显示找到的14个结果中的1-10个。
1, 21, 262, 2525, 20754, 152946, 1040556, 6659037, 40599130, 237978598, 1350216660, 7453221490, 40188242420, 212349718980, 1102352779992, 5634083759325, 28400234400810, 141402315307550, 696257439473860
配方奶粉
G.f.c（x）/（1-4*x）^5，其中c（x）=加泰罗尼亚数字的G.f。
MAPLE公司
seq（系数（级数（（1-sqrt（1-4*x））/（2*x*（1-4**）^5），x，n+1），x、n），n=0..20）#G.C.格鲁贝尔2020年1月13日
数学
表[二项式[n+5，4]*（2^（2*n+1）-二项式[2*n+10，n+5]/140），{n，0，20}](*G.C.格鲁贝尔2020年1月13日*）
黄体脂酮素
（PARI）向量（21，n，二项式（n+5，4）*（2^（2*n+1）-二项式\\G.C.格鲁贝尔2020年1月13日
（岩浆）[二项式（n+5,4）*（2^（2*n+1）-二项式（2*n+10，n+5）/140）：n in[0.20]]//G.C.格鲁贝尔2020年1月13日
（Sage）[二项式（n+5，4）*（2^（2*n+1）-二项式（2*n+10，n+5）/140）表示n in（0..20）]#G.C.格鲁贝尔2020年1月13日
（GAP）列表（[0..20]，n->二项式（n+5,4）*（2^（2*n+1）-二项式[2*n+10，n+5）/140））#G.C.格鲁贝尔2020年1月13日
幂等数三角形二项式（n，k）*k^（n-k），版本1。
+10
21
1, 0, 1, 0, 2, 1, 0, 3, 6, 1, 0, 4, 24, 12, 1, 0, 5, 80, 90, 20, 1, 0, 6, 240, 540, 240, 30, 1, 0, 7, 672, 2835, 2240, 525, 42, 1, 0, 8, 1792, 13608, 17920, 7000, 1008, 56, 1, 0, 9, 4608, 61236, 129024, 78750, 18144, 1764, 72, 1, 0, 10, 11520, 262440
评论
T（n，k）=C（n，k）*k^。随后，T（n，k）的行和提供了函数f:[n]->[n+1]的数量，使得对于[n]中的每个x，f（x）=n+1或f（f（x。我们注意到，有C（n，k）种方法来选择映射到n+1的k个元素，并且有k^（n-k）种方法来将n-k个元素映射到一组k个元素-丹尼斯·沃尔什2012年9月5日
上述推测是正确的。这个三角形是指数Riordan数组[1，x*exp（x）]。因此，逆数组是指数Riordan数组[1，W（x）]，它等于A137452号. -彼得·巴拉，2013年4月8日
参考文献
L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第91页，#43和135页，[3i']。
链接
G.Duchamp、K.A.Penson、A.I.Solomon、A.Horzela和P.Blasiak，单参数群与组合物理，arXiv:quant-ph/0401126，2004年。
配方奶粉
到符号为止，这是连接常数的三角形，表示单项式x^n为阿贝尔多项式a（k，x）的线性组合：=x*（x+k）^（k-1），0<=k<=n.O.g.f.对于第k列：a（-k，1/x）=x^k/（1-k*x）^。囊性纤维变性。A061356号示例如下-彼得·巴拉，2011年10月9日
这个三角形对角线的o.g.f.是在展开合成逆（相对于x）（x-t*x*exp（x））^-1=x/（1-t）+2*t/（1-t，^3*x^2/2！+时出现的有理函数（3*t+9*t^2）/（1-t）^5*x^3/3！+（4*t+52*t^2+64*t^3）/（1-t）^7*x^4/4！+。。。。例如，第二个子对角线的o.g.f.为（3*t+9*t^2）/（1-t）^5=3*t+24*t^2+90*t^3+240*t^4+。。。。请参阅Bala链接。分子多项式的系数列于A202017型. -彼得·巴拉2011年12月8日
