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二项式系数C（2n+1，n-1）。
（原名M3913 N1607）
+10
88
1, 5, 21, 84, 330, 1287, 5005, 19448, 75582, 293930, 1144066, 4457400, 17383860, 67863915, 265182525, 1037158320, 4059928950, 15905368710, 62359143990, 244662670200, 960566918220, 3773655750150, 14833897694226, 58343356817424, 229591913401900
评论
a（n）=S_{n+2}中正好包含一个312模式的置换数。例如，S_3的a_1=1置换恰好包含一个312模式，而S_4的a_2=5置换正好包含一个321模式，即1423、2413、3124、3142和4231。如果312被132、213或231（但不是123或321，参见A003517号). [意见修订人N.J.A.斯隆2022年11月26日]
半长n+1的所有Dyck路径中的谷数。例如：a（2）=5，因为UD*UD*UD、UD*UUDD、UUDD*UD，UUD*UDD、UUUDDD，其中U=（1,1），D=（1，-1），谷值用*表示-Emeric Deutsch公司2003年12月5日
半长n+1的所有Dyck路径中的UU数（双上升）。示例：a（2）=5，因为UDUDUD、UDU*UDD、U*UDDUD、U*UDUDD、U*U*UDDD，双升序用*表示-Emeric Deutsch公司，2003年12月5日
在半长度n+1的所有Dyck路径中，在高于1的水平上的峰的数量（高峰）。例如：a（2）=5，因为UDUDUD、UDUU*DD、UU*DDUD、UU*DU*DD和UUU*DDD，峰值用*表示-Emeric Deutsch公司2003年12月5日
通过非交叉对角线将凸（n+3）-边剖分为多个区域的次数，其中n-1个区域为三角形。例如：a（2）=5，因为凸五边形ABCDE被AC、BD、CE、DA、EB中的任何对角线分割成正好包含1个三角形的区域-Emeric Deutsch公司2004年5月31日
具有n+1个内部节点的所有完整二叉树中的跳转数。在完整二叉树的预序遍历中，从较深级别的节点到严格较高级别的节点的任何转换都称为跳转-Emeric Deutsch公司2007年1月18日
a（n）是所有Dyck路径中非空Dyck子路径的总数(A000108号)例如，Dyck路径UUDUUDDD的Dyck子路径延伸到位置1-8（整个路径）、2-3、2-7、4-7、5-6，因此为a（4）贡献5-大卫·卡兰2008年7月25日
a（n+1）是避免模式132的所有n个排列集合中的上升总数。例如，a（2）=5，因为集合123、213、231、312、321中有5个上升-切恩·霍姆伯格2013年10月25日
具有最大条目2n+1的形状（n+1，n+1）递增表的数量。递增表是一个半标准表，其中的行和列严格递增，条目集是正整数的初始段。例如：a（2）=5计算五个表（124）（235）、（123）（245）、（124”（345）、“（134）（244）”、“（123）”（245”）-奥利弗·佩切尼克2014年5月2日
a（n）是2n+1到大小为2的n-1块和大小为3的1块的非交叉分区数-奥利弗·佩切尼克2014年5月2日
半平面中的路径数x>=0，从（0,0）到（2n+1,3），由步骤U=（1,1）和D=（1，-1）组成。例如，对于n=2，我们有5条路径：UUUUD、UUUDU、UUDUU、UDUUU、DUUUU-何塞·路易斯·拉米雷斯2015年4月19日
还有2n+2位的二进制数和两个大于1的0的二进制数。例如，a（2）=5个二进制数为：100001、100010、100100、101000、110000，十进制值为33、34、36、40、48。允许第一个数字0表示A001791号，排名依据A345910型/A345912型.
还有2n+2与交替和-2的整数组成的数量，其中序列（y_1，…，y_k）的交替和为sum_i（-1）^（i-1）y_i。例如，a（3）=21组成为：
(35) (152) (1124) (11141) (111113)
(251) (1223) (12131) (111212)
(1322) (13121) (111311)
(1421) (14111) (121112)
(2114) (121211)
(2213) (131111)
(2312)
(2411)
以下与这些组合物有关：
（结束）
参考文献
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准应用数学局。1964年第55辑（以及各种重印本），第828页。
乔治·格拉泽（George Grätzer），《一般格理论》（General Lattice Theory）。Birkhauser，巴塞尔，1998年，第2版，第474页，第3行。
A.P.Prudnikov，Yu。A.Brychkov和O.I.Marichev，“积分与级数”，第1卷：“初等函数”，第4章：“有限和”，纽约，Gordon和Breach科学出版社，1986-1992年。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
链接
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。系列55，第十次印刷，1972年[替代扫描副本]。
安瓦尔·加布拉（Anwar Al Ghabra）、K.Gopala Krishna、Patrick Labele和Vasilia Shramchenko，多根平面树的计数，arXiv:2301.09765[math.CO]，2023。
Jean-Luc Baril和Sergey Kirgizov，置换的纯下降统计量《离散数学》，第340卷，第10期（2017年），第2550-2558页；预印本, 2017.
