搜索： a058844-编号：a058844
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A008299号
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| 第二类相关斯特林数的三角形T（n，k），n>=2，1<=k<=楼层（n/2）。 |
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33
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1, 1, 1, 3, 1, 10, 1, 25, 15, 1, 56, 105, 1, 119, 490, 105, 1, 246, 1918, 1260, 1, 501, 6825, 9450, 945, 1, 1012, 22935, 56980, 17325, 1, 2035, 74316, 302995, 190575, 10395, 1, 4082, 235092, 1487200, 1636635, 270270, 1, 8177, 731731, 6914908, 12122110
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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2,4
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评论
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第n行给出了关于平均值的泊松分布矩的系数，表示为λ[Haight]中的多项式。关于原点的力矩的系数是第二类斯特林数，A008277号-N.J.A.斯隆2020年1月24日
行的长度为1,1,2,2,3,3，。。。，一种典型的矩阵模式，其对角线是另一个下三角矩阵的行——在这种情况下是A134991号-汤姆·科普兰2017年5月1日
关于自旋相关器分解的关系，请参阅Delfino和Vito论文的表2-汤姆·科普兰2012年11月11日
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参考文献
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L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第222页。
弗兰克·埃弗里·海特，《泊松分布手册》，约翰·威利，1967年。请参阅第6、7页，但请注意错误。[第7页上的Haight给出了五种生成这些数字的不同方法（参见链接）]。
J.Riordan，《组合分析导论》，威利出版社，1958年，第76页。
S.Roman，《数学微积分》，多佛出版社，纽约（2005年），第129-130页。
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链接
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文森佐·利班迪（Vincenzo Librandi）和阿洛伊斯·海因茨（Alois P.Heinz），行n=2..200，扁平（Vincenzo Librandi第n=2..104行）
J.Fernando Barbero G.、Jesüs Salas和Eduardo J.s.Villaseñor，一类线性递归的二元生成函数。一、总体结构，arXiv:1307.2010[math.CO]，2013年。
J.Fernando Barbero G.、Jesüs Salas和Eduardo J.s.Villaseñor，广义斯特林排列与森林：高阶欧拉数和沃德数，《组合数学电子杂志》22（3）（2015），#P3.37。
福法·贝耶恩（Fufa Beyene）、约根·巴克林（Jörgen Backelin）、罗伯托·曼塔奇（Roberto Mantaci）和塞缪尔·福法（Samuel A.Fufa），设置分区和其他贝尔数枚举对象，国际期刊。，第26卷（2023年），第23.1.8条。
Gilles Bonnet和Anna Gusakova，泊松U统计量的集中不等式，arXiv:2404.16756[math.PR]，2024。见第17页。
Robert Coquereaux和Jean-Bernard Zuber，按属计算分区。二、。结果概要，arXiv:2305.01100[math.CO]，2023。见第3页。
Daniel W.Cranston和Chun-Hung Liu，最大度大的图的真无冲突着色，arXiv:2211.02818[math.CO]，2022。
F.A.海特，泊松分布手册约翰·威利（John Wiley），1967年[仅第7页的注释扫描。请注意表中有错误。]
巴黎共和国，不完全伽马函数的一致渐近展开《计算与应用数学杂志》，148（2002），第223-239页（见332）。摘自Tom Copeland，2016年1月3日）。
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配方奶粉
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例如，附加常数1:exp（t*（exp（x）-1-x））=1+t*x^2/2！+t*x^3/3！+（t+3*t^2）*x^4/4！+。。。。
递归关系：T（n+1，k）=k*T（n，k）+n*T（n-1，k-1）。
更一般地说，如果S_r（n，k）给出了将[n]划分成大小至少为r的k个块的集合分区数，那么我们得到了递归S_r（n+1，k）=k*S_r（n，k）+二项式（n，r-1）*S_r i/i！））。
