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1, 7, 26, 56, 124, 182, 342, 448, 702, 868, 1330, 1456, 2196, 2394, 3224, 3584, 4912, 4914, 6858, 6944, 8892, 9310, 12166, 11648, 15500, 15372, 18954, 19152, 24388, 22568, 29790, 28672, 34580, 34384, 42408, 39312, 50652, 48006, 57096
参考文献
L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第199页，#3。
R.Sivaramakrishnan，“欧拉总体的多个方面。II.概括和类比”，《纽拱门》。威斯克。（4） 8（1990），第2期，169-187。
配方奶粉
与a（p^e）相乘=p^（3e）-p^（3G-3）-弗拉德塔·乔沃维奇2001年7月26日
a（n）=和{k=1..n}gcd（k，n）^3*cos（2*Pi*k/n）-恩里克·佩雷斯·埃雷罗2013年1月18日
a（n）=n^3*Product_{不同素数p除以n}（1-1/p^3）-汤姆·埃德加2015年1月9日
通用公式：和{n>=1}a（n）*x^n/（1-x^n）=x*（1+4*x+x^2）/（1-x）^4-伊利亚·古特科夫斯基2017年4月25日
Sum_｛d|n｝a（d）=n ^3-沃纳·舒尔特2018年1月12日
求和{k=1..n}a（k）~45*n^4/（2*Pi^4）-瓦茨拉夫·科特索维奇2019年2月7日
lim_{n->oo}（1/n）*Sum_{k=1..n}a（k）/k^3=1/zeta（4）(A215267型).
Sum_｛n>=1｝1/a（n）=乘积_｛p素数｝（1+p^3/（p^3-1）^2）=1.2253556451…（完）
O.g.f.：和{n>=1}μ（n）*x^n*（1+4*x^n+x^（2*n））/（1-x^n）^4=x+7*x^2+26*x^3+56*x^4+124*x^5+-彼得·巴拉2022年1月31日
a（n）=Sum_{d除以n}d*J_2（d）*phi=A007434号（n） 。
a（n）=Sum_{k=1..n}gcd（k，n）*J_2（gcd（k，n））=Summ_{1<=J，k<=n}gcd（J，k，n。（结束）
a（n）=总和{1<=i，j<=n，lcm（i，j）=n}φ（i）*j_2（j）=总和{1=i，j，k<=n；lcm（i，j，k）=n}Φ（i）*φ（j）*phi（k），其中j_2（n）=A007434美元（n） ●●●●-彼得·巴拉2024年1月29日
MAPLE公司
J:=程序（n，k）局部i，p，t1，t2；t1:=n^k；对于从1到n的p，如果isprime（p）和n mod p=0，则t1:=t1*（1-p^（-k））；fi；od；t1；结束；#（k=3）
加（d^3*numtheory[mobius]（n/d），d=numtheori[divisors]（n））；
数学
JordanJ[n_，k_：1]：=除数总和[n，#^k*MoebiusMu[n/#]&]；f[n_]：=乔丹J[n，3]；数组[f，39]
f[p_，e_]：=p^（3*e）-p^（3*（e-1））；a[1]=1；a[n_]：=倍@@f@@FactorInteger[n]；数组[a，100](*阿米拉姆·埃尔达尔2020年10月12日*）
黄体脂酮素
（PARI）用于（n=1120，print1（sumdiv（n，d，d^3*moebius（n/d）），“，”）
（PARI）对于（n=11000，写入（“b059376.txt”，n，“”，sumdiv（n，d，d^3*moebius（n/d））；）\\哈里·史密斯，2009年6月26日
（PARI）seq（n）=dirmul（向量（n，k，k^3），向量（n、k，moebius（k）））；
（Python）
从数学导入prod
来自sympy导入因子
定义A059376号（n） ：返回因子（n）.items（）中p，e的prod（p**（3*（e-1））*（p**3-1））#柴华武2024年1月29日
