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| A008683号 |
| Möbius（或Moebius）函数mu（n）。mu（1）=1；mu（n）=（-1）^k，如果n是k个不同素数的乘积；否则mu（n）=0。 |
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1452
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1, -1, -1, 0, -1, 1, -1, 0, 0, 1, -1, 0, -1, 1, 1, 0, -1, 0, -1, 0, 1, 1, -1, 0, 0, 1, 0, 0, -1, -1, -1, 0, 1, 1, 1, 0, -1, 1, 1, 0, -1, -1, -1, 0, 0, 1, -1, 0, 0, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, 1, 1, -1, 0, -1, 1, 0, 0, 1, -1, -1, 0, 1, -1, -1, 0, -1, 1, 0, 0, 1, -1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1，1
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评论
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莫比乌斯反演：f（n）=Sum_{d|n}g（d）对于所有n（n）=Sum_}d|nneneneep mu（d）*f（n/d）对于所有n。
a（n）只依赖于n的素数签名（参见。A025487号). 所以a（24）=a（375）因为24=2^3*3和375=3*5^3都有质数签名（3，1）。
“假设您沿最下面一行展开det（B_n）。第一个位置只有一个1，因此答案是（-1）^n乘以det（C_{n-1}），例如，其中C_{n-1}是通过删除第一列和最后一行从B_n获得的（n-1）by（n-1对于1<=m<=n，沿着底行展开det（A_n），我们可以看到det（A _n）=（-1）^n*det（C_{n-1}）+m（n-1）。所以我们有det（B_n）=（-1）^n*det（C_{n-1}）=det（A_n）-M（n-1）=M（n）-M。“（结束）
【Pickover，p.226】：“数字落入-1邮箱的概率是3/Pi^2，与落入+1邮箱的概率相同”-加里·亚当森2009年8月13日
涉及Möbius变换（a（n）和某些序列h（n）的Dirichlet卷积）的许多OEIS条目的公式可以使用以下公式推导（n>=1）：
求和mu（d）*h（n/d）=求和{k=1..n}h（gcd（n，k））*mu（n/gcd（n，k））/phi=A000010号.
使用gcd（n，k）*lcm（n，k）=n*k提供了进一步的变化。（结束）
与上述总和相对应的乘积公式也适用于序列f（n）>0：Product_{d|n}f（n/d）^mu（d）=Product_{k=1..n}f-理查德·L·奥勒顿，2021年11月8日
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参考文献
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T.M.Apostol，《解析数论导论》，Springer-Verlag，1976年，第24页。
L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第161页，#16。
G.H.Hardy和E.M.Wright，《数字理论导论》，第5版，牛津大学出版社，1979年，第262和287页。
Clifford A.Pickover，“数学书，从毕达哥拉斯到57维，数学史上的250个里程碑”，斯特林出版社，2009年，第226页-加里·亚当森2009年8月13日
G.Pólya和G.Szegő，分析卷II中的问题和定理。Springer_Verlag 1976年。
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链接
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Milton Abramowitz和Irene A.Stegun，编辑。，数学函数手册，国家标准应用数学局。第55辑，第十次印刷，1972年，第826页。
G.J.Chaitin，关于黎曼假设的思考arXiv:math/0306042[math.HO]，2003年。
保罗·塔劳，用自然数的多集表示模拟素数，《计算的理论方面》，ICTAC 2011，《计算机科学讲义》，2011年，第6916/2011卷，第218-238页。
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配方奶粉
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如果n=1，则求和mu（d）=1，否则为0。
Dirichlet生成函数：Sum_{n>=1}mu（n）/n^s=1/zeta（s）。同时求和{n>=1}μ（n）*x^n/（1-x^n）=x。
φ（n）=总和{d|n}μ（d）*n/d。
如果e=1，则与a（p^e）=-1相乘；如果e>1，则为0-大卫·W·威尔逊2001年8月1日
mu（n）=-Sum{d<n，d|n}mu（d），如果n>1且mu（1）=1-阿洛伊斯·海因茨2008年8月13日
Product_{n>=1}（1-x^n）^（-a（n）/n）=exp（x）（指数函数的乘积形式）-乔格·阿恩特2011年5月13日
