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第页12
三
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9
10...168
Lower Wythoff序列（Beatty序列）：a（n）=floor（n*phi），其中phi=（1+sqrt（5））/2=A001622号.（原名M2322 N0917）
+20
316
1, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 12, 14, 16, 17, 19, 21, 22, 24, 25, 27, 29, 30, 32, 33, 35, 37, 38, 40, 42, 43, 45, 46, 48, 50, 51, 53, 55, 56, 58, 59, 61, 63, 64, 66, 67, 69, 71, 72, 74, 76, 77, 79, 80, 82, 84, 85, 87, 88, 90, 92, 93, 95, 97, 98, 100, 101, 103, 105, 106, 108, 110
评论
这是自然数集合n中所有n满足a'（n）=a（a（n））+1的唯一序列，其中a'表示a的有序补码（以n表示）-克拉克·金伯利2003年2月17日
a（n）是满足a（1）=1和条件“如果n在序列中，则n+（n的秩）不在序列中”的唯一单调序列（例如a（4）=6，因此6+4=10和10不在序列中）-贝诺伊特·克洛伊特2006年3月31日
下威瑟夫序列也可以通过玩所谓的曼卡拉游戏来构建：n堆总共d（n）个芯片排成一行。桩从左到右按1、2、3……编号。游戏开始时，一堆筹码中的筹码数等于这堆筹码数。游戏的一个步骤描述如下：将左边的一堆一堆地分配到右边的一堆。如果剩下的筹码，则用右边的一块筹码建造一堆。在f（n）步之后，游戏以一排固定的桩结束。下Wythoff序列也由n->f（n）给出罗兰·施罗德（florola（AT）gmx.de），2010年6月19日
除了第一项之外，a（n）给出了使用如下定义的映射时反转列表{1,2,3，…，n}所需的迭代次数：删除列表的第一项z（1），并在接下来的z（1）项中的每个项上加1（如有必要，还加1）以获得新列表。请参阅A183110号使用此映射的位置以及给出的其他参考。这似乎本质上是R.施罗德（R.Schroeder）给出的曼卡拉式游戏解释-约翰·莱曼2011年2月3日
对k进行编号，使{k*phi}>phi^（-2），其中{}表示小数部分。
证明：写m=地板（k*phi）。
如果{k*phi}>phi^（-2），则取s=m-k+1。从m<k*phi<m+1可以得到k<（m-k+1）*phi<k+phi，所以地板（s*phi）=k或k+1。如果floor（s*phi）=k+1，则（参见A003622号)floor（（k+1）*phi）=floor（floor（s*phi）*phi）=floor（s*phi^2）-1=s+floor（s*phi）-1=m+1，但实际上我们有（k+1）*phi>m+phi+phi^（-2）=m+2，这是一个矛盾。因此，地板（s*phi）=k。
如果floor（s*phi）=k，那么假设k*phi-m<=phi^（-2），那么m<（k+1）*phi<=m+2，那么floor（（k+1。假设A035513号对于p，（p，q）=k，q>=1，则A035513号（p，q+1）=地板（k+1）*φ）-1=米=A035513号（s，1）。但一个数字（m）不可能在A035513号.（结束）
上述宋嘉宁公式是Carlitz等人（1972）旧结果的直接结果。他们的定理11指出（a（n））由数字k组成，使得{k*phi^（-2）}<phi^。一个有{k*phi^（-2）}={k*（2-phi）}=}-k*phi}。使用1-phi^（-1）=phi^-米歇尔·德金2023年10月14日
参考文献
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链接
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Shiri Artstein-avidan、Aviezri S.Fraenkel和Vera T.Sos，Beatty序列扩展的一个双参数族，离散数学。，308 (2008), 4578-4588.