Jean-Luc Baril、Sergey Kirgizov和Armen Petrossian，具有给定模式位置模的灾难的Dyck路径，澳大利亚J.Comb。（2022）第84卷，第2期，398-418。
A.凯利，关于多边形的划分，程序。伦敦数学。Soc.，Vol.22（1891），pp.237-262=数学论文集，Vols。1-13，剑桥大学出版社，伦敦，1889-1897年，第13卷，第93页及其后。
Emeric Deutsch公司，Dyck路径枚举，离散数学。，第204卷，第1-3期（1999年），第167-202页。
卢卡·费拉里和伊曼纽尔·穆纳里尼，一些路径格中边的计数，国际期刊。，第17卷（2014年），第14.1.5条；arXiv预印本，arXiv:1203.6792[math.CO]，2012年。
何晓宇、黄慧卿、南义勋和塔珀，随机方块和反向随机方块，arXiv:2109.12455[math.CO]，2021。
克莱门斯·休伯格（Clemens Heuberger）、莎拉·塞尔柯克（Sarah J.Selkirk）和斯蒂芬·瓦格纳（Stephan Wagner），基于降阶模k高度的广义Dyck路径计数，arXiv:2204.14023[math.CO]，2022。
沃纳·克兰迪克，树、跳跃和真正的根，J.计算与应用数学。，第162卷，第1期（2004年），第51-55页。
图菲克·曼苏尔，Dyck路径统计《整数序列杂志》，第9卷（2006年），第06.1.5条。
Toufik Mansour和Alek Vainshtein，计算排列中123的出现次数，arXiv:math/01005073[math.CO]，2001年。
罗纳德·里德，关于多边形的一般剖分《Aequationes Mathematicae》，第18卷，第1-2期（1978年），第370-388页；预打印, 1974.
配方奶粉
a（n）=和{j=0..n-1}二项式（2*j，j）*二项式Yong Kong（ykong（AT）curagen.com），2000年12月26日
a（n）=二项式（2*n+1，n-1）=n*C（n+1）/2，C（n）=A000108号（n） （加泰罗尼亚语）。
G.f.：（1-2*x-（1-3*x）*c（x））/（x*（1-4*x）），带有A000108号.（结束）
通用：2F1（5/2，2；4；4*x）-R.J.马塔尔2015年8月9日
递归D-有限：a（n+1）=a（n）*（2*n+3）*（2*n+2）/（n*（n+3））-柴华武2016年1月26日
例如：（贝塞尔I（0,2*x）+（1-1/x）*BesselI（1,2*x。
a（n）~2^（2*n+1）/sqrt（Pi*n）。（结束）
a（n）=（1/（n+1））*和{i=0..n-1}（n+1-i）*二项式（2n+2，i），n>=1-塔拉斯·戈伊，2018年8月9日
总面积：（x-1+（1-3*x）/sqrt（1-4*x））/（2*x^2）-迈克尔·索莫斯2021年7月28日
和{n>=1}1/a（n）=5/3-2*Pi/（9*sqrt（3））。
和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=52*log（phi）/（5*sqrt（5））-7/5，其中phi是黄金比率(A001622号). （结束）
G.f.：x/（1-4*x）^2*c（-x/（1-4*x））^3，其中c（x）=（1-sqrt（1-4*x））/（2*x）是加泰罗尼亚数字的G.fA000108号. -彼得·巴拉2024年2月3日
例子
G.f.=x+5*x^2+21*x^3+84*x^4+330*x^5+1287*x^6+5005*x^7+。。。
MAPLE公司
with（combstruct）：seq（（count（Composition（2*n+2），size=n）），n=1..24）#零入侵拉霍斯，2007年5月3日
数学
系数列表[系列[8/（（Sqrt[1-4x]+1）^3）*Sqrt[1-4x]），{x，0，22}]，x](*罗伯特·威尔逊v2011年8月8日*）
a[n]：=二项式[2n+1，n-1]；(*迈克尔·索莫斯2014年4月25日*）
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=二项式（2*n+1，n-1）}；
（岩浆）[二项式（2*n+1，n-1）：n in[1..30]]//文森佐·利班迪2015年4月20日
（Python）
来自未来进口部
对于范围（1，10**3）中的n：
b=b*（2*n+2）*（2*n+3）//（n*（n+3#柴华武2016年1月26日
（GAP）列表（[1..25]，n->二项式（2*n+1，n-1））#穆尼鲁·A·阿西鲁，2018年8月9日
（Sage）[（1..25）中n的二项式（2*n+1，n-1）]#G.C.格鲁贝尔，2019年3月22日
交叉参考
囊性纤维变性。A000097号,A000346号,A000984号,A001622号,A001700号,A007318号,A008549号,A031444号,A058622号,A097805号,A116406号,A138364号,1993年1月,A202736型.