递归方程：T（n+1，k+1）=Sum_{j=0..n-k}（j+1）*二项式（n，j）*T（n-j，k）-彼得·巴拉2015年1月13日
例子
三角形开始：
1;
0, 1;
0, 2, 1;
0, 3, 6, 1;
0, 4, 24, 12, 1;
0, 5, 80, 90, 20, 1;
0, 6, 240, 540, 240, 30, 1;
0, 7, 672, 2835, 2240, 525, 42, 1;
第4行。用阿贝尔多项式展开x^4：
x^4=-4*x+24*x*（x+2）-12*x*。
第2列的O.g.f.：A（-2,1/x）=x^2/（1-2*x）^3=x^2+6*x^3+24*x^4+80*x^5+。。。。
MAPLE公司
T： =（n，k）->二项式（n，k）*k^（n-k）：
seq（seq（T（n，k），k=0..n），n=0..12）#阿洛伊斯·海因茨2012年9月5日
数学
nn=10；f[list_]：=选择[list，#>0&]；前缀[Map[Prepend[#，0]&，Rest[Map[f，Range[0，nn]！系数列表[Series[Exp[y x Exp[x]]，{x，0，nn}]，{x，y}]]]，}1}]//网格(*杰弗里·克雷策2013年2月9日*）
t[n_，k_]：=二项式[n，k]*k^（n-k）；前置[扁平@桌子[t[n，k]，{n，10}，{k，0，n}]，1](*阿尔卡迪乌斯·韦索洛夫斯基2013年3月23日*）
黄体脂酮素
（岩浆）/*作为三角形*/[[二项式（n，k）*k^（n-k）：k in[0..n]]：n in[0..15]]//文森佐·利班迪2015年8月22日
nat=[k代表k in（1..n）]
返回bell_transform（n，nat）
1, 2, 1, 6, 4, 1, 20, 16, 6, 1, 70, 64, 30, 8, 1, 252, 256, 140, 48, 10, 1, 924, 1024, 630, 256, 70, 12, 1, 3432, 4096, 2772, 1280, 420, 96, 14, 1, 12870, 16384, 12012, 6144, 2310, 640, 126, 16, 1, 48620, 65536, 51480, 28672, 12012, 3840, 924, 160, 18, 1
评论
以夏皮罗等人的语言引用（见A053121号)这种下三角（普通）卷积阵列被视为矩阵，属于Riordan群的Bell子群。行多项式p（n，x）（x的递增幂）的g.f.为1/（sqrt（1-4*z）-x*z）。
列序列适用于m=0..20：A000984号,A000302号（4人的权力），A002457号,A002697年,A002802号,A038845号,A020918号,A038846号,A020920型,A040075型,A020922号,A045543号,A020924美元,A054337号,A020926号,A054338号,A020928号,A054339号,A020930型,A054340号,A020932号.
Riordan阵列（1/sqrt（1-4x），x/sqrt（2-4x））-保罗·巴里2009年5月6日
配方奶粉
a（n，2*k+1）=二项式（n-k-1，k）*4^（n-2*k-1），a；a（n，m）：如果n＜m，则为0。
列递归：a（n，m）=2*（2*n-m-1）*a（n-1，m）/（n-m），n>m>=0，a（m，m）：=1。
柱m的G.f:cbie（x）*（（x*cbie（x））^m，其中cbie（×）：=1/sqrt（1-4*x）。
G.f.：1/（1-xy-2x/（1-x/（1-×/（1-x/（1-…（续分数））-保罗·巴里2009年5月6日
T（n，k）=4*T（n-1，k）+T（n-2，k-2），对于k>=1-菲利普·德尔汉姆2012年2月2日
垂直递归：T（n，k）=1*T（n-1，k-1）+2*T（n-2，k-1。。。对于k>=1（系数1、2、6、20…是中心二项式系数A000984号). -彼得·巴拉2015年10月17日
例子
三角形开始：
1;
2, 1;
6, 4, 1;
20, 16, 6, 1;
70, 64, 30, 8, 1;
252, 256, 140, 48, 10, 1;
924, 1024, 630, 256, 70, 12, 1; ...
