，k）for k in（0..n）]）#彼得·卢什尼2021年7月6日
按行读取的三角阵列T：T（n，0）=T（n、n）=1，表示所有n>=0，T（n）=T。
+10
18
1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 4, 4, 1, 1, 6, 11, 6, 1, 1, 7, 17, 17, 7, 1, 1, 9, 30, 45, 30, 9, 1, 1, 10, 39, 75, 75, 39, 10, 1, 1, 12, 58, 144, 195, 144, 58, 12, 1, 1, 13, 70, 202, 339, 339, 202, 70, 13, 1, 1, 15, 95, 330, 685, 873, 685, 330, 95, 15, 1
评论
T（n，k）是使用步长U=（1,1），D=（1，-1）从（0,0）到（n，n-2k）的晶格路径数，并且在水平-4,-2,0,2,4,..., H=（2,0）。例如：T（4,1）=6，因为我们有以下从（0,0）到（4,2）的路径：UUUD、UUH、UUDU、UDUU、HUU和DUUU。行总和收益A026383号第1列为A032766号，第2列为A026381号，第3列为A026382号. -Emeric Deutsch公司2004年1月25日
配方奶粉
T（n，k）=整数字符串数s（0）。。。，s（n）使得s（0）=0，s（n。
T（2n，k）=总和{j=上限（k/2）..k}3^（2j-k）*二项式（n，j）*二项式（j，k-j）；
T（2n+1，k）=T（2n，k-1）+T（2n，k）。
通用公式：（1+z+t*z）/（1-（1+3*t+t^2）*z^2）=1+（1+t）*z+（1+3*t+t*2）*z ^2+。
第2n行的生成多项式为（1+3*t+t^2）^n；
生成第2n+1行的多项式为（1+t）*（1+3*t+t^2）^n。（结束）
T（2n，k）=总和{j=上限（k/2）..k}3^（2j-k）*二项式（n，j）*二项式（j，k-j）；
T（2n+1，k）=T（2n，k-1）+T（2n，k）。（结束）
例子
三角形开始：
1;
1, 1;
1, 3, 1;
1, 4, 4, 1;
1, 6, 11, 6, 1;
1, 7, 17, 17, 7, 1;
1, 9, 30, 45, 30, 9, 1;
1, 10, 39, 75, 75, 39, 10, 1;
1, 12, 58, 144, 195, 144, 58, 12, 1;
1, 13, 70, 202, 339, 339, 202, 70, 13, 1;
1, 15, 95, 330, 685, 873, 685, 330, 95, 15, 1;
1, 16, 110, 425, 1015, 1558, 1558, 1015, 425, 110, 16, 1;
（结束）
数学
p[x，1]：=1；
p[x_，n_]：=p[x，n]=如果[Mod[n，2]==0，（x+1）*p[x、n-1]，（x^2+1）^楼层[n/2]]；
a=表[系数列表[p[x，n]，x]，{n，1，12}]；
黄体脂酮素
（哈斯克尔）
a026374 n k=a026374_tabl！！n！！k个
a026374_row n=a026374 _ tabl！！n个
a026374_tabl=[1]：映射fst（映射snd$迭代f（1，（[1，1]，[1]）），其中
f（0，（us，vs））=（1，（zipWith（+）（[0]++us）（us++[0]），us）
f（1，（us，vs））=（0，（zipWith（+）（[0]+vs++[0]）$
zipWith（+）（[0]++us）（us++[0]），us）
a（0）=1；此后a（2*n+1）=3^n，a（2xn+2）=2*3^n。
+10
9
1, 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54, 81, 162, 243, 486, 729, 1458, 2187, 4374, 6561, 13122, 19683, 39366, 59049, 118098, 177147, 354294, 531441, 1062882, 1594323, 3188646, 4782969, 9565938, 14348907, 28697814, 43046721, 86093442, 129140163, 258280326, 387420489
评论
6阶帕斯卡循环数组第n行的范围-肖恩·奥特2014年5月30日