1, 15, 80, 240, 624, 1200, 2400, 3840, 6480, 9360, 14640, 19200, 28560, 36000, 49920, 61440, 83520, 97200, 130320, 149760, 192000, 219600, 279840, 307200, 390000, 428400, 524880, 576000, 707280, 748800, 923520, 983040, 1171200, 1252800, 1497600, 1555200, 1874160
评论
对于n=4或n>=6，a（n）可被240整除-宋嘉宁2019年4月6日
参考文献
L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第199页，#3。
R.Sivaramakrishnan，“欧拉总体的多个方面。II.概括和类比”，《纽拱门》。威斯克。（4） 8（1990），第2期，169-187。
链接
拉兹洛托斯，多变量乘法函数综述，arXiv预印本arXiv:1310.7053[math.NT]，2013。
配方奶粉
与a（p^e）相乘=p^（4e）-p^（4（e-1））。
a（n）=和{k=1..n}gcd（k，n）^4*cos（2*Pi*k/n）-恩里克·佩雷斯·埃雷罗2013年1月18日
a（n）=n^4*Product_{不同素数p除以n}（1-1/p^4）-汤姆·埃德加2015年1月9日
G.f.：总和=1｝a（n）*x^n/（1-x^n）=x*（1+11*x+11*x^2+x^3）/（1-x）^5-伊利亚·古特科夫斯基2017年4月25日
lim_{n->oo}（1/n）*Sum_{k=1..n}a（k）/k^4=1/zeta（5）。
和{n>=1}1/a（n）=Product_{p素数}（1+p^4/（p^4-1）^2）=1.0870036174…（结束）
O.g.f.：和{n>=1}μ（n）*x^n*（1+11*x^n+11*x（2*n）+x^（3*n））/（1-x^n）^5=x+15*x^2+80*x^3+240*x^4+624*x^5+-彼得·巴拉2022年1月31日
a（n）=求和{k=1..n}gcd（k，n）*J_3（gcd（k，n））=求和和{1<=J，k<=n}gcd（J，k，n。（结束）
a（n）=求和{1<=i，j<=n，lcm（i，j）=n}j_2（i）*j_2（j）=Sum{1<=i，j≤n，lcm-（i，j）=n{phi（i）*j_3（j）（应用Lehmer定理1）-彼得·巴拉2024年1月29日
MAPLE公司
J:=程序（n，k）局部i，p，t1，t2；t1:=n^k；对于从1到n的p，如果isprime（p）和n mod p=0，则t1:=t1*（1-p^（-k））；fi；od；t1；结束时间：
seq（J（n，4），n=1..40）；
数学
JordanJ[n_，k_：1]：=除数总和[n，#^k*MoebiusMu[n/#]&]；f[n_]：=乔丹J[n，4]；数组[f，38]
f[p_，e_]：=p^（4*e）-p^（4*（e-1））；a[1]=1；a[n_]：=倍@@f@@FactorInteger[n]；数组[a，100](*阿米拉姆·埃尔达尔2020年10月12日*）
黄体脂酮素
（PARI）用于（n=1100，打印1（汇总（n，d，d^4*moebius（n/d）），“，”）
（PARI）a（n）=如果（n<1，0，sumdiv（n，d，d^4*moebius（n/d））
（PARI）a（n）=如果（n<1，0，dirdiv（向量（n，k，k^4），向量（n、k，1））[n]）
（PARI）{对于（n=11000，写入（“b059377.txt”，n，“”，sumdiv（n，d，d^4*moebius（n/d））；）}\\哈里·史密斯，2009年6月26日
1, 31, 242, 992, 3124, 7502, 16806, 31744, 58806, 96844, 161050, 240064, 371292, 520986, 756008, 1015808, 1419856, 1822986, 2476098, 3099008, 4067052, 4992550, 6436342, 7682048, 9762500, 11510052, 14289858, 16671552, 20511148
参考文献
L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第199页，#3。
R.Sivaramakrishnan，“欧拉总体的多个方面。II.概括和类比”，《纽拱门》。威斯克。（4） 8（1990），第2期，169-187。
