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按行读取的三角阵列T：T（n，0）=T（n、2n）=1表示n>=0，T（n；1）=0表示n>=1，T（n，2）=1代表n>=2，以及n>=3，T。对于k<0或k>2n，T（n，k）=0。
+10
40
1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 2, 1, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 1, 1, 0, 1, 2, 3, 6, 9, 8, 1, 1, 0, 1, 2, 3, 6, 11, 18, 23, 18, 1, 1, 0, 1, 2, 3, 6, 11, 20, 35, 52, 59, 42, 1, 1, 0, 1, 2, 3, 6, 11, 20, 37, 66, 107, 146, 153, 102, 1, 1, 0, 1, 2, 3, 6, 11, 20, 37, 68, 123, 210, 319, 406, 401, 256, 1
例子
0≤k≤2n的三角形T（n，k）：
1;
1, 0, 1;
1, 0, 1, 2, 1;
1, 0, 1, 2, 3, 4, 1;
1, 0, 1, 2, 3, 6, 9, 8, 1;
MAPLE公司
T： =proc（n，k）选项记忆；
如果k=0或k=2或k=2*n，则为1
elif k=1然后为0
否则添加（T（n-1，k-j），j=1..3）
fi（菲涅耳）
结束时间：
seq（seq（T（n，k），k=0..2*n），n=0..10）#G.C.格鲁贝尔2019年11月5日
数学
T[n_，k_]：=T[n，k]=如果[k==0||k==2||k==2*n，1，如果[k==1，0，和[T[n-1，k-j]，{j，3}]]；表[T[n，k]，{n，0，12}，{k，0，2*n}]//扁平(*G.C.格鲁贝尔2019年11月5日*）
黄体脂酮素
（PARI）{T（n，k）=if（k==0||k==2||k=2*n，1，if（k==1,0，sum（j=1,3，T（n-1，k-j））}；
对于（n=0，10，对于（k=0，2*n，打印1（T（n，k），“，”））\\G.C.格鲁贝尔2019年11月5日
（鼠尾草）
@缓存函数
定义T（n，k）：
如果（k==0或k==2或k==2*n）：返回1
elif（k==1）：返回0
else：（1..3）中j的返回和（T（n-1，k-j））
[T（n，k）代表k in（0..2*n）]代表n in（0..10）]#G.C.格鲁贝尔2019年11月5日
（间隙）
T： =函数（n，k）
如果k=0或k=2或k=2*n，则返回1；
elif k=1，然后返回0；
否则返回总和（[1..3]，j->T（n-1，k-j））；
fi；
结束；
平面（列表（[0..10]，n->列表（[0.2*n]，k->T（n，k）））#G.C.格鲁贝尔2019年11月5日
交叉参考
涉及此数组的总和：A027067号,A027068号,A027069号,A027070号,A027072号,A027073号,A027074号,A027075美元,A027076号,A027077美元,A027078号,A027079号,A027080号,A027081号.