1, 0, 0, 2, 10, 37, 126, 422, 1422, 4853, 16786, 58775, 208000, 742887, 2674426, 9694830, 35357654, 129644773, 477638682, 1767263171, 6564120400, 24466266999, 91482563618, 343059613627, 1289904147300, 4861946401427, 18367353072126, 69533550915977, 263747951750332, 1002242216651339
数学
表[（CatalanNumber[n]-n），{n，0，20}]
黄体脂酮素
（Magma）[加泰罗尼亚语（n）-n:n在[0.30]中]；
使用帕斯卡法则形成的三角形，但第n行的开始和结束处使用n-1。
+10
4
-1, 0, 0, 1, 0, 1, 2, 1, 1, 2, 3, 3, 2, 3, 3, 4, 6, 5, 5, 6, 4, 5, 10, 11, 10, 11, 10, 5, 6, 15, 21, 21, 21, 21, 15, 6, 7, 21, 36, 42, 42, 42, 36, 21, 7, 8, 28, 57, 78, 84, 84, 78, 57, 28, 8, 9, 36, 85, 135, 162, 168, 162, 135, 85, 36, 9
配方奶粉
T（n，k）=T（n-1，k）+T。
T（n，k）=C（n+2，k+1）-3*C（n，k）-查理·内德2019年1月10日
例子
三角形开始
-1;
0, 0;
1, 0, 1;
2, 1, 1, 2;
3, 3, 2, 3, 3;
4, 6, 5, 5, 6, 4; ...
数学
清除[t]；t[n，k]：=t[n、k]=t[n-1，k]+t[n-1，k-1]；t[n，0]：=n-1；t[n，n]：=n-1；表[t[n，k]，{n，0，10}，{k，0，n}]//展平(*Jean-François Alcover公司，2013年4月11日*）
黄体脂酮素
（哈斯克尔）
a051631 n k=a051631_tabl！！不！！k
a051631_row n=a051631tabl！！n个
a051631_list=连接a051631tabl
a051631_tabl=迭代（\row->zipWith（+）（[1]++行）（row++[1]））[-1]
（岩浆）/*作为三角形*/[[二项式（n+2，k+1）-3*二项式：k in[0..n]]：n in[0..10]]//文森佐·利班迪，2019年1月11日
按行读取三角形：T（n，k）=二项式（2n+1，n-k）*斐波那契（2k+1），0<=k<=n。
+10
2
1, 3, 2, 10, 10, 5, 35, 42, 35, 13, 126, 168, 180, 117, 34, 462, 660, 825, 715, 374, 89, 1716, 2574, 3575, 3718, 2652, 1157, 233, 6435, 10010, 15015, 17745, 15470, 9345, 3495, 610, 24310, 38896, 61880, 80444, 80920, 60520, 31688, 10370, 1597, 92378
参考文献
S.G.Guba，第174号问题，第4期，1965年7月至8月，Matematika v Skole第73页。
链接
V.E.Hoggatt，Jr.和L.Carlitz，问题H-77《斐波纳契季刊》，第5期，第3期，1967年，256-258年。
配方奶粉
T（n，k）=二项式（2n+1，n-k）*斐波那契（2k+1），0≤k≤n。
例子
三角形开始：
1;
3, 2;
10, 10, 5;
35, 42, 35, 13;
126, 168, 180, 117, 34;
MAPLE公司
与（组合）：T:=（n，k）->二项式（2*n+1，n-k）*fibonacci（2*k+1）：对于从0到9的n，做序列（T（n，k），k=0..n）od；#三角形形式的屈服序列
数学
表[二项式[2 n+1，n-k]斐波那契[2 k+1]，{n，0，9}，{k，0，n}]//展平(*迈克尔·德弗利格2019年12月1日*）
按行读取的不规则三角形：第n行给出（1-x+x^2）*（1+x）^n的展开式。
+10
2
1, -1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 3, 2, 3, 3, 1, 1, 4, 6, 5, 5, 6, 4, 1, 1, 5, 10, 11, 10, 11, 10, 5, 1, 1, 6, 15, 21, 21, 21, 21, 15, 6, 1, 1, 7, 21, 36, 42, 42, 42, 36, 21, 7, 1, 1, 8, 28, 57, 78, 84, 84, 78, 57, 28, 8, 1, 1, 9, 36, 85, 135, 162, 168, 162, 135, 85, 36, 9, 1
配方奶粉
通用公式：A（x，y）=（1-y+y^2）/（1-x*（1+y））-安德鲁·霍罗伊德2023年3月3日
例子
行n=0:1，-1，1；
行n=1:1,0,0,1；
行n=2:1,1,0,1,1；
第n行=3:1，2，1，1，2，1；
第n行=4:1、3、3、2、3、3、1；
第n=5:1、5、10、11、10、11,10、5、1行；
第n=6行：1、6、15、21、21、二十一、二十一、十五、六、一；
...