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埃里克·杜兴、阿维埃兹里·弗伦克尔、弗拉基米尔·古尔维奇、恩汉·鲍荷、克拉克·金伯利和乌尔班·拉森，威瑟夫智慧，未发布，无日期[缓存副本，具有权限]
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配方奶粉
其他性质：a（1）=1；对于n>1，a（n）被视为大于a（n-1）的最小整数，这与条件“n在序列中当且仅当a（n）+1不在序列中”一致。
a（1）=1；对于n>0，如果n不在序列中，则a（n+1）=a（n）+1，如果n在序列中则a（n+1）=a（n）+2。
{a（k）}并集{a（k）+1}＝{1，2，3，4，…}。因此，a（1）=1；对于n>1，a（a（n））=a（a）（n）-1）+2，a（b（n）+1）=a-贝诺伊特·克洛伊特2003年3月8日
{a（n）}是递归a（a（n。
a（0）=0；a（n）=n+Max_{k:a（k）<n}-弗拉德塔·乔沃维奇2004年6月11日
a（斐波那契（r-1）+j）=斐波那奇（r）+a（j），对于0<j<=斐波纳契（r-2）；2<右侧-保罗·魏森霍恩2012年8月18日
例子
来自Roland Schroeder（florola（AT）gmx.de），2010年7月13日：（开始）
n=5的示例；a（5）=8；
（开始：[1,2,3,4,5]；8步直到[5,4,3,2,1]）：
[1,2,3,4,5]; [3,3,4,5]; [4,5,6]; [6,7,1,1]; [8,2,2,1,1,1]: [3,3,2,2,2,1,1,1]; [4,3,3,2,1,1,1]; [4,4,3,2,1,1]; [5,4,3,2,1]. （结束）
MAPLE公司
数字：=100；t:=evalf（（1+sqrt（5））/2）；A000201号：=n->楼层（t*n）；
数学
表[楼层[N[N*（1+Sqrt[5]）/2]]，｛N，1，75｝]
阵列[Floor[#*GoldenRatio]&，68](*罗伯特·威尔逊v2010年4月17日*）
黄体脂酮素
（PARI）a（n）=楼层（n*（sqrt（5）+1）/2）
（Maxima）清单（楼层（n*（1+sqrt（5））/2），n，1，60）/*马丁·埃特尔2012年10月17日*/
（哈斯克尔）
a000201 n=a000201_列表！！（n-1）
a000201_list=f[1..][1..]其中
f（x:xs）（y:ys）=y:f xs（删除（x+y）ys）
（Python）
def aupton（术语）：
alst，aset=[无，1]，｛1｝
对于范围（1，术语）中的n：
an=alst[n]+（如果n不在其他集合2中，则为1）
另外，附加（an）；附加（a）
返回alst[1:]
（Python）
从数学导入isqrt
定义A000201号（n） ：return（n+isqrt（5*n**2））//2#柴华武2022年1月11日
交叉参考
以下序列在本质上都是相同的，因为它们是彼此之间的简单转换A000201号作为家长：A000201号,2010年10月30日,A001468号,A001950号,A003622号,A003842号,A003849号,A004641号,A005614号,A014675号,A022342号,A088462号,A096270型,A114986号,124841英镑. -N.J.A.斯隆2021年3月11日
0, 29, 58, 87, 116, 145, 174, 203, 232, 261, 290, 319, 348, 377, 406, 435, 464, 493, 522, 551, 580, 609, 638, 667, 696, 725, 754, 783, 812, 841, 871, 900, 929, 958, 987, 1016, 1045, 1074, 1103, 1132, 1161, 1190, 1219, 1248, 1277, 1306, 1335, 1364
数学
表[楼层[n（（1+Sqrt[5]）/2）^7]，{n，0，50}](*文森佐·利班迪2015年7月22日*）
黄体脂酮素
（Python）
从sympy导入sqrt
φ=（1+sqrt（5））/2
对于范围（0，101）中的n：打印（int（n*phi**7），end='，'）#小卡尔·V·凯勒。2015年7月22日
（岩浆）[楼层（n*（（1+Sqrt（5））/2）^7）：n in[0..50]]//文森佐·利班迪2015年7月22日
和{n>=1}（φ-c（2*n-1））的十进制展开式，其中φ是黄金比率(A001622号)c（n）是第n个收敛于φ的连分式展开式。