a（n）也是使用三种或更少颜色的长度为n的行或周期中的非彩色图案数。如果我们排列颜色，两种颜色模式是相同的，因此ABCAB=BACBA。对于一个循环，我们可以旋转颜色，因此ABCAB=CABAB。如果一行与其相反的某些颜色排列相同，则该行是非右旋的。因此，ABCAB的反转是BACBA，当我们排列A和B时，它等价于ABCAB。如果一个循环与它的反转的某个颜色排列的某些旋转相同，那么它就是无向的。因此，CABAB反转就是BABAC。我们可以置换A和B得到ABABC，然后旋转得到CABAB，所以CABAB是非手性的。有趣的是，行和循环的非中央颜色图案的数量是相同的-罗伯特·拉塞尔2018年3月10日
链接
Daniel Birmajer、Juan B.Gil、Jordan O.Tirrell和Michael D.Weiner，避免模式的稳定无间隔排列，arXiv:2306.03155[math.CO]，2023年。
配方奶粉
通用名称：（1+x-x^2）/（1-3*x^2。
1/（1-x/（1-x[（1+x/（1+x））））的x次幂展开。
a（n）=（3-（1+（-1）^n）*（3-2*sqrt（3））/2）*sqert（3）^（n-3）对于n>0，a（0）=1-布鲁诺·贝塞利2013年3月19日
如果n是奇数，a（0）=1，a（1）=1、a（n）=a（n-1）+a（n-2），如果n是偶数，a-乔恩·佩里2013年3月19日
对于奇数n=2m-1，对于的三角形T（m，k），a（2m-1）=T（m，1）+T（m，2）+T（m，3）A140735号; 对于偶数n=2m，a（2m）=T（m，1）+T（m、2）+TA293181型. -罗伯特·拉塞尔2018年3月10日
a（2米）=S2（m+3.3）-4*S2（m+2.3）+5*S2。
例子
G.f.=1+x+2*x^2+3*x^3+6*x^4+9*x^5+18*x^6+27*x^7+54*x^8+。。。
对于a（4）=6，行的非基色图案为AAAA、AABB、ABAB、ABBA、ABBC和ABCA。注意，对于循环AABB=ABBA和ABBC=ABCA。周期的非手性模式为AAAA、AAAB、AABB、ABAB、ABAC和ABBC。注意，AAAB和ABAC不是非关键行。
对于a（5）=9，非基色图案（对于行和循环）为AAAAA、AABAA、ABABA、ABBBA、AABCC、ABACA、ABBCB、ABCAB和ABCBA。（结束）
数学
联接[{1}，递归表[{a[1]==1，a[2]==2，a[n]==3a[n-2]}，a，{n，40}]](*布鲁诺·贝塞利2013年3月19日*）
系数列表[级数[（1+x-x^2）/（1-3*x^2，{x，0，50}]，x](*G.C.格鲁贝尔2017年4月14日*）
表[If[EvenQ[n]，StirlingS2[（n+6）/2，3]-4 StirlingS2[（n+4）/2、3]+5 StirlingS2[（n+2）/2和3]-2 Stirling S2[n/2，3]，StilingS2[（n+5(*罗伯特·拉塞尔2018年10月21日*）
联接[｛1｝，表[If[EvenQ[n]，2 3^（（n-2）/2），3^（（n-1）/2）]，｛n，40｝]](*罗伯特·拉塞尔，2018年10月28日*）
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=如果（n<1，n==0，n---；（n%2+1）*3^（n\2））}
（岩浆）I:=[1,1,2]；[n le 3选择I[n]else 3*Self（n-2）：n in[1..40]]//布鲁诺·贝塞利2013年3月19日
（Maxima）makelist（如果n=0，则1 else（1+mod（n-1，2））*3^floor（（n-1）/2），n，0，40）/*布鲁诺·贝塞利2013年3月19日*/
（PARI）我的（x='x+O（'x^50））；Vec（（1+x-x^2）/（1-3*x^2））\\G.C.格鲁贝尔2017年4月14日
（SageMath）
定义A182522号（n） ：return（3-（3-2*sqrt（3））*（（n+1）%2））*3^（（n-3）/2）+int（n==0）/3
多项式p_n（x）的系数[x^k]的三角形T（n，k），其中p_n。
+10
4
1, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 5, 5, 1, 1, 8, 18, 8, 1, 1, 9, 26, 26, 9, 1, 1, 12, 51, 88, 51, 12, 1, 1, 13, 63, 139, 139, 63, 13, 1, 1, 16, 100, 304, 454, 304, 100, 16, 1, 1, 17, 116, 404, 758, 758, 404, 116, 17, 1, 1, 20, 165, 720, 1770, 2424, 1770, 720, 165, 20, 1, 1, 21, 185, 885
例子
三角形从第n=1行开始，第0<=k<n列为：
1;
1, 1;
1, 4, 1;
1, 5, 5, 1;
1, 8, 18, 8, 1;