黄体脂酮素
（PARI）行（n）=Vecrev（polceof（（1-y+y^2）/（1-x*（1+y））+O（x*x^n），n））
{对于（n=0，10，打印（行（n）））}\\安德鲁·霍罗伊德2023年3月3日
a（0）=0；当n>=1时，a（n）=C（2*n-2，n-1）*（n^2-2*n+2）/n。
+10
2
0, 1, 2, 10, 50, 238, 1092, 4884, 21450, 92950, 398684, 1696396, 7171892, 30161740, 126293000, 526864680, 2191034970, 9086921190, 37596989100, 155232577500, 639749274780, 2632212288420, 10814090022840, 44369043365400
评论
这里的序列是a（n）=F（n，n，n），n维中的第n个n次正方图形数。
极限{n->infinity}a（n+1）/a（n）=4-罗伯特·威尔逊v2013年10月30日
参考文献
Albert H.Beiler，《数字理论中的娱乐》，《数学娱乐女王》，第二版，多佛，纽约，1966年，Chptr。十八球类运动，第196页。
配方奶粉
外径：1-（1-7*x+10*x^2）/（1-4*x）^（3/2）。
例如：1-exp（2*x）*（（1-3*x）*BesselI（0,2*x。
a（n）=[x^n]x*（1-3*x+n*x）/（1-x）^（n+1）。（结束）
数学
图[ngon_，rank_，dim_]：=二项式[rank+dim-2，dim-1]（（rank-1）*（ngon-2）+dim）/dim；表[图形[n，n，n]，{n，50}]
联接[{0}，表[二项式[2n-2，n-1]（n^2-2n+2）/n，{n，30}]](*哈维·P·戴尔2019年9月22日*）
0, 4, 20, 84, 336, 1320, 5148, 20020, 77792, 302328, 1175720, 4576264, 17829600, 69535440, 271455660, 1060730100, 4148633280, 16239715800, 63621474840, 249436575960, 978650680800, 3842267672880, 15094623000600, 59335590776904, 233373427269696
链接
伊戈尔·帕克，加泰罗尼亚数字的历史，arXiv:1408.5711[math.HO]，2014年。见第5节，A_n。
数学
表[2（加泰罗尼亚数字[n]（n-1）），{n，1，30}](*文森佐·利班迪，2014年8月31日*）
黄体脂酮素
（岩浆）[2*（n-1）*加泰罗尼亚语（n）：n in[1..30]]//文森佐·利班迪，2014年8月31日*）
-1, 0, 2, 10, 42, 168, 660, 2574, 10010, 38896, 151164, 587860, 2288132, 8914800, 34767720, 135727830, 530365050, 2074316640, 8119857900, 31810737420, 124718287980, 489325340400, 1921133836440, 7547311500300, 29667795388452, 116686713634848, 459183826803800
配方奶粉
a（n）=[x^n]（1-3*x）/（x*sqrt（1-4*x））-1/x。
a（n）=4^n*（n-1）*超几何（[3/2，-n]，[2]，1）。
a（n）=4^n*（n-1）*JacobiP（n，1，-1/2-n，-1）/（n+1）。
a（n）=（2*n）！[x^（2^n）]（贝塞尔I（2,2*x）-（1+1/x）*BesselI（1.2*x））。
a（n）=A056040型（2*n）*（1-2/（n+1））=（n^2-1）*（2*n）/（n+1）^2
当n>2时，a（n）=a（n-1）*2*（n-1”）*（2*n-1）/（（n-2）*（n+1））-柴华武2016年9月12日
和{n>=2}1/a（n）=5/6-Pi/（9*sqrt（3））。
求和{n>=2}（-1）^n/a（n）=26*sqrt（5）*log（phi）/25-7/10，其中phi是黄金比率(A001622号). （结束）
MAPLE公司
f:=（1-3*x）/（x*sqrt（1-4*x））-1/x：
