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(问候来自整数序列在线百科全书!)

演示

在线整数序列百科全书®(OEIS®)

(第3页)

识别序列:提供公式

第二个目标OEIS为公众提供一个可以接触数学有趣部分的地方。

假设有人重新发现了四面体数字的序列,三角形金字塔中的球的数量,如下所示:

四面体数

前几个数字很容易用手计算:

1,4,10,20,35,56。。。

这个人可能是东京的一名高中生,巴黎的一名医生,或者南达科他州的退休登山者,他或她想知道这些数字是否有一个公式,它们被称为什么,以及他们可以从中找到更多关于这些数据的参考。

只要他们能上网或收发电子邮件,他们就可以咨询OEIS(如果他们既不能上网也不能发电子邮件,即使他们没有电——就像南达科他州的记者一样——他们仍然可以参考书籍版本,1995年由学术出版社出版。这已经过时了,但包含了大约5000个最重要的序列。)

现在,让我们假设他们可以访问互联网。 (通过电子邮件查询数据库将在后面的演示中讨论)主页,他们看到以下内容。

整数序列在线百科全书

输入序列号、字或序列号:

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按顺序替换示例,然后单击“提交”:

提示

回复显示了几个与这些术语匹配的序列,但最前面的条目是要查找的序列:

来自整数序列在线百科全书!

A000292号 四面体(或三角锥体)数:a(n)=C(n+2,3)=n*(n+1)*(n+2)/6。
(原M3382 N1363)
326
0,1,4,10,20,35,56,84,120,165,220,286,364,455,560,680,816,969,1140,1330,1540,1771,2024,2300,2600,2925,3276,3654,4060,4495,4960,5456,5984,6545,7140,7770,8436,9139,9880,10660,11480,12341,13244,14190,15180 (列表;图表;参考文献;;历史;编辑;内部格式)
抵消

0,3个

评论

a(n)=三角形金字塔中每个边包含n+1个球的球数。前n个三角形数的和(A000217).

柏拉图多面体(四面体,立方体,八面体,十二面体和二十面体)数之一(参见。A053012型).

还有(1/6)*(n^3+3*n^2+2*n)是使用<=n种颜色为三角形顶点着色的方法,允许旋转和反射。群是具有循环指数(x1^3+2*x3+3*x1*x2)/6的二面体群D_6。

还有自然数与其自身的卷积——Felix Goldberg(felixg(AT)tx.technion.ac.il),2001年2月1日

通过1*a(x-2)+4*a(x-1)+1*a(x)=x^3与欧拉数(1,4,1)相连。-戈特弗里德赫尔姆斯(赫尔姆斯(AT)uni kassel.de),2002年4月15日

a(n)=sum | i-j |所有1<=i<=j<=n.-Amarnath Murthy(Amarnath_Murthy(AT)yahoo.com),2002年8月5日

a(n)=所有可能乘积p*q的和,其中(p,q)是有序对,p+q=n+1。a(5)=5+8+9+8+5=35。-Amarnath Murthy(Amarnath_Murthy(AT)yahoo.com),2003年5月29日

n+3节点上三角形的标记图的数目。-Jon Perry(Perry(AT)globalnet.co.uk),2003年6月14日

n+3的排列数,正好有1个下降,并且避免了1324模式。-Mike Zabrocki(地址:mathstat.yorku.ca),2004年11月5日

这个多面体的Schlaefli符号:{3,3}

Riordan数组(1/(1-x^2),x)下n^2的变换。-保罗·巴里,2005年4月16日

a(n)=-A108299号(n+5,6)=A108299号(n+6,7)。-Reinhard Zumkeller,2005年6月1日

a(n)=-A110555号(n+4,3)。-Reinhard Zumkeller,2005年7月27日

a(n)是n={1,2,48}的完全正方形。a(48)=19600=140^2。-Alexander Adamchuk(alex(AT)kolmogorov.com),2006年11月24日

a(n+1)是(a_1+a_2+a_3+a_4)^n-Sergio Falcon(sfalcon(AT)dma.ulpgc.es),2007年2月12日。(更正人:Graeme McRae(güm(AT)mcraefamily.com),2007年8月28日)

这也是平均“置换熵”,和((pi(n)-n)^2)/n!,超过所有可能的n!排列π。-Jeff Boscole(jazzerciser(AT)hotmail.com),2007年3月20日

a(n)=diff(S(n,x),x)|{x=2}。在x=2时计算的切比雪夫S-多项式的一阶导数。看到了吗A049310型. -Wolfdieter Lang,2007年4月4日。

