搜索： a325763-编号：a325762
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A002865号
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| n个分区中不包含1的分区数。
（原名M0309 N0113）
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+10
371
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1, 0, 1, 1, 2, 2, 4, 4, 7, 8, 12, 14, 21, 24, 34, 41, 55, 66, 88, 105, 137, 165, 210, 253, 320, 383, 478, 574, 708, 847, 1039, 1238, 1507, 1794, 2167, 2573, 3094, 3660, 4378, 5170, 6153, 7245, 8591, 10087, 11914, 13959, 16424, 19196, 22519, 26252, 30701
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,5
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评论
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n+1的分区数，其中部分数本身就是一个部分。取不包含1的n个分区（包含k个部分），从每个部分中删除1，然后添加大小为k+1的新部分-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2006年5月1日
最大部分至少出现两次的分区数-乔格·阿恩特，2011年4月17日
Lewis Mammel（l_Mammel（AT）att.net），2009年10月6日：（开始）
a（n）是2n个事物的n个不相交对的集合数，称为配对，与给定配对不相交(A053871号)，在保持给定配对的排列下是唯一的。
可以立即从图形表示中看到，该图形表示必须分解为4个或更多事物的偶数循环，通过成对交替连接。每个事物都在一个循环中，所以这是将2n分成大于2的偶数部分，相当于将n分成大于1的部分。（结束）
另外，禁止循环的2-正则多重图的数量-杰森·金伯利2011年1月5日
多重数n，n-1，…，的出现次数。。。，n-k在n的所有分区中，对于k<n/2。（仅以大量1的倍数填充）-William Keith，2011年11月20日
q-Catalan数（（1-q）/（1-q^（n+1）））[2n，n]_q，其中[2n，n]_q是中心q系数，在其长度n的初始段中匹配该序列-威廉·基思2013年11月14日
从（2）开始，这个序列给出了在路径P_{n}的边移除游戏中创建的nim树上的顶点数，其中n是路径上的顶点数量。这是在进行边删除游戏时，路径可能产生的非同构图的数量-林德西·王，2016年7月9日
设1,0,1,1,1，。。。（偏移量0）计数未标记、连接、无环1-正则有向图。这是该序列的欧拉变换，计算未标记的无环1-正则有向图。A145574号是关联的多集转换。A000166号是标记的无环1-正则有向图-R.J.马塔尔2019年3月25日
猜想：也是n-1的整数分区数，该整数分区具有从1到n-1每个正整数的连续子序列求和。例如，（32211）是这样的分区，因为我们有连续的子序列：
1:（1）
2: (2)
3:（3）或（21）
4:（22）或（211）
5:（32）或（221）
6: (2211)
7: (322)
8: (3221)
9: (32211)
（结束）
有一个充分和必要的条件来描述Gus Wiseman定义的分区。最大的部分必须小于或等于1加1的数量。因此，n中没有大于1的部分的分区数与n-1中具有从1到n-1的每个整数的连续子序列求和的分区数相同。格斯-怀斯曼的猜想可以得到令人惊讶的证明-安德鲁·叶洲（Andrew Yezhou Wang）2019年12月14日
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参考文献
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准应用数学局。1964年第55辑（以及各种重印本），第836页。
L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第115页，p*（n）。
H.P.Robinson，致N.J.A.Sloane的信，1974年1月4日。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
P.G.Tait，《科学论文》，剑桥大学出版社，1898年第1卷，1900年第2卷，见第1卷，第334页。
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链接
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。系列55，第十次印刷，1972年[替代扫描副本]。
A.P.Akande等人。，非酉划分的计算研究，arXiv:2112.03264[math.CO]，2021。
科林·阿尔伯特、奥利维娅·贝克维、伊尔凡·德梅托格鲁、罗伯特·迪克斯、约翰·史密斯和贾斯敏·王，具有大Dyson秩的整数分区，arXiv:2203.08987[math.NT]，2022。
R.P.Gallant、G.Gunther、B.L.Hartnell和D.F.Rall，图的边删除游戏，JCMCC，57（2006），75-82。
Edray Herber Goins和Talitha M.Washington，关于广义爬楼梯问题，Ars Combin.117（2014），183-190。MR3243840（已审核），arXiv:0909.5459[math.CO]，2009年。
R.K.Guy和N.J.A.Sloane，通信, 1988.
