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在线整数序列®(OEIS®)在线百科全书

(第3页)

识别序列:提供公式

第二个目标奥伊斯是提供一个公众可以接触到有趣的数学部分的地方。

假设有人重新发现四面体数字的序列,三角形金字塔中的球数,如图所示:

四面体数

前几个数字很容易用手计算:

1, 4, 10,20, 35, 56,…

这个人可能是东京的一个高中生,一个在巴黎的医生,或者是一个在南达科他州退休的登山者。他或她想知道是否有一个公式,这些数字,他们叫什么,和一个参考,在那里他们可以发现更多关于他们。

只要他们有互联网或电子邮件,他们就可以咨询。奥伊斯(如果他们无法访问互联网或电子邮件,即使他们没有电,比如南达科他州的通讯员,他们仍然可以参考。图书版本由学术出版社出版于1995。这已经过时了,但是包含了5000个最重要的序列。

现在,让我们假设他们可以访问互联网。(通过电子邮件咨询数据库将在稍后的演示中讨论)。主网页,在那里他们看到下面的内容。

整数序列的在线百科全书

输入序列、单词或序列号:

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您按顺序替换示例并单击“提交”:

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回复显示了几个与这些术语匹配的序列,但上面的条目是寻找的序列:

问候整数序列在线百科全书

A000 029 四面体(或三角金字塔)数:A(n)=C(n+2,3)=n*(n+1)*(n+1)*(6)。
(原M338 2 N1363)
三百二十六
0, 1, 4、10, 20, 35、56, 84, 120、165, 220, 286、364, 455, 560、680, 816, 969、1140, 1330, 1540、1771, 2024, 2300、2600, 2925, 3276、3654, 4060, 4495、4960, 5456, 5984、6545, 7140, 7770、6545, 7140, 7770、γ、γ 列表图表参考文献历史编辑内部格式
抵消

0、3

评论

一个三角形中的球数,其中每个边包含n+1个球。第一n个三角形数之和(英文)A000 0217

5个柏拉图多面体之一(四面体、立方体、八面体、十二面体和二十面体)数(参见A053012

(1/6)*(n ^ 3+3×n ^ 2+2×n)是用<=n颜色来着色三角形顶点的方法,允许旋转和反射。群是二环体群Dy6,具有循环指数(x1 ^ 3+2×x3+ 3×x1*x2)/6。

自然数与自身的卷积——Felix Goldberg(Felixg(at)tx.Teiix.A.IL),FEB 01 2001

通过1×A(X-2)+ 4×A(X-1)+1×A(x)=X^ 3与Eulerian数(1,4,1)相连。- Gottfried Helms(赫尔姆斯(AT)UNI Kasel.de),4月15日2002

a(n)=和i- j j,对于所有1 <<i<j<n> Amarnath Murthy(AAMNATASH-Murthy(AT)雅虎.com),AUG 05

所有可能的积p*q的(n)=和,其中(p,q)是有序对和p+q= n+1。A(5)=5+8+9+8+5=35。- Amarnath Murthy(AAMNATASMURY(AT)雅虎.com),5月29日2003

三角形上的n+ 3个节点上的标记图数。- Jon Perry(PrRY(AT)GualalNET.CO.UK),6月14日2003

n=3的排列数,具有完全1的下降,避免了模式1324。- Mike Zabrocki(ZabROKI(AT)MathStat,约库加州),05月11日2004

这个多面体的施莱福符号:{3,3}

N~(2)在Riordan阵列(1/(1-x ^ 2),x)下的变换。- Paul Barry,4月16日2005

A(n)=A10829(n+5,6)=A10829(n+6,7)。- Reinhard Zumkeller,军01 2005

A(n)=A1055(n+4,3)。- Reinhard Zumkeller,7月27日2005

A(n)仅为n={ 1, 2, 48 }的完全平方。A(48)=19600=140 ^ 2。- Alexander Adamchuk(亚历克斯(AT)Kolmogorov .com),11月24日2006

A(n+1)是2月12日(2007)(AA1+AY2+AY3+AY4)^ n Sergio Falcon(SfCOCON(AT)DMA.ULPG.ES)膨胀项中的项数。(由Graeme McRae修正(GYM(AT)McRayEng.com),8月28日2007)

这也是平均的“置换熵”,和((pi(n)-n)^ 2)/n!,超过所有可能的集合N!排列π。- Jeff Boscole(JaselCISER(AT)Hotmail .com),3月20日2007

A(n)=微分(S(n,x),x){{x=2 }。Chebyshev S-多项式的一阶导数在x=2时被评估。A04310. - Wolfdieter Lang,APR 04 2007。

如果x是n-集,y是x的固定(n-1)-子集,则a(n-2)等于x相交Y- Milan R. Janjic(AGNUS(AT)BLIC.NET)的2007个子集的数目,8月15日

