搜索： a000247-编号：a000244
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A008299号
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| 第二类相关斯特林数的三角形T（n，k），n>=2，1<=k<=楼层（n/2）。 |
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+10
33
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1, 1, 1, 3, 1, 10, 1, 25, 15, 1, 56, 105, 1, 119, 490, 105, 1, 246, 1918, 1260, 1, 501, 6825, 9450, 945, 1, 1012, 22935, 56980, 17325, 1, 2035, 74316, 302995, 190575, 10395, 1, 4082, 235092, 1487200, 1636635, 270270, 1, 8177, 731731, 6914908, 12122110
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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2,4
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评论
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第n行给出了关于平均值的泊松分布的矩系数，以λ[Haight]表示为多项式。关于原点的力矩系数是第二类斯特林数，A008277号. -N.J.A.斯隆2020年1月24日
行的长度为1,1,2,2,3,3，。。。，一种典型的矩阵模式，其对角线是另一个下三角矩阵的行，在本例中是A134991号. -汤姆·科普兰，2017年5月1日
有关自旋相关器分解的关系，请参见Delfino和Vito论文的表2-汤姆·科普兰2012年11月11日
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参考文献
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L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第222页。
弗兰克·埃弗里·海特，《泊松分布手册》，约翰·威利，1967年。请参阅第6、7页，但请注意错误。[第7页上的Haight给出了五种生成这些数字的不同方法（参见链接）]。
J.Riordan，《组合分析导论》，威利出版社，1958年，第76页。
S.Roman，《数学微积分》，多佛出版社，纽约（2005年），第129-130页。
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链接
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文森佐·利班迪（Vincenzo Librandi）和阿洛伊斯·海因茨（Alois P.Heinz），行n=2..200，扁平（Vincenzo Librandi的第n行=2..104）
J.Fernando Barbero G.、Jesüs Salas和Eduardo J.s.Villaseñor，一类线性递归的二元生成函数。一、总体结构，arXiv:1307.2010[math.CO]，2013年。
J.Fernando Barbero G.、Jesüs Salas和Eduardo J.s.Villaseñor，广义斯特林排列与森林：高阶欧拉数和沃德数，《组合数学电子杂志》22（3）（2015），#P3.37。
福法·贝耶恩（Fufa Beyene）、约根·巴克林（Jörgen Backelin）、罗伯托·曼塔奇（Roberto Mantaci）和塞缪尔·福法（Samuel A.Fufa），设置分区和其他Bell数枚举对象，J.国际顺序。，第26卷（2023年），第23.1.8条。
Robert Coquereaux和Jean-Bernard Zuber，按属计算分区。二、。结果概要，arXiv:2305.01100[math.CO]，2023。见第3页。
Daniel W.Cranston和Chun-Hung Liu，最大度大的图的真无冲突着色，arXiv:2211.02818[math.CO]，2022。
F.A.海特，泊松分布手册约翰·威利（John Wiley），1967年[仅第7页的注释扫描。请注意表中有错误。]
巴黎共和国，不完全伽马函数的一致渐近展开《计算与应用数学杂志》，148（2002），第223-239页（见332）。摘自Tom Copeland，2016年1月3日）。
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配方奶粉
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例如，附加常数1:exp（t*（exp（x）-1-x））=1+t*x^2/2！+t*x^3/3！+（t+3*t^2）*x^4/4！+。。。。
递归关系：T（n+1，k）=k*T（n，k）+n*T（n-1，k-1）。
更一般地说，如果S_r（n，k）给出了将[n]划分成大小至少为r的k个块的集合分区数，那么我们得到了递归S_r（n+1，k）=k*S_r（n，k）+二项式（n，r-1）*S_r i/i！））。
T（n，k）=和{i=0..k}（-1）^i*二项式（n，i）*和{j=0..k-i}（-1）^j*（k-i-j）^（n-i）/（j！*（k-i-j）！）-大卫·沃瑟曼2007年6月13日
G.f.：（R（0）-1）/（x^2*y），其中R（k）=1-（k+1）*y*x^2/（（k+1；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年11月9日
T（n，k）=Sum_{i=0..min（n，k）}（-1）^i*二项式（n，i）*Stirling2（n-i，k-i）=Sum _{i=0..min（n，k}（-1-）^i*A007318号（n，i）*A008277号（n-i，k-i）-马克斯·阿列克塞耶夫，2017年2月27日
T（n，k）=和{j=0..n-k}二项式（j，n-2*k）*E2（n-k，n-k-j），其中E2（n，k）是二阶欧拉数A340556型. -彼得·卢什尼2021年2月11日
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例子
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有3种方法可以将基数4的集合N划分为2个块，每个块的基数至少为2，因此T（4,2）=3。表格开始：
1;
1;
1, 3;
1, 10;
1, 25, 15;
1, 56, 105;
1, 119, 490, 105;
12461191260；
1, 501, 6825, 9450, 945;
1, 1012, 22935, 56980, 17325;
1, 2035, 74316, 302995, 190575, 10395;
1, 4082, 235092, 1487200, 1636635, 270270;
1, 8177, 731731, 6914908, 12122110, 4099095, 135135;
...