T（n，k）=和{i=0..k}（-1）^i*二项式（n，i）*和{j=0..k-i}（-1）^j*（k-i-j）^（n-i）/（j！*（k-i-j）！）-大卫·沃瑟曼2007年6月13日
G.f.：（R（0）-1）/（x^2*y），其中R（k）=1-（k+1）*y*x^2/（（k+1；（续分数）-谢尔盖·N·格拉德科夫斯基2013年11月9日
T（n，k）=Sum_{i=0..min（n，k）}（-1）^i*二项式（n，i）*Stirling2（n-i，k-i）=Sum _{i=0..min（n，k}（-1-）^i*A007318号（n，i）*A008277号（n-i，k-i）-马克斯·阿列克塞耶夫2017年2月27日
T（n，k）=Sum_{j=0..n-k}二项式（j，n-2*k）*E2（n-k，n-k-j），其中E2（n，k）是二阶欧拉数A340556-彼得·卢施尼2021年2月11日
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例子
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有3种方法可以将基数4的集合N划分为2个块，每个块的基数至少为2，因此T（4,2）=3。表格开始：
1；
1；
1, 3;
1, 10;
1, 25, 15;
1, 56, 105;
1, 119, 490, 105;
1, 246, 1918, 1260;
1, 501, 6825, 9450, 945;
1, 1012, 22935, 56980, 17325;
1, 2035, 74316, 302995, 190575, 10395;
1, 4082, 235092, 1487200, 1636635, 270270;
1, 8177, 731731, 6914908, 12122110, 4099095, 135135;
。。。
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MAPLE公司
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A008299号：=程序（n，k）局部i，j，t1；如果k<1或k>楼层（n/2），则t1:=0；其他的
t1:=加（（-1）^i*二项式（n，i）*加（（-1）^j*（k-i-j）^（n-i）/（j！*（k-i-j）！），j=0..k-i），i=0..k）；fi；t1；结束#N.J.A.斯隆2016年12月6日
G： =exp（λ*（exp（x）-1-x））：
S： =系列（G，x，21）：
seq（seq（系数（系数（S，x，n）*n！，λ，k），k=1..层（n/2），n=2..20）#罗伯特·伊斯雷尔2020年1月15日
T:=proc（n，k）选项记忆；如果n<0，则返回0 fi；如果k=0，则返回k^n-fi；k*T（n-1，k）+（n-1）*T（n-2，k-1）端：
seq（seq（T（n，k），k=1..n/2），n=2..9）#彼得·卢施尼2021年2月11日
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数学
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t[n_，k_]：=和[（-1）^i*二项式[n，i]*和[（-1）^j*（k-i-j）^（n-i）/（j！*（k-i-j）！），{j，0，k-i}]，{i，0，k}]；扁平[表[t[n，k]，{n，2，14}，{k，1，地板[n/2]}](*Jean-François Alcover公司2011年10月13日之后大卫·沃瑟曼*)
表[Sum[二项式[n，k-j]斯特林S2[n-k+j，j]（-1）^（j+k），{j，0，k}]，{n，15}，{k，n/2}]//压扁(*埃里克·韦斯特因2018年11月13日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{T（n，k）=如果（n<1||2*k>n，n==0&k==0，和（i=0，k，（-1）^i*二项式（n，i）*和（j=0，k-i，（-1）^j*（k-i-j）^（n-i）/（j！*（k-ij）！）））}/*迈克尔·索莫斯2014年10月19日*/
（PARI）{T（n，k）=和（i=0，min（n，k），（-1）^i*二项式（n，i）*stirling（n-i，k-i，2））；}/*马克斯·阿列克塞耶夫2017年2月27日*/
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交叉参考
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关键词
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非n,标签,美好的,容易的
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作者
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扩展
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来自Barbara Haas Margolius（Margolius，AT）math.csuohio.edu）的公式和交叉引用，2000年12月14日
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状态
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经核准的