a（n）=Sum_{k=1..n，gcd（k，n）=1}exp（2*Pi*i*k/n），单位本原n次根上的和。参见使徒参考，第48页，练习14（b）-沃尔夫迪特·朗，2011年6月13日
当n>=1时，求和{k=1..n}a（k）*floor（n/k）=1-彼得·卢什尼2012年2月10日
G.f.A（x）满足：x^2/A（x”）=Sum_{n>=1}A（x^（2*n）/A（x）^n）-保罗·D·汉纳2016年4月19日
和{n>=1}mu（n）*x^n/（1+x^n）=x-2*x^2。例如，见Pólya和Szegő，第11部分，第1章，第71号。
求和{n>=1}（-1）^（n+1）*mu（n）*x^n/（1-x^n）=x+2*（x^2+x^4+x^8+x^16+…）。
求和{n>=1}（-1）^（n+1）*mu（n）*x^n/（1+x^n）=x-2*（x^4+x^8+x^16+x^32+…）。
求和{n>=1}|mu（n）|*x^n/（1-x^n）=Sum_{n>=1}（2^w（n））*x^n，其中w（n。
Sum_{n奇数}|mu（n）|*x^n/（1+x^（2*n））=S_1}（2^w_1（n。
Sum_{n奇数}（-1）^（（n-1）/2）*mu（n）*x^n/（1-x^（2*n））=S_3}（2^w_3（n
G.f.A.（x）满足：A（x）=x-和{k>=2}A（x^k）-伊利亚·古特科夫斯基2019年5月11日
a（n）=Sum_{k=1..n}gcd（k，n）*a（gcd（k，n））=Sum_{d除以n}a（d）*d*phi（n/d）-彼得·巴拉2024年1月16日
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例子
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G.f.=x-x^2-x^3-x^5+x^6-x^7+x^10-x^11-x^13+x^14+x^15+。。。
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MAPLE公司
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（数字理论）：[seq（mobius（n），n=1..100）]；
#请注意，旧版本的Maple将mobius（0）定义为-1。
#这是不明智的！Moebius（0）最好保持未定义状态。
带有（数字理论）：
mu:=proc（n:：posint）选项记住`如果`（n=1，1，
-加法（mu（d），d=除数（n）减去{n}）
结束时间：
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数学
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阵法[MoebiusMu，100]
（*第二个节目：*）
m=100；A[_]=0；
Do[A[x_]=x-和[A[x^k]，{k，2，m}]+O[x]^m//正常，{m}]；
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黄体脂酮素
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（Axiom）[moebiusMu（n）表示1..100]中的n
（Magma）[MoebiusMu（n）：在[1..100]]中的n；
（PARI）a=n->如果（n<1，0，moebius（n））；
（PARI）{a（n）=如果（n<1，0，direculer（p=2，n，1-X）[n]）}；
（PARI）列表（n）=我的（v=向量（n，i，1））；对于素数（p=2，平方（n）），对于步长（i=p，n，p，v[i]*=-1）；对于步骤（i=p^2，n，p^2、v[i]=0））；对于素数（p=平方（n）+1，n，对于步长（i=p，n，p，v[i]*=-1））；v（v）\\查尔斯·R·Greathouse IV2012年4月27日
（哈斯克尔）
导入数学。数字理论。底漆。分解（factorise）
a008683=亩。瑞士。解压缩。因式分解，其中
mu[]=1；μ（1:es）=-μes；mu（_：es）=0
（鼠尾草）
@缓存函数
定义mu（n）：
如果n<2：返回n
返回和（除数（n）[：-1]中d的mu（d））
打印（[mu（n）代表n in（1..96）]）#彼得·卢什尼2016年12月26日
（Python）
来自sympy import mobius
打印（[范围（1101）中i的mobius（i）]）#因德拉尼尔·戈什2017年3月18日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000010号,A001221号,A008966号,A007423号,A080847号,A002321号（部分金额），A069158号,A055615号,A129360型,A140579号,40664美元,A140254号,A143104号,A152902号,A206706型,A063524号,A007427号,A007428型,A124010型,A073776号,A074206号,A132971号,A156552号.
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关键词
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核心,签名,容易的,复数,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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