1, 9, 26, 26, 9, 1;
1, 12, 51, 88, 51, 12, 1;
1, 13, 63, 139, 139, 63, 13, 1;
1, 16, 100, 304, 454, 304, 100, 16, 1;
1, 17, 116, 404, 758, 758, 404, 116, 17, 1;
1, 20, 165, 720, 1770, 2424, 1770, 720, 165, 20, 1;
1, 21, 185, 885, 2490, 4194, 4194, 2490, 885, 185, 21, 1;
MAPLE公司
A171142P:=proc（n）选项记忆；如果类型为（n，‘偶数’），则为（x+1）*procname（n-1）；其他（x^2+4*x+1）^（（n-1）/2）；结束条件：；膨胀（%）；结束进程：
A171142号：=过程（n，k）系数（A171142P（n，x），x，k）；结束进程：
数学
清除[p，n，x，a]
w=4；
p[x，1]：=1；
p[x_，n_]：=p[x，n]=如果[Mod[n，2]==0，（x+1）*p[x、n-1]，（x^2+w*x+1）^Floor[n/2]]；
a=表[系数列表[p[x，n]，x]，{n，1，12}]；
压扁[a]
三角形T（n，k），0<=k<=n，由[1，0，-1，0，0，0，0，0，…]DELTA[0，1，0，-1，0，0，0，…]给定的行读取，其中DELTA是A084938号.
+10
三
1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 2, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 2, 1, 0, 1, 3, 5, 5, 3, 1, 0, 1, 3, 6, 7, 6, 3, 1, 0, 1, 4, 9, 13, 13, 9, 4, 1, 0, 1, 4, 10, 16, 19, 16, 10, 4, 1, 0, 1, 5, 14, 26, 35, 35, 26, 14, 5, 1, 0, 1, 5, 15, 30, 45, 51, 45, 30, 15, 5, 1, 0, 1, 6, 20, 45, 75, 96, 96, 75, 45, 20, 6, 1, 0
配方奶粉
T（n，k）=T（n-1，k-1）+T。
T（n，k）=T（n，n-k-1）。
通用格式：（1+x-y^2*x^2）/（1-x^2-y*x^2-y ^2*x ^2）。
T（n，k）=T（n-2，k）+T（n-2，k-1）+T。
和{k=0..n}（-1）^k*T（n，k）=A135528号（n） ●●●●。
求和{k=0..楼层（n/2）}T（n-k，k）=[n==0]+A013979号（n+1）。（结束）
例子
三角形开始：
1;
1, 0;
1, 1, 0;
1, 1, 1, 0;
1, 2, 2, 1, 0;
1, 2, 3, 2, 1, 0;
1, 3, 5, 5, 3, 1, 0;
1, 3, 6, 7, 6, 3, 1, 0;
1, 4, 9, 13, 13, 9, 4, 1, 0;
数学
T[n_，k_]：=T[n，k]=如果[k<0|k>n，0，如果[k==0|k==n-1，1，如果[k==n，0；
表[T[n，k]，{n，0，12}，{k，0，n}]//展平(*G.C.格鲁贝尔，2023年7月17日*）
黄体脂酮素
（岩浆）
如果k lt 0或k gt n，则返回0；
elif k eq 0或k eq n-1，然后返回1；
elif k eq n，然后返回0；
否则返回T（n-2，k）+T（n-2，k-1）+T；
结束条件：；
端函数；
[T（n，k）：[0..n]中的k，[0..12]]中的n//G.C.格鲁贝尔2023年7月17日
（SageMath）
如果（k<0或k>n）：返回0
elif（k==0或k==n-1）：返回1
elif（k==n）：返回0
else：返回T（n-2，k）+T（n-2，k-1）+T
压扁（[[T（n，k）代表范围（n+1）中的k]代表范围（13）中的n]）#G.C.格鲁贝尔2023年7月17日
按行读取的广义帕斯卡三角形：将你正上方的四个术语相加，再往后三行。
+10
2
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 1, 1, 2, 3, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1, 1, 3, 5, 7, 7, 5, 3, 1, 1, 3, 6, 9, 10, 9, 6, 3, 1, 1, 3, 6, 10, 12, 12, 10, 6, 3, 1, 1, 4, 9, 16, 22, 24, 22, 16, 9, 4, 1, 1, 4, 10, 19, 28, 34, 34, 28, 19, 10, 4, 1, 1, 4, 10, 20, 31, 40, 44, 40, 31, 20, 10, 4, 1