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1, 1, 3, 1, 10, 15, 1, 25, 105, 105, 1, 56, 490, 1260, 945, 1, 119, 1918, 9450, 17325, 10395, 1, 246, 6825, 56980, 190575, 270270, 135135, 1, 501, 22935, 302995, 1636635, 4099095, 4729725, 2027025, 1, 1012, 74316, 1487200, 12122110, 47507460, 94594500, 91891800, 34459425
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,3
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评论
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第一条和第二条对角线是A001147号和A000457号并出现在几个OEIS条目的对角线中。多项式也出现在Carlitz（第85页）、Drake等人（第8页）和Smiley（第7页）中。
前几个多项式（具有不同的偏移量）是
P（0，t）=0
P（1，t）=1
P（2，t）=t
P（3，t）=t+3 t^2
P（4，t）=t+10 t^2+15 t^3
P（5，t）=t+25 t^2+105 t^3+105 t^4
这些是热带格拉斯曼G（2，n）的“脸”数，与系统发育树有关（偏移量0以P（2，t）开头）。相应的h矢量为A008517号-汤姆·科普兰2011年10月3日
A133314号应用于A（x，t）的导数意味着（A.+b.）^n=0^n，对于（b_n）=P（n+1，t）和（A_0）=1，（A_1）=-t，以及（A_n）=-（1+t）P（n，t），否则。例如，本影，（a.+b.）^2=a_2*b_0+2a_1*b_1+a_0*b_2=0-汤姆·科普兰，2011年10月8日
从第二列开始，这些行给出了Whitehouse单纯复形的面，四阶复形是三个孤立的顶点，五阶是具有10个顶点和15条边的Petersen图（参见Readdy）-汤姆·科普兰2014年10月3日
光滑射影簇的分层是稳定n点有理曲线的精细模空间。参考Kock和Vainscher参考文献第20页和第30页以及134685英镑-汤姆·科普兰2017年5月18日
以美国数学家摩根·沃德（1901-1963）的名字命名-阿米拉姆·埃尔达尔2021年6月26日
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参考文献
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Louis Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第222页。
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链接
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J.Fernando Barbero G.、Jesüs Salas和Eduardo J.s.Villaseñor，一类线性递归的二元生成函数，I：一般结构《组合理论杂志》，A辑，第125卷（2014），第146-165页；arXiv预印本，arXiv:1307.2010[math.CO]，2013-2014年。
J.Fernando Barbero G.、Jesüs Salas和Eduardo J.s.Villaseñor，一类线性递归的二元生成函数。二、。应用，arXiv预印本arXiv:1307.5624[math.CO]，2013。
J.Fernando Barbero G.、Jesüs Salas和Eduardo J.s.Villaseñor，广义斯特林排列与森林：高阶欧拉数和沃德数《组合数学电子杂志》，第22卷，第3期（2015年），#P3.37。
安德烈亚斯·布拉斯（Andreas Blass）、娜塔莎·多布林恩（Natasha Dobrinen）和迪利普·拉加万（Dilip Raghavan），仅次于p点的第二好东西《符号逻辑杂志》，第80卷，第3期（2015年），第866-900页；arXiv预印本，arXiv:1308.3790[math.LO]，2013年。
Robert Coquereaux和Jean-Bernard Zuber，按属计算分区。二、。结果概要，arXiv:2305.01100[math.CO]，2023。见第3页。
Satyan L.Devadoss、Daoji Huang和Dominic Spadacene，树空间的多面体覆盖《SIAM离散数学杂志》，第28卷，第3期（2014年），第1508-1514页；arXiv预印本，arXiv:1311.0766[math.CO]，2013年。
S.Devadoss和O.Schuh，树木空间制图，Leonardo（麻省理工学院直接出版社），第53卷，第3期，2019年。
J.Felsenstein，进化树的数量《系统生物学》，27（1978），第27-33页，1978年。
David M.Jackson、Achim Kempf和Alejandro H.Morales，QFT中勒让德变换的稳健推广《物理学报A：数学与理论》，第50卷，第22期（2017），225201；arXiv预印本，arXiv:1612.0046[hep-th]，2017年。
Margaret A.Readdy，预WDVV物理环及其拓扑《拉马努扬杂志》，第10卷，第2期（2005年），第269-281页；预印本, 2002.