配方奶粉
与a（p^e）相乘=p^（5e）-p^（5（e-1））。
a（n）=n^5*Product_{不同素数p除以n}（1-1/p^5）-汤姆·埃德加2015年1月9日
通用公式：和{n>=1}a（n）*x^n/（1-x^n）=x*（1+26*x+66*x^2+26*x^3+x^4）/（1-x）^6-伊利亚·古特科夫斯基2017年4月25日
求和{k=1..n}a（k）~315*n^6/（2*Pi^6）-瓦茨拉夫·科特索维奇2019年2月7日
极限{n->oo}（1/n）*和{k=1..n}a（k）/k^5=1/zeta（6）。
Sum_｛n>=1｝1/a（n）=乘积_｛p素数｝（1+p^5/（p^5-1）^2）=1.0379908060…（完）
O.g.f.：和{n>=1}μ（n）*x^n*（1+26*x^n+66*x*（2*n）+26*x^（3*n）+x^（4*n））/（1-x^n）^6=x+31*x^2+242*x^3+992*x^4+3124*x^5+-彼得·巴拉2022年1月31日
a（n）=和{k=1..n}gcd（k，n）*J_4（gcd（k，n））。
a（n）=和{1<=j，k<=n}gcd（j，k，n）^2*j_3（gcd（j，k，n））。（结束）
a（n）=Sum_{1<=i，j<=n，lcm（i，j）=n}j_2（i）*j_3（j）=Sum_{1<=i，j<=n，lcm（i，j）=n}phi（i）*j_4（j）（应用Lehmer定理1）-彼得·巴拉2024年1月30日
MAPLE公司
J:=程序（n，k）局部i，p，t1，t2；t1:=n^k；对于从1到n的p，如果isprime（p）和n mod p=0，则t1:=t1*（1-p^（-k））；fi；od；t1；结束；#（k=5）
数学
JordanJ[n_，k_]：=除数总和[n，#^k*MoebiusMu[n/#]&]；f[n_]：=乔丹J[n，5]；数组[f，30]
f[p_，e_]：=p^（5*e）-p^（5*（e-1））；a[1]=1；a[n_]：=倍@@f@@FactorInteger[n]；数组[a，100](*阿米拉姆·埃尔达尔2020年10月12日*）
黄体脂酮素
（PARI）用于（n=1100，打印1（汇总（n，d，d^5*moebius（n/d）），“，”）
（PARI）{对于（n=11000，写入（“b059378.txt”，n，“”，sumdiv（n，d，d^5*moebius（n/d））；）}\\哈里·史密斯，2009年6月26日
（Python）
从sympy导入除数，mobius
定义a（n）：
除数（n）中d的返回和（d**5*mobius（n//d））
1, 63, 728, 4032, 15624, 45864, 117648, 258048, 530712, 984312, 1771560, 2935296, 4826808, 7411824, 11374272, 16515072, 24137568, 33434856, 47045880, 62995968, 85647744, 111608280, 148035888, 187858944, 244125000, 304088904, 386889048
评论
a（n）可被504=（2^3）*（3^3）*7整除=A006863号（3） 除了n＝1、2、3和7之外。请参阅Lugo-彼得·巴拉2024年1月13日
参考文献
L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第199页，#3。
配方奶粉
a（n）=总和{d|n}d^6*mu（n/d）。
与a（p^e）相乘=p^（6e）-p^（6（e-1））。
Dirichlet生成函数：zeta（s-6）/zeta（s）-拉尔夫·斯蒂芬2013年7月4日
a（n）=n^6*Product_{不同素数p除以n}（1-1/p^6）-汤姆·埃德加2015年1月9日
极限{n->oo}（1/n）*和{k=1..n}a（k）/k^6=1/zeta（7）。
和{n>=1}1/a（n）=Product{p素数}（1+p^6/（p^6-1）^2）=1.0175973008…（结束）
O.g.f.：和{n>=1}μ（n）*A（x^n）/（1-x^n）^7=x+63*x^2+728*x^3+4032*x^4+15624*x^5+。。。，其中A（x）=x+57*x^2+302*x^3+302*x^4+57*x^5+x^6是第六个欧拉多项式。请参见A008292号. -彼得·巴拉2022年1月31日