当n>=1时，序列（1,2，…，n-1，n，n-1…，1）的级联。
+10
36
1, 1, 2, 1, 1, 2, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 4, 5
评论
序列b_0，b_1，b_2，…的序数变换。。。是序列a_0、a_1、a_2。。。其中a_n是b_n在{b_0…b_n}中发生的次数。
给定三角形行：（1；1,2,1；1,2,3,2,1；…）作为polceoff，偏移量为0：
q=（1+2x+x^2），r=（1=2x+3x^2+2x^3+x^4）等。；然后
（1+2x+3x^2+…）=q（x）*q（x^2）*q。。。
…………..=r（x）*r（x^3）*r。。。
…………..=s（x）*s（x^4）*s。。。
…（结束）
设U_1（t）=1，U_2（t）=2*t，U_r（t）=2*t*U_（r-1）（t）-U（r-2）（t，r>2，是第二类切比雪夫多项式。对于q>1的整数，设N=2*q和x_k=cos（（2*k-1）*Pi/N），定义有序列向量V_k=[U_k（x_1），U_k，。。。，q、 其中A^T表示矩阵A的转置。让E_N=[V_1，V_2，…，V_q]是由V_k的有序分量形成的q X q矩阵。E_N包含与N相关的Danzer基（参见[Jeffery]）的联合谱。让M_N=（1/q）*[E_N]^T*E_N。对于一般情况q=1，让M_2=[1]。假设：E_N和M_N总是整数且对称的，M_N的对角线项{1,2，…}从第一行的条目1，j（奇数j）开始，第一列的条目i，1（奇数i）开始，其他地方为零。如果允许N在没有边界的情况下增加，并且假设猜想成立，那么三角形A004737号从包含这些条目[M_N]_（i，j）的连续反对偶中整体出现，使得i+j=2*v，对于{1,2，…，floor（（q+1）/2）}中的每个v。例如，对于N=18和q=9（为了清楚起见，省略了零），
M_18=[
(1 1 1 1 1);
( 2 2 2 2 );
(1 3 3 3 3);
( 2 4 4 4 );
(1 3 5 5 5);
( 2 4 6 6 );
(1 3 5 7 7);
( 2 4 6 8 );
(1 3 5 7 9)],
从中可以连续读取序列的前五行。（结束）
T（n，k）=最小值（n，k）。列表T（n，k）的顺序是从T（1，n）到T（n、n）的平方边，然后从T（n）到T（n，1）-鲍里斯·普蒂耶夫斯基2013年1月13日
T（2，k）k=0,1，…，的展开形式，。。。，2m用于升序m-多项式三角形-鲍勃·塞尔科2014年2月7日
通过执行（111…）^2和<=九个一，可以复制三角形前九行中的术语。例如，（11111）^2=123454321-加里·亚当森2015年3月27日
参考文献
米克洛斯·拉兹科维奇（Miklós Laczkovich），《猜想与证明》，《TypoTex》，布达佩斯，1998年。见第10章。
F.Smarandache，“数值序列”，克拉约瓦大学，1975年。
链接
Jerry Brown等人。，问题4619《学校科学与数学》，美国，第97卷（4），1997年，第221-222页。
F.Smarandache，论文集，第二卷，Tempus Publ.公司。Hse.、。，布加勒斯特，1996年。
配方奶粉
设b（n）=楼层（sqrt（n-1））。那么a（n）=min（n-b（n）^2，（b（n）+1）^2-n+1）-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2006年6月9日
如果序列被读取为三角形数组，则从[1]开始；[1,2,1]; [1,2,3,2,1]; ..., 那么o.g.f.是（1+qx）/（（1-x）（1-qx）（1q^2x））=1+x（1+2q+q^2）+x^2（1+2q+3q^2+2q^3+q^4）+。。。。这个三角形的行多项式是（1+q+…+q^n）^2=[n，2]_q+q[n-1,2]_q，其中[n，2]_q是高斯多项式（参见A008967号). -彼得·巴拉2007年9月23日
a（n）=楼层（sqrt（n-1））-|n-楼层（squart（n-l））^2-楼层（squrt（n-1））-1|+1-鲍里斯·普蒂夫斯基2013年1月13日
读取为三角形数组，则T（n，k）=n-|n-k-1|；T（n，0）=1；T（n，n-1）=n-胡安·巴勃罗·埃雷拉。2016年10月17日
例子
序列的开头是一个表：
1 1 1 1 1 1 ...
1 2 2 2 2 2 ...
1 2 3 3 3 3 ...
1 2 3 4 4 4 ...
1 2 3 4 5 5 ...
1 2 3 4 5 6 ...
...
序列的开头是由行读取的不规则三角形数组：
1;
1,2,1;
1,2,3,2,1;
1,2,3,4,3,2,1;
1,2,3,4,5,4,3,2,1;
1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1;
...
