显示找到的32个结果中的1-10个。
945, 3465, 15015, 692835, 22309287, 1542773001, 33426748355, 1635754104985, 114761064312895, 9316511857401385, 879315530560980695, 88452776289145528645, 2792580508557308832935, 428525983200229616718445, 42163230434005200984080045, 1357656019974967471687377449
评论
Dickson证明了具有n个不同素因子的奇原始富足数只有有限个。对于n=3，有8个这样的数字：945、1575、2205、7425、78975、131625、342225、570375。请参见A188439号.
a（14）<=88452776289145528645-多诺万·约翰逊2011年3月31日
a（15）<=2792580508557308832935，a（16）<=428525983200229616718445，a（17）<=42163230434005200984080045。如果这些a（n）是无平方的，并且最大素数因子与前一项的素数因子的距离不超过3个，那么这些边界就是a（n）的实际值。PARI代码只需要一秒钟的分数就可以计算出进一步的界限，在给定的假设下，界限是a（n）的实际值-M.F.哈斯勒2016年7月17日
来自的评论唐·雷布尔，2023年1月17日：（开始）
“如果a（n）是平方自由的，并且最大素数因子与前一项的素数因子相差不超过3个，那么这些边界就是a（n”）的实际值。”
这个猜想在a（50）以内是正确的。（结束）
链接
H.N.Shapiro，关于Dickson定理的注记，Bull Amer。数学。《社会学杂志》第55卷第4期（1949年），第450-452页
例子
945 = 3^3 * 5 * 7
3465 = 3^2 * 5 * 7 * 11
15015 = 3 * 5 * 7 * 11 * 13
692835=3*5*11*13*17*19（n=6:gpf增加2个素数）
22309287 = 3 * 7 * 11 * 13 * 17 * 19 * 23
1542773001 = 3 * 7 * 11 * 17 * 19 * 23 * 29 * 31
33426748355 = 5 * 7 * 11 * 13 * 17 * 19 * 23 * 29 * 31
1635754104985=5*7*11*13*17*19*23*29*37*41（这里也是）
114761064312895 = 5 * 7 * 11 * 13 * 17 * 23 * 29 * 31 * 37 * 41 * 43
9316511857401385 = 5 * 7 * 13 * 17 * 19 * 23 * 29 * 31 * 37 * 41 * 43 * 47
879315530560980695=5*7*13*17*19*23*29*31*37*41*53*59*61（n=13:gpf首次增加3个素数）（结束）
数学
PrimAbunQ[n_]：=模块[{x，y}，
y=大多数[除数[n]]；x=除数Sigma[1，y]；
除数Sigma[1，n]>2 n&&AllTrue[x/y，#<=2&]]；
表[k=1；
While[！PrimAbunQ[k]||长度[FactorInteger[k][All，1]]]！=编号：，
k+=2]；k、 {n，3，6}](*罗伯特·普莱斯2019年9月26日*）
黄体脂酮素
（PARI）
生成（A，B，n）=A=最大值（A，vecprod（素数（n+1））\2）；（f（m，p，j）=我的（列表=列表（））；如果（sigma（m）>2*m，返回（列表））；对于素数（q=p，sqrtnint（B\m，j），my（v=m*q）；而（v<=B，如果（j==1，如果（v>=A&&sigma（v）>2*v，my（F=系数（v）[，1]，ok=1）；对于（i=1，#F，如果（sigma（v\F[i]，-1）>2，ok=0；断裂）；如果（ok，listput（list，v）），如果（v*（q+1）<=B，list=concat（list（v，q+1，j-1）））；v*=q））；列表）；向量排序（Vec（f（1，3，n））；
a（n）=my（x=vecprod（素数（n+1））\2，y=2*x）；而（1，my（v=生成（x，y，n））；如果（#v>=1，返回（v[1]））；x=y+1；y=2*x）\\丹尼尔·苏图2024年2月10日
扩展
a（14）-a（17）已确认，a（18）来自丹尼尔·苏图，2024年2月10日
奇本原富足数的不规则三角形(A006038号)其中第n行的数字具有n个不同的素因子。
+20
7
945, 1575, 2205, 7425, 78975, 131625, 342225, 570375, 3465, 4095, 5355, 5775, 5985, 6435, 6825, 7245, 8085, 8415, 8925, 9135, 9555, 9765, 11655, 12705, 12915, 13545, 14805, 16695, 18585, 19215, 21105, 22365, 22995, 24885, 26145, 28035, 28215, 29835
评论
第一行有8个术语。第n行以开头188342英镑（n） ●●●●。Dickson证明了每行有有限个项。他在论文中以因子形式列出了前两行。然而，正如费里尔和赫尔佐格所报告的那样，迪克森的表格有很多错误。有576个奇本原富足数（OPAN）具有4个不同的素因子，最后一个是3^10 5^5 17^4 251^2=970969744245403125。下一行是5个不同的素因子，有超过100000个项。
如果用重数计算素因子，那么表将以第5行开始，其中包含121个术语：（945、1575、2205、3465、4095…、430815、437745、442365）。第6行将开始（7425、28215、29835、33345、34155…），第7行开始（81081、121095、164835、182655、189189…）-M.F.哈斯勒2016年7月27日[参见A287646型.]