J.L.Nicolas和A.Sárközy，在没有小部件的分区上《波尔多葡萄酒命名杂志》，第12卷第1期（2000年），第227-254页。
诺亚·鲁宾（Noah Rubin）、柯蒂斯·布莱特（Curtis Bright）、凯文·K·H·张（Kevin K.H.Cheung）和布雷特·史蒂文斯（Brett Stevens），正交拉丁方的整数规划与约束规划，arXiv:2103.11018[cs.DM]，2021。
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配方奶粉
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G.f.：产品{m>1}1/（1-x^m）。
a（0）=1，a（n）=p（n）-p（n-1），n>=1，分区号为p（n）：=A000041号（n） ●●●●。
一般公式：1+Sum_{n>=2}x^n/产品{k>=n}（1-x^k）-乔格·阿恩特2011年4月13日
通用公式：和{n>=0}x^（2*n）/产品{k=1..n}（1-x^k）-乔格·阿恩特2011年4月17日
a（n）~Pi*exp（平方（2*n/3）*Pi）/（12*sqrt（2）*n^（3/2））*（1-（3*sqort（3/2，/Pi+13*Pi/（24*sqert（6）））/sqrt（n）+（217*Pi^2/6912+9/（2*Pi^2）+13/8）/n））-瓦茨拉夫·科特索维奇2015年2月26日，2016年11月4日延期
通用公式：exp（总和{k>=1}（σ_1（k）-1）*x^k/k）-伊利亚·古特科夫斯基2018年8月21日
通用公式：A（q）=Sum_{n>=0}q^（n^2）/（（1-q）*Product_{k=2..n}（1-q^k）^2）。
更一般地说，对于r=0,1,2，…，A（q）=Sum_{n>=0}q^（n*（n+r））/（（1-q）*Product_{k=2..n}（1-q^k）^2*Product_{i=1..r}（1-q^，。。。。（结束）
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例子
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a（6）=4，从6=4+2=3+3=2+2开始。
G.f.=1+x^2+x^3+2*x^4+2*x^5+4*x^6+4*x^7+7*x^8+8*x^9+。。。
不包含1的a（2）=1到a（9）=8分区如下。这些分区的Heinz数由下式给出A005408.
(2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9)
(22) (32) (33) (43) (44) (54)
(42) (52) (53) (63)
(222) (322) (62) (72)
(332) (333)
(422) (432)
(2222) (522)
(3222)
以下是n-1的a（2）=1到a（9）=8个分区，其最小部分正好出现一次。这些分区的Heinz数由下式给出A247180型.
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)
（21）（31）（32）（42）（43）（53）
(41) (51) (52) (62)
(221) (321) (61) (71)
（331）（332）
(421) (431)
(2221) (521)
(3221)
a（2）=1到a（9）=8个n+1分区，其中部分的数量本身就是一个部分，如下所示。这些分区的Heinz数由下式给出A325761型.
(21) (22) (32) (42) (52) (62) (72) (82)
(311) (321) (322) (332) (333) (433)
(331) (431) (432) (532)
(4111) (4211) (531) (631)
(4221) (4222)
(4311) (4321)
(51111) (4411)
(52111)
以下是n的a（2）=1到a（8）=7分区，其最大部分至少出现两次。这些分区的Heinz数由下式给出A070003号.
(11) (111) (22) (221) (33) (331) (44)
(1111) (11111) (222) (2221) (332)
(2211) (22111) (2222)
(111111) (1111111) (3311)
(22211)
(221111)
(11111111)
具有n个边和n个顶点的a（2）=1到a（6）=42-正则多重图的非同构表示如下。
{12,12} {12,13,23} {12,12,34,34} {12,12,34,35,45} {12,12,34,34,56,56}
{12,13,24,34} {12,13,24,35,45} {12,12,34,35,46,56}
{12,13,23,45,46,56}
{12,13,24,35,46,56}
以下是n的a（2）=1到a（9）=8个分区，其中没有大于1的部分。这些分区的Heinz数由下式给出A325762.