行号k包含2*k-1个数字：1,2，。。。，k-1、k、k-1，。。。，1.（结束）
分数序列A196199号/A004737号= 0/1, -1/1, 0/2, 1/1, -2/1, -1/2, 0/3, 1/2, 2/1, -3/1, -2/2, -1/3, 0/4, 1/3, 2/2, 3/1, -4/4. -3/2, ... 包含所有有理数（无限频繁）[Lazkovic]-N.J.A.斯隆2013年10月9日
数学
表[Min[n-#^2，（#+1）^2-n+1]和@Floor[Sqrt[n-1]]，｛n，105｝]（*或*）
表[Floor@#-Abs[n-Floor[#]^2-Floor@#1]+1&@Sqrt[n-1]，{n，105}](*迈克尔·德弗利格2016年10月21日*）
表[Join[Range[n]，Range[n-1，1，-1]]，{n，20}]//展平(*哈维·P·戴尔2019年12月27日*）
黄体脂酮素
（哈斯克尔）
导入数据。列表（inits）
a004737 n=a004737_列表！！（n-1）
a004737_list=$tail$inits[1..]的concatMap
其中f xs=xs++尾部（反向xs）
（PARI）a（n）=n--；我的（m=平方（n））；m+1-abs（n-m^2-m）\\大卫·A·科内斯2016年10月18日
a（n）=总和{k=1..n}上限（n/k）。
（原名M2522）
+10
25
1, 3, 6, 9, 13, 16, 21, 24, 29, 33, 38, 41, 48, 51, 56, 61, 67, 70, 77, 80, 87, 92, 97, 100, 109, 113, 118, 123, 130, 133, 142, 145, 152, 157, 162, 167, 177, 180, 185, 190, 199, 202, 211, 214, 221, 228, 233, 236, 247, 251, 258, 263, 270, 273, 282, 287, 296, 301
评论
考虑到上限（x）<=x+1，我们可以使用调和级数的已知结果，轻松推导出n*log（n）<=a（n）≤n*（1+log（n））+n=n（log（n+2）-Stefan Steiner伯格2006年4月8日
参考文献
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
MAPLE公司
seq（加上（ceil（n/j），j=1..n），n=1..60）#G.C.格鲁贝尔2019年11月7日
数学
表[总和[上限[n/i]，{i，1，n}]，{n，1，60}](*斯特凡·斯坦纳伯格，2006年4月8日*）
nxt[{n_，a_}]：={n+1，a+除数Sigma[0，n]+1}；转座酶[NestList[nxt，｛1，1｝，60]][[2]](*哈维·P·戴尔2013年8月23日*）
黄体脂酮素
（哈斯克尔）
a006590 n=总和$map f[1..n]，其中
f x=y+1-0 ^r其中（y，r）=divMod n x
（PARI）第一（n）=我的（v=向量（n，i，i），s）；对于（i=1，n-1，v[i+1]+=s+=numdiv（i））；v（v）\\查尔斯·格里特豪斯四世2017年2月7日
（PARI）a（n）=n+总和（k=1，n-1，（n-1）\k）\\米歇尔·马库斯2021年10月10日
（岩浆）[&+[天花板（n/j）：j in[1..n]]：n in[1.60]]//G.C.格鲁贝尔2019年11月7日
（Sage）[（1..n）中j的总和（ceil（n/j）），（1..60）中n的总和]#G.C.格鲁贝尔2019年11月7日
（Python）
从数学导入isqrt
定义A006590号（n） ：return（λm:n+2*sum（（n-1）//k表示范围（1，m+1）中的k）-m*m）（isqrt（n-1#柴华武2021年10月9日
1, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11
评论
这也是一个由行读取的三角形，其中第n行列出了前2*n-1个正整数，n>=1（参见示例）-奥马尔·波尔，2012年5月29日
示例中的三角形是Kircheri在1664年使用的三角形。请参阅链接“Mundus Subtracheneus”-查尔斯·库斯涅克，2022年9月11日
链接
Glen Joyce C.Dulatre、Jamilah V.Alarcon、Vhenectit M.Florida、Daisy Ann A.Disu、，关于分形序列，DMMMSU-CAS科学监测（2016-2017）第15卷第2期，109-113。
配方奶粉
a（n）=n-1-天花板（sqrt（n））*（天花板（squart（n））-2）；n>0。
a（n）=n-楼层（sqrt（n-1））^2，n与下一个较小正方形之间的距离-马克·勒布伦2004年1月14日
例子
a（1）=1；a（9）=5；a（10）=1；
以三角形形式书写，序列开始：
1;
1, 2, 3;
1, 2, 3, 4, 5;
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7;
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9;
