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A000165号 |
| 偶数的双阶乘:(2n)!!=2^n*n!。 (原名M1878 N0742)
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225
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1、2、8、48、384、3840、46080、645120、10321920、185794560、3715891200、81749606400、1961990553600、51011754393600、1428329123020800、42849873690624000、1371195958099968000、46620662575398912000、167834385271436083200、63777066403145711616000
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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评论
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a(n)也是n维超立方体的图(边图)的自同构群的大小,也是超立方体形的几何自同构组的大小(这两个群是同构的)。该群是初等阿贝尔群(C_2)^n乘以S_n的扩展。(C_2是具有两个元素的循环群,S_n是对称群。)-Avi Peretz(njk(AT)netvision.net.il),2001年2月21日
然后a(n)出现在幂级数中:sqrt(1+sin(y))=Sum_{n>=0}(-1)^floor(n/2)*y^(n)/a(n)和sqrt-贝诺伊特·克洛伊特2002年2月2日
条目为0,+-1的n×n单项式矩阵的个数。
a(n)=A001044号(n)/A000142号(n)*A000079(n) =产品{i=0..n-1}(2*i+2)=2^n*Pochhammer(1,n).-Daniel Dockery(peritus(AT)gmail.com),2003年6月13日
还有线性有符号订单的数量。
将“降级”定义为按降序排列排列p的项目的排列。本说明关注的是那些等于其双重降级的排列。具有此性质的2n阶排列的数目与2n+1阶排列的数相等。a(n)=2n阶和2n+1阶的双降级置换数尤金·麦克唐奈(eemcd(AT)mac.com),2003年10月27日
a(n)=(Integral_{x=0..Pi/2}cos(x)^(2*n+1)dx),其中分母是b(n)=(2*n)/(n!*2^n)。-Al Hakanson(hawkuu(AT)excite.com),2004年3月2日
1+(1/2)x-(1/8)x ^2-(1/48)x ^3+(1/384)x ^4+…=sqrt(1+sin(x))。
a(n)*(-1)^n=arctan(x)的(n+1)-次导数的前项系数,见Hildebrand链接-莱因哈德·祖姆凯勒2006年1月14日
a(n)是斜对称2n X 2n矩阵的Pfaffian,其(i,j)项是i<j的j-大卫·卡伦2006年9月25日
a(n)是具有n+1个边的递增平面树的数目。(在平面树中,根的每个子树都是有序树,但根的子树可以循环旋转。)增加意味着顶点标记为0,1,2,。。。,n+1,每个子代的标签都比父代大。囊性纤维变性。A001147号对于增加有序树,A000142号增加无序树和A000111号增加0-1-2棵树-大卫·卡伦2006年12月22日
Hamed Hatami和Pooya Hatami证明了这是C_{2n+1}^n中任何最小支配集的基数的上界,C_{2n+1}^n是2n+1大小循环的n个副本的笛卡尔积,其中2n+1是素数-乔纳森·沃斯邮报2007年1月3日
a(n)=多集{1,1,2,2,…,n,n,n+1,n+1}的置换数,使得在i的两次出现之间,正好有一个条目>i,因为i=1,2,。。。,例如:a(2)=8个计数121323、131232、213123、231213、232131、312132、321312、323121。证明:两个1s之间总是只有一个条目(当n>=1时)。给定a(n)中的置换p(由a(n)计数),记录第一个1的位置i,然后删除两个1,并从每个条目中减去1,以获得a(n-1)中的置换q。映射p->(i,q)是从a(n)到笛卡尔积[1,2n]X a(n-1)的双射-大卫·卡伦2007年11月29日