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MAPLE公司
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A008299号：=程序（n，k）局部i，j，t1；如果k<1或k>楼层（n/2），则t1:=0；其他的
t1:=加（（-1）^i*二项式（n，i）*加（（-1）^j*（k-i-j）^（n-i）/（j！*（k-i-j）！），j=0..k-i），i=0..k）；fi；t1；结束#N.J.A.斯隆2016年12月6日
G： =exp（λ*（exp（x）-1-x））：
S： =系列（G，x，21）：
seq（seq（系数（系数（S，x，n）*n！，λ，k），k=1..层（n/2），n=2..20）#罗伯特·伊斯雷尔2020年1月15日
T:=proc（n，k）选项记忆；如果n<0，则返回0 fi；如果k=0，则返回k^n-fi；k*T（n-1，k）+（n-1）*T（n-2，k-1）端：
seq（seq（T（n，k），k=1..n/2），n=2..9）#彼得·卢什尼2021年2月11日
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数学
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t[n_，k_]：=和[（-1）^i*二项式[n，i]*和[（-1）^j*（k-i-j）^（n-i）/（j！*（k-i-j）！），{j，0，k-i}]，{i，0，k}]；扁平[表[t[n，k]，{n，2，14}，{k，1，地板[n/2]}](*Jean-François Alcover公司2011年10月13日之后大卫·沃瑟曼*)
表[Sum[二项式[n，k-j]斯特林S2[n-k+j，j]（-1）^（j+k），{j，0，k}]，{n，15}，{k，n/2}]//压扁(*埃里克·W·韦斯坦，2018年11月13日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{T（n，k）=如果（n<1||2*k>n，n==0&k==0，和（i=0，k，（-1）^i*二项式（n，i）*和（j=0，k-i，（-1）^j*（k-i-j）^（n-i）/（j！*（k-ij）！）））}/*迈克尔·索莫斯2014年10月19日*/
（PARI）{T（n，k）=和（i=0，min（n，k），（-1）^i*二项式（n，i）*stirling（n-i，k-i，2））；}/*马克斯·阿列克塞耶夫2017年2月27日*/
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交叉参考
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关键词
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非n,标签,美好的,容易的
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作者
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扩展
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来自Barbara Haas Margolius（Margolius，AT）math.csuohio.edu）的公式和交叉引用，2000年12月14日
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状态
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已批准
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1、1、3、1、10、15、1、25、105、105、1、56、490、1260、945、1、119、1918、9450、17325、10395、1、246、6825、56980、190575、270270、135135、1、501、22935、302995、1636635、4099095、4729725、2027025、1、1012、74316、1487200、12122110、47507460
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,3
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评论