评论
为了解释形成规则，考虑三角形的前几行，它们是：
1
1, 1
1, 1, 1
1, 1, 1, 1
A、 B、C、D、1
1, 2, 3, 3, 2, 1
1, 2, 3, 4, 3, 2, 1
1、3、5、E、7、5、3、1
左边和右边都是1，三角形外的条目都是0，前三行都是1。
此后，每一项E（比如说）是其正上方三行的四项A、B、C、D的总和。
设M表示所有子对角上具有序列[1,0,0,1,0,1，…]的下单位三角形阵列。对于k=0,1,2，。。。，将M（k）定义为下单位三角形块数组
/确定0（_k）\
\0百万/
将k X k单位矩阵I_k作为左上块；特别地，M（0）=M。那么现在的三角形等于无限矩阵乘积M（0，M（1）*M（2）*。。。（这是明确定义的）。请参阅下面的示例部分。证明使用了公式部分的曲棍球恒等式。（结束）
配方奶粉
如果k<0或k>n，T（n，0）=T（n、n）=1，T（n、k）=0，T（2,1）=1；此后，T（n，k）=T（n-3，k-3）+T（n-2，k-3。
T（3*n，k）=T（3*n-2，k）+T（3x n-2，k-2）。
T（3*n+1，k）=T（3*n，k）+T（3*1，k-1）。
T（3*n+2，k）=T（3*1，k-1）+T（3*n，k）。
曲棍球棒标识（将第k行的条目与第k-1行的条目关联起来）：
T（3*n，k）=T。。。。
T（3*n+1，k）=T（3*n，k-1）+。
T（3*n+2，k）=T（3*n+1，k-1）+（T（3*1，k-1。
行多项式：
R（3*n，x）=R（3，x）^n=（1+x+x^2+x^3）^n。
R（3*n+1，x）=R（1，x）*R（3，x）^n=（1+x）*（1+x+x^2+x^3）^n。
R（3*n+2，x）=R（2，x）*R（3，x）^n=（1+x+x^2）*（1+x+x^2+x^3）^n。（完）
例子
三角形开始：
1
1, 1
1, 1, 1
1, 1, 1, 1
1, 2, 2, 2, 1
1, 2, 3, 3, 2, 1
1, 2, 3, 4, 3, 2, 1
1, 3, 5, 7, 7, 5, 3, 1
1, 3, 6, 9, 10, 9, 6, 3, 1
1, 3, 6, 10, 12, 12, 10, 6, 3, 1
...
使用“注释”部分中定义的数组M（k），无穷乘积M（0）*M（1）*M（2）*。。。开始
/1 \/1 \/1 \ /1 \
|1 1 ||0 1 ||0 1 | |1 1 |
|1 0 1 ||0 1 1 ||0 0 1 | |1 1 1 |
|1 0 0 1 ||0 1 0 1 ||0 0 1 1 |... = |1 1 1 1 |
|1 0 0 1 1 ||0 1 0 0 1 ||0 0 1 0 1 | |1 2 2 2 1 |
|1 0 0 1 0 1 ||0 1 0 0 1 1 ||0 0 1 0 0 1 | |... |
|1 0 0 1 0 0 1||0 1 0 0 1 0 1||0 0 1 0 0 1 1|
|... ||... ||... |
（结束）
MAPLE公司
T： =proc（n，k）选项记忆；
如果n>=0且k=0，则为1
elif n>=0且k=n，然后为1
elif（k<0或k>n）然后为0
elif n=2，然后是1
否则T（n-3，k-3）+T（n-3,k-2）+T；
fi；
结束；
对于0到14之间的n，进行lprint（[seq（T（n，k），k=0..n）]）；日期：
数学
T[n_，k_]：=T[n，k]=其中[
n>=0&&k==0，1，
n>=0&&k==n，1，
k＜0||k＞n，
n==2，1，
正确，T[n-3，k-3]+T[n-2，k-2]+T[n-3，k-1]+T[n-3，k]]；
多项式递归的系数序列：p（x，n）=如果[Mod[n，2]==0，（x+1）*p（x、n-1），（x^2+n*x+1）^Floor[n/2]]。
+10
0
1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 4, 4, 1, 1, 10, 27, 10, 1, 1, 11, 37, 37, 11, 1, 1, 21, 150, 385, 150, 21, 1, 1, 22, 171, 535, 535, 171, 22, 1, 1, 36, 490, 3024, 7539, 3024, 490, 36, 1, 1, 37, 526, 3514, 10563, 10563, 3514, 526, 37, 1, 1, 55, 1215, 13530, 76845, 188001, 76845
评论
行总和为：
{1, 2, 5, 10, 49, 98, 729, 1458, 14641, 29282, 371293, 742586,...}.
