搜索： a36099-编号：a36099
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A006257号
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| 约瑟夫问题：a（2*n）=2*a（n）-1，a（2xn+1）=2*a（n）+1。
（原M2216）
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100
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0, 1, 1, 3, 1, 3, 5, 7, 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, 49, 51, 53, 55, 57, 59, 61, 63, 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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把数字1到n写在一个圆圈里，从1开始，每隔一个数字划掉，直到只剩下一个数字。
儿童游戏“一个土豆，两个土豆，……”的一个版本。
通过检查，约瑟夫问题的解决方案是从2的每一次幂开始的奇数序列（从1开始）。这将生成一个直接的闭合形式表达式（参见下面的公式）-格雷戈里·帕特·斯坎达利斯2013年10月15日
在二进制中，a（n）=ROL（n），其中ROL=向左旋转=删除最左边的数字并将其追加到右边。例如，n=41=101001_2=>a（n）=（0）10011_2=19。这也解释了FTAW的上述评论-M.F.哈斯勒2016年11月2日
在澳大利亚牌组的下半部分中，上一张牌位于n张牌组的底部，下一张牌在桌子上分开，等等，直到剩下一张牌为止。对于n>=1，从顶部开始的位置a（n）将是左边的卡片。例如，见Behrends参考文献，第156-164页。有关向下的情况，请参见2*A053645美元（n） ，对于n>=3，n不是2的幂。如果n>=2是2的幂，则底卡生存-沃尔夫迪特·朗2020年7月28日
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参考文献
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Erhard Behrends，Der mathematische Zauberstab，Rowolth Taschenbuch Verlag，罗罗罗罗62902，4。Auflage，2019年，第156-164页。【英文版：The Math Behind The Magic，AMS，2019年。】
R.L.Graham、D.E.Knuth和O.Patashnik，《具体数学》。Addison-Wesley，马萨诸塞州雷丁，1990年，第10页。
M.S.Petković，“约瑟夫问题”，著名数学家难题，第179页，Amer。数学。Soc.（AMS），2009年。
米歇尔·里戈（Michel Rigo），《形式语言、自动机和数字系统》，第2卷。，威利，2014年。提及此序列-请参阅第2卷中的“序列列表”。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
保罗·魏森霍恩（Paul Weisenhorn），《约瑟夫与塞纳·福根》（Josephus und seine Folgen），明尼苏达州立大学，59（2006），第18-19页。
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链接
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J.-P.Allouche和J.Shallit，k-正则序列的环，理论计算机科学。，98（1992年），163-197，例如34。
J.-P.Allouche和J.Shallit，k-正则序列的环，理论。计算机科学。，307 (2003), 3-29.
Daniel Erman和Brady Haran，约瑟夫问题，数字视频（2016）
尤里·尼古拉耶夫斯基（Yuri Nikolayevsky）和伊奥安妮斯·沙萨夫利斯（Ioannis Tsartsaflis），Z_2上极大类的N分次李代数的上同调，arXiv:1152.87676[math.RA]，（2016），第2页，第6页。
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配方奶粉
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要得到a（n），用二进制写n，向左旋转1位。
一般公式：1+2/（1-x）*（（3*x-1）/（2-2*x）-和{k>=1}2^（k-1）*x^2^k）-拉尔夫·斯蒂芬2003年4月18日
对于n=2^k-1，a（n）=n-扎克·塞多夫2006年12月14日
a（2^m+k）=1+2*k；其中0<=m和0<=k<2^m；n=2^m+k；m=地板（log_2（n））；k=n-2^m；a（n）=（（a（n-1）+1）mod n）+1；a（1）=1。例如，n=27；m=4；k=11；a（27）=1+2*11=23-保罗·魏森霍恩2010年10月10日
如果n=0，则a（n）=0；如果n>0，则b（n）=2*a（楼层（n/2））-（-1）^（n mod 2）-马雷克·苏切内克2016年3月31日
G.f.A（x）满足：A（x”）=2*A（x^2）*（1+x）+x/（1+x）-伊利亚·古特科夫斯基2019年8月31日
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例子
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序列以不规则三角形开头：
0;
1;
1,3;
1,3,5,7;
1,3,5,7,9,11,13,15;
1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31;
1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31,33,35,37,39,41,
43,45,47,49,51,53,55,57,59,61,63;
...