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第一条和第二条对角线是A001147号和A000457号并出现在几个OEIS条目的对角线中。多项式也出现在Carlitz（第85页）、Drake等人（第8页）和Smiley（第7页）中。
前几个多项式（具有不同的偏移量）是
P（0，t）=0
P（1，t）=1
P（2，t）=t
P（3，t）=t+3 t^2
P（4，t）=t+10 t^2+15 t^3
P（5，t）=t+25 t^2+105 t^3+105 t^4
这些是热带格拉斯曼G（2，n）的“脸”数，与系统发育树有关（偏移量0以P（2，t）开头）。相应的h矢量为A008517号. -汤姆·科普兰2011年10月3日
A133314号应用于A（x，t）的导数意味着（A.+b.）^n=0^n，对于（b_n）=P（n+1，t）和（A_0）=1，（A_1）=-t，以及（A_n）=-（1+t）P（n，t），否则。例如，本影，（a.+b.）^2=a_2*b_0+2a_1*b_1+a_0*b_2=0-汤姆·科普兰2011年10月8日
从第二列开始，这些行给出了Whitehouse单纯复形的面，四阶复形是三个孤立的顶点，五阶是具有10个顶点和15条边的Petersen图（参见Readdy）-汤姆·科普兰2014年10月3日
光滑射影簇的分层是稳定n点有理曲线的精细模空间。参考Kock和Vainscher参考文献第20页和第30页以及A134685号. -汤姆·科普兰2017年5月18日
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参考文献
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Louis Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第222页。
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链接
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J.Fernando Barbero G.、Jesüs Salas和Eduardo J.s.Villaseñor，一类线性递归的二元生成函数，I：一般结构《组合理论杂志》，A辑，第125卷（2014），第146-165页；arXiv预印本，arXiv:1307.2010[math.CO]，2013-2014。
J.Fernando Barbero G.、Jesüs Salas和Eduardo J.s.Villaseñor，一类线性递归的二元生成函数。二、。应用，arXiv预印本arXiv:1307.5624[math.CO]，2013。
J.Fernando Barbero G.、Jesús Salas和Eduardo J.s.Villaseñor，广义斯特林排列与森林：高阶欧拉数和沃德数《组合数学电子杂志》，第22卷，第3期（2015年），#P3.37。
安德烈亚斯·布拉斯（Andreas Blass）、娜塔莎·多布林恩（Natasha Dobrinen）和迪利普·拉加万（Dilip Raghavan），仅次于p点的第二好东西《符号逻辑杂志》，第80卷，第3期（2015年），第866-900页；arXiv预印本，arXiv:1308.3790[math.LO]，2013年。
Robert Coquereaux和Jean-Bernard Zuber，按属计算分区。二、。结果概要，arXiv:2305.01100[math.CO]，2023。见第3页。
Satyan L.Devadoss、Daoji Huang和Dominic Spadacene，树空间的多面体覆盖《SIAM离散数学杂志》，第28卷，第3期（2014年），第1508-1514页；arXiv预印本，arXiv:1311.0766[math.CO]，2013年。
S.Devadoss和O.Schuh，树木空间制图，Leonardo（麻省理工学院直接出版社），第53卷，第3期，2019年。
J.Felsenstein，进化树的数量《系统生物学》，27（1978），第27-33页，1978年。
David M.Jackson、Achim Kempf和Alejandro H.Morales，QFT中勒让德变换的稳健推广《物理学报A：数学与理论》，第50卷，第22期（2017），225201；arXiv预印本，arXiv:1612.0046[hep-th]，2017年。
Margaret A.Readdy，预WDVV物理环及其拓扑《拉马努扬杂志》，第10卷，第2期（2005年），第269-281页；预印本, 2002.