其模2似乎是交错的Sierpinski型分形。
配方奶粉
p（x，n）=如果[Mod[n，2]==0，（x+1）*p（x、n-1），（x^2+n*x+1）^楼层[n/2]]
例子
{1},
{1, 1},
{1, 3, 1},
{1, 4, 4, 1},
{1, 10, 27, 10, 1},
{1, 11, 37, 37, 11, 1},
{1, 21, 150, 385, 150, 21, 1},
{1, 22, 171, 535, 535, 171, 22, 1},
{1, 36, 490, 3024, 7539, 3024, 490, 36, 1},
{1, 37, 526, 3514, 10563, 10563, 3514, 526, 37, 1},
{1, 55, 1215, 13530, 76845, 188001, 76845, 13530, 1215, 55, 1},
{1, 56, 1270, 14745, 90375, 264846, 264846, 90375, 14745, 1270, 56, 1}
数学
清除[p，n，x，a]
p[x，1]：=1；
p[x_，n_]：=p[x，n]=如果[Mod[n，2]==0，（x+1）*p[x、n-1]，（x^2+n*x+1）^楼层[n/2]]；
a=表[系数列表[p[x，n]，x]，{n，1，12}]；
压扁[a]
多项式递归的系数序列：p（x，n）=如果[Mod[n，2]==0，（x+1）*p（x、n-1），（x^2+（2*n-1）*x+1）^Floor[n/2]]（校正）
+10
0
1, 1, 1, 1, 5, 1, 1, 6, 6, 1, 1, 18, 83, 18, 1, 1, 19, 101, 101, 19, 1, 1, 39, 510, 2275, 510, 39, 1, 1, 40, 549, 2785, 2785, 549, 40, 1, 1, 68, 1738, 19856, 86995, 19856, 1738, 68, 1, 1, 69, 1806, 21594, 106851, 106851, 21594, 1806, 69, 1, 1, 105, 4415, 93030, 985645
评论
行总和为：
{1, 2, 7, 14, 121, 242, 3375, 6750, 130321, 260642, 6436343, 12872686...}.
配方奶粉
p（x，n）=如果[Mod[n，2]==0，（x+1）*p（x、n-1），（x^2+（2*n-1）*x+1）^楼层[n/2]]
例子
{1},
{1, 1},
{1, 5, 1},
{1, 6, 6, 1},
{1, 18, 83, 18, 1},
{1, 19, 101, 101, 19, 1},
{1, 39, 510, 2275, 510, 39, 1},
{1, 40, 549, 2785, 2785, 549, 40, 1},
{1, 68, 1738, 19856, 86995, 19856, 1738, 68, 1},
{1, 69, 1806, 21594, 106851, 106851, 21594, 1806, 69, 1},
{1, 105, 4415, 93030, 985645, 4269951, 985645, 93030, 4415, 105, 1},
{1, 106, 4520, 97445, 1078675, 5255596, 5255596, 1078675, 97445, 4520, 106, 1}
数学
清除[p，n，x，a]
p[x，1]：=1；
p[x_，n_]：=p[x，n]=如果[Mod[n，2]==0，（x+1）*p[x、n-1]，（x^2+（2*n-1）*x+1）^楼层[n/2]]；
a=表[系数列表[p[x，n]，x]，{n，1，12}]；
压扁[a]
多项式递归的系数序列：p（x，n）=如果[Mod[n，2]==0，（x+1）*p（x、n-1），（x^2+（2*n）*x+1）^Floor[n/2]]
+10
0
1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 7, 7, 1, 1, 20, 102, 20, 1, 1, 21, 122, 122, 21, 1, 1, 42, 591, 2828, 591, 42, 1, 1, 43, 633, 3419, 3419, 633, 43, 1, 1, 72, 1948, 23544, 108870, 23544, 1948, 72, 1, 1, 73, 2020, 25492, 132414, 132414, 25492, 2020, 73, 1, 1, 110, 4845, 106920
评论
行总和为：
{1, 2, 8, 16, 144, 288, 4096, 8192, 160000, 320000, 7962624, 15925248...}.