第四行多项式（n=3）：p（3，x）=20+16*x+6*x^2+x^3。
生产矩阵开始
2, 1;
2, 2, 1;
0, 2, 2, 1;
-2, 0, 2, 2, 1;
0, -2, 0, 2, 2, 1;
4, 0, -2, 0, 2, 2, 1;
0, 4, 0, -2, 0, 2, 2, 1;
-10, 0, 4, 0, -2, 0, 2, 2, 1;
0, -10, 0, 4, 0, -2, 0, 2, 2, 1; （结束）
MAPLE公司
如果k<0或k>n，则
0 ;
elif类型（k，奇数）则
k底漆：=地板（k/2）；
二项式（n-kprime-1，kprime）*4^（n-k）；
其他的
k素数：=k/2；
二项式（2*n-k，n-k素数）*二项式；
结束条件：；
PMatrix（10，n->二项式（2*（n-1），n-1））#彼得·卢什尼2022年10月19日
数学
压扁[系数列表[#1，x]和/@系数列表[系列[1/（Sqrt[1-4*z]-x*z），{z，0，9}]，z]]（*或*）
a[n_，k_？奇数Q]：=4^（n-k）*二项式[（2*n-k-1）/2，（k-1）/2]；a[n，k_？EvenQ]：=（二项式[n-k/2，k/2]*二项式[2*n-k，n-k/2]）/二项式[k，k/2]；表[a[n，k]，{n，0，9}，{k，0，n}]//展平(*Jean-François Alcover公司，2011年9月8日，2014年1月16日更新*）
黄体脂酮素
（PARI）T（n，k）=如果（k%2==0，二项式（2*n-k，n-k/2）*二项式；
对于（n=0，10，对于（k=0，n，打印1（T（n，k），“，”））\\G.C.格鲁贝尔2019年7月20日
（岩浆）
T： =func<n，k|（k mod 2）eq 0选择二项式（2*n-k，n-Floor（k/2））*二项式；
[0..n]中的[T（n，k）：k：[0..10]]中的n//G.C.格鲁贝尔2019年7月20日
（鼠尾草）
定义T（n，k）：
如果（mod（k，2）==0）：返回二项式（2*n-k，n-k/2）*二项式
else：返回4^（n-k）*二项式（n-（k-1）/2-1，（k-1
[T（n，k）代表k in（0..n）]代表n in（0..10）]#G.C.格鲁贝尔2019年7月20日
（间隙）
T： =函数（n，k）
如果k mod 2=0，则返回二项式（2*n-k，n-Int（k/2））*二项式；
否则返回4^（n-k）*二项式（n-整数（（k-1）/2）-1，整数（（k-1）/2））；
fi；
结束；
平面（列表（[0..10]，n->List（[0..n]，k->T（n，k）））#G.C.格鲁贝尔2019年7月20日
1, 30, 525, 7000, 78750, 787500, 7218750, 61875000, 502734375, 3910156250, 29326171875, 213281250000, 1510742187500, 10458984375000, 70971679687500, 473144531250000, 3105010986328125, 20091247558593750, 128360748291015625, 810699462890625000
评论
允许重复的6个对象的n个排列数：t、u、v、z、x、y，正好包含5个u。例如：a（6 uuuu，uuuuo，uuu y，uuwuuuyu，uuuyuu，uuyu，uyuuu，yuuuuu-零入侵拉霍斯2008年6月16日
参考文献
Louis Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第91页，第43页。
配方奶粉
a（n）=C（n，5）*5^（n-5）。
通用格式：x^5/（1-5*x）^6-零入侵拉霍斯2008年8月6日
和{n>=5}1/a（n）=6400*log（5/4）-17125/12。
和{n>=5}（-1）^（n+1）/a（n）=32400*log（6/5）-23625/4。（结束）
MAPLE公司
seq（二项式（n，5）*5^（n-5），n=5..32）#零入侵拉霍斯2008年6月16日
数学
系数列表[级数[1/（1-5x）^6，{x，0，33}]，x](*文森佐·利班迪2017年8月12日*）
黄体脂酮素
（岩浆）[二项式（n，5）*5^（n-5）：n in[5..25]]//文森佐·利班迪2017年8月12日
交叉参考
囊性纤维变性。A001788号,A036216号,A040075型,A050988号,A050989号,A000389号,A054849号,A036219号,A045543号,A036084号,40404年,A000389号,A054849号,A036219号,A045543号,A036084号,A140404号.