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配方奶粉
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例如，多项式为A（x，t）=（x-t）/（t+1）+t{（t/（t+1A000169号。x（大约x=0）中的成分反转是B（x）=x+-t*[exp（x）-x-1]。特例t=1给出了例如fA000311号。这些结果是A134685号u（x）=B（x）。
Umbral-Sheffer公式给出了m为正整数且u=t/（t+1），
当函数序列Q（n，x）的级数收敛时，[P（.，t）+Q（.，x）]^m=[mQ（m-1，x）-tQ（m，x）]/（t+1）+和（n>=1）{n^（n-1）[u exp（-u）]^n/n。
检查：t=1时；Q（n，x）=0^n，对于n>=0；Q（-1，x）=0，则[P（.，1）+Q（.，x）]^m=P（m，1）=A000311号（m） ●●●●。
（结束）
设h（x，t）=1/（dB（x）/dx）=1/（1-t*（exp（x）-1））A019538年，然后是表中t的第n行多项式A134991号，P（n，t），由（（h（x，t）*d/dx）^n）x在x=0时计算得出，即A（x，t）=exp（x*P（.，t））=exp（x*h（u，t）*d/du）u在u=0时评估得出。此外，dA（x，t）/dx=h（A（x、t），t）-汤姆·科普兰2011年9月5日
多项式（1+t）/t*P（n，t）是A112493号设f（x）=（1+x）/（1-x*t）。然后，对于n>=0，P（n+1，t）由在x=0时计算的t/（1+t）*（f（x）*d/dx）^n（f（x））给出-彼得·巴拉2011年9月30日
T（n，k）=（k+1）*T（n-1，k）+（n+k+1）*T（n-l，k-1），起始指数n=0，k=0，以P（2，T）开头（如David Speyer关于MathOverflow的公式所示）。
T（n，k）=k*T（n-1，k）+（n+k-1）*T（n+1，k-1），表中起始指数n=1和k=1（参考上文Smiley和其中Riordin参考文献[10]）。
P（n，t）=（1/（1+t））^n和{k>=1}k^（n+k-1）[（u*exp（-u）]^k/k！当n>1时，u=（t/（t+1））；因此，求和{k>=1}（-1）^k^（n+k-1）x^k/k！
=[1+LW（x）]^（-n）P{n，-LW（x。
T（n，k）=Sum_{i=0..k}（（-1）^i二项式（n+k，i）Sum_{j=0...k-i}（-1）^j（k-i-j）^（n+k-i）/（j！（k-i-j）！））从关系到A008299号.（结束）
例如，f.A（x，t）=-v*（和{j=>1}D（j-1，u）（-z）^j/j！）其中u=（x-t）/（1+t），v=1+u，z=x/（（1+t）v^2）和D（j-1，u）是A042977号.dA/dx=1/（（1+t）（v-A））=1/（1-t*（exp（A）-1））-汤姆·科普兰2011年10月6日
关于细分多项式卷积的一般结果A134685号这里可以应用u1=1和un=-t，以获得这些多项式的卷积结果-汤姆·科普兰，2016年9月20日
例如：C（u，t）=（u-t）/（1+t）-W-程鹏2021年9月11日
彭之前公式中的函数C（u，t）正是本节2008年初始公式和2011年10月6日科普兰公式中给出的函数A（u，t）。如中所述A000169号，欧拉树函数是T（x）=-LambertW（-x），其中W（x）是Lambert函数的主分支，T（xA000169号. -汤姆·科普兰2022年5月13日
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例子
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三角形开始：
1
1 3
1 10 15
1 25 105 105
1 56 490 1260 945
1 119 1918 9450 17325 10395
...
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数学
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t[n_，k_]：=和[（-1）^i*二项式[n，i]*和[（-1）^j*（k-i-j）^（n-i）/（j！*（k-i-j）！），{j，0，k-i}]，{i，0，k}]；行[n_]：=表[t[k，k-n]，{k，n+1，2*n}]；表[行[n]，{n，1，9}]//展平(*Jean-François Alcover公司2014年4月23日之后A008299号*)
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交叉参考
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作者
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已批准
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3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,1
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评论
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也是二进制展开的截阻大于1的正整数。对于将所有运行缩短1的操作，cuts-resistance是达到一个空单词所需的应用程序数-古斯·怀斯曼2019年11月27日
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链接
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配方奶粉
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例子
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术语序列及其二进制展开式开始于：
3: 11
4: 100
6: 110
7时111分
8: 1000
9: 1001
11: 1011
12: 1100
13: 1101
14: 1110
15: 1111
16: 10000
17:10001
18: 10010
（结束）
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数学
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选择[Range[100]，MatchQ[Integer Digits[#，2]，{___，x_，x_(*古斯·怀斯曼2019年11月27日*）
选择[Range[80]，SequenceCount[IntegerDigits[#，2]，{x_，x_}]>0&]（*或*）Complement[Range[85]，Table[FromDigits[PadRight[{}，n，{1，0}]，2]、{n，7}]](*哈维·P·戴尔2021年7月31日*）
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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已批准