+20
24
7, 5, 7, 2, 0, 4, 3, 7, 5, 0, 4, 6, 0, 0, 7, 3, 3, 8, 6, 4, 7, 8, 2, 5, 2, 6, 0, 6, 7, 3, 7, 7, 4, 8, 3, 0, 1, 0, 5, 8, 5, 2, 0, 1, 6, 1, 5, 6, 6, 7, 8, 4, 1, 9, 2, 9, 3, 2, 0, 1, 5, 5, 1, 1, 3, 4, 7, 1, 9, 0, 7, 3, 6, 6, 1, 7, 8, 3, 5, 7, 6, 6, 9, 7, 9, 5
评论
用dL（x）=Sum_{n>=1}（x-c（2*n-1，x））定义x>0的下偏差，其中c（k，x）=k-th收敛到x。当x=黄金比率时，出现最大下偏差，因此该常数是绝对最大下偏差。
相关常数指南（作为序列）：
x和{x-c（2*n-1）}和{c（2xn）-x}和|c（2Xn）-c（2*n-1）|
配方奶粉
常数等于Sum_{k>=1}（-1）^（k+1）/F（2*k）。常数也等于（3/5）*Sum_{k>=1}（-1）^（k+1）/（F（2*k）*F（2xk+2）*F。
常数的快速收敛级数是sqrt（5）*Sum_{k>=1}x^（k*（k+1）/2）/（x^k-1），在x=phi-2=-（3-sqrt（5））/2处。（结束）
例子
0.75720437504600733864782526067377483...
对x的收敛性为c（1）=1，c（2）=2，c（3）=3/2，c（4）=5/3。。。，以便
A265290型= (2 - 1) + (5/3 - 3/2) + (13/8 - 8/5) + ...
MAPLE公司
x:=-（3-平方（5））/2:
evalf（sqrt（5）*加（x^（n*（n+1）/2）/（x^n-1），n=1..24），100）#彼得·巴拉2022年8月21日
数学
x=黄金比率；z=600；c=收敛[x，z]；
s1=总和[x-c[[2k-1]]，{k，1，z/2}]；牛顿[s1，200]
s2=总和[c[[2k]]-x，{k，1，z/2}]；牛顿[s2，200]
N[s1+s2，200]
0, 6, 13, 20, 27, 34, 41, 47, 54, 61, 68, 75, 82, 89, 95, 102, 109, 116, 123, 130, 137, 143, 150, 157, 164, 171, 178, 185, 191, 198, 205, 212, 219, 226, 233, 239, 246, 253, 260, 267, 274, 281, 287, 294, 301, 308
评论
黄金分割或黄金比率现在通常用“phi”表示，但在旧文献中，它更常用“tau”表示-N.J.A.斯隆2013年2月17日
链接
A.J.Hildebrand、Junxian Li、Xiaomin Li和Yun Xie，几乎Beatty分区，arXiv:1809.08690[math.NT]，2018年。
数学
使用[{c=GoldenRatio^4}，Floor[c*Range[0，50]]](*哈维·P·戴尔2012年4月11日*）
黄体脂酮素
（Python）
从数学导入isqrt
定义A004919号（n） ：返回（3*n+isqrt（45*n**2）>>1）+（n<<1）#柴华武2022年8月17日
（岩浆）[楼层（（7+3*Sqrt（5））*n/2）:n in[0.60]]//G.C.格鲁贝尔2023年8月22日
（SageMath）[floor（golden_ratio ^4*n）for n in range（61）]#G.C.格鲁贝尔2023年8月22日
0, 76, 152, 228, 304, 380, 456, 532, 608, 684, 760, 836, 912, 988, 1064, 1140, 1216, 1292, 1368, 1444, 1520, 1596, 1672, 1748, 1824, 1900, 1976, 2052, 2128, 2204, 2280, 2356, 2432, 2508, 2584, 2660, 2736
评论
第一个差值a（n）-a（n-1）通常等于76，但n=77，153，229，305，381，457。。。，5777, 5854, 5930, .... 其中它们等于77-R.J.马塔尔2008年1月11日
数学
楼层[GoldenRatio^9*范围[0，60]](*G.C.格鲁贝尔2023年8月24日*）
黄体脂酮素
（岩浆）[楼层（（38+17*Sqrt（5））*n）:n in[0.60]]//G.C.格鲁贝尔2023年8月24日