MAPLE公司
with（numtheory）：seq（加上（d^6*mobius（n/d），d以除数（n）表示），n=1..100）#彼得·巴拉2024年1月13日
数学
JordanTotient[n_，k_：1]：=除数总和[n，#^k*MoebiusMu[n/#]&]/；（n>0）&&整数Q[n]
f[p_，e_]：=p^（6*e）-p^（6*（e-1））；a[1]=1；a[n_]：=倍@@f@@FactorInteger[n]；数组[a，100](*阿米拉姆·埃尔达尔，2020年10月12日*）
黄体脂酮素
（PARI）用于（n=1100，打印1（汇总（n，d，d^6*moebius（n/d）），“，”）
a（n）=n^5*Product_{p|n，p-prime}（1+1/p^5）。
+10
11
1, 33, 244, 1056, 3126, 8052, 16808, 33792, 59292, 103158, 161052, 257664, 371294, 554664, 762744, 1081344, 1419858, 1956636, 2476100, 3301056, 4101152, 5314716, 6436344, 8245248, 9768750, 12252702, 14407956, 17749248, 20511150, 25170552, 28629152, 34603008, 39296688
配方奶粉
a（n）=总和{d|n}d^5*mu（n/d）^2。
a（n）=n^5*Sum_{d|n}μ（d）^2/d^5。
狄利克雷g.f.：ζ（s）*ζ（s-5）/ζ（2*s）。
和{k=1..n}a（k）~n^6*zeta（6）/（6*zeta（12））=2225225*n^6/（1382*Pi^6）。
求和{k>=1}1/a（k）=Product_{primes p}（1+p^5/（p^10-1））=1.03592342885009830907601498227542811369856163332979448594580153004…（结束）
数学
f[p_，e_]：=p^（5*e）+p^；a[1]=1；a[n_]：=倍@@f@@FactorInteger[n]；数组[a，40](*阿米拉姆·埃尔达尔2022年2月8日*）
黄体脂酮素
（PARI）a（n）=sumdiv（n，d，moebius（n/d）^2*d^5）；
（PARI）用于（n=1100，打印1（方向（p=2，n，（1+X）/（1-p^5*X））[n]，“，”））\\瓦茨拉夫·科特索维奇2022年2月12日
1, 255, 6560, 65280, 390624, 1672800, 5764800, 16711680, 43040160, 99609120, 214358880, 428236800, 815730720, 1470024000, 2562493440, 4278190080, 6975757440, 10975240800, 16983563040, 25499934720, 37817088000
评论
a（n）可被480整除=（2^5）*3*5=A006863号（4） ，但n=1、2、3和5除外。请参阅Lugo-彼得·巴拉2024年1月13日
参考文献
L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第199页，第3期。
配方奶粉
a（n）=总和{d|n}d^8*mu（n/d）。
与a（p^e）相乘=p^（8e）-p^（8（e-1））。
Dirichlet生成函数：zeta（s-8）/zeta（s）-拉尔夫·斯蒂芬2013年7月4日
a（n）=n^8*Product_{不同素数p除以n}（1-1/p^8）-汤姆·埃德加2015年1月9日
Sum_{k=1..n}a（k）~n^9/（9*zeta（9））-瓦茨拉夫·科特索维奇2019年2月7日
极限{n->oo}（1/n）*和{k=1..n}a（k）/k^8=1/zeta（9）。
和{n>=1}1/a（n）=Product{p素数}（1+p^8/（p^8-1）^2）=1.0040927606…（结束）
MAPLE公司
with（numtheory）：seq（加上（d^8*mobius（n/d），d以除数（n）表示），n=1..100）#彼得·巴拉2024年1月13日
数学