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配方奶粉
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例如，多项式为A（x，t）=（x-t）/（t+1）+t{（t/（t+1A000169号x中的成分倒数（约x=0）为B（x）=x+-t*[exp（x）-x-1]。特例t=1给出了例如fA000311号。这些结果是134685英镑u（x）=B（x）。
Umbral-Sheffer公式给出了m为正整数且u=t/（t+1），
当函数序列Q（n，x）的级数收敛时，[P（.，t）+Q（.，x）]^m=[mQ（m-1，x）-tQ（m，x）]/（t+1）+和（n>=1）{n^（n-1）[u exp（-u）]^n/n。
检查：t=1；Q（n，x）=0^n，对于n>=0；Q（-1，x）=0，则[P（.，1）+Q（.，x）]^m=P（m，1）=A000311号（m） ●●●●。
（结束）
设h（x，t）=1/（dB（x）/dx）=1/（1-t*（exp（x）-1））A019538年，然后是表中t的第n行多项式A134991号，P（n，t），由（（h（x，t）*d/dx）^n）x在x=0时计算得出，即A（x，t）=exp（x*P（.，t））=exp（x*h（u，t）*d/du）u在u=0时评估得出。此外，dA（x，t）/dx=h（A（x、t），t）-汤姆·科普兰2011年9月5日
多项式（1+t）/t*P（n，t）是A112493号设f（x）=（1+x）/（1-x*t）。然后，对于n>=0，P（n+1，t）由在x=0时计算的t/（1+t）*（f（x）*d/dx）^n（f（x））给出-彼得·巴拉，2011年9月30日
T（n，k）=（k+1）*T（n-1，k）+（n+k+1）*T（n-l，k-1），起始指数n=0，k=0，以P（2，T）开头（如David Speyer关于MathOverflow的公式所示）。
T（n，k）=k*T（n-1，k）+（n+k-1）*T（n+1，k-1），表中起始指数n=1和k=1（参考上文Smiley和其中Riordin参考文献[10]）。
P（n，t）=（1/（1+t））^n和{k>=1}k^（n+k-1）[（u*exp（-u）]^k/k！当n>1时，u=（t/（t+1））；因此，求和{k>=1}（-1）^k^（n+k-1）x^k/k！
=[1+LW（x）]^（-n）P{n，-LW（x）/[1+LW（x）]}，其中LW（x）为朗伯W-Fct。
T（n，k）=和{i=0..k}（（-1）^i二项式（n+k，i）和{j=0..k-i}（-1）从关系到A008299号.（结束）
例如，f.A（x，t）=-v*（和{j=>1}D（j-1，u）（-z）^j/j！）其中u=（x-t）/（1+t），v=1+u，z=x/（（1+t）v^2）和D（j-1，u）是A042977号.dA/dx=1/（（1+t）（v-A））=1/（1-t*（exp（A）-1））-汤姆·科普兰2011年10月6日
关于细分多项式卷积的一般结果134685英镑，在u1=1和u_n=-t的情况下，可以在这里应用，以获得这些多项式的卷积结果-汤姆·科普兰2016年9月20日
例如：C（u，t）=（u-t）/（1+t）-W-程鹏2021年9月11日
彭之前公式中的函数C（u，t）正是本节2008年初始公式和2011年10月6日科普兰公式中给出的函数A（u，t）。如中所述A000169号，欧拉树函数是T（x）=-LambertW（-x），其中W（x）是Lambert函数的主分支，T（xA000169号-汤姆·科普兰2022年5月13日
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例子
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三角形开始：
1
1 3
1 10 15
1 25 105 105
1 56 490 1260 945
1 119 1918 9450 17325 10395
。。。
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数学
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t[n_，k_]：=和[（-1）^i*二项式[n，i]*和[（-1）^j*（k-i-j）^（n-i）/（j！*（k-i-j）！），{j，0，k-i}]，{i，0，k}]；行[n_]：=表[t[k，k-n]，{k，n+1，2*n}]；表[行[n]，{n，1，9}]//展平(*Jean-François Alcover公司2014年4月23日之后A008299号*)
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交叉参考
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关键词
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A000247号
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| a（n）=2^n-n-2。
（原名M2836 N1141）