1, 42, 1008, 18144, 272160, 3592512, 43110144, 480370176, 5043886848, 50438868480, 484213137408, 4489976365056, 40409787285504, 354362750042112, 3037395000360960, 25514118003032064, 210491473525014528, 1708695490967764992, 13669563927742119936, 107917609955858841600
评论
允许重复的7个对象的n个排列数：s，t，u，v，z，x，y，正好包含6个u-零入侵拉霍斯2008年6月16日
配方奶粉
a（n）=二项式（n，6）*6^（n-6）。
通用格式：x^6/（1-6*x）^7-零入侵拉霍斯，2008年8月9日
和{n>=6}1/a（n）=102561/5-112500*log（6/5）。
和{n>=6}（-1）^n/a（n）=605052*log（7/6）-466341/5。（结束）
MAPLE公司
seq（二项式（n，6）*6^（n-6），n=6..32）#零入侵拉霍斯2008年6月16日
数学
a[n_]：=二项式[n，6]*6^（n-6）；数组[a，20，6](*阿米拉姆·埃尔达尔2022年4月17日*）
1, 22, 286, 2860, 24310, 184756, 1293292, 8498776, 53117350, 318704100, 1848483780, 10418726760, 57302997180, 308554600200, 1630931458200, 8480843582640, 43464323361030, 219878341708740, 1099391708543700, 5439095821216200, 26651569523959380, 129450480544945560
配方奶粉
a（n）=（（2n+9）（2n%7）（2n+5）（2 n+3）（2-n+1）/（9*7*5*3*1））*二项式（2n，n）。
a（n）=二项式（2n+10,10）*二项式。
a（n）=二项（n+5,5）*二项（2n+10，n+5）/二项（10,5）。
a（n）=和{i_1+i_2+i_3+i_4+i_5+i_6+i_7+i_8+i_9+i_10+i_11=n}f（i_1）*f（i_2）*f=A000984号（k） 。（结束）
Boas-Buck递推：a（n）=（22/n）*Sum_{k=0..n-1}4^（n-k-1）*a（k），n>=1，a（0）=1。a（n）的证明=A046521美元（n+5,5）。请参阅此处的评论-沃尔夫迪特·朗2017年8月10日
和{n>=0}1/a（n）=162*sqrt（3）*Pi-30816/35。
求和{n>=0}（-1）^n/a（n）=4500*sqrt（5）*log（phi）-33888/7，其中phi是黄金比率(A001622号). （结束）
数学
系数列表[系列[1/（1-4x）^（11/2），｛x，0，30｝]，x](*文森佐·利班迪2013年7月5日*）
黄体脂酮素
（岩浆）[（2*n+9）*（2*n+7）*//文森佐·利班迪2013年7月5日
（PARI）向量（30，n，n-；m=n+5；二项式（m，5）*二项式\\G.C.格鲁贝尔2019年7月20日
（Sage）[二项式（n+5,5）*二项式#G.C.格鲁贝尔2019年7月20日
（GAP）列表（[0..30]，n->二项式（n+5,5）*二项式[2*n+10，n+5）/252）#G.C.格鲁贝尔2019年7月20日
交叉参考
囊性纤维变性。A000302号,A000984号,A001622号,A002457号,A002697号,A002802号,A020918号,A020920型,A038845美元,A038846号,A040075型,A046521号（第六栏）。
幂等数三角形二项式（n，k）*k^（n-k），版本4。
+10
7
1, 1, 2, 1, 6, 3, 1, 12, 24, 4, 1, 20, 90, 80, 5, 1, 30, 240, 540, 240, 6, 1, 42, 525, 2240, 2835, 672, 7, 1, 56, 1008, 7000, 17920, 13608, 1792, 8, 1, 72, 1764, 18144, 78750, 129024, 61236, 4608, 9, 1, 90, 2880, 41160, 272160, 787500, 860160, 262440, 11520, 10
参考文献
L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第91页，#43和135页，[3i']。
配方奶粉
T（n，k）=二项式（n+1，n-k+1）*（n-k+1，^k）-R.J.马塔尔2013年3月14日
例子
三角形开始：
1;
1, 2;
1, 6, 3;
1, 12, 24, 4;
1, 20, 90, 80, 5;
1, 30, 240, 540, 240, 6;
1, 42, 525, 2240, 2835, 672, 7;
...