级数（f，x，29）：seq（系数（%，x，n），n=0..26）；
数学
表[（n-1）加泰罗尼亚数字[n]，{n，0，30}](*文森佐·利班迪2016年9月13日*）
黄体脂酮素
（鼠尾草）
（岩浆）[（n-1）*加泰罗尼亚语（n）：n in[0..30]]//文森佐·利班迪，2016年9月13日
（PARI）a（n）=如果（n==0，-1，2*二项式（2*n-1，n+1））\\G.C.格鲁贝尔2019年8月29日
（GAP）级联（[-1]，列表（[1..30]，n->2*二项式（2*n-1，n+1））#G.C.格鲁贝尔2019年8月29日
顶行和左列相等的n×n数组之和的展开系数三角形（根据帕斯卡三角形规则扩展），以顶行元素表示。
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1, 1, 4, 1, 12, 6, 1, 40, 20, 8, 1, 140, 70, 30, 10, 1, 504, 252, 112, 42, 12, 1, 1848, 924, 420, 168, 56, 14, 1, 6864, 3432, 1584, 660, 240, 72, 16, 1, 25740, 12870, 6006, 2574, 990, 330, 90, 18, 1, 97240, 48620, 22880, 10010, 4004, 1430, 440, 110, 20
评论
定义一个有限的n X n正方形数组，在顶行中包含不定元素a（1，c），c=1..n，在第一列中包含相同的元素a（r，1）=a。
三角形T（n，m）给出了公式Sum{r=1..n}Sum{c=1..n{A（r，c）=Sum{m=1..nneneneep T（n、m）*A（1，m）中的系数。
它表示第一行（或第一列）的第一个、第二个、第三个等元素对n X n数组总和的贡献次数。
例子
1;
1,4;
1,12,6;
1,40,20,8;
1,140,70,30,10;
1,504,252,112,42,12;
1,1848,924,420,168,56,14;
1,6864,3432,1584,660,240,72,16;
1,25740,12870,6006,2574,990,330,90,18;
1,97240,48620,22880,10010,4004,1430,440,110,20;
MAPLE公司
局部A，r，c，s；
A:=数组（{}，1..n，1..n）；
对于r从2到n do
A[r，1]：=A[1，r]；
结束do：
对于r从2到n do
对于c从2到n do
A[r，c]：=A[r、c-1]+A[r-1，c]；
结束do：
结束do：
s：=加法（加法（A[r，c]，c=1..n），r=1..n）；
对于从1到n的c do
printf（“%d，”，系数，A[1，c]）；
结束do：
回报；
结束进程：
对于n，从1到10 do
printf（“；\n”）；
数学
A217234行[n_]：=模块[{A，x，r，c，s}，A=数组[x，{n，n}]；做[A[[r，1]]=A[[1，r]]，{r，2，n}]；做[A[[r，c]]=A[[r，c-1]]+A[[r-1，c]]，{r，2，n}，{c，2，n}]；s=总和[A[[r，c]]，{r，1，n}，{c，1，n}]；如果[n==1，{1}，列表@@s/.x[_，_]->1]]；
a（n）是长度为n的投票序列数，最多以3票平局或获胜。
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1, 2, 4, 8, 14, 30, 50, 112, 182, 420, 672, 1584, 2508, 6006, 9438, 22880, 35750, 87516, 136136, 335920, 520676, 1293292, 1998724, 4992288, 7696444, 19315400, 29716000, 74884320, 115000920, 290845350, 445962870
评论
此外，路径图上结束于原点3步以内的n步行走次数。
还有长度n在对角线3步内结束的单调路径数。
配方奶粉
猜想：D-有限递归-（n+3）*（n-4）*a（n）+2*（n^2-2*n-11）*a-R.J.马塔尔2020年9月27日
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