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+10
19
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0, 3, 10, 25, 56, 119, 246, 501, 1012, 2035, 4082, 8177, 16368, 32751, 65518, 131053, 262124, 524267, 1048554, 2097129, 4194280, 8388583, 16777190, 33554405, 67108836, 134217699, 268435426, 536870881, 1073741792, 2147483615
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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2,2
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评论
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将n+1个带标签的球放入2个无法区分的盒子中的方法，每个盒子中至少有2个球。
避免13-2的排列数，其中包含正好两次的模式23-1。
具有N个内部节点（非叶）的三元最大高度哈夫曼树最小化大小为N=2N+1的绝对有序序列的代价Alex Vinokur（alexvn（AT）barak-online.net），2004年11月2日
a（n）是其第三次上升开始最后一次长上升的Dyck n路径数，n>=1。长距离上坡是指由两个或多个上坡组成的上坡。例如，a（3）=3统计UUDuUDDD、UDUDuUDD、UUDDuUDD（小类型中的第三个upstep）-大卫·卡伦2004年12月8日
热带Grassmannian单纯复合体G（2，n）的顶点，与系统发育树有关-汤姆·科普兰2011年10月3日
（猜想）设a（2）=0。对于n>2，设n=2*n+1。对于每个n，定义与n相关的n X n个三对角单位极限矩阵（参见[Jeffery]）A_{n，1}=[0,1,0，…，0；1,0,1,0…，0，…；…，0,1,0,1；0，……，0,1,1]。定义n维列向量V_n=[V_1，V_2，…，V_n]^T=[A_{n,1}]^n*[1,1,1，…，1]^T，其中[.]^T表示矩阵转置和[1，…，1]是n维单位向量。设（v_k）_N表示{1，…，N}中v_N，k的第k个元素。则a（n）=（v_（n-2））_n-L.埃德森·杰弗里2012年1月20日
对于n>2，a（n-2）是n-蜈蚣图的连通诱导（非空）子图的数目-乔瓦尼·雷斯塔2017年5月4日
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参考文献
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L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第222页。
F.N.David和D.E.Barton，《组合机会》。纽约州哈夫纳，1962年，第296页。
J.Riordan，《组合分析导论》，威利出版社，1958年，第76页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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Antal E.Fekete，关于符号的两点注记《阿米尔》。数学。《月刊》，第101卷，第8期（1994年10月），第771-778页。见第776页。
T.Mansour，2-1型模式的限制排列，arXiv:math/0202219[math.CO]，2002年。
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
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配方奶粉
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例如：（扩展（x）-1-x）*（扩展（x）-1）。
通用格式：x^3*（3-2*x）/（1-2*x）*（1-x）^2）。
起始（3，10，25，56，…）=[3，7，8，8，…]的二项式变换-加里·亚当森2007年11月7日
a（2）=0，a（3）=3，a（4）=10，a（n）=4*a（n-1）-5*a（n-2）+2*a（n-3）-哈维·P·戴尔，2011年8月23日
a（n）=（和{k=2.floor（n/2）}二项式（n+1，k））+if（n奇数，二项式，（n+1）/2，0）。
a（n）=和{k=0..n-3}和{i=0..n-1}C（i，k）-韦斯利·伊万·赫特2017年9月20日
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例子
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a（3）=4/(2!*2!*2!) = 3.