如果X是n-集,Y是X的固定(n-1)-子集,那么a(n-2)等于X与Y相交的3个子集的数目

补足A145397号;A023533号(a(n))=1;A014306号(a(n))=0。[来自Reinhard Zumkeller,2008年10月14日]

等于三角形的行和邮编:A152205[来自Gary W.Adamson,2008年11月29日]

a(n)是指在歌曲“圣诞十二天”的第n天(包括第n天)收到的来自抒情者真爱的礼物数量。a(12)=364天,几乎是一年中的天数。[摘自Bernard Hill(Bernard(AT)braeburn.co.uk),2008年12月5日]

Johannes W.Meijer,2009年3月7日:(开始)

GF2分母中多项式z^1系数的绝对值序列邮编:A156925. 看到了吗A157703号背景资料。

(结束)

从1开始=三角形的行和邮编:A158823[来自Gary W.Adamson,2009年3月28日]

路径图的维纳指数[From Eric W.Weisstein,2009年4月30日]

来自Peter Luschny,2009年7月14日:(开始)

对应的matryka是相乘的A000178号

顺序(加(加(i,i=alpha..k),k=alpha..n),n=alpha..50);(结束)

a(n)是n个不同数的非递减三元置换数。【摘自Samuel Savitz,2009年9月12日】

a(n+4)=数n在4个元素和上的不同分区数a(6)=a(2+4),因为我们有10个不同的分块2在4个元素的和上2=2+0+0=1+1+0+0=0+2+0+0=1+0+1+1+0=0+0+2+0=1+0+0+1=0+0+1+1=0+0+1=0+0+0+0+2[来自Artur Jasinski(grafix(AT)csl.pl),2009年11月30日]

a(n)相当于通过第邮编:A173564. [摘自Ibrahima Faye(ifaye2001(AT)yahoo.fr),2010年2月22日]

a(n)也由一个非常小的派生程序给出:v(n):=向量(k,k,1,n)w(n):=向量(n-k,k,0,n-1)a(n):=v(n)[此处为nonascii字符]美分w(n)[摘自Roland Schroeder(florola(AT)gmx.de),2010年7月12日]

在二进制扩展中包含两次运行1的(n+2)位数。【弗拉基米尔·谢韦列夫,2010年7月30日】

a(n)也是,从第二项开始,通过将对角线与三个对角线端点相交而在n个边角上形成的三角形的数目。参考文献:史蒂芬·E·萨默斯,在:杂志。整数序列,第1卷(1998年),第98.1.5条(见表格第一列):http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/sommars/newtriangle.html[Alexandre.Wajnberg(Alexandre.Wajnberg(AT)skynnet.be),2010年8月21日。

列和:

1 4 9 16 25。。。

149。。。

1。。。

..............

--------------

1 4 10 20 35。。。

来自Johannes W.Meijer,2011年5月20日:(开始)

Ca3、Ca4、Gi3和Gi4三角和的定义见邮编:A180662,康奈尔波尔三角洲邮编:A159797是重复四面体数的移位形式的线性和,例如Gi3(n)=17*a(n)+19*a(n-1)和Gi4(n)=5*a(n)+a(n-1)。

进一步研究了Connell序列的Kn3,Kn4,Ca3,Ca4,Gi3,Gi4三角和A001614型作为一个三角形,也是上述序列的移位形式的线性和。(结束)

a(n-2)=:n_0(n),n>=1,其中a(-1):=0,是三维空间中n个平面在一般位置上的顶点数。请参见下面的注释A000125号总布置图。对阿诺德问题的评论,见阿诺德参考文献,第506页。【摘自Wolfdieter Lang,2011年5月27日】

我们考虑图G的最佳真顶点着色,假设标号即着色从1开始。通过最优性,我们的意思是,使用的最大标签是所有可能的G标签的最大整数标签的最小值。设S=G的所有边的和| l(v)-l(u)|,G的所有边uv和l(w)是与G的顶点w相关联的标签。如果G的所有可能标记都是S不变的,我们说G允许唯一的标记并得到S的相同的整数分块。在偏移量下,这个序列给出了n个顶点上完整图的S值,n=2,3,----。【Kailasam Viswanathan Iyer,2011年7月8日】

相对论性量子开弦四维情形下横向Virasoro算符交换子的中心项。-Tom Copeland,2011年9月13日

在第43页的Ovsienko参考文献中,以Sturm-Liouville运算符的系数出现。-Tom Copeland,2011年9月13日

参考文献

M、 Abramowitz和I.A.Stegun编辑,《数学函数手册》,国家标准局应用数学。系列551964(及各种重印),第828页。

五、 I.阿诺德(编辑),《阿诺德的问题》,斯普林格,2004年,关于问题1990-11的评论(第75页),第503-510页。数字N\u 0。

A、 H.贝勒,《数字理论的再创造》,纽约多佛,1964年,第194页。

J、 康威和盖伊,《数字之书》,哥白尼出版社,纽约,1996年,第83页。

H、 S.M.Coxeter,《多面体数》,R.S.Cohen、J.J.Stachel和M.W.Wartofsky编辑的第25-35页,为《纪念德克·斯特鲁克的科学、历史和政治论文集》,里德尔,多德雷赫特,1974年。