配方奶粉
p（x，n）=如果[Mod[n，2]==0，（x+1）*p（x、n-1），（x^2+（2*n）*x+1）^楼层[n/2]]
例子
{1},
{1, 1},
{1, 6, 1},
{1, 7, 7, 1},
{1, 20, 102, 20, 1},
{1, 21, 122, 122, 21, 1},
{1, 42, 591, 2828, 591, 42, 1},
{1, 43, 633, 3419, 3419, 633, 43, 1},
{1, 72, 1948, 23544, 108870, 23544, 1948, 72, 1},
{1, 73, 2020, 25492, 132414, 132414, 25492, 2020, 73, 1},
{1, 110, 4845, 106920, 1185810, 5367252, 1185810, 106920, 4845, 110, 1},
{1, 111, 4955, 111765, 1292730, 6553062, 6553062, 1292730, 111765, 4955, 111, 1}
数学
清除[p，n，x，a]
p[x，1]：=1；
p[x_，n_]：=p[x，n]=如果[Mod[n，2]==0，（x+1）*p[x、n-1]，（x^2+（2*n）*x+1）^楼层[n/2]]；
a=表[系数列表[p[x，n]，x]，{n，1，12}]；
压扁[a]
按行读取的三角形，T（n，k）=T（n-1，k-1）+T（n-2，k），如果k是奇数，T（n-1，k-1）+T（n-l，k）如果k是偶数，对于k<=0<=n和n>=2，T（0,0）=T（1,0）=T（1,1）=0，T（n，k）=0时，k>n，k<0或n<0。
+10
0
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 4, 2, 1, 1, 3, 6, 5, 3, 1, 1, 3, 9, 8, 8, 3, 1, 1, 4, 12, 14, 16, 9, 4, 1, 1, 4, 16, 20, 30, 19, 13, 4, 1, 1, 5, 20, 30, 50, 39, 32, 14, 5, 1, 1, 5, 25, 40, 80, 69, 71, 36, 19, 5, 1, 1, 6, 30, 55, 120, 119, 140, 85, 55, 20, 6, 1
评论
这是Ehrenborg和Readdy链接中的frst（n，k）三角形。见定义3.1和表1。
链接
理查德·埃伦伯格（Richard Ehrenborg）和玛格丽特·雷迪（Margaret A.Readdy），重访高斯系数，arXiv:1609.03216[math.CO]，2016年。
例子
三角形开始：
1;
1, 1;
1, 1, 1;
1, 2, 2, 1;
1, 2, 4, 2, 1;
1, 3, 6, 5, 3, 1;
1, 3, 9, 8, 8, 3, 1;
...
数学
T[n_，n_]=T[_，0]=1；温度[n_，k_]/；0<=k<=n：=T[n，k]=如果[OddQ[k]，T[n-1，k-1]+T[n-2，k]，T[n-1、k-1]+T[n-1，k]]；T[_，_]=0；
黄体脂酮素
（PARI）frst（n，k）=if（（k>n）||（n<0）||（k<0），0，if（n<=2，1，if（k==0，1，if（k+2，frst（n-1，k-1）+frst（n-2，k），frst（n-1，k-1）+frst（n-1，k））））；
tf（nn）=对于（n=0，nn，对于（k=0，n，print1（frst（n，k），“，”）；）；打印（）；）；
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