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第页1
方格的Theta级数（或将n写成2个方格之和的方法数）。通常用r（n）或r_2（n）表示。
（原名M3218）
+10
123
1, 4, 4, 0, 4, 8, 0, 0, 4, 4, 8, 0, 0, 8, 0, 0, 4, 8, 4, 0, 8, 0, 0, 0, 0, 12, 8, 0, 0, 8, 0, 0, 4, 0, 8, 0, 4, 8, 0, 0, 8, 8, 0, 0, 0, 8, 0, 0, 0, 4, 12, 0, 8, 8, 0, 0, 0, 0, 8, 0, 0, 8, 0, 0, 4, 16, 0, 0, 8, 0, 0, 0, 4, 8, 8, 0, 0, 0, 0, 0, 8, 4, 8, 0, 0, 16, 0, 0, 0, 8, 8, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 8, 4, 0, 12, 8
评论
半径为sqrt（n）的圆上正方形格子中的点数。等价地，范数n的高斯整数的数量（参见Conway-Sloane，第106页）。
D_2晶格的Theta级数。
Martin（1996）表一中列出的74个eta商中的第6个。
这个序列中的零对应于除数为4k+1和4k+3的整数，或者等价于那些除数为4 k+3且具有奇数指数的素数因子的整数(A022544号). -蚂蚁之王2013年3月12日
如果A（q）=1+4*q+4*q^2+4*q*4+8*q^5+。。。表示这个序列的o.g.f.，那么函数f（q）：=1/4*（A（q^2）-A（q^4））=（和{n>=0}q^（2*n+1）^2）^2是o.g.f，用于计算正整数n可以写成两个正奇数平方和的方式-彼得·巴拉2013年12月13日
由于（2/Pi）*K=theta_3（0，q）^2，椭圆函数的实四分之一周期K作为雅可比项q的级数，（2/Pi）*K的展开系数。例如，见Whittaker-Watson，第486页-沃尔夫迪特·朗2016年7月15日
参考文献
L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第162页，#16（7），r（n）。
J.H.Conway和N.J.A.Sloane，“球形填料、晶格和群”，Springer-Verlag，第106页。
N.J.Fine，《基本超几何级数与应用》，美国。数学。Soc.，1988年；第78页，等式（32.23）。
E.Grosswald，整数表示为平方和。Springer Verlag，纽约，1985年，第15页，第32页，引理2（带证明），第116页，（9.10）第一个公式。
哈代和赖特，《数论导论》。第三版，牛津大学出版社，1954年，第240页，r（n）。
W.König和J.Sprekels，Karl Weierstraß（1815-1897），施普林格演讲会，威斯巴登，2016年，第186-187页和第280-281页。
C.D.Olds、A.Lax和G.P.Davidoff，《数字的几何》，数学。美国协会。，2000年，第51页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
E.T.Whittaker和G.N.Watson，《现代分析课程》，第四版，再版，1958年，剑桥大学出版社。
链接
H.H.Chan和C.Kratethaler，整数表示为平方和的研究进展，arXiv:math/00407061[math.NT]，2004年。
S.Cooper和M.Hirschorn，数论结果的组合证明，整数4（2004），#A09。
克里斯蒂安·卡塞尔（Christian Kassel）和克里斯托夫·鲁特诺（Christophe Reutenauer），二维环面上n点的Hilbert格式的zeta函数，arXiv:1505.07229v3[math.AG]，2015年。[请注意，本文的较新版本具有不同的标题和内容，论文的理论部分已移至本列表下一个出版物。]
M.Kontsevich和D.Zagier，时期《高等教育科学研究所2001年IHES/M/01/22》。出版于B.Engquist和W.Schmid，编辑，《数学无限-2001年及以后》，2卷。，Springer-Verlag，2001年，第771-808页，第2.3节。示例3。
Y.Martin，乘法eta商，事务处理。阿默尔。数学。Soc.348（1996），编号12，4825-4856，见第4852页表一。
配方奶粉
θ_3（q）^2=（和{n=-oo..+oo}q^（n^2））^2=Product_{m>=1}（1-q^。
系数n为n=p1^a1*p2^a2*…*q1^b1*q2^b2*…*2^c，其中p是素数==1（mod 4），q是素数==3（mod 3）。如果任何b是奇数，则a（n）=0，否则a（n）=4*（1+a1）*（1+2）*。。。
G.f.=s（2）^10/（s（1）^4*s（4）^4），其中s（k）:=subs（q=q^k，eta（q）），eta（q）是Dedekind函数，参见。A010815号.[罚款]
eta（q^2）^10/（eta（q）*eta（q^4））^4的q次幂展开-迈克尔·索莫斯2004年7月19日