数学
t[n_，k_]：=二项式[n+1，k]*（n-k+1）^k；扁平@桌子[t[n，k]，{n，0，9}，{k，0，n}](*阿尔卡迪乌斯·韦索洛夫斯基2013年3月23日*）
黄体脂酮素
（岩浆）/*作为三角形：*/[[二项式（n+1，n-k+1）*（n-k+1，^k:k in[0..n]]：n in[0..15]]//文森佐·利班迪2015年8月22日
（PARI）对于（n=0，25，对于（k=0，n，print1（二项式（n+1，k）*（n-k+1）^k，“，”））\\G.C.格鲁贝尔2017年1月5日
1, 24, 336, 3584, 32256, 258048, 1892352, 12976128, 84344832, 524812288, 3148873728, 18320719872, 103817412608, 574988746752, 3121367482368, 16647293239296, 87398289506304, 452414675091456, 2312341672689664, 11683410556747776, 58417052783738880, 289303499500421120
评论
使用不同的偏移量，允许重复的5个对象的n个排列数：u、v、z、x、y，正好包含五（5）个u。例如：a（1）=24，因为我们有uuuuu v uuuwuuuvu uuuuku uuu uuukuuuz uuuzuuu u uuzu uuuxuuuU uuuuxu x uuuusuuuxu uuxuuu uxuu uxuu uuxuu xuuuutuuuunu uuunuuuum uuuUuuuouu y y y uuuyuuuuruuuue uuueuu uuyu uuwu uuou uuu--零入侵拉霍斯2008年6月16日
配方奶粉
a（n）=二项式（n+5,5）*4^n。
总尺寸：1/（1-4*x）^6。
a（n）=和{i_1+i_2+i_3+i_4+i_5+i_6+i_7+i_8+i_9+i_10+i_11+i_12=n}f（i_1）*f（i_2）*f=A000984号（k） -鲁伊·杜阿尔特2011年10月8日
例如：（15+120*x+240*x^2+160*x^3+32*x^4）*exp（4*x）/3-G.C.格鲁贝尔2019年7月20日
和{n>=0}1/a（n）=1620*log（4/3）-465。
和{n>=0}（-1）^n/a（n）=12500*log（5/4）-8365/3。（结束）
MAPLE公司
seq（seq（二项式（i+5，j）*4^i，j=i），i=0..30）#零入侵拉霍斯2007年12月3日
seq（二项式（n+5,5）*4^n，n=0..30）#零入侵拉霍斯2008年6月16日
数学
系数列表[级数[1/（1-4x）^6，{x，0，30}]，x]（*或*）线性递归[{24，-240，1280，-3840，6144，-4096}，{1，24，336，3584，32256，258048}，30](*哈维·P·戴尔2018年3月24日*）
黄体脂酮素
（Sage）[lucas_number2（n，4，0）*二项式（n，5）/2^10（n在（5，35）范围内）]#零入侵拉霍斯2009年3月11日
（岩浆）[4^n*二项式（n+5,5）：[0..30]]中的n//文森佐·利班迪2011年10月15日
（PARI）Vec（1/（1-4*x）^6+O（x^30））\\米歇尔·马库斯2015年8月21日
（GAP）列表（[0..30]，n->4^n*二项式（n+5,5））#G.C.格鲁贝尔2019年7月20日
8-幂等数：a（n）=二项式（n+8,8）*8^n。
+10
6
1, 72, 2880, 84480, 2027520, 42172416, 787218432, 13495173120, 215922769920, 3262832967680, 46984794734592, 649244436332544, 8656592484433920, 111869810568069120, 1406363332855726080, 17251390216363573248, 207016682596362878976, 2435490383486622105600