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1, 2, 3, 4, 7, 5, 8, 15, 12, 6, 16, 31, 27, 14, 9, 32, 63, 58, 30, 21, 10, 64, 127, 121, 62, 48, 24, 11, 128, 255, 248, 126, 106, 54, 26, 13, 256, 511, 503, 254, 227, 116, 57, 29, 17, 512, 1023, 1014, 510, 475, 242, 120, 61, 38, 18, 1024, 2047, 2037, 1022, 978, 496, 247, 125, 86, 42, 19, 2048, 4095, 4084, 2046, 1992, 1006, 502, 253, 192, 96, 45,20
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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按降序反对偶读取的平方数组：A（1,1）、A（1,2）、A。
数组的最上面一行（第1行）是A000079号（2的幂），通常每行2^k包含序列（2^n-k），从项（2^（k+1）-k）开始。这源于的属性（3）和（4）A004001号Kubo&Vakil论文第227页给出（PDF第3页）。
此外，每行2^k-1（对于k>=2）包含序列2^n-n-（k-2），从项（2^（k+1）-（2k-1））开始。要了解为什么会这样，请考虑序列的定义162598英镑和A265332型，后者还说明了频率如何计算Q_nA004001号递归构造（在Kubo&Vakil论文中）。
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链接
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配方奶粉
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例子
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数组的左上角：
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, ...
3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, 2047, 4095, ...
5, 12, 27, 58, 121, 248, 503, 1014, 2037, 4084, 8179, ...
6, 14, 30, 62, 126, 254, 510, 1022, 2046, 4094, 8190, ...
9, 21, 48, 106, 227, 475, 978, 1992, 4029, 8113, 16292, ...
10, 24, 54, 116, 242, 496, 1006, 2028, 4074, 8168, 16358, ...
11, 26, 57, 120, 247, 502, 1013, 2036, 4083, 8178, 16369, ...
13, 29, 61, 125, 253, 509, 1021, 2045, 4093, 8189, 16381, ...
17, 38, 86, 192, 419, 894, 1872, 3864, 7893, 16006, 32298, ...
18, 42, 96, 212, 454, 950, 1956, 3984, 8058, 16226, 32584, ...
19, 45, 102, 222, 469, 971, 1984, 4020, 8103, 16281, 32650, ...
20, 47, 105, 226, 474, 977, 1991, 4028, 8112, 16291, 32661, ...
22, 51, 112, 237, 490, 999, 2020, 4065, 8158, 16347, 32728, ...
23, 53, 115, 241, 495, 1005, 2027, 4073, 8167, 16357, 32739, ...
25, 56, 119, 246, 501, 1012, 2035, 4082, 8177, 16368, 32751, ...
28, 60, 124, 252, 508, 1020, 2044, 4092, 8188, 16380, 32764, ...
...
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黄体脂酮素
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（方案）
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交叉参考
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关键词
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作者
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已批准
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A052515号
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| 一个n集的互补子集的有序对的数目，两个子集的基数都至少为2。 |
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0, 0, 0, 0, 6, 20, 50, 112, 238, 492, 1002, 2024, 4070, 8164, 16354, 32736, 65502, 131036, 262106, 524248, 1048534, 2097108, 4194258, 8388560, 16777166, 33554380, 67108810, 134217672, 268435398, 536870852, 1073741762
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,5
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评论
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a（n）是长度为n的二进制序列的数目，其中至少有两个0和至少两个1。a（4）=6，因为有六个长度为4的二进制序列，其中有两个或多个0和两个或更多个1：0011、0101、0110、1100、1010、1001-杰弗里·克里策2009年2月11日
对于n>3，a（n）也是Pascal三角形第n行中这些项的总和，该三角形也出现在A006987号: 6, 10+10, 15+20+15, 21+35+35+21,... -道格拉斯·拉蒂默2012年4月2日
双预期函数f:[n]->[2]的数目。
将n个不同玩具分发给2个孩子的方法的数量，以便每个孩子至少获得2个玩具。（结束）
a（n）是基数k的n个集合的子集数，其中2≤k≤n-2-里克·L·谢泼德2014年12月5日