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MAPLE公司
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数学
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线性递归[{4，-5，2}，{0，3，10}，40](*哈维·P·戴尔2011年8月23日*）
表[2^n-n-2，{n，2，40}](*埃里克·韦斯特因2017年8月9日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[2^n-n-2:n in[2..40]]//G.C.格鲁贝尔，2019年7月26日
（鼠尾草）[2^n-n-2代表n in（2..40）]#G.C.格鲁贝尔，2019年7月26日
（GAP）列表（[2..40]，n->2^n-n-2）#G.C.格鲁贝尔，2019年7月26日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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扩展
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Larry Reeves（larryr（AT）acm.org）提供的更多术语，2000年12月4日
我最近更改了这个序列的开头，所以公式等可能需要调整-N.J.A.斯隆2006年1月24日
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状态
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经核准的
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A000478号
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| 将n个带标签的球放入3个无法区分的盒子中的方法数量，每个盒子中至少有2个球。
（原名M4978 N2138）
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+10
9
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15, 105, 490, 1918, 6825, 22935, 74316, 235092, 731731, 2252341, 6879678, 20900922, 63259533, 190957923, 575363776, 1731333808, 5205011031, 15638101281, 46962537810, 140988276150, 423174543025, 1269959836015, 3810785476980, 11434235478348, 34306598748315, 102927849307725
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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6,1
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评论
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相关的斯特林数。
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参考文献
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L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第222页。
F.N.David和D.E.Barton，《组合机会》。纽约州哈夫纳，1962年，第296页。
J.Riordan，《组合分析导论》，威利出版社，1958年，第76页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
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配方奶粉
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例如：（（exp（x）-1-x）^3）/3！。
总尺寸：x^6*（12*x^3-40*x^2+45*x-15）/（（1-x）^3*（1-2*x）^2*（3*x-1））-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中
a（n）=（1+n+n^2）/2-（1/2+n/4）*2^n+3^n/6.-迈克尔·斯泰尔（m.Steyer（AT）osram.de），2005年1月9日
a（n）=10*a（n-1）-40*a（n-2）+82*a-哈维·P·戴尔基于Michael Steyer的公式，2011年7月17日
a（n）=3*a（n-1）+（2^（n-3）-n+1）*（n-1-弗拉基米尔·克鲁奇宁2018年10月4日
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例子
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a（6）=6/(2!*2!*2!*3!) = 15.
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数学
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表[（1+n+n^2）/2-（1/2+n/4）*2^n+3^n/6，{n，6，30}]（*或*）线性递归[{10，-40，82，-91，52，-12}，{15，105，490，1918，6825，22935}，25](*哈维·P·戴尔2011年7月17日*）
偏移=6；条款=26；egf=（实验[x]-1-x）^3/3！；删除[CoefficientList[egf+O[x]^（术语+偏移量），x]*范围[0，术语+偏移-1]！，偏移](*Jean-François Alcover公司2017年5月7日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）Vec（x^6*（12*x^3-40*x^2+45*x-15）/（（1-x）^3*（1-2*x）^2*（3*x-1））+O（x^66））/*乔格·阿恩特2013年4月10日*/
a=15；n=7；z=4；s=15；
为True时：
产量a
z=2*z；s+=n*（z-2）+3；a=3*a+s；n+=1
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A272352型
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| a（n）是将n个带标签的球放入2个无法区分的盒子中的方法数，以便每个盒子至少包含3个球。 |
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+10
6
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10, 35, 91, 210, 456, 957, 1969, 4004, 8086, 16263, 32631, 65382, 130900, 261953, 524077, 1048344, 2096898, 4194027, 8388307, 16776890, 33554080, 67108485, 134217321, 268435020, 536870446, 1073741327, 2147483119, 4294966734, 8589933996, 17179868553
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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6,1