补足A145397A023 533(a(n))=1;A014306(a(n))=0。[ Reinhard Zumkeller,10月14日2008 ]

等于三角形的行和A152205[ Gary W. Adamson,11月29日2008 ]

A(n)是从歌词作者的真爱中收到的礼物,包括“圣诞节的十二天”的歌曲。A(12)=364,几乎是一年中的天数。[贝纳西尔(伯纳德(AT)BreBur.C.U.K),DEC 05 2008 ]

从Johannes W. Meijer,MAR 07 2009:(开始)

GF2分母中多项式的Z^ 1系数绝对值的序列A156925. A157703获取背景信息。

(结束)

从1 =三角形的行和开始A15823[ Gary W. Adamson,3月28日2009 ]

路径图PiNn的Wiener指数〔Eric W. Weisstein,4月30日2009〕

Peter Luschny,7月14日2009:(开始)

这是一个“MatrysHKA娃娃”序列,α=0,乘法对应。A000 0178

SEQ(ADD(I,I=α…K),K=α…n),n=α…50);(结束)

A(n)是n个不同数的不减,三元排列的数目。[ Samuel Savitz,9月12日2009 ]

A(n=4)=4个元素和(6)=a(2+4)上的数n的不同划分数,因为我们有10个不同的数,2个上4个元素之和2(=2=2+0+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 2 [来自Artur Jasinski(GRAFIX(AT)CSL·PL),11月30日2009 ]

A(n)对应于用所描述的技术存储n个字的步骤的总数。A173564. [ Ibrahima Faye(IFAY2001(AT)雅虎FR),2月22日2010 ]

A(n)也是由一个非常小的推导程序给出的:v(n)=矢量(k,k,1,n)w(n)=矢量(n- k,k,0,n- 1)a(n):=v(n)[nasascII字符]美分w(n)[从Roland Schroeder(弗洛拉(AT)GMx.de),7月12日,2010 ] ]

(n+2)位数,它们的二进制扩展中包含两个1的数。〔Vladimir Shevelev,7月30日2010〕

A(n)也从第二项开始,通过与三对角线端点相交对角线来形成n个三角形中的三角形数。Ref.:Steven E. Sommers在里面:Journ。整数序列,第1卷(1998),第981.5页(参见表的第一列):HTTP://www. c.uWaWOR.C.Nojals/JIS/SOMARS/NeXTangangel.HTML(Alexandre Wajnberg(亚历山大.Wajnnbg(AT)SkyNET.be),8月21日2010)。

列求和:

1 4、9、16、25…

1、4、9…

1…

……

--------------

1 4、10、20、35…

Johannes W. Meijer,5月20日2011:(开始)

CA3,CA4,GI3和GI4三角形和,对于它们的定义参见A180662Connell Pol triangleA1597是复制的四面体数的移位版本的线性和,例如Gi3(n)=17*a(n)+19*a(n-1)和Gi4(n)=5*a(n)+a(n-1)。

此外,康乃尔序列的KN3、KN4、CA3、CA4、GI3和GI4三角和A000 1614作为三角形,也是上面给出的序列的移位版本的线性和。(结束)

A(n-2)=:n0 0(n),n>=1,具有(- 1):=0,是三维空间中一般位置中n个平面顶点的数目。看下面的评论A000 0125一般安排。评论阿诺德的问题1990至11,见阿诺德参考,P.506。[ Wolfdieter Lang,5月27日2011 ]

我们考虑图G的最佳右顶点着色。假设标记,即着色开始于1。通过最优性,我们所指的最大标签是在所有可能的标号上使用的最大整数标签的最小值,s=和(L)(L)(L)(u)的总和,在G的所有边上的总和和L(W)是与G的顶点W相关联的标签。我们假设G如果G的所有可能标记都是S不变量并且产生相同的整数分区,则承认唯一的标记。〔Kailasam Viswanathan Iyer,7月8日2011〕

在相对论量子开弦(ref. Zwiebach)的4-D情形中,横向ViasoRO算子的换向器的中心项。- Tom Copeland,9月13日2011

在第43页的OvsieNo引用中作为Sturm-Liouville算子的系数出现。- Tom Copeland,9月13日2011

推荐信

M. Abramowitz和I. A. Stegun,EDS,数学函数手册,国家标准局应用数学。系列55, 1964(和各种改版),第828页。

V. I. Arnold(ED),阿诺德的问题,斯普林格,2004,关于问题的评论1990—11(第75页),第503-510页。数字n0。

A. H. Beiler,《数论中的娱乐》,Dover,NY,1964,第194页。

J. H. Conway和R. K. Guy,《数字之书》,哥白尼出版社,NY,1996,第83页。

H.S.M.科克塞特,多面体数,R. S. Cohen,J. J. Stachel和M. W. Wartofsky,E.S,Dirk Struik的25-35页:科学、历史和政治论文,纪念Dirk J. Struik,Reidel,多德雷赫特,1974。