五十、 迪克森,《数论史》。卡内基公共学院。见华盛顿特区第2卷,第256卷,第1913卷;第。

T、 马丁,原子壳,物理。报告,273(1996),199-241,公式(1)。

J、 C.P.Miller,编辑,二项式系数表。皇家学会数学表格,第3卷,剑桥大学出版社,1954年。

五、 《射影微分几何新旧》,剑桥数学丛书(第165期),剑桥大学出版社,2005年。

N、 J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。

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D、 威尔斯,《企鹅好奇有趣的数字词典》,第126-7页企鹅图书1987年。

B、 Zwiebach,弦论第一课程,剑桥,2004年;见第226页

链接

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O、 艾克霍尔泽和H.克拉瑟,点集顺序型数据库:应用和结果的集合,第17-20页,摘自第13届加拿大计算几何会议(CCCG'01),滑铁卢,2001年8月13-15日。

P、 J.卡梅隆,由寡态置换群实现的序列,J.积分。顺序。第3卷(2000年),#00.1.5。

N、 亨宁格,雷恩斯和斯隆,关于母函数n次根的完整性,J.组合理论,A系列,113(2006),1732-1745。

米兰-扬吉奇,两个枚举函数

R、 约万诺维奇,前2500个四面体数

金贤光,关于正则多面体数

亚历克山达·佩托杰维奇,函数vM_m(s;a;z)与一些已知序列《整数序列杂志》,第5卷(2002年),第02.1.7条

N、 J.A.斯隆,初始术语说明

N、 J.A.斯隆,20个球的金字塔,对应于a(3)=20。

G、 维勒明的数字年鉴,四面体

埃里克·韦斯坦的数学世界,四面体数,组成,维纳指数

“核心”序列的索引项

无限序列的索引

与常系数线性递归相关的序列的索引项,签名(4-,-6,4,-1)

公式

G、 f.:x/(1-x)^4。

当n>=4时,a(n)=4*a(n-1)-6*a(n-2)+4*a(n-3)-a(n-4)。[Jaume Oliver Lafont,2008年11月18日]

a(-4-n)=-a(n)。

E、 g.f.:((x^3)/6+x^2+x)*经验(x)[摘自杰弗里·克里特,2009年2月21日]

a(n)=和{k=1..n}k*(n-k+1)。【弗拉基米尔·谢韦列夫,2010年7月30日】

三角数的部分和(A000217).

a(n)=(n+3)*a(n-1)/n.-Ralf Stephan,2003年4月26日

连续三项之和A006003年. -拉尔夫·斯蒂芬,2003年4月26日

(n+2+C)=1+2+0(n=2+C)=1+2+0。-Labos E.(Labos(AT)ana.sote.hu),2003年5月9日

n×n对称Pascal矩阵M_(i,j)=C(i+j+2,i)-Benoit Cloitre(benoit7848c(AT)orange.fr)的行列式,2003年8月19日

由指数的乘积和级数(n)的长度减去指数(i)得到的级数之和:a(n)=sum[i(n-i)]。也是n项之和A000217. -Martin Steven McCormick(mathseq(AT)wazer.net),2005年4月6日

a(n)=sum{k=0..floor((n-1)/2),(n-2k)^2}[偏移量0];a(n+1)=sum{k=0..n,k^2*(1-(-1)^(n+k-1))/2}[偏移量0];-Paul Barry,2005年4月16日

2的Verlinde公式的值,g=2:a(n)=和(j=1,n-1,n/(2*sin^2(j*Pi/n))——Simone Severini,2006年9月25日

{1,m}和[m,n]=。-Alexander Adamchuk,2006年10月28日

a(n)=和{k=1..n}二项式(n*k+1,n*k-1),其中a(0)=0。-Paolo P.Lava,2007年4月13日

a(n-1)=1/(1!*2!)*sum{1<=x_1,x_2<=n}det V(x_1,x_2)|=1/2*sum{1<=i,j<=n}i-j |,其中V(x_1,x_2}是2阶范德蒙矩阵。第2列,共邮编:A133112. -彼得·巴拉,2007年9月13日