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链接
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配方奶粉
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通用格式：x^6*（10-15*x+6*x^2）/（1-x）^3*（1-2*x））。
a（n）=（2^n-2-2*n-2*二项式（n，2））/2。
当n>3时，a（n）=5*a（n-1）-9*a（n-2）+7*a（n3）-2-a（n-4）。
例如：（2-2*exp（x）+2*x+x^2）^2/8-斯特凡诺·斯佩齐亚2021年7月25日
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例子
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对于n=6，标记球A、B、C、D、E和F。然后每个盒子必须正好包含3个球，10种方式为ABC/DEF、ABD/CEF、ABE/CDF、ABF/CDE、ACD/BEF、ACE/BDF、ACF/BDE、ADE/BCF、ADF/BCE、AEF/BCD-迈克尔·波特2016年7月1日
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数学
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表[1/2（2^n-2-2n-2二项式[n，2]），｛n，6，40｝]
线性递归[{5，-9，7，-2}，{10，35，91，210}，30](*哈维·P·戴尔2018年3月29日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[（2^n-2-2*n-2*二项式（n，2））/2:n in[6..50]]；
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A261724型
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| a（n）是将n个带标签的球放入4个无法区分的盒子中的方法数，每个盒子至少包含3个球。 |
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+10
5
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15400, 200200, 1611610, 10335325, 57962905, 297797500, 1439774336, 6662393738, 29844199346, 130445781284, 559533979466, 2365296391535, 9885290914059, 40944327590760, 168389163468240, 688631376550260, 2803570746766140, 11373212443859760, 46006062639998890
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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12,1
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评论
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链接
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I.Mezo，某些组合序列的最后几位的周期性，arXiv预印本arXiv:1308.1637[math.CO]，2013（第16页上的第三个公式不正确）。
常系数线性递归的索引项签名（30，-415，3514，-20386，85924，-272198，661180，-1244717，1822478，-2068955，1802474，-1181760，563888，-184752，-3456）。
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配方奶粉
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a（n）=（1/12）*（-3^（n-2）*。
通用代码：x^12*（15400-261800*x+1996610*x^2-9045575*x^3+27162905*x*4-57079715*x^5+86268721*x^6-94696602*x^7+75062256*x^8-41952000*x^9+15705360*x^10-3538080*x^11+362880*x^12）/（（1-x）^7*（1-2*x）^5*（1-3*x）-科林·巴克，2016年5月24日
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数学
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表[（1/12）（-（3^（n-2）（n^2+5n+18））+（1/64）（2^（2n+5）+32^n（n^4+2n^3+19n^2+42n+64）-16（n^6-9n^5+43n^4-91n^3+112n^2-32n+8）），{n，12，40}]
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黄体脂酮素
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（岩浆）[（1/12）*（-3^（n-2）*）（n^2+5*n+18）+（1/64）*（2^（2*n+5）+3*2^n*（n^4+2*n^3+19*n^2+42*n+64）-16*（n_6-9*n^5+43*n^4-91*n^3+112*n^2-32*n+8））]中的n；
（帕里岛）Vec（x^12*（15400-261800*x+1996610*x^2-9045575*x^3+27162905*x^4-57079715*x^5+86268721*x^6-94696602*x^7+75062256*x^8-41952000*x^9+15705360*x^10-3538080*x^11+362880*x^12）/（（1-x）^7*（1-2*x）^5*（1-3*x））+O（x^30））\\科林·巴克，2016年5月24日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A272982型
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| a（n）是将n个带标签的球放入3个无法区分的盒子中的方法数，以便每个盒子至少包含3个球。 |
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+10
5
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280, 2100, 10395, 42735, 158301, 549549, 1827826, 5903898, 18682014, 58257810, 179765973, 550478241, 1676305723, 5083927299, 15372843684, 46383762084, 139730030100, 420448298400, 1264071094975, 3798101973315, 11406989362185, 34248214131465, 102803026929030, 308533903071390
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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9,1
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链接