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链接
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配方奶粉
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例如：（exp（x）-x-1）^2-乔格·阿恩特2013年4月10日
n*a（n+2）-（1+3*n）*a（n+1）+2（1+n）*a（n）=0，其中a（0）=..=a（3）=0，a（4）=6。
G.f.：2*x^4*（3-2*x）/（（1-x）^2*（1-2*x））-科林·巴克2012年2月19日
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MAPLE公司
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成对规范：=[S，{S=Prod（B，B），B=Set（Z，2<=card）}，标记]：seq（combstruct[count]（规范，大小=n），n=0..20）；
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数学
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联接[{0，0，0}，LinearRecurrence[{4，-5，2}，{0，6，20}，35]](*G.C.格鲁贝尔2019年5月13日*）
使用[{nn=30}，系数列表[Series[（Exp[x]-x-1）^2，{x，0，nn}]，x]Range[0，nn]！](*哈维·P·戴尔2023年5月29日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）连接（[0，0，0，0]，Vec（（6-4*x）/（1-x）^2/（1-2*x）+O（x^35））\\查尔斯·格里特豪斯四世2012年4月3日
（PARI）x='x+O（'x^35）；concat（[0，0，0，0]，Vec（serlaplace（（exp（x）-x-1）^2））\\乔格·阿恩特2013年4月10日
（岩浆）m:=35；R<x>：=PowerSeriesRing（基本原理（），m）；b： =系数（R！（（Exp（x）-1-x）^2））；[0，0，0，0]cat[阶乘（n+3）*b[n]：[1..m-5]]中的n//G.C.格鲁贝尔2019年5月13日
（鼠尾草）（2*x^4*（3-2*x）/（（1-x）^2*（1-2*x）））系列（x，35）系数（x，稀疏=假）#G.C.格鲁贝尔2019年5月13日
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关键词
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容易的,非n
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作者
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百科全书（AT）pommard.inia.fr，2000年1月25日
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扩展
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状态
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已批准
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A000478号
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| 将n个带标签的球放入3个无法区分的盒子中的方法数量，每个盒子中至少有2个球。
（原名M4978 N2138）
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+10
9
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15, 105, 490, 1918, 6825, 22935, 74316, 235092, 731731, 2252341, 6879678, 20900922, 63259533, 190957923, 575363776, 1731333808, 5205011031, 15638101281, 46962537810, 140988276150, 423174543025, 1269959836015, 3810785476980, 11434235478348, 34306598748315, 102927849307725
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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6,1
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评论
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相关的斯特林数。
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参考文献
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L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第222页。
F.N.David和D.E.Barton，《组合机会》。纽约州哈夫纳，1962年，第296页。
J.Riordan，《组合分析导论》，威利出版社，1958年，第76页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
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配方奶粉
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例如：（exp（x）-1-x）^3）/3！。
总尺寸：x^6*（12*x^3-40*x^2+45*x-15）/（（1-x）^3*（1-2*x）^2*（3*x-1））-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中
a（n）=（1+n+n^2）/2-（1/2+n/4）*2^n+3^n/6.-迈克尔·斯泰尔（m.Steyer（AT）osram.de），2005年1月9日
a（n）=10*a（n-1）-40*a（n-2）+82*a-哈维·P·戴尔基于Michael Steyer的公式，2011年7月17日
a（n）=3*a（n-1）+（2^（n-3）-n+1）*（n-1-弗拉基米尔·克鲁奇宁2018年10月4日
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例子
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a（6）=6/(2!*2!*2!*3!) = 15.