JordanJ[n_，k_]：=除数总和[n，#^k*MoebiusMu[n/#]&]；f[n_]：=乔丹J[n，8]；数组[f，25]
f[p_，e_]：=p^（8*e）-p^（8*（e-1））；a[1]=1；a[n_]：=倍@@f@@FactorInteger[n]；数组[a，100](*阿米拉姆·埃尔达尔2020年10月12日*）
黄体脂酮素
（PARI）用于（n=1100，打印1（汇总（n，d，d^8*moebius（n/d）），“，”）
1, 127, 2186, 16256, 78124, 277622, 823542, 2080768, 4780782, 9921748, 19487170, 35535616, 62748516, 104589834, 170779064, 266338304, 410338672, 607159314, 893871738, 1269983744, 1800262812, 2474870590, 3404825446, 4548558848
参考文献
L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第199页，#3。
配方奶粉
a（n）=Sum_{d|n}d^7*mu（n/d）。
与a（p^e）相乘=p^（7e）-p^（7（e-1））。
Dirichlet生成函数：zeta（s-7）/zeta（s）-拉尔夫·斯蒂芬2013年7月4日
a（n）=n^7*Product_{不同素数p除以n}（1-1/p^7）-汤姆·埃德加2015年1月9日
求和{k=1..n}a（k）~4725*n^8/（4*Pi^8）-瓦茨拉夫·科特索维奇2019年2月7日
lim_{n->oo}（1/n）*Sum_{k=1..n}a（k）/k^7=1/zeta（8）。
和{n>=1}1/a（n）=Product_{p素数}（1+p^7/（p^7-1）^2）=1.0084115178…（结束）
O.g.f.：总和{n>=1}亩（n）*A_7（x^n）/（1-x^n）^8=x+127*x^2+2186*x^3+16256*x^4+78124*x^5+。。。，其中A_7（x）=x+120*x^2+1191*x^3+2416*x^4+1191*x ^5+120*x ^6+x^7是第七个欧拉多项式。请参见A008292号. -彼得·巴拉2022年1月31日
数学
JordanTotient[n_，k_：1]：=除数总和[n，（#^k）*MoebiusMu[n/#]&]/；（n>0）&&IntegerQ[n]
f[p_，e_]：=p^（7*e）-p^（7*（e-1））；a[1]=1；a[n_]：=倍@@f@@FactorInteger[n]；数组[a，100](*阿米拉姆·埃尔达尔2020年10月12日*）
黄体脂酮素
（PARI）用于（n=1100，打印1（汇总（n，d，d^7*moebius（n/d）），“，”）
对于b=11，a（n）=Sum_{d|n}Moebius（n/d）*d^（b-1）/phi（n）。
+10
4
1, 1023, 29524, 523776, 2441406, 30203052, 47079208, 268173312, 581120892, 2497558338, 2593742460, 15463962624, 11488207654, 48162029784, 72080070744, 137304735744, 125999618778, 594486672516, 340614792100, 1278749869056
评论
a（n）是Z^10中格L的数目，使得商群Z^10/L是C_n-阿尔瓦尔·伊比亚斯2015年11月26日
链接
Jin Ho Kwak和Jaeun Lee，图覆盖、表面分支覆盖和相关群论的计数《组合与计算数学》（Pohang，2000），S.Hong等编，《世界科学》，新加坡，2001年，第97-161页。见第134页。
配方奶粉
与a相乘（p^e）=p^（9e-9）*（p^10-1）/（p-1）。
和{k=1..n}a（k）~c*n^10，其中c=（1/10）*Product_{p素数}（1+（p^9-1）/（p^1）*p^10））=0.1942316928。
和{k>=1}1/a（k）=zeta（9）*zeta（10）*Product_{p素数}（1-2/p^10+1/p^19）=1.0010137674。（结束）
数学
b=11；表[Sum[MoebiusMu[n/d]d^（b-1）/EulerPhi@n，{d，Divisors@n}]，{n，20}](*迈克尔·德弗利格，2015年11月27日*）