(11) (111) (211) (2111) (2211) (22111) (22211) (33111)
(1111) (11111) (3111) (31111) (32111) (222111)
(21111) (211111) (41111) (321111)
(111111) (1111111) (221111) (411111)
(311111) (2211111)
(2111111) (3111111)
(11111111) (21111111)
（111111111）
（结束）
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枫木
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with（combstruct）：ZL1:=[S，{S=Set（Cycle（Z，card>1））}，未标记]：seq（count（ZL1，size=n），n=0..50）#零入侵拉霍斯2007年9月24日
G： ＝｛P＝Set（Set（Atom，card>1））｝：combstruct[gfsolve]（G，未标记，x）：seq（combstruct[count]（[P，G，未标记]，size=i），i=0..50）#零入侵拉霍斯2007年12月16日
with（combstruct）：a:=proc（m）[ZL，{ZL=Set（Cycle（Z，card>=m））}，未标记]；结束：A:=A（2）：seq（计数（A，大小=n），n=0..50）#零入侵拉霍斯2008年6月11日
#备选Maple计划：
（数字理论[sigma]（j）-1）*A002865号（n-j），j=1..n）/n）
结束时间：
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数学
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表[PartitionsP[n+1]-分区P[n]，{n，-1，50}](*罗伯特·威尔逊v2004年7月24日*）
f[1，1]=1；f[n_，k_]：=f[n，k]=如果[n<0，0，如果[k>n，0，当[k==n，1，f[n、k+1]+f[n-k、k]]]；表[f[n，2]，{n，50}](*罗伯特·威尔逊v*)
表[SeriesCoefficient[Exp[Sum[x^（2*k）/（k*（1-x^k）），{k，1，n}]，{x，0，n}，{n，0，50}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2018年8月18日*）
系数列表[Series[1/QPochhammer[x^2，x]，{x，0，50}]，x](*G.C.格鲁贝尔2019年11月3日*）
表[Count[Integer Partitions[n]，_？（自由Q[#，1]&）]，｛n，0，50｝](*哈维·P·戴尔2023年2月12日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，polceoff（（1-x）/eta（x+x*O（x^n）），n））}；
（PARI）a（n）=如果（n，numbpart（n）-numbpart（n-1），1）\\查尔斯·格里特豪斯四世2012年11月26日
（Magma）A41:=func<n|n ge 0选择NumberOfPartitions（n）else 0>；[A41（n）-A41（n-1）：[0..50]]中的n//杰森·金伯利2011年1月5日
（GAP）级联（[1]，列表（[1..41]，n->n个分区（n）-Nr个分区（n-1））#穆尼鲁·A·阿西鲁，2018年8月20日
（SageMath）
P.<x>=PowerSeriesRing（ZZ，prec）
对于（0..60）中的m，返回P（1/product（（1-x^（m+2）））.list（）
（Python）
来自症状导入npartitions
定义A002865号（n） ：如果n其他1，则返回npartitions（n）-npartitions（n-1）#柴华武2023年3月30日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 7, 8, 9, 11, 10, 13, 14, 17, 20, 25, 28, 34, 40, 46, 54, 62, 69, 80, 90, 102, 115, 131, 144, 167, 186, 213, 239, 273, 304, 349, 388, 441, 495, 563, 625, 710, 790, 890, 990, 1114, 1232, 1387, 1530, 1713, 1894, 2119, 2330, 2605, 2866, 3192, 3512, 3910, 4289, 4774, 5237, 5809, 6377, 7068, 7739
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,13
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评论
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设A是一组正整数。我们说A是n-full，如果（和A）=[n]是一个正整数n，其中（总和A）是所有正整数的集合，这些正整数是A和[n]={1,2，…，n}的不同元素的和。则F（n）表示n个完整集的数量。
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链接
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L.Naranjani和M.Mirzavaziri，N的完整子集《整数序列杂志》，14（2011），第11.5.3条。
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配方奶粉
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F（n）=总和_（i=L（n）。。U（n），F（n，i）），其中F（n、i）=总和_（j=L（n-i）。。min（U（n-i），i-1），F（n-i，j））和L（n），U（n）定义于A188429号和A188430号分别是。
通用公式：1=和{n>=0}a（n）*x^n/产品{k=1..n+1}（1+x^k），a（0）=1-保罗·D·汉纳2012年3月8日
a（n）~c*exp（Pi*sqrt（n/3））/n^（3/4），其中c=0.03316508-瓦茨拉夫·科特索维奇2019年10月21日
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例子
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a（26）=10，因为有10个26个完整集：{1,2,4,5,6,8}，{1,2,3,5,7,8}，{1,2,3,5,19}，}1,2,34,7,9}、{1,2,2,3,4,6,10}、}1,2,44,5,11}、[1,2,4,8,11}，{2,4,7,12}，[1,2,6,13}，2,3,7,13}。
通用公式：1=1/（1+x）+1*x/（（1+x）*（1+x^2））+0*x^2/a（n）*x^n/产品_｛k=1.n+1｝（1+x^k）+。。。
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枫木
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总和：=进程局部i，m；
m： =最大值（s[]）；
`如果`（m<1，{}，{m，seq（[i，i+m][]，i=和（s减去{m}）}）
结束时间：
a： =程序（n）局部b；
b： =proc（i，s）局部si；
如果i=1，那么`if`（总和={$1..n}，1，0）
else si:=s联合{i}；
b（i-1，s）+`if`（max（sums（si）[]）>n，0，b（i-l，si））
fi（菲涅耳）
结束；b（n，{1}）
结束时间：
#第二个Maple项目：
b： =proc（n，i）选项记忆`如果`（i*（i+1）/2<n，0，`如果`（n=0，1，