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数学
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表[（1+n+n^2）/2-（1/2+n/4）*2^n+3^n/6，{n，6，30}]（*或*）线性递归[{10，-40，82，-91，52，-12}，{15，105，490，1918，6825，22935}，25](*哈维·P·戴尔2011年7月17日*）
偏移=6；条款=26；egf=（有效期[x]-1-x）^3/3！；删除[CoefficientList[egf+O[x]^（术语+偏移量），x]*范围[0，术语+偏移-1]！，偏移](*Jean-François Alcover公司2017年5月7日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）Vec（x^6*（12*x^3-40*x^2+45*x-15）/（（1-x）^3*（1-2*x）^2*（3*x-1））+O（x^66））/*乔格·阿恩特2013年4月10日*/
a=15；n=7；z=4；s=15；
为True时：
产量a
z=2*z；s+=n*（z-2）+3；a=3*a+s；n+=1
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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状态
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已批准
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A058844号
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| 将n个带标签的球放入4个无法区分的盒子中的方法的数量，每个盒子中至少有2个球。 |
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+10
9
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105, 1260, 9450, 56980, 302995, 1487200, 6914908, 30950920, 134779645, 575156036, 2417578670, 10046531276, 41388056231, 169371383384, 689568172832, 2796362035104, 11305163394129, 45595968007260, 183557935474290, 737897437077060, 2963015460969915
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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8,1
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链接
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配方奶粉
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例如：（（exp（x）-1-x）^4）/4！。
G.f.：x^8*（288*x^6-1560*x^5+3500*x^4-4130*x^3+2625*x^2-840*x+105）/（（1-x）^4*（1-2*x）^3*（1-3*x）^2*（1-4*x））。
a（n）=（4^n-3^（n-1）（4n+12）+2^（n-1）（12+9n+3n^2）-4n^3-8n-4）/24-大卫·沃瑟曼2007年6月6日
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例子
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a（8）=8/(2!*2!*2!*2!*4!) = 105.
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MAPLE公司
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数学
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表[（4^n-3^（n-1）（4n+12）+2^（n-1）（12+9n+3n^2）-4n^3-8n-4）/24，{n，8，25}](*韦斯利·伊万·赫特2014年10月28日*）
偏移=8；条款=21；egf=（有效期[x]-1-x）^4/4！；删除[CoefficientList[egf+O[x]^（术语+偏移量），x]*范围[0，术语+偏移-1]！，偏移](*Jean-François Alcover公司2017年5月7日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[（4^n-3^（n-1）*（4*n+12）+2^（n-1）*（12+9*n+3*n^2）-4*n^3-8*n-4）/24:n in[8..25]]//韦斯利·伊万·赫特2014年10月28日
（PARI）a（n）=（4^n-3^（n-1）*（4*n+12）+2^（n-1）*（12+9*n+3*n^2）-4*n^3-8*n-4）/24\\查尔斯·格里特豪斯四世2014年10月28日
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交叉参考
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关键词
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容易的,非n
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作者
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扩展
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状态
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已批准
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A213568型
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| 矩形阵列：（第n行）=b**c，其中b（h）=2^（h-1），c（h）=n-1+h，n>=1，h>=1和**=卷积。 |
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+10
8
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1, 4, 2, 11, 7, 3, 26, 18, 10, 4, 57, 41, 25, 13, 5, 120, 88, 56, 32, 16, 6, 247, 183, 119, 71, 39, 19, 7, 502, 374, 246, 150, 86, 46, 22, 8, 1013, 757, 501, 309, 181, 101, 53, 25, 9, 2036, 1524, 1012, 628, 372, 212, 116, 60, 28, 10, 4083, 3059, 2035, 1267
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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评论
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链接
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配方奶粉
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对于第n行的G.f:f（x）/G（x），其中f（x）=n-（n-1）*x和G（x）=（1-2*x）*（1-x）^2。
T（n，k）=2^k*（n+1）-（n+k+1）-G.C.格鲁贝尔2019年7月26日
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例子
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西北角（阵法由下落的反对角线读取）：
1...4....11...26....57....120
2...7....18...41....88....183
3...10...25...56....119...246
4...13...32...71....150...309
5...16...39...86....181...372
6...19...46...101...212...435
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数学
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（*第一个程序*）