链接
弗里茨·赫兹，表勘误表571，数学。公司。34 (1980), 652.
例子
第3行：945、1575、2205、7425、78975、131625、342225、570375；
第4行：3465、4095、5355。。。（571多个）。。。，249450402403828125, 970969744245403125;
第5行：15015、19635、21945、23205、25935、26565、31395、33495、33915、35805。。。
第6行：692835、838695、937365、1057485、1130415、1181895、1225785、1263405。。。
第7行：22309287、28129101、30069039、34051017、35888853、36399363。。。
第一列是188342英镑=（94534651501569283522309287，…）（结束）
奇数本原富足数n，其中n=x^2+x+y^2，y^2<2*x；的子序列A006038号.
+20
三
9555, 12705, 15015, 18585, 21105, 32445, 41055, 43065, 46035, 47355, 51765, 125895, 129465, 228735, 257565, 324555, 375165, 400785, 409185, 537285, 693225, 4513509, 5569641, 5581695, 5959065, 6084351, 6338535, 8824095, 9597315
例子
9555=97^2+97+7^2和9555奇数本原丰富数
数量丰富（m的除数之和超过2m）。
（原名M4825）
+10
338
12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 102, 104, 108, 112, 114, 120, 126, 132, 138, 140, 144, 150, 156, 160, 162, 168, 174, 176, 180, 186, 192, 196, 198, 200, 204, 208, 210, 216, 220, 222, 224, 228, 234, 240, 246, 252, 258, 260, 264, 270
评论
第一个偶数富足数是12=2^2*3，第一个奇数富足是945=3^3*5*7，这是第232个富足数！
如果m=6k（k>=2），那么σ（m）>=1+k+2*k+3*k+6*k>12*k=2*m。因此，所有这些m都在序列中。
根据Deléglise（1998），丰富的数字具有0.2474<A（2）<0.2480的自然密度。因此，第n个丰富数渐近到4.0322*n<n/A（2）<4.0421*n-丹尼尔·福格斯2015年10月11日
发件人鲍勃·塞尔科，2017年3月28日（由与Peter Seymour的通信提示）：（开始）
应用类似的逻辑证明，对于所有奇数素数p，6>=12的所有倍数都出现在序列中：
i） 当p<2^（k+1）-1时，形式j*p*2^k（j>=1）的所有数字出现在序列中；
iii）当p=2^（k+1）-1（即完全数，A000396号)，出现j*p*2^k（j>=2）。
注意，当仅在区间[2^k，2^（k+1）]中计算p时，冗余被消除。
不是i或iii形式的前几个偶数项是{70350490550572650770，…}。（结束）
参考文献
迪克森，关于数字除数之和的定理和表格，夸脱。J.纯应用。数学。，第44卷（1913年），第264-296页。
理查德·盖伊（Richard K.Guy），《数论中未解决的问题》（Unsolved Problems in Number Theory），第3版，斯普林格出版社，2004年，B2部分，第74-84页。
Clifford A.Pickover，《数学的激情》，威利出版社，2005年；见第59页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
链接
马克·德雷格利什，富足整数密度的界，实验。数学。，第7卷第2期（1998年），第137-143页。
克里斯蒂安·卡塞尔（Christian Kassel）和克里斯托夫·鲁特诺（Christophe Reutenauer），二维环面上n点的Hilbert格式的zeta函数，arXiv:1505.07229v3[math.AG]，2015年。[本文的后一版本有不同的标题和内容，论文的理论部分已移至以下出版物。]
配方奶粉
a（n）是C*n的渐近解，C=4.038…（Deléglise，1998）-贝诺伊特·克洛伊特2002年9月4日
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with（numtheory）：对于从1到270的n，如果sigma（n）>2*n，则打印f（`%d，`，n）fi:od：
isA005101:=进程（n）
简化（数字理论[sigma]（n）>2*n）；
选项记忆；
局部a；
如果n=1，则
12 ;
其他的
a:=程序名（n-1）+1；
而数字理论[sigma]（a）<=2*a do
a:=a+1；
结束do；
a；
结束条件：；
数学
选择[Range[300]，DivisorSigma[1，#]>2#&](*文森佐·利班迪2015年10月12日*）
黄体脂酮素
（PARI）是A005101（n）=（σ（n）>2*n）\\迈克尔·波特2009年11月7日
（哈斯克尔）
a005101 n=a005101_list！！（n-1）
a005101_list=过滤器（\x->a001065 x>x）[1..]