评论
使用不同的偏移量，9个对象的n个排列数：
p、 r，s，t，u，v，z，x，y允许重复，正好包含八（8）u。例如：a（1）=72，因为我们有
uuuuu u p，uuuouu u pu，uuu uu u puu，uuouuu puu，
uuuuu r、uuuouu ru、uuu uu ruu、uuouuu ruuu、uu uuruuu、u uuru uu、U uuruu u、u u uuuuru u、，
uuuuu s，uuuouuu su，uuouu suu，uuu suu，
uuuuu u t，uuuouu u tu，uuu uu tuu，uuuku tuu，
uuuuu v、uuuouuuu vu、uuu uu vuu，
uuuuu uu z、uuuouu zu、uuouuu zuu、uu uuu zu，
uuuuu x、uuuouuu xu、uuu xuu、uu uuu、u uuuU xuu，
uuuuuuuu y，uuuuuuuu yu，uuuuuuuu yuu，uuuuuuu yuuu，uuuuuuuuu，uuuuuuuuu，uuuuuuuuuuu，uuuuuuuuuuu。
配方奶粉
a（n）=二项式（n+8,8）*8^n。
通用编号：1/（1-8*x）^9-文森佐·利班迪2011年10月16日
求和{n>=0}1/a（n）=738990736/105-52706752*log（8/7）。
Sum_｛n>=0｝（-1）^n/a（n）=306110016*对数（9/8）-1261909808/35。（结束）
MAPLE公司
seq（二项式（n+8,8）*8^n，n=0..17）；
数学
表[二项式[n+8，8]8^n，{n，0，15}](*迈克尔·德弗利格2017年7月24日*）
黄体脂酮素
（岩浆）[8^n*二项式（n+8,8）：[0..20]]中的n//文森佐·利班迪2011年10月16日
（PARI）向量（15，n，二项式（n+7，8）*8^（n-1））\\德里克·奥尔2017年7月24日
1, 56, 1764, 41160, 792330, 13311144, 201885684, 2826399576, 37096494435, 461645264080, 5493578642552, 62926446269232, 697434779483988, 7510836086750640, 78863778910881720, 809668130151718992, 8147285559651672357, 80514351413028291528, 782778416515552834300
链接
常系数线性递归的索引项，签名（56，-137219208，-168070941192，-32941726588344，-5764801）。
配方奶粉
a（n）=C（n，7）*7^（n-7）。
通用格式：x^7/（1-7*x）^8。
和{n>=7}1/a（n）=2286144*log（7/6）-10572289/30。
和{n>=7}（-1）^（n+1）/a（n）=12845056*log（8/7）-51456517/30。（结束）
MAPLE公司
seq（二项式（n，7）*7^（n-7），n=7..33）#零入侵拉霍斯2008年8月1日
数学
线性递归[{56，-1372，19208，-168070，941192，-3294172，6588344，-5764801}，{1，56，1764，41160，792330，13311144，201885684，2826399576}，20](*哈维·P·戴尔2014年5月31日*）
黄体脂酮素
（岩浆）[7^（n-7）*二项式（n，7）：n in[7..30]]//文森佐·利班迪2011年10月16日
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