（phi（q）^2+phi（-q）^2）/2的q^2次幂展开式，其中phi（）是Ramanujanθ函数。
G.f.A（x）满足0=f（A（x，A（x^2），A（x ^4）），其中f（u，v，w）=（u-v）^2-（v-w）*4*w-迈克尔·索莫斯2004年7月19日
周期4序列的欧拉变换[4，-6，4，-2，…]-迈克尔·索莫斯2004年7月19日
莫比乌斯变换是周期4序列[4，0，-4，0，…]-迈克尔·索莫斯2007年9月17日
G.f.是周期1傅里叶级数，满足f（-1/（4t））=2（t/i）f（t），其中q=exp（2Pi it）。
常数sqrt（Pi）/Gamma（3/4）^2在以base-exp（Pi）展开时产生序列的前324项，需要450位常数-西蒙·普劳夫2011年3月3日
设s=16*q*（E1*E4^2/E2^3）^8，其中Ek=Product_{n>=1}（1-q^（k*n））（s=k^2，其中k是椭圆k），则g.f.是超几何（[+1/2，+1/2]，[+1]，s）（2/Pi*椭圆k（k）的q次幂展开）-乔格·阿恩特2011年8月15日
Dirichlet g.f.Sum_{n>=1}a（n）/n^s=4*zeta（s）*L_（-4）（s），其中L是（移位）的D.g.fA056594号[Raman.J.7（2003）95-127]-R.J.马塔尔2012年7月2日
a（n）=楼面（1/（n+1））+4*楼面（cos（Pi*sqrt（n））^2）-4*楼面-韦斯利·伊万·赫特2013年1月9日
雅可比恒等式：theta_3（0，q）^2=1+4*Sum_{r>=0}（-1）^r*q^（2*r+1）/（1-q^。参见，例如，格罗斯瓦尔德参考文献（第15页，第116页，但第32页，引理2和证明，在总和中输入了r>=1，而不是r>=0，也在证明中）。请参阅Jacobi-Legendre信件的链接。
Weierstraß使用的恒等式（参见König-Prekels书，第187页，等式（5.12）和第281页，以及参考文献，但第186页（5.11）中的F（x）应该以nu=1而不是0开头）：theta_3（0，q）^2=1+4*Sum_{n>=1}q^n/（1+q^（2*n））。证明：类似于前面的雅可比恒等式。（结束）
G.f.：Theta_3（q）^2=超几何（[1/2，1/2]，[1]，lambda（q））A115977号（j） *q^j.参见Kontsevich和Zagier链接，带有Theta->Theta_3、z->2*z和q->q^2-沃尔夫迪特·朗2018年5月27日
例子
G.f.=1+4*q+4*q^ 2+4*q^ 4+8*q^5+4*q ^ 8+4*q ^ 9+8*q ^ 10+8*q^ 13+4*-约翰·坎农2006年12月30日
MAPLE公司
（总和（x^（m^2），m=-10..10））^2；
#备选方案：
A004018列表：=proc（len）系列（JacobiTheta3（0，x）^2，x，len+1）；
seq（系数（%，x，j），j=0..len-1）结束：
t1:=A004018列表（102）；
r2:=n->t1[n+1]#彼得·卢什尼2018年10月2日
数学
平方R[2，范围[0，110]](*哈维·P·戴尔，2011年10月10日*）
a[n_]：=平方R[2，n]；(*迈克尔·索莫斯2011年11月15日*）
a[n_]：=级数系数[EllipticTheta[3，0，q]^2，{q，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2011年11月15日*）
a[n_]：=具有[{m=反椭圆NomeQ@q}，级数系数[EllipticK[m]/（Pi/2），{q，0，n}]]；(*迈克尔·索莫斯2014年6月10日*）
a[n_]：=如果[n<1，Boole[n==0]，4和[KroneckerSymbol[-4，d]，{d，除数@n}]]; （*或*）a[n_]：=级数系数[QPochhammer[q^2]^10/；(*迈克尔·索莫斯2015年5月17日*）
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=polcoeff（1+4*和（k=1，n，x^k/（1+x^（2*k）），x*O（x^n）），n）}/*迈克尔·索莫斯2003年3月14日*/
（PARI）{a（n）=如果（n<1，n==0，4*总和（n，d，（d%4==1）-（d%4==3））}/*迈克尔·索莫斯2004年7月19日*/
（PARI）{a（n）=如果（n<1，n==0，2*qfrep（[1,0；0,1]，n）[n]）}/*迈克尔·索莫斯，2005年5月13日*/
（PARI）a（n）=如果（n==0，返回（1））；my（f=系数（n））；4*prod（i=1，#f~，if（f[i，1]%4==1，f[i；2]+1，if，（f[i，2]%2&&f[i、1]>2，0，1））\\查尔斯·格里特豪斯四世2015年9月2日
（岩浆）基础（模块形式（Gamma1（4），1），100）[1]/*迈克尔·索莫斯2014年6月10日*/
（鼠尾草）
Q=对角线二次型（ZZ，[1]*2）