等于(-1)^n*(1,1,2,8,48,…)点(1,-3,5,-7,9,…)。
例如:a(4)=384=(1,1,2,8,48)点(1,-3,5,-7,9)=(1、-3,10,-56,432)。(结束)
exp(x/2)=总和(n>=0,x^n/a(n))-杰姆·奥利弗·拉丰2009年9月7日
假设n从0开始,a(n)似乎是n位上的格雷码数。这当然是n位上的格雷码数与规范格雷码同构。证明:每个代码有2^n个不同的起始位置。此外,每个代码都有一个被翻转的位位置的特定模式(例如,1 2 1 3 1 2 1表示n=3),这些位位置模式可以用n!方式。-D.J.Schreffler(ds1404(AT)txstate.edu),2010年7月18日
例如,0,1,2,8,。。。是x/(1-2x/(2-2x/(3-8x/(4-8x/-保罗·巴里2011年1月17日
为每条边选择两种颜色的增加的双色树的数量。一般来说,如果我们用k替换2,我们会得到增加的k色树的数量。例如,对于k=3,我们得到了三阶阶乘数-文锦Woan2011年5月31日
另外,2n(或2n+1)的置换数等于它们的反向补足数。(参见Egge参考。)请注意,上述评论(McDonnell)中描述的双重降级等同于反向补足-贾斯汀·特洛伊卡2011年8月11日
1/a(n)的示例f.是BesselI(0,sqrt(2*x))。参见Abramowitz-Stegun(参考和链接A008277号)第375页,9.6.10-沃尔夫迪特·朗2012年1月9日
a(n)=具有n个不纯正系统的最大不纯正组的阶数2n(见[Miller],第203页)-L.埃德森·杰弗里2012年2月5日
对于n>1,a(n)是B_n和C_n型Coxeter群(也称为Weyl群)的阶-汤姆·埃德加2013年11月5日
对于m>0,k*a(m-1)是k个自由度的双平方概率分布的第m个累积量-斯坦尼斯拉夫·西科拉2014年6月27日
a(n)是M_n(Z)中群O_n(Z)={a的阶:a*a^T=I_n},整数上的n×n正交矩阵群-宋嘉宁2021年3月29日
a(n)是使用左石和两种骨头瓦解a(3n,3n)-苯或a(3n+1,3n+2)-苯的方法数;参见下文Defant等人-詹姆斯·普罗普2023年7月22日
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参考文献
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N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
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链接
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R.Coquereaux和J.-B.Zuber,地图、沉浸和排列,arXiv预印本arXiv:1507.03163[math.CO],2015。
Colin Defant、Rupert Li、James Propp和Benjamin Young,通过算盘双射对苯进行分片,arXiv预印本,arXiv:2209.05717[math.CO],2022。
Eric S.Egge,受限对称置换《Ann.Combin》,第11期(2007年),第405-434页。
乔尔·盖伊和文森特·皮劳,Weyl偏序集的弱序,arXiv:1804.06572[math.CO],2018年。
Hamed Hatami和Pooya Hatami,素循环笛卡尔积中的完美支配集,arXiv:math/0701018[math.CO],2006-2009年。
L.C.Larson,本质上不同的非攻击车安排数量,J.重建。数学。,7(1974年第3期),约180-181页。[仅第180和181页的注释扫描]
尤金·麦克唐纳,幻方和排列,APL Quote Quad 7.3(1976年秋季)。
B.E.Meserve,双因子《美国数学月刊》,第55期(1948年),第425-426页。
G.A.Miller,由特殊矩阵构成的群,公牛。阿默尔。数学。《社会学》第24卷(1918年),203-206年。
R.Ondrejka,双阶乘表,数学。公司。,24(1970),第231页。
路易斯·曼努埃尔·里维拉,整数序列与k-交换置换,arXiv预印本arXiv:14063081[math.CO],2014。
罗宾逊,主教的计数安排第198-214页,《组合数学IV》(阿德莱德,1975),Lect。数学笔记。,560 (1976).