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I.Mezo，某些组合序列的最后几位的周期性，arXiv预印本arXiv:1308.1637[math.CO]，2013（第16页的第二个公式不正确）。
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配方奶粉
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总尺寸：x^9*（280-1820*x+4795*x^2-6615*x^3+5106*x^4-2100*x^5+360*x^6）/（1-3*x）*（1-2*x）^3*（1-x）^5）。
a（n）=（1/3）*（1/16）*（6*n^4-12*n^3-3*2^n*n^2+42*n^2-9*2^n*n+12*n+8*3^n-3*2 ^（n+3）+24）。
a（n）=3*a（n-1）+C（n-1,2）*（2^（n-4）+2-n-C（n-3，2）），a（n）=0，n＜9-弗拉基米尔·克鲁奇宁2018年10月4日
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例子
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对于n=9，在球A到I上贴上标签。包含球A的盒子可以包含8*7/2=28个其他球的组合。另外两个盒子有6个球，所以有A272352型（6） =这两个框的10个组合。因此，a（9）=28*10=280-迈克尔·波特2016年7月1日
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数学
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表[（1/3）（1/16）（6n^4-12n^3-32^n^2+42n^2-92^n+12n+83^n-32^（n+3）+24），{n，9，40}]
系数列表[系列[（280-1820*x+4795*x^2-6615*x^3+5106*x^4-2100*x^5+360*x^6）/（（1-3*x）*（1-2*x）^3*（1-x）^5），{x，0，40}]，x](*斯特凡诺·斯佩齐亚2018年10月4日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[（1/3）*（1/16）*（6*n^4-12*n^3-3*2^n*n^2+42*n^2-9*2^n*n+12*n+8*3^n-3*2*（n+3）+24）：n in[9..40]]；
（巴黎）Vec（x^9*（280-1820*x+4795*x ^2-6615*x ^3+5106*x ^4-2100*x ^5+360*x ^6）/（（1-3*x）*（1-2*x）^3*（1-x）^5）+O（x ^40））\\斯特凡诺·斯佩齐亚2018年10月4日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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扩展
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修正Mezo论文中错误公式的数据、公式和程序布鲁诺·贝塞利，2016年5月21日
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状态
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经核准的
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2520, 30240, 226800, 1367520, 7271880, 35692800, 165957792, 742822080, 3234711480, 13803744864, 58021888080, 241116750624, 993313349544, 4064913201216, 16549636147968, 67112688842496, 271323921459096, 1094303232174240, 4405390451382960, 17709538489849440
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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8,1
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评论
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此外，a（n）是（i）字母表a、B、C和D中长度为n的单词的数量，字母表中的每个字母至少出现两次；（ii）向4名儿童分发n个不同玩具的方式数量，以便每个儿童至少获得两个玩具；（iii）将n个编号的球放入4个贴有标签的盒子中的方法数量，以便每个盒子至少有两个球；（iv）仅由数字1、2、3和4组成的n位正整数的数量，其中每个数字至少出现两次。
双射函数f:D->C是这样的，预映象集f^-1（y）在C中的每个y的大小至少为2。
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链接
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配方奶粉
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a（n）=4^n-4*3^n-4xn*3^（n-1）+（9*n+3*n^2）*2^（n-1）+6*2^n-4-8*n-4*n^3；
a（n）=<i，j，k，m>上的和（n！/（i！j！k！m！），使得i，j、k和m都至少是2，并且i+j+k+m=n。
例如：（exp（x）-x-1）^4。
总尺寸：24*x^8*（288*x^6-1560*x^5+3500*x^4-4130*x^3+2625*x^2-840*x+105）/（（x-1）^4*（2*x-1）*3*（3*x-1，^2*（4*x-1-科林·巴克，2013年6月4日
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例子
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a（9）＝30240，因为有30240种方式将9个不同的玩具分发给4个孩子，使得每个孩子至少得到2个玩具。一个孩子必须得到3个玩具，其他孩子每人得到2个玩具。有四种方法可以挑选幸运的孩子。有C（9,3）种方法可以为幸运的孩子选择3个玩具。有6个/（2！）^3种方法将剩下的6个玩具分发给3个孩子。我们获得4*C（9,3）*6/8=30240.
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MAPLE公司
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序列（eval（diff（（exp（x）-x-1）^4，x$n），x=0），n=8..40）；
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数学
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nn=27；下降[Range[0，nn]！系数列表[级数[（Exp[x]-x-1）^4，{x，0，nn}]，x]，8](*杰弗里·克里策2013年9月28日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）x='x+O（'x^66）；Vec（塞拉普拉斯（（exp（x）-x-1）^4））/*乔格·阿恩特2013年4月10日*/
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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