（Python）
从sympy导入除数
def ok（n）：返回和（除数（n））>2*n
打印（列表（过滤器（正常，范围（1271）））#迈克尔·布拉尼基2021年8月29日
（Python）
从symy导入divisorsigma
从itertools导入计数，islice
定义A005101号_gen（startvalue=1）：返回过滤器（lambda n：除数sigma（n）>2*n，计数（max（startwalue，1））#术语生成器>=startvalue
945, 1575, 2205, 2835, 3465, 4095, 4725, 5355, 5775, 5985, 6435, 6615, 6825, 7245, 7425, 7875, 8085, 8415, 8505, 8925, 9135, 9555, 9765, 10395, 11025, 11655, 12285, 12705, 12915, 13545, 14175, 14805, 15015, 15435, 16065, 16695, 17325, 17955
评论
第一个偶数富足数是12=2^2*3，第一个奇数富足是945=3^3*5*7，第232个富足数。
Schiffman指出，对于所有k<52的人，945+630k都在这个序列中。大多数最初的术语都是这样的。在1996年10^6以下的术语中，有1164个术语是这样的，只有26个术语不能被5整除，参见。A064001号. -M.F.哈斯勒2016年7月16日
一个充裕数的任何倍数都是充裕数，参见A006038号对于原始项，即那些不是早期项的倍数的项。
一个奇数富足数必须至少有3个不同的素因子，当用多重数计算时，必须有5个素因子(A001222号)，其中a（1）=3^3*5*7。要看到这一点，请将相对丰度A（N）=σ（N）/N=σ[-1]（N）写成A（乘积p_i^e_i）=乘积（p_i-1/p_i_i/i）/（p_i-1）<乘积p/i/（p_i-1）。
到今天为止，我们还不知道这个奇数富足数集S和奇数半完美数集S'之间有什么区别：S'\S的元素是完美的(A000396号)，并且S\S'的元素会很奇怪(A006037号)，但目前还不知道奇怪或完美的数字。（结束）
存在无穷多个项m，因此2*m+1也是一个项。m=9855718081307079878477689088676867676767686757107187给出了这样一个术语的示例-马克斯·阿列克塞耶夫2023年11月16日
参考文献
W.Dunham，Euler：《我们所有人的主人》，美国数学协会，华盛顿特区，1999年，第13页。
R.K.Guy，《数论中未解决的问题》，B2。
链接
小林光雄、保罗·波拉克和卡尔·波梅兰斯，关于社交数的分布《数论杂志》，第129卷，第8期（2009年），1990-2009页。参见第2007页的定理10。
Jay L.Schiffman，奇数丰富数《数学谱》，第37卷，第2期（2005年1月），第73-75页。
Jay L.Schiffman和Christopher S.Simons，更多奇数丰富序列第38卷第1期（2005年9月），第7-8页。
配方奶粉
482.8<k<489.8（基于Kobayashi等人，2009年的密度界限）-阿米拉姆·埃尔达尔2022年7月17日
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A005231号：=proc（n）选项记忆；局部a；如果n＝1，则945；否则，如果numtheory[sigma]（a）>2*a，则从procname（n-1）+2乘2do返回a；结束条件：；end do：结束if；结束进程：#R.J.马塔尔2011年3月20日
数学
fQ[n_]：=除数Sigma[1，n]>2n；选择[1+2Range@9000，fQ](*罗伯特·威尔逊v2011年3月20日*）
黄体脂酮素
（PARI）je=[]；forstep（n=15000，2，如果（sigma（n）>2*n，je=concat（je，n））；杰
（PARI）列表（lim）=我的（v=列表（））；对于因子（n=945，lim\1，如果（n[2][1,1]>2&&sigma（n，-1）>2，listput（v，n[1]））；车辆（v）\\查尔斯·格里特豪斯四世2022年4月21日
交叉参考
囊性纤维变性。A000203号,A005835号,A006038号,A115414号,A064001号,A112640型,A122036号,A136446号,A005101号,A173490型,A039725号,A064989号,A337386飞机.