f[p_，e_]：=p^（9*e-9）*（p^10-1）/（p-1）；a[1]=1；a[n_]：=倍@@f@@FactorInteger[n]；阵列[a，25](*阿米拉姆·埃尔达尔2022年11月8日*）
黄体脂酮素
（PARI）向量（100，n，sumdiv（n^9，d，if（ispower（d，10），moebius（sqrtnint（d，0）））\\阿尔图·阿尔坎2015年11月26日
（PARI）a（n）={my（f=因子（n））；prod（i=1，#f~，（f[i，1]^10-1）*f[i、1]^（9*f[i,2]-9）/（f[i,1]-1））；}\\阿米拉姆·埃尔达尔2022年11月8日
0, 1, 6, 16, 56, 71, 252, 296, 651, 721, 2002, 1282, 4368, 3402, 5782, 6672, 15504, 7947, 26334, 15702, 28868, 28457, 65780, 30212, 85580, 63063, 103284, 81452, 201376, 66102, 278256, 174624, 255794, 228684, 383166, 206838, 658008, 391419, 576394, 413244, 1086008
评论
这里使用的约化剩余系模n是集合{0,1，…，n-1}中满足gcd（k，n）=1的数k的集合。有φ（n）=A000010号（n） 这样的数字k。
这是序列家族中的m=4成员，称之为rmnS（m）（约化模和），其条目为rmnS（m；n）：=和（二项式（k+m-1，m），0<=k<=n-1，gcd（k，n）=1），m>=0，n>=1。召回gcd（0，n）=n。
配方奶粉
a（n）=总和(A000332号（k+3），0<=k<=n-1，gcd（k，n）=1），n>=1。
例子
a（6）=（6/6！）*（6*33666*（1/3）+5*137*2-182）=71。
a（12）=（12/6！）*（12*18258*（1/3）+5*407*2-182）=1282。
黄体脂酮素
（PARI）a（n）=总和（k=0，n-1，如果（gcd（n，k）==1，二项式（k+3,4））\\米歇尔·马库斯2016年2月1日
所有Jordan totiten函数J_k（m）对k>=1和m>=1取的值。
+10
0
1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 31, 32, 36, 40, 42, 44, 46, 48, 52, 54, 56, 58, 60, 63, 64, 66, 70, 72, 78, 80, 82, 84, 88, 92, 96, 100, 102, 104, 106, 108, 110, 112, 116, 120, 124, 126, 127, 128, 130, 132, 136, 138, 140, 144, 148
评论
该序列的渐近密度为0（Rao和Murty，1979）。
链接
R.Sita Rama Chandra Rao和G.Sri Rama Chandra Murty，关于Niven的一个定理《加拿大数学公报》，第22卷，第1期（1979年），第113-115页。
数学
phiQ[m_]：=选择[Range[m+1，2m*乘积[（1-1/（k*Log[k]））^（-1），{k，2，DivisorSigma[0，m]}]]，EulerPhi[#]=m&，1]！={}; jor[k_，n_]：=除数和[n，#^k*MoebiusMu[n/#]&]；jorval[k_，mx_]：=jor[k，#]&/@范围[地面@苏德[mx*泽塔[k]，k]]；mx=300；选择[Union@Flatten[{Select[Range[mx]，phiQ]，jorval[#，mx]&/@Range[2，Floor[Log2[mx]]}]，#<=mx&]（*使用代码Jean-François Alcover公司在A002202号*)
交叉参考
囊性纤维变性。A000010号,A007434号,A059376号,A059377号,A059378号,A059379号,A059380号,A069091号,A069092号,A069093号,A069094号,A069095号,A221178型.
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