从1开始=二项式变换[1,3,3,1,…];例如a(4)=20=(1,3,3,1)点(1,3,3,1)=(1+9+9+1)。-Gary W.Adamson,2007年11月4日

a(n)=A006503号(n)-A002378号(n) 一。[来自Reinhard Zumkeller,2008年9月24日]

和{n=1..infinity}1/a(n)=3/2,在Gradstein-Ryshik 1.513.7中,x=1。[摘自R.J.Mathar,2009年1月27日]

Lim{n->oo}邮编:A171973(n) /a(n)=平方英尺(2)/2。[来自Reinhard Zumkeller,2010年1月20日]

偏移量为1时,a(n)=(1/6)*楼层(n^5/(n^2+1))[来自Gary Detlefs,2010年2月14日]

a(n)=(3*n^2+6*n+2)/(6*(h(n+2)-h(n-1)),n>0,其中h(n)是第n次谐波数。[来自Gary Detlefs,2011年7月1日]

a(n)=1+1/(x+1)+1/(x+1)^2+1/(x+1)^3+…+1/(x+1)^n的麦克劳林展开系数x^2。[摘自Francesco Daddi,2011年8月2日]

a(n)=sin(x)*exp((n+1)*x的麦克劳林展开式中x^4的系数。【摘自Francesco Daddi,2011年8月4日】

a(n)=2*A002415(n+1)/(n+1)-Tom Copeland,2011年9月13日

例子

a(2)=3*4*5/6=10,三层球组成的金字塔中的球数,底部三角形6个,中间层3个,顶部1个。

考虑一下方阵

一二五四。。。

2 4 6 8 10 12。。。

3 6 9 12 16 20。。。

4 8 12 16 20 24。。。

5 10 15 20 25 30。。。

...

则a(n)=第n次反对角线之和。-Amarnath Murthy(Amarnath_Murthy(AT)yahoo.com),2003年4月6日

枫木

a: =n->n*(n+1)*(n+2)/6;

A000292号:=n->二项式(n+3,3);

数学

Table[binordinary[n+3,3],{n,0,20}][来源于zerinvaylajos(zerinvaylajos(AT)yahoo.com),2010年1月31日]

Rest[FoldList[Plus,0,Rest[FoldList[Plus,0,Range[50]]]]

黄体脂酮素

(平价)a(n)=(n)*(n+1)*(n+2)/6

(推导)v(n):=[1,2,3,…,n]w(n):=[n,…,3,2,1]a(n):=标量积(v(n)w(n))[摘自罗兰·施罗德(florola(AT)gmx.de),2010年8月14日]

交叉引用

二等分给出A000447号A002492号.

连续两项之和A000330号.

a(3n-3)=A006566号(n) 一。A000447号(n) 2n-2(纳)。A002492号(n) =a(2n+1)。

第一个差异给出三角形数字。

三角形第0列A094415.

囊性纤维变性。A000217,A001044型,A003991号,A061552型.

囊性纤维变性。A040977号,邮编:A133111,邮编:A133112.

囊性纤维变性。邮编:A152205[来自Gary W.Adamson,2008年11月29日]

囊性纤维变性。邮编:A156925,A157703号.

囊性纤维变性。邮编:A158823[来自Gary W.Adamson,2009年3月28日]

囊性纤维变性。邮编:A173564[摘自Ibrahima Faye(ifaye2001(AT)yahoo.fr),2010年2月22日]

部分和为A000332号. 【摘自Jonathan Vos Post,2011年3月27日】

囊性纤维变性。A058187号,邮编:A190717,邮编:A190718. 【摘自Johannes W.Meijer,2011年5月20日】

上下文顺序:邮编:A138778 A038409型 A090579号*A101552号 A038419号 A057319号

相邻序列:A000289号 A000290型 A000291号*A000293号 A000294号 A000295型

关键字

,核心,容易的,美好的

作者

N、 J.A.斯隆(njas(AT)research.att.com)。

扩展

迈克尔·索莫斯的更多条款

修正的PARI程序。-Harry J.Smith(HjSmith(AT)sbcglobal.net),2008年12月22日

将g.f.乘以x以匹配偏移量R.J.Mathar(Mathar(AT)strw.leidenuv.nl),2009年4月23日

由Daniel Forgues(squid(AT)zensearch.com)更正和编辑,2010年5月14日

回复给出了更多的术语,序列的名称,第n项的公式,生成函数,以及一些参考文献和链接,他们可以从中找到更多关于序列的信息。

尤其是贝勒参考书(一本好书)吸引了许多人为了娱乐而学习数学。

毫无疑问,康威和盖伊的新书(也强烈推荐给普通读者)也会完成同样的事情。

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上次修改日期:美国东部时间2020年8月13日22:17。包含336460个序列。(运行在oeis4上。)