大量丰富的数字：m有一个正指数epsilon，使得sigma（m）/m^{1+epsilon}>=sigma。
+10
54
2, 6, 12, 60, 120, 360, 2520, 5040, 55440, 720720, 1441440, 4324320, 21621600, 367567200, 6983776800, 160626866400, 321253732800, 9316358251200, 288807105787200, 2021649740510400, 6064949221531200, 224403121196654400
参考文献
S.Ramanujan，高度复合数，Proc。伦敦数学。《社会学杂志》，14（1915），347-407。《论文集》重印，编辑G.H.Hardy等人，剑桥，1927年；切尔西，纽约，1962年，第78-129页。特别见第87、115页。
链接
基思·布里格斯，丰度数与黎曼假设，实验数学。，第16卷（2006年），第251-256页。
凯文·布劳恩，丰富数字的多样性，在黎曼假设的等价物中。剑桥大学出版社，2017年，第144-164页。
G.Caveney、J.-L.Nicolas和J.Sondow，关于SA、CA和GA编号《拉马努扬杂志》，第29卷（2012年），第359-384页。
G.Caveney、J.-L.Nicolas和J.Sondow，关于SA、CA和GA编号，arXiv预印本arXiv:1112.6010[math.NT]，2011.-发件人N.J.A.斯隆2012年4月14日
S.Nazardonyavi和S.Yakubovich，极富足数与黎曼假设《整数序列杂志》，17（2014），第14.2.8条。
S.Ramanujan，高度复合数，注释和前言由J.-L.尼古拉斯和G.罗宾，拉马努扬J.，1（1997），119-153。
T.Schwabhäuser，防止Robin不等式的例外，arXiv预印本arXiv:1308.3678[math.NT]，2013。
20, 70, 88, 104, 272, 304, 368, 464, 550, 572, 650, 748, 836, 945, 1184, 1312, 1376, 1430, 1504, 1575, 1696, 1870, 1888, 1952, 2002, 2090, 2205, 2210, 2470, 2530, 2584, 2990, 3128, 3190, 3230, 3410, 3465, 3496, 3770, 3944, 4030, 4070, 4095, 4216, 4288
参考文献
Guy，R.K.《数论中未解决的问题》，第二版，纽约：Springer-Verlag，第46页，也是B2部分，1994年。
例子
20是一个项，因为1、2、4、5和10（20的真除数）都是亏数-蒂莫西·提芬2016年7月15日
MAPLE公司
丰度：=proc（n）选项记忆；数字理论：-sigma（n）-2*n结束过程：
选择（n->multy（n）>0和andmap（t->multh（t）<0，数量理论：-除数（n）减去{n}），[1..10000]）#罗伯特·伊斯雷尔2017年11月15日
数学
选择[Range@5000，DivisiorSigma[1，#]>2#&&Times@@Boole@Map[DivisorSigma[1，#]<2#&&，Most@Divisiors@#]==1&&](*迈克尔·德弗利格2016年7月16日*）
黄体脂酮素
（PARI）是A071395（v）={if（σ（v）<=2*v，返回（0））\\米歇尔·马库斯2013年3月10日
作者
Joe McCauley（麦考利（AT）davesworld.net），2002年6月12日
12, 18, 20, 30, 42, 56, 66, 70, 78, 88, 102, 104, 114, 138, 174, 186, 196, 222, 246, 258, 272, 282, 304, 308, 318, 354, 364, 366, 368, 402, 426, 438, 464, 474, 476, 498, 532, 534, 550, 572, 582, 606, 618, 642, 644, 650, 654, 678, 748, 762, 786, 812, 822
链接