（SageMath）[floor（golden_ratio ^9*n）for n in range（61）]#G.C.格鲁贝尔2023年8月24日
0, 199, 398, 597, 796, 995, 1194, 1393, 1592, 1791, 1990, 2189, 2388, 2587, 2786, 2985, 3184, 3383, 3582, 3781, 3980, 4179, 4378, 4577, 4776, 4975, 5174, 5373, 5572, 5771, 5970, 6169, 6368, 6567, 6766
数学
楼层[GoldenRatio^（11）*范围[0，60]](*G.C.格鲁贝尔2023年8月27日*）
黄体脂酮素
（岩浆）[地面（（199+89*Sqrt（5））*n/2）:n in[0.60]]//G.C.格鲁贝尔2023年8月27日
（SageMath）[floor（golden_ratio^（11）*n）for n in range（61）]#G.C.格鲁贝尔2023年8月27日
0, 521, 1042, 1563, 2084, 2605, 3126, 3647, 4168, 4689, 5210, 5731, 6252, 6773, 7294, 7815, 8336, 8857, 9378, 9899, 10420, 10941, 11462, 11983, 12504, 13025, 13546, 14067, 14588, 15109, 15630, 16151
数学
楼层[GoldenRatio^（13）*范围[0，60]](*G.C.格鲁贝尔2023年9月5日*）
黄体脂酮素
（岩浆）[地面（（521+233*Sqrt（5））*n/2）：n英寸[0.60]]//G.C.格鲁贝尔2023年9月5日
（SageMath）[对于范围（61）内的n，floor（golden_ratio^（13）*n）]#G.C.格鲁贝尔2023年9月5日
0, 1364, 2728, 4092, 5456, 6820, 8184, 9548, 10912, 12276, 13640, 15004, 16368, 17732, 19096, 20460, 21824, 23188, 24552, 25916, 27280, 28644, 30008, 31372, 32736, 34100, 35464, 36828, 38192
数学
楼层[GoldenRatio^（15）*范围[0，60]](*G.C.格鲁贝尔2023年9月5日*）
黄体脂酮素
（岩浆）[地面（（682+305*Sqrt（5）））*n）:n in[0.60]]//G.C.格鲁贝尔2023年9月5日
（SageMath）[floor（golden_ratio^（15）*n）for n in range（61）]#G.C.格鲁贝尔2023年9月5日
0, 3571, 7142, 10713, 14284, 17855, 21426, 24997, 28568, 32139, 35710, 39281, 42852, 46423, 49994, 53565, 57136, 60707, 64278, 67849, 71420, 74991, 78562, 82133, 85704, 89275, 92846, 96417
数学
楼层[GoldenRatio^（17）*范围[0，60]](*G.C.格鲁贝尔，2023年9月11日*）
黄体脂酮素
（岩浆）[楼层（（3571+1597*Sqrt（5））*n/2）：n in[0.60]]//G.C.格鲁贝尔2023年9月11日
（SageMath）[floor（golden_ratio^（17）*n）for n in range（61）]#G.C.格鲁贝尔2023年9月11日
0, 9349, 18698, 28047, 37396, 46745, 56094, 65443, 74792, 84141, 93490, 102839, 112188, 121537, 130886, 140235, 149584, 158933, 168282, 177631, 186980, 196329, 205678, 215027, 224376, 233725
数学
楼层[黄金比例^（19）*范围[0，60]](*G.C.格鲁贝尔2023年9月12日*）
黄体脂酮素
（岩浆）[地面（（9349+4181*Sqrt（5））*n/2）：n英寸[0.60]]//G.C.格鲁贝尔2023年9月12日
（SageMath）[floor（golden_ratio^（19）*n）for n in range（61）]#G.C.格鲁贝尔2023年9月12日
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