b（n，i-1）+`if`（i>n或i>n-i+1，0，b（n-i，i-1）））
结束时间：
a： =n->b（n$2）：
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数学
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和[s]：=和[s]=与[｛m=Max[s]｝，如果[m<1，｛｝，并集@Flatten@Join[｛m｝，表[｛i，i+m｝，｛i，和[s~互补~｛m｝]｝]]；
a[n_]：=模[{b}，b[i_，s_]：=b[i，s]=模[[si}，如果[i==1，如果[和[s]==范围[n]，1，0]，si=s~并~{i}；b[i-1，s]+如果[Max[Sums[si]]>n，0，b[i-1，si]]]；b[n，{1}]]；
表[Length[Select[Integer Partitions[n]，UnsameQ@@#&Union[Total/@Union[Subsets[#]]]==范围[0，n]&]]，{n，30}](*古斯·怀斯曼2019年5月31日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）/*As系数，单位为g.f*/
{a（n）=局部（a=[1]）；对于（i=1，n+1，a=concat（a，0）；a[#a]=极坐标（1-总和（m=1，#a，a[m]*x^m/prod（k=1，m，1+x^k+x*O（x^#a））），#a）
对于（n=0，50，打印1（a（n），“，”）/*保罗·D·汉纳2012年3月6日*/
（哈斯克尔）
导入数据。MemoCombinators（memo2、integral、Memo）
a188431 n=a188431_list！！（n-1）
a188431_list=地图
（\x->总和[fMemo x i|i<-[a188429 x..a188430 x]]）[1..]其中
fMemo=memo2积分f
f _ 1=1
f m i=总和[fMemo（m-i）j|
j<-[a188429（m-i）..最小值（a188430（m-i））（i-1）]]
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交叉参考
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囊性纤维变性。A002033号,A103295号,A108917号,A276024型,A325763型,A325765型,A325781型,A325782型,A325788型,A325986型,A325790型,A325791.
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 2, 4, 6, 8, 16, 18, 20, 32, 42, 54, 56, 64, 100, 128, 162, 176, 234, 256, 260, 294, 392, 416, 486, 500, 512, 798, 1024, 1026, 1064, 1088, 1458, 1936, 2048, 2058, 2300, 2432, 2500, 2744, 3042, 3380, 4096, 4374, 4698, 5104, 5408, 5888, 8192, 8658, 9620, 10878
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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1、2
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评论
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整数分区的Heinz数（y_1，…，y_k）是素数（y_1）**质数（yk）。
n的素数指数之和为A056239号（n） ●●●●。如果一个数的所有除数都有不同的素指数和，并且这些和覆盖了非负整数的初始区间，那么这个数就在这个序列中。例如，260的除数是{1、2、4、5、10、13、20、26、52、65、130、260}，素数指数的和分别是{0、1、2，3、4、6、5、7、8、9、10、11}，因此序列中有260。
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链接
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配方奶粉
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例子
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术语序列及其基本指数开始于：
1: {}
2: {1}
4: {1,1}
6: {1,2}
8: {1,1,1}
16: {1,1,1,1}
18: {1,2,2}
20: {1,1,3}
32: {1,1,1,1,1}
42: {1,2,4}
54: {1,2,2,2}
56: {1,1,1,4}
64: {1,1,1,1,1,1}
100: {1,1,3,3}
128: {1,1,1,1,1,1,1}
162: {1,2,2,2,2}
176: {1,1,1,1,5}
234: {1,2,2,6}
256: {1,1,1,1,1,1,1,1}
260: {1,1,3,6}
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数学
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hwt[n_]：=总[Cases[FactorInteger[n]，{p_，k_}:>PrimePi[p]*k]]；
选择[Range[1000]，Sort[hwt/@Rest[Divisors[#]]==范围[Divisor Sigma[0，#]-1]&]
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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1, 2, 6, 9, 15, 20, 21, 30, 33, 39, 45, 50, 51, 56, 57, 69, 70, 75, 84, 87, 93, 105, 110, 111, 123, 125, 126, 129, 130, 140, 141, 159, 165, 170, 175, 176, 177, 183, 189, 190, 195, 196, 201, 210, 213, 219, 230, 237, 245, 249, 255, 264, 267, 275, 285, 290, 291
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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1、2
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评论
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整数分区的Heinz数（y_1，…，y_k）是素数（y_1）**质数（yk）。
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链接
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例子
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术语序列及其基本指数开始于：
1: {}
2: {1}
6: {1,2}
9: {2,2}
15: {2,3}
20: {1,1,3}
21: {2,4}
30: {1,2,3}
33: {2,5}
39: {2,6}
45:｛2，2，3｝
50: {1,3,3}
51: {2,7}
56: {1,1,1,4}
57: {2,8}
69: {2,9}
70: {1,3,4}
75: {2,3,3}
84: {1,1,2,4}
87: {2,10}
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数学