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11;
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13;
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15;
黄体脂酮素
（PARI）a（n）=如果（n<1，0，n-平方（n-1）^2）
（哈斯克尔）
导入数据。列表（inits）
a071797 n=a071797_列表！！（n-1）
a071797_list=f$tail$inits[1..]其中
f（xs:_：xss）=xs++f xss
1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 73, 74
评论
（原始）周期长度k（n）=A077427号（n） （sqrt（4*a（n）+1）/2的（正则）连分数决定了丢番图方程（2*x-y）^2-（1+4*a（n））*y^2=+4或-4是否可解，并且该连分数的近似值给出了所有解。请参见A077057号.
参考文献
O.Perron，“Die Lehre von den Kettenbruechen，Bd.I”，Teubner，19541957年（第30节，第3.35节，第109页和第108页表）。
配方奶粉
4*a（n）+1不是平方数。
a（n）=天花板（sqrt（n））+n-1-勒罗伊·奎特2007年7月6日
黄体脂酮素
（哈斯克尔）
a078358 n=a078358_列表！！（n-1）
a078358_list=过滤器（（==0）。a005369）[0..]
1, 3, 2, 1, 5, 4, 3, 2, 1, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 13, 12, 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 15, 14, 13, 12, 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 17, 16, 15, 14, 13, 12, 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 19, 18, 17, 16, 15, 14, 13
数学
表[楼层[1+Sqrt[n]]^2-n，{n，0，90}](*G.C.格鲁贝尔2019年11月7日*）
黄体脂酮素
（PARI）a（n）=（平方（n）+1）^2-n\\米歇尔·马库斯2024年5月22日
（岩浆）[楼层（1+Sqrt（n））^2-n:n in[0..90]]//G.C.格鲁贝尔2019年11月7日
（鼠尾草）[楼层（1+sqrt（n））^2-n表示n in（0..90）]#G.C.格鲁贝尔2019年11月7日
（GAP）列表（[0..90]，n->Int（1+RootInt（n））^2-n）#G.C.格鲁贝尔2019年11月7日
a（1）=a（2）=1；如果a（n-2）是偶数，则a（n）=a（n-2）/2，否则a（n。
+10
9
1, 1, 2, 3, 1, 4, 5, 2, 7, 1, 8, 9, 4, 13, 2, 15, 1, 16, 17, 8, 25, 4, 29, 2, 31, 1, 32, 33, 16, 49, 8, 57, 4, 61, 2, 63, 1, 64, 65, 32, 97, 16, 113, 8, 121, 4, 125, 2, 127, 1, 128, 129, 64, 193, 32, 225, 16, 241, 8, 249, 4, 253, 2, 255, 1, 256, 257, 128, 385, 64, 449, 32, 481, 16, 497
配方奶粉
a（n^2）=2^n-1；a（n^2+1）=1；a（n^2+2）=2^n；a（n^2+3）=2^n+1；a（n^2+4）=2^（n-1）；a（n^2+5）=3*2^n+1。。。；不等式：a（n）/2^sqrt（n）<2
总和（k=1，n^2，a（k））=2*（n-2）*2^n+n*（n+1）/2+4
MAPLE公司
a： =proc（n）选项记忆；
如果n<3，则为1
elif`mod`（进程名（n-2），2）=0，则进程名（n-2）/2
else进程名（n-1）+进程名（n-2）
fi（菲涅耳）
结束时间：
数学
a[n_]：=a[n]=如果[n<3，1，如果[EvenQ[a[n-2]]，a[n-2]/2，a[n-1]+a[n-2%]]；
黄体脂酮素
（PARI）a（n）=如果（n<3，1，如果（a（n-2）%2==0，a\\G.C.格鲁贝尔2019年11月7日
（鼠尾草）
@缓存函数
定义a（n）：
如果（n<3）：返回1
elif（a（n-2）%2==0）：返回a（n-2）/2
else：返回a（n-1）+a（n-2）
有理函数p（n，x-1/x）的分子多项式的系数数组，其中p（n、x）是由p（1，x）=1，p（2，x）=x，p（n）=x*p（n-1，x。
+10
2
1, -1, 0, 1, 1, 0, -1, 0, 1, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0
评论
第n行有2n-1个术语。如果r是p（n，x）的零，则（1/2）（r+-sqrt（r^2+4）是q（n，x）的零。似乎是的签名版本A071028号.