（结束）
初始项的图解，其中a（n）是结构第n个区域的面积（或单元数）：
n a（n）图
0 0 _
1 1 |_|_ _
2 1 |_| |
3 3 |_ _|_ _ _ _
4 1 |_| | | |
5 3 |_ _| | |
6 5 |_ _ _| |
7 7 |_ _ _ _|
（结束）
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MAPLE公司
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a（0）：=0：对于从1到100的n，do a（n）：=（a（n-1）+1）mod n+1：结束do：
换算（n，基数，2）；
ListTools[旋转]（%，-1）；
加（op（i，%）*2^（i-1），i=1..nos（%））；
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数学
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表[FromDigits[RotateLeft[IntegerDigits[n，2]]，2]，{n，0，80}](*罗伯特·威尔逊v2003年9月21日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=和（k=1，n，if（bitxor（n，k）<n，1，0））\\保罗·D·汉纳
（PARI）a（n）=如果（n，2*n-2^logint（2*n，2）+1，0）\\查尔斯·格里特豪斯四世2016年10月29日
（哈斯克尔）
a006257 n=a006257_列表！！n个
a006257_列表=
0:1:（map（+1）$zipWith mod（映射（+1）$尾部a006257_list）[2]）
（岩浆）[0]cat[2*（n-2^Floor（Log（2，n）））+1:n in[1..100]]//文森佐·利班迪，2016年1月14日
（Python）
导入数学
如果n==0，则返回0，否则返回2*（n-2**int（math.log（n，2））+1#因德拉尼尔·戈什2017年1月11日
（Python）
定义A006257号（n） ：如果n为0，则返回布尔值（n&（m:=1<<n.bit_length（）-1））+（（n&m-1）<<1）#柴华武2023年1月22日
（C#）
（Coq）
需要导入ZArith。
固定点a（n：正）：Z：=
将n与匹配
|xH=>1
|xI n’=>（2*（a n’）+1）%Z
|xO n’=>（2*（a n’）-1）%Z
结束。
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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0, 1, 0, 2, -1, 1, 1, 3, -2, 0, 0, 2, 0, 2, 2, 4, -3, -1, -1, 1, -1, 1, 1, 3, -1, 1, 1, 3, 1, 3, 3, 5, -4, -2, -2, 0, -2, 0, 0, 2, -2, 0, 0, 2, 0, 2, 2, 4, -2, 0, 0, 2, 0, 2, 2, 4, 0, 2, 2, 4, 2, 4, 4, 6, -5, -3, -3, -1, -3, -1, -1, 1, -3, -1, -1, 1, -1, 1, 1, 3, -3, -1, -1, 1, -1, 1, 1, 3, -1, 1, 1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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链接
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配方奶粉
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a（n）=和{i=1..k}（2*b[i]-1），其中b是n的二进制展开式，k是此二进制展开式中的位数-米歇尔·马库斯2021年6月28日
上限：a（n）<=楼层（log_2（n+1））。
下限：对于n>0，a（n）>=1-层（log_2（n））。
如果n是偶数，则a（2^n）到a（2#（n+1）-1）（包含）都是奇数，反之亦然。（结束）
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例子
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视为不规则三角形：
0;
1;
0, 2;
-1, 1, 1, 3;
-2, 0, 0, 2, 0, 2, 2, 4;
-3, -1, -1, 1, -1, 1, 1, 3, -1, 1, 1, 3, 1, 3, 3, 5;
…（结束）
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MAPLE公司
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a： =n->加（2*i-1，i=位[分割]（n））：
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数学
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联接[{0}，表[Count[#，1]-Count[#，0]&[IntegerDigits[n，2]]，{n，1，90}]](*罗伯特·P·麦肯2022年2月12日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a145037 0=0
a145037 n=a145037n’+2*m-1，其中（n’，m）=divMod n 2
（Python）
结果=[0]
对于范围（1，2**14+1）中的n：
result.append（bin（n）[2:].count（“1”）-bin（n）[2]：].count（“0”））
（Python）
定义a（n）：返回（n.bit_count（）<<1）-n.bit_length（）
打印（[a（n）代表范围（1，2**14+1）中的n）]#迈克尔·布拉尼基2024年5月14日
（C#）
int结果=0；
而（n>0）{
结果+=2*（n%2）-1；
n/=2；
}
返回结果；
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交叉参考
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关键词
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签名,基础,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A147991号
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| 序列S，使1位于S中，如果x位于S，则3x-1和3x+1位于S中。 |
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1, 2, 4, 5, 7, 11, 13, 14, 16, 20, 22, 32, 34, 38, 40, 41, 43, 47, 49, 59, 61, 65, 67, 95, 97, 101, 103, 113, 115, 119, 121, 122, 124, 128, 130, 140, 142, 146, 148, 176, 178, 182, 184, 194, 196, 200, 202, 284, 286, 290, 292, 302, 304, 308, 310, 338, 340, 344, 346
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1, 2
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评论
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设S是一组项。定义c:Z->P（R），使c（m）是跨越[m-0.5，m+0.5]的平移康托三元集，并让c是S U{0}中所有m的c（m-彼得·穆恩2022年1月31日
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链接