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选择[Range[100]、MemberQ[PrimePi/@First/@FactorInteger[#]、PrimeOmega[#]]&]
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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1, 2, 4, 8, 12, 16, 24, 32, 36, 40, 48, 64, 72, 80, 96, 108, 112, 120, 128, 144, 160, 192, 200, 216, 224, 240, 256, 288, 320, 324, 336, 352, 360, 384, 400, 432, 448, 480, 512, 560, 576, 600, 640, 648, 672, 704, 720, 768, 784, 800, 832, 864, 896, 960, 972, 1000
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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1、2
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评论
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整数分区的Heinz数（y_1，…，y_k）是素数（y_1）**质数（yk）。
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链接
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例子
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术语序列及其基本指数开始于：
1: {}
2: {1}
4: {1,1}
8: {1,1,1}
12: {1,1,2}
16: {1,1,1,1}
24: {1,1,1,2}
32: {1,1,1,1,1}
36: {1,1,2,2}
40: {1,1,1,3}
48: {1,1,1,1,2}
64: {1,1,1,1,1,1}
72: {1,1,1,2,2}
80: {1,1,1,1,3}
96: {1,1,1,1,1,2}
108: {1,1,2,2,2}
112: {1,1,1,1,4}
120: {1,1,1,2,3}
128: {1,1,1,1,1,1,1}
144: {1,1,1,1,2,2}
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数学
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选择[Range[100]，#==1||EvenQ[#]&&PrimePi[FactorInteger[#][[-1，1]]]<=FactorIntiger[#][1，2]]&]
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交叉参考
|
囊性纤维变性。A001222号,A002865号,A007814号,A056239号,A061395号,A093641号,A109298号,A110295号,A112798号,A118914号,A325761型,A325763型.
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A325764型
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| 整数分区的Heinz数，其不同的连续子序列具有覆盖正整数初始区间的不同和。 |
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+10
2
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1, 2, 4, 6, 8, 16, 18, 20, 32, 54, 56, 64, 100, 128, 162, 176, 256, 392, 416, 486, 500, 512, 1024, 1088, 1458, 1936, 2048, 2432, 2500, 2744, 4096, 4374, 5408, 5888, 8192, 12500, 13122, 14848, 16384, 18496, 19208, 21296, 31744, 32768, 39366, 46208, 62500, 65536
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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1、2
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评论
|
整数分区的Heinz数（y_1，…，y_k）是素数（y_1）**质数（yk）。
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链接
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例子
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术语序列及其基本指数开始于：
1: {}
2: {1}
4: {1,1}
6: {1,2}
8: {1,1,1}
16: {1,1,1,1}
18: {1,2,2}
20: {1,1,3}
32: {1,1,1,1,1}
54: {1,2,2,2}
56: {1,1,1,4}
64: {1,1,1,1,1,1}
100：{1,1,3,3}
128: {1,1,1,1,1,1,1}
162: {1,2,2,2,2}
176: {1,1,1,1,5}
256: {1,1,1,1,1,1,1,1}
392:｛1,1,1,4,4｝
416: {1,1,1,1,1,6}
486: {1,2,2,2,2,2}
500: {1,1,3,3,3}
512: {1,1,1,1,1,1,1,1,1}
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数学
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素数MS[n_]：=如果[n==1，{}，扁平[Cases[FactorInteger[n]，{p_，k_}:>表[PrimePi[p]，{k}]]]；
选择[Range[1000]，UnsameQ@@Total/@Union[ReplaceList[primeMS[#]，{___，s_，___}:>{s}]]&Range[Total[primeMS[#]]==Union[ReplaceList[primeMS[#]、{___、s_、___}:>Plus[s]]&]
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交叉参考
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囊性纤维变性。A002033号,A056239号,A103295号,A103300型,A112798号,A143823号,A169942号,A325676型,A325685型,A325763型,A325765型,A325769型,A325770型.
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关键词
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非n
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作者
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经核准的
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