b[n]：=2^（n-1）；c[n]：=n；
t[n_，k_]：=总和[b[k-i]c[n+i]，{i，0，k-1}]
表格形式[表格[t[n，k]，{n，1，10}，{k，1，10}]]
扁平[表[t[n-k+1，k]，{n，12}，{k，n，1，-1}]]
s[n_]：=和[t[i，n+1-i]，{i，1，n}]
（*第二个节目*）
表[2^（n-k+1）*（k+1）-（n+2），{n，12}，{k，n}]//展平(*G.C.格鲁贝尔2019年7月26日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）对于（n=1，12，对于（k=1，n，打印1（2^（n-k+1）*（k+1）-（n+2），“，”））\\G.C.格鲁贝尔2019年7月26日
（岩浆）[2^（n-k+1）*（k+1）-（n+2）：k in[1..n]，n in[1..12]]//G.C.格鲁贝尔，2019年7月26日
（Sage）[[2^（n-k+1）*（k+1）-（n+2）for k in（1..n）]for n in（1..12）]#G.C.格鲁贝尔2019年7月26日
（GAP）平面（列表（[1.12]，n->列表（[1..n]，k->2^（n-k+1）*（k+1）-（n+2）））#G.C.格鲁贝尔2019年7月26日
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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已批准
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A094002号
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| a（n+3）=3*a（n+2）-2*a（n+1）+1，其中a（0）=1，a（1）=5。 |
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+10
6
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1, 5, 14, 33, 72, 151, 310, 629, 1268, 2547, 5106, 10225, 20464, 40943, 81902, 163821, 327660, 655339, 1310698, 2621417, 5242856, 10485735, 20971494, 41943013, 83886052, 167772131, 335544290, 671088609, 1342177248, 2684354527
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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评论
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由贝尔差分行三角形生成的序列（作为矩阵）。
伴随序列A095151号具有相同的递归规则，但由乘数[1 0 0]而不是[1 1 1]生成。
a（n）是第一列T（n，0）=（n+1）*（n+2）/2和对角线T（n、n）=n+1的三角形第n行中的项之和；T（i，j）=T（i-1，j-1）+T（i-l，j）-J.M.贝戈，2018年6月26日
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链接
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配方奶粉
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设M=由A095149号行（用零填充）：{1,0,0；1,1,0；2,1,2}。然后M^n*{1，1，1}={1，n+1，a（n）}。
a（n）=4*a（n-1）-5*a（n-2）+2*a（n-3）。
通用格式：（1+x-x^2）/（（1-x）^2*（1-2*x））。（结束）
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例子
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a（9）=2547=3*a（8）-2*a（7）+1=3*1268-2*629+1=3804-1258+1。
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数学
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a[n]：=（矩阵幂[{{1，0，0}，{1，0}，{2，1，2}}，n].{{1}，}，[1}}）[[3，1]]；表[a[n]，{n，35}](*罗伯特·威尔逊v2004年6月1日*）
线性递归〔｛4，-5，2｝，｛1，5，14｝，40〕(*哈维·P·戴尔2021年1月20日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）向量（35，n，5*2^（n-1）-（n+3））\\哈里·史密斯2009年6月16日；2021年12月27日编辑
（岩浆）[0..35]]中的[5*2^n-（n+4）：n//G.C.格鲁贝尔2021年12月27日
（鼠尾草）[5*2^n-（n+4）代表n in（0..35）]#G.C.格鲁贝尔，2021年12月27日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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扩展
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状态
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已批准
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A266070型
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| “规则3”基本细胞自动机的中间一栏，从单个ON（黑色）细胞开始。 |
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+10
6
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1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0
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评论
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二项式变换是1、1、1，2、5、12、27，。。。，即。，A000325号前面还有一个1。二项式逆变换是1，-1，1，0，-3，10，-25，56，-119，246，-501，1012，。。。基本上A000247号.R.J.马塔尔2023年2月16日
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参考文献
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S.Wolfram，《一种新的科学》，Wolfram Media，2002年；第55页。
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链接
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配方奶粉
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G.f.：（-1+x^2-x^3）/（-1+x^2）-迈克尔·德弗利格2015年12月21日
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例子
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右边的前8行，括号中的中间列值是左边这个序列的项的值：
a（1）（1）
a（2）1（0）0
a（3）0（0）1 0
a（4）1 1 1（1）0 0 1
a（5）0 0 0（0）0 1 0
a（6）1 1 1 1 1（1）1 0 0 1 1
a（7）0 0 0 0 00（0）0 0 1 0 0
a（8）1 1 1 1 11 1（1）1 1 0 0 1 1
（结束）
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数学
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表[级数系数[（-1+x^2-x^3）/（-1+x^2），{x，0，n}]，{n，0，120}](*迈克尔·德弗利格2015年12月21日*）
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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已批准
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