L. E. Dickson,数字理论的历史。卡耐基公共研究所。256,华盛顿特区,第1, 1919卷;第2, 1920卷;第3, 1923卷,参见第2卷,第4页。

T. P. Martin,原子壳,Phys。报告,273(1996),1991~241,等式(1)。

J.C.P.Mi勒,编辑,二项式系数表。英国皇家学会数学表,第3卷,剑桥大学出版社,1954。

V. Ovsienko和S. Tabachnikov,射影微分几何新旧,剑桥数学教程(第165号),剑桥大学出版社,2005。

S.N.J.A.斯隆,《整数序列手册》,学术出版社,1973(包括这个序列)。

S.N.J.A.斯隆和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995(包括这个序列)。

A. Szenes,Veldune公式的组合论(N.J.希钦等人,E.),在代数几何中的向量束中,剑桥,1995。

D. Wells,企鹅字典好奇和有趣的数字,pp.126 7企鹅图书1987。

B. Zwiebach,弦理论的第一门课程,剑桥,2004;见第226页。

链接

斯隆,n,a(n)n=0…10000的表

M. Abramowitz和I. A. Stegun,编辑,数学函数手册,国家标准局,应用数学。系列55,第十打印,1972 [替代扫描副本]。

O. Aichholzer和H. Krasser点集序型数据库:应用和结果的集合,第17-20页,第13届加拿大计算几何会议(CCG’01),滑铁卢,8月13日至15日,2001日。

P. J. Cameron由寡形置换群实现的序列J.SEQS。第3卷(2000);

N. Heninger,E. M. Rains和N.J.A.斯隆,关于生成函数n次根的完整性J.组合理论,A辑,113(2006),1732-1745。

米兰扬吉克两个枚举函数

R. Jovanovic前2500个四面体数

Hyun Kwang Kim关于正则多面体数

Alexsandar Petojevic函数vMym(s;a;z)及一些著名序列《整数序列》杂志,第5卷(2002),第02.1.7条

斯隆,初始条款说明

斯隆,对应于A(3)=20的20个球的金字塔。

G. Villemin的数字历书,四旬斋

Eric Weisstein的数学世界,四面体数作文维纳指数

“核心”序列的索引条目

双向无穷序列索引条目

与常系数线性递归相关的序列的索引条目,签名(4,-6,4,- 1)

公式

G.f.:x/(1-x)^ 4。

a(n)=4*a(n-1)-6*a(n-2)+4*a(n-3)-a(n-4),n>=4。〔Jaume Oliver Lafont,11月18日2008〕

(-4-n)=-a(n)。

E.g.f.:((x ^ 3)/6+x ^ 2+x)*EXP(x)〔Geoffrey Critzer,2月21日,2009〕

A(n)=SuMu{{K=1…n} k*(n+k+ 1)。〔Vladimir Shevelev,7月30日2010〕

三角数的部分和(英文)A000 0217

a(n)=(n+1)*a(n-1)/n,Ralf Stephan,4月26日2003

三个连续项的和A000 600 3. - Ralf Stephan,4月26日2003

A(n)=C(1,2)+C(2,2)+…C+(n-1,2)+C(n,2);例如n=5:a(5)=0+1+3+6+10=20。- Labos E.(LabOS(AT)A.SoT.Hu),09月5日2003

n×x-对称Pascal矩阵My(i,j)=C(i+j+2,i)- Benoit Cloitre(BooIT7848 C(AT)橙. FR)的行列式,8月19日2003

由指数乘积和级数(n)减去指数(i):a(n)=和[i(n-i)]构成的级数之和。n项之和A000 0217. - Martin Steven McCormick(MathSEQ(AT)WAZE.NET),APR 06 2005

A(n)=和{k=0…层((n-1)/ 2),(n-2k)^ 2 } [偏移0 ];a(n+1)=和{k=0…n,k^ 2 *(1 -(-1)^(n+k-1))/2 } [偏移0 ];- Paul Barry,4月16日2005

SLY2的VelLundE公式的值,其中G=2:A(n)=和(j=1,N-1,N/(2×Sin ^ 2(J*PI/N)))- Simone Severini,9月25日2006

A(n)=和〔求和〔k,{k,1,m }〕,{m,1,n}〕。- Alexander Adamchuk,10月28日2006

a(n)=和{k=1…n}二项式(n*k+ 1,n*k-1),具有a(0)=0。- Paolo P. Lava,4月13日2007

A(n-1)=1/(1)!* 2!*和{ 1=x1,x2 2=n},dt v(x1,x2)=1/2×和{{ 1 } i,j<n} i jj,其中v(x1,xy2}是阶2的范德蒙矩阵。第2栏A1331. - Peter Bala,9月13日2007