P.Erdős，关于富足数的密度，J.伦敦数学。Soc.9（1934），第278-282页。
例子
12是一个项，因为1、2、3、4和6（12的真除数）要么是亏数，要么是完全数，因此不丰富-蒂莫西·提芬2016年7月15日
MAPLE公司
isA005101:=过程（n）是（数量[sigma]（n）>2*n）；结束进程：
isA091191:=进程（n）局部d；如果isA005101（n），则对于numtheory[除数]（n）减去{1中的d，如果isA005 101（d），则n}do返回false；结束条件：；end-do：返回true；否则为假；结束条件：；结束进程：
对于从1到200的n，如果是A091191（n），则执行printf（“%d\n”，n）；结束条件：；结束do：#R.J.马塔尔2011年3月28日
数学
t＝｛｝；n=1；当[长度[t]<100时，n++；如果[DivisorSigma[1，n]>2*n&&交集[t，Divisors[n]]=={}，AppendTo[t，n]]]；t吨(*T.D.诺伊2011年3月28日*）
选择[Range@840，DivisorSigma[1，#]>2#&Times@@Boole@Map[DivisorSigma[1,#]<=2#&，Most@Divisors@#]==1&](*迈克尔·德弗利格2016年7月16日*）
黄体脂酮素
（PARI）为（n）=sumdiv（n，d，sigma（d，-1）>2）==1\\查尔斯·格里特豪斯四世2012年12月5日
（哈斯克尔）
a091191 n=a091191_list！！（n-1）
a091191_list=过滤器f[1..]，其中
f x=总和pdivs>x&&全部（<=0）（映射（\d->a000203 d-2*d）pdivs）
其中pdivs=a027751_低x
6, 20, 28, 70, 88, 104, 272, 304, 368, 464, 496, 550, 572, 650, 748, 836, 945, 1184, 1312, 1376, 1430, 1504, 1575, 1696, 1870, 1888, 1952, 2002, 2090, 2205, 2210, 2470, 2530, 2584, 2990, 3128, 3190, 3230, 3410, 3465, 3496, 3770, 3944, 4030
评论
其真倍数都是丰富的，而其真除数都是不足的数-彼得·穆恩2020年9月8日
作为一个集合，与k-几乎素数集共享这一性质：没有成员除另一个成员，集合中的每个正整数要么是集合中1个或多个成员的除数，要么是集合的1个或更多成员的倍数，但不是两者都是。请参见A337814飞机用于证明等-彼得·穆恩2022年4月13日
参考文献
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
链接
Jared Duker Lichtman，本原非亏数的倒数和《数论杂志》，第191卷（2018年），第104-118页。
配方奶粉
总和{n>=1}1/a（n）位于区间（0.34842，0.37937）（Lichtman，2018）-阿米拉姆·埃尔达尔2020年7月15日
数学
k=1；lst={}；当[k<4050时，如果[DivisorSigma[1，k]>=2 k&&最小@Mod[k，lst]>0，附加到[lst，k]]；k++]；第一次(*罗伯特·威尔逊v2017年3月9日*）
a（n）=素数（n）**素数（m）是丰富的连续素数的最小乘积。
+10
12
30, 15015, 33426748355, 1357656019974967471687377449, 7105630242567996762185122555313528897845637444413640621
数学
a[n_]：=模[{p=素数[n]}，r=1；触头=1；而[r<=2，r*=1+1/p；prod*=p；p=NextPrime[p]]；戳]；数组[a，5](*阿米拉姆·埃尔达尔2019年6月29日*）
黄体脂酮素
（PARI）a（n）={p=素数（n）；sig=p+1；prd=p；while（sig<=2*prd，p=下一素数（p+1）；sig*=p+1，prd*=p；）；return（prd）；}\\米歇尔·马库斯2013年3月10日
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