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J.H.Loxton和A.J.van der Poorten，关于四进制整数的一个可怕问题《算术学报》，第49卷，1987年，第193-203页。在第7节中，约翰·塞尔弗里奇（John Selfridge）和卡罗尔·拉坎帕涅（Carole Lacampagne）询问是否每个k！=0（mod 3）是这个序列中两个项的商（参见。351243美元和A006288号).
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配方奶粉
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a（n）=3*a（n/2）-1如果n>=2是偶数，3*a（（n-1）/2）+1如果n是奇数，a（0）=0-罗伯特·伊斯雷尔2014年5月5日
G.f.G（x）满足G（x）=3*（x+1）*G（x^2）+x/（1+x）-罗伯特·伊斯雷尔2014年5月5日
对于Z中的所有n，a（n）=-a（-1-n）-迈克尔·索莫斯2018年12月22日
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例子
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第0代：1；
第1代：2 4；
第二代：5 7 11 13。
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MAPLE公司
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147991英镑：=proc（n）选项记忆；如果n：：即使是3*procname（n/2）-1，否则3*proconame（（n-1）/2）+1 fi-end进程：
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数学
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nn=346；s={1}；而[s1=选择[Union[s，3*s-1，3*s+1]，#<=nn&]；s！=s1，s=s1]；秒
a[n]：=如果[n<-1||n>0，3 a[商[n，2]]-（-1）^Mod[n，2]，0]；(*迈克尔·索莫斯2018年12月22日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
导入数据。集合（singleton、insert、deleteFindMin）
a147991 n=a147991_list！！（n-1）
a147991_list=f$singleton 1，其中
f s=m：（f$插入（3*m-1）$插入（3*m+1）s’）
其中（m，s'）=删除查找最小值
（PARI）{a（n）=如果（n<-1|n>0，3*a（n\2）-（-1）^（n%2），0）}/*迈克尔·索莫斯2018年12月22日*/
（PARI）a（n）=来自数字（应用（b->如果（b，1，-1），二进制（n）），3）\\凯文·莱德2022年2月6日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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147992英镑
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| 序列S，使1位于S中，如果x位于S，则4x-1和4x+1位于S中。 |
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1, 3, 5, 11, 13, 19, 21, 43, 45, 51, 53, 75, 77, 83, 85, 171, 173, 179, 181, 203, 205, 211, 213, 299, 301, 307, 309, 331, 333, 339, 341, 683, 685, 691, 693, 715, 717, 723, 725, 811, 813, 819, 821, 843, 845, 851, 853, 1195, 1197, 1203, 1205, 1227, 1229, 1235
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1, 2
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评论
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首个1之后的每一代都包含质数吗？
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链接
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配方奶粉
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例子
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第0代：1
第1代：3 5
第二代：11 13 19 21
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A147993号
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| 序列S，使1位于S中，如果x位于S，则6x-1和6x+1位于S中。 |
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9
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1, 5, 7, 29, 31, 41, 43, 173, 175, 185, 187, 245, 247, 257, 259, 1037, 1039, 1049, 1051, 1109, 1111, 1121, 1123, 1469, 1471, 1481, 1483, 1541, 1543, 1553, 1555, 6221, 6223, 6233, 6235, 6293, 6295, 6305, 6307, 6653, 6655, 6665, 6667, 6725, 6727, 6737, 6739
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1, 2
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评论
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首个1之后的每一代都包含质数吗？
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链接
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配方奶粉
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例子
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第0代：1
第1代：5 7
第二代：29 31 41 43
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数学
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sss[n]：={6n-1，6n+1}；NestList[Sort[Flatten[sss[#]]&，{1}，5]//扁平(*哈维·P·戴尔2018年8月6日*）
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A153777号
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| 序列S，使1位于S中，如果x位于S，则5x-1和5x+1位于S中。 |
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+10
三
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1, 4, 6, 19, 21, 29, 31, 94, 96, 104, 106, 144, 146, 154, 156, 469, 471, 479, 481, 519, 521, 529, 531, 719, 721, 729, 731, 769, 771, 779, 781, 2344, 2346, 2354, 2356, 2394, 2396, 2404, 2406, 2594, 2596, 2604, 2606, 2644, 2646, 2654, 2656, 3594, 3596, 3604