例子
前5行：（1}，（-1,0,1），（1,0，-1,0.1），（-1,1,0,0，-1,1,1）。
前5个多项式：1，-1+x^2，1-x^2+x^4，-1+x^2-x^4+x^6。
数学
p[n_，x_]：=p[x]=斐波那契[n，x]；表[p[n，x]，{n，1，10}]
f[n_，x_]：=f[n，x]=展开[Numerator[Factor[p[n，x]/。x->x+1/x]]]
g[n，x_]：=g[n，x]=展开[分子[因子[p[n，x]/。x->x-1/x]]]
h[n，x_]：=h[n，x]=展开[分子[因子[p[n，x]/。x->x+1+1/x]]]
t1=压扁[表[系数列表[f[n，x]，{n，1，12}]]；(*A229995型*)
t2=压扁[表[系数列表[g[n，x]，x]、{n，1，12}]]；(*A230002型*)
t3=扁平[表[系数列表[h[n，x]，{n，1，12}]]；(*A059317号*)
三角形T（n，k），其长度为2n-1的行用连续整数填充，除最后一项外，每行出现两次，T（n、2n-1）=n（n+1）/2。
+10
1
1, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13, 14, 14, 15, 16, 16, 17, 17, 18, 18, 19, 19, 20, 20, 21, 22, 22, 23, 23, 24, 24, 25, 25, 26, 26, 27, 27, 28, 29, 29, 30, 30, 31, 31, 32, 32, 33, 33, 34, 34, 35, 35, 36, 37, 37, 38, 38
评论
这个序列是根据一组六边形包装的垂直圆柱体之间的保水高度得出的。圆柱体填充一个等边三角形。气缸高度由连续的自然数指定。
此条目的动机是A258445型和A259052型数学表面上的保水性概念使用整数值来指定圆柱体的高度。三个接触圆柱体定义了保留单元，从而定义了3个整数之间的关系。取这三个整数的最小值、最大值或和，可以提供数据点来构造新三角形。三个气缸之间的保水性是三个高度中的最小值。
一般来说，任何2D排列的数字都可以被上下保留三元组细分。
“扁平”序列的术语（行的串联）是正整数，重复两次，除了（1，3，6，10，…）=三角形数A000217号，仅列出一次-M.F.哈斯勒2015年8月11日
例子
不规则三角形T（n，k）开始于：
不适用1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1: 1
2: 2 2 3
3: 4 4 5 5 6
4: 7 7 8 8 9 9 10
5: 11 11 12 12 13 13 14 14 15
6: 16 16 17 17 18 18 19 19 20 20 21
黄体脂酮素
（PARI）a259549（nmax）={/*给出第一个nmax行*/
我的（L=列表（），t）；
对于（n=1，nmax，
t=（n^2-n+2）/2；
对于（k=0，n-2，
列表输入（L，t+k）；列表输入（L，t+k）
);
列表输入（L，n*（n+1）/2）
);
Vec（左）
}
a259549（6）\\科林·巴克2015年7月4日
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