Eric Weistein的《数学世界》,图形自同构
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配方奶粉
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例如:1/(1-2*x)。
递归的D-有限a(n)=2*n*a(n-1),n>0,a(0)=1-保罗·巴里2004年8月26日
这是的二项式平均变换A001907号参见Spivey和Steil(2006)Michael Z.Spivey(mspivey(AT)ups.edu),2006年2月26日
a(n)=积分{x>=0}x^n*exp(-x/2)/2 dx-保罗·巴里2008年1月28日
G.f.:1/(1-2x/(1-2x/(1-4x/(2-4x/)1-6x/(1-….(续分数))-保罗·巴里2009年2月7日
a(n)=M^n中的左上项,M=生成矩阵(两次Pascal三角形删除第一个“2”,其余为零;参见。A028326号):
2, 2, 0, 0, 0, 0, ...
2, 4, 2, 0, 0, 0, ...
2, 6, 6, 2, 0, 0, ...
2, 8, 12, 8, 2, 0, ...
2, 10, 20, 20, 10, 2, ...
…(结束)
连续分数:
通用系数:1+x*(Q(0)-1)/(x+1),其中Q(k)=1+(2*k+2)/(1-x/(x+1/Q(k+1))。
G.f.:1/Q(0),其中Q(k)=1+2*k*x-2*x*(k+1)/Q(k+1)。
G.f.:G(0)/2,其中G(k)=1+1/(1-x*(2*k+2)/(x*(2%k+2,+1/G(k+1)))。
G.f.:1/Q(0),其中Q(k)=1-x*(4*k+2)-4*x^2*(k+1)^2/Q(k+1。
一般公式:R(0),其中R(k)=1-x*(2*k+2)/(x*(2%k+2。(结束)
a(n)=(2n-2)*a(n-2)+(2n-1)*a-伊万·伊纳基耶夫2013年8月6日
递归方程:a(n)=(3*n-1)*a(n-1)-2*(n-1。
序列b(n)=A068102号(n) 也满足这个二阶递推。这导致了广义连分式展开lim_{n->infinity}b(n)/a(n)=log(2)=1/(2-2/(5-8/(8-18/(11-…-2*(n-1)^2/((3*n-1)-…))))。(结束)
和{n>=0}(-1)^n/a(n)=1/sqrt(e)(A092605型). (结束)
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例子
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以下排列及其反转均为5阶排列,具有双重降级特性:
0 1 2 3 4
0 3 2 1 4
1 0 2 4 3
1 4 2 0 3
G.f.=1+2*x+8*x^2+48*x^3+384*x^4+3840*x^5+46080*x^6+645120*x^7+。。。
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MAPLE公司
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ZL:=[S,{a=原子,b=原子,S=Prod(X,序列(Prod(X,b))),X=序列(b,卡>=0)},标记]:seq(组合结构[计数](ZL,大小=n),n=0..17)#零入侵拉霍斯2008年3月26日
G(x):=(1-2*x)^(-1):f[0]:=G(x#零入侵拉霍斯2009年4月3日
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数学
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递归表[{a[n]==2n*a[n-1],a[0]==1},a,{n,0,19}](*雷·钱德勒2015年7月30日*)
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黄体脂酮素
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(PARI){a(n)=prod(k=1,n,2*k)}/*迈克尔·索莫斯2013年1月4日*/
(岩浆)[2^n*阶乘(n):[0..105]]中的n//文森佐·利班迪2011年4月22日
(岩浆)I:=[2,8];[1] cat[n le 2 select I[n]else(3*n-1)*Self(n-1)-2*(n-1//文森佐·利班迪2015年2月19日
(哈斯克尔)
(Python)
从数学导入阶乘
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交叉参考
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囊性纤维变性。A006882号,A000142号(n!),A001147号((2n-1)!!),A010050型,A002454号,A039683号,A008544号,2018年1月13日,A047053号,A047055型,A047058型,A047657号,A084947号,A084948号,A084949号,A028326号,A193229号,A208057号,A032184号(2^n*(n-1)!),A019774号,A092605型.
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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