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1, 2
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评论
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第1代：1
第二代：4、6
第三代：19、21、29、31
第四代：94、96、104、106、144、146、154、156
对于一些素数p，每一代都包含p或2p吗？
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链接
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配方奶粉
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数学
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nxt[n_]：=压扁[5#+{1，-1}&/@n]；并集[Flatten[NestList[nxt，｛1｝，5]]](*哈维·P·戴尔2012年12月25日*）
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A360096型
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| 为了得到a（n），将n的二进制展开式中的0替换为（-1），并以n为基数解释结果。 |
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+10
2
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0, 1, 1, 4, 11, 21, 41, 57, 439, 640, 909, 1222, 1859, 2354, 2953, 3616, 61167, 78303, 98837, 123121, 152379, 185641, 224113, 268227, 344999, 405601, 473901, 550423, 637363, 732483, 837929, 954305, 32472031, 37912414, 44058661, 50977186, 58741163, 67420476
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,4
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评论
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空位字符串用作0的二进制扩展，因此a（0）=0。
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链接
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配方奶粉
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a（n）=[x^n]g_n（x）其中gk（x）满足gk（x）=k*（x+1）*gk（x^2）+x/（1+x）。
a（n）=a（n，n），其中a（n、k）=k*a（楼层（n/2），k）+2*（n mod 2）-1表示n>0，a（0，k）=0。
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MAPLE公司
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b： =proc（n，k）选项记忆；局部m；
`如果`（n=0，0，k*b（iquo（n，2，'m'），k）+2*m-1）
结束时间：
a： =n->b（n$2）：
seq（a（n），n=0..44）；
#第二个Maple项目：
a： =n->（l->加（（2*l[i]-1）*n^（i-1），i=1..nops（l）））（位[分割]（n））：
seq（a（n），n=0..44）；
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交叉参考
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关键词
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非n,基础
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作者
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状态
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经核准的
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A359925型
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| 带简单乘法表的数字-这些数字的前9个倍数可以通过递增或递减前一个倍数中的相应数字得出。 |
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+10
1
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1, 9, 11, 89, 91, 109, 111, 889, 891, 909, 911, 1089, 1091, 1109, 1111, 8889, 8891, 8909, 8911, 9089, 9091, 9109, 9111, 10889, 10891, 10909, 10911, 11089, 11091, 11109, 11111, 88889, 88891, 88909, 88911, 89089, 89091, 89109, 89111, 90889, 90891, 90909, 90911
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1, 2
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评论
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这也是十进制分解点表示法中每个方框中正好有一个点或一个反点的数字列表。
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链接
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配方奶粉
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a（n）=10*a（楼层（n/2））+2*（n模块2）-1，对于n>0，a（0）=0-阿洛伊斯·海因茨2023年1月25日
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例子
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a（4）=89。89的前九个倍数是{0891782673564455346323712801}。百位中的数字递增1，而十位和单位中的数字递减1。在十进制爆炸点符号中，89表示为DOT-ANTIDOT-ANITDOT=100-10-1=89
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MAPLE公司
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a： =proc（n）选项记忆；
`如果`（n=0，0，10*a（iquo（n，2，'m'））+2*m-1）
结束时间：
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交叉参考
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关键词
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非n,基础
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作者
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