从1 =二项变换开始[ 1, 3, 3,1,…];例如A(4)=20=(1, 3, 3,1)点(1, 3, 3,1)=(1+9+9+9)。- Gary W. Adamson,11月04日2007

A(n)=A000 6503(n)A000(n)。[ Reinhard Zumkeller,9月24日2008 ]

Suthi{n=1…无穷大} 1/A(n)=3/2,格子斯坦RySHIK 1.137的情况X=1。[ R. J. Mathar,1月27日2009 ]

LIM{N-> OO}A171973(n)/a(n)=SqRT(2)/ 2。[ Reinhard Zumkeller,1月20日2010 ]

用偏移1,A(n)=(1/6)*楼层(n ^ 5 /(n ^ 2+1))〔Gary Detlefs,2月14日2010〕

a(n)=(3×n ^ 2+6×n+2)/(6 *(h(n+2)-h(n-1))),n>0,其中h(n)是n次谐波数。〔Gary Detlefs,JUL 01 2011〕

a(n)=x=2在1+1/(x+1)+1/(x+1)^ 2+1/(x+1)^ 3++1/(x+1)^ n中的Maxurin展开系数。

a(n)=x(4)在辛(x)*EXP((n+1)*x)的麦克劳林展开中的系数。[ Francesco Daddi,04八月2011日]

A(n)=2A000 2415(N+ 1)/(N+ 1)- Tom Copeland,9月13日2011

例子

A(2)=3×4×5/6=10,3层球的金字塔中的球数,底部为三角形的6个,中间层3个,顶部为1个。

考虑方形阵列

1、2、3、4、5、6…

2、4、6、8、10、12…

3、6、9、12、16、20…

4、8、12、16、20、24…

5、10、15、20、25、30…

然后n(n)=n次对角线的和。- Amarnath Murthy(AAMNATASMURY(AT)雅虎.com),APR 06 2003

枫树

A:=n->n*(n+1)*(n+1)/6;

A000 029= n->二项式(n+3, 3);

Mathematica

表[二项式[n+1],{n,0, 20 }] [来自Zerinvary Lajos(ZeVialaLaJOS(AT)雅虎.com),1月31日2010 ]

REST [折叠列表[Plus,0,REST ] [PLODLIST ]加上,0,范围[50

黄体脂酮素

(PARI)a(n)=(n)*(n+1)*(n+1)/ 6

(推导)V(n)=[1, 2, 3,…,n] w(n):=(n,…,3, 2, 1)a(n):=标量积(V(n)w(n))[从Roland Schroeder(FrulLa(AT)GMx.de),8月14日2010 ] ]

交叉裁判

平分给出A000 044A000 2492.

2个连续项的和A000 0330.

a(3n-3)=A000 6566(n)。A000 044(n)=a(2n-2)。A000 2492(n)=a(2n+1)。

第一个差给出三角形数。

三角柱0A0944.

囊性纤维变性。A000 0217A000 1044A000 399A061552.

囊性纤维变性。A04097A1331A1331.

囊性纤维变性。A152205[ Gary W. Adamson,11月29日2008 ]

囊性纤维变性。A156925A157703.

囊性纤维变性。A15823[ Gary W. Adamson,3月28日2009 ]

囊性纤维变性。A173564[ Ibrahima Faye(IFAY2001(AT)雅虎FR),2月22日2010 ]

部分和是A000 0332. [ Jonathan Vos Post,3月27日2011 ]

囊性纤维变性。A058187A7717A7718. [ Johannes W. Meijer,5月20日2011 ]

语境中的顺序:A138788 A038 409 A090599*A101552 A038 419 A05319

相邻序列:A000 028 A000 0290 A000 029*A000 029 A000 029 A000 095

关键词

诺恩核心容易

作者

斯隆(NJAS(AT)研究公司)。

扩展

Michael Somos的更多条款

修正的PARI程序。- Harry J. Smith(HJSMITH(AT)SBCGULL .NET),12月22日2008

乘以G.F.与X匹配偏移R. J. Mathar(Mathar(AT)Srw·LeiNuvi.nl),4月23日2009

纠正和编辑由Daniel Forgues(SQUID(AT)ZsEnsCur.com),5月14日2010

回答给出了更多的术语,序列的名称,第n项的公式,生成函数,以及几个参考和链接,它们可以发现关于序列的更多信息。

特别是一本精彩的书,吸引了很多人学习数学以获得乐趣。

毫无疑问,考平和盖伊的新书(也强烈推荐给一般读者)将完成同样的事情。

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最后修改11月14日19:10 EST 2019。包含329128个序列。(在OEIS4上运行)