Q.representation_number_list（102）#彼得·卢什尼2014年6月20日
A004018列表（len）=JacobiTheta3（len，2）
A004018列表（102）|>打印#彼得·卢什尼，2018年3月12日
（Python）
来自sympy导入因子
定义a（n）：
如果n==0：返回1
安=4
对于因子（n）.items（）中的pi，ei：
如果pi%4==1:an*=ei+1
elif pi%4==3和ei%2：返回0
返回
打印（[a（n）表示范围（102）中的n）#迈克尔·布拉尼基2021年9月24日
（Python）
从数学导入prod
来自sympy导入因子
定义A004018号（n） ：return prod（1 if p==2 else（e+1 if p&3==1 else（e+1）&1）for p，e in factorint（n）.items（））<<2 if n else 1#柴华武，2022年7月7日，2024年6月21日更正。
0, 1, 4, 5, 8, 9, 13, 16, 17, 20, 25, 29, 32, 36, 37, 40, 41, 45, 49, 52, 53, 61, 64, 65, 68, 72, 73, 80, 81, 85, 89, 97, 100, 101, 104, 109, 113, 116, 117, 121, 125, 128, 136, 137, 144, 145, 148, 149, 153, 157, 160, 164, 169, 173, 180, 181, 185, 193, 196, 197, 200, 205, 208
黄体脂酮素
（PARI）对于（n=0，1e3，if（if（n<1，n==0，2*qfrep（[1,0；0,4]，n）[n]）！=0，打印1（n，“，”））\\阿尔图·阿尔坎2015年10月29日
3, 4, 7, 8, 11, 12, 16, 19, 27, 28, 43, 67, 163
评论
考克斯第260页上的列表缺失了-12，第149页定理7.30中的列表是正确的-安德鲁·萨瑟兰2012年9月2日
设b（k）是f（x，y）=k的整数解的个数，其中f（x、y）是判别式d<0的主要二元二次型（即，如果4|d，x^2+x*y+（（1-d）/4）*y^2，否则），则此序列列出|d|，使得{b（k）/b（1）：k>=1}是乘法的。有关实际序列，请参见交叉参考-宋嘉宁2019年11月20日
参考文献
D.A.Cox，《x^2+ny^2形式的素数》，威利出版社，纽约，1989年，第149、260页。
D.E.Flath，《数论导论》，Wiley-Interscience，1989年。
黄体脂酮素
（PARI）确定（n）={（-n）%4<2&&四类单位（-n\\安德鲁·霍罗伊德2018年7月20日
关于边的正方形格子的Theta级数。
（原M0931）
+10
8
2, 4, 2, 4, 4, 0, 6, 4, 0, 4, 4, 4, 2, 4, 0, 4, 8, 0, 4, 0, 2, 8, 4, 0, 4, 4, 0, 4, 4, 4, 2, 8, 0, 0, 4, 0, 8, 4, 4, 4, 0, 0, 6, 4, 0, 4, 8, 0, 4, 4, 0, 8, 0, 0, 0, 8, 6, 4, 4, 0, 4, 4, 0, 0, 4, 4, 8, 4, 0, 4, 4, 0, 6, 4, 0, 0, 8, 0, 4, 4, 0, 12, 0, 4, 4, 0, 0, 4, 4, 0, 2, 8, 4, 4, 8, 0, 0, 4, 0, 4, 4, 4, 4, 0
参考文献
J.H.Conway和N.J.A.Sloane，“球形填料、晶格和群”，Springer-Verlag，第106页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
配方奶粉
通用公式：2*（和{k>0}x ^（（k^2-k）/2））^2=（Z中的和{k}x（k^2+k））*。
q^（-1/2）*c（q）/2以q^2的幂展开，其中c（q）是二次高斯AGM中的第三个函数-迈克尔·索莫斯2006年2月10日
2*phi（x）*psi（x^2）的q次幂展开式，其中phi（）、psi（）是Ramanujanθ函数-迈克尔·索莫斯2006年2月10日
例子
G.f.=2+4*x+2*x^2+4*x^3+4*x^4+6*x^6+4*x^7+4*x*^9+4*x*10+。。。
G.f.=2*q+4*q^5+2*q^9+4*qq^13+4*q*17+6*q^25+4*q~29+4*q ^37+。。。
数学
a[n_]：=级数系数[EllipticTheta[3，0，x]椭圆Theta[2，0，x]/x^（1/4），{x，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2015年2月22日*）
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=局部（a）；如果（n<0，0，a=x*O（x^n）；2*polceoff（eta（x^2A）^4/eta（x+a）^2，n））}；
（PARI）{a（n）=2*如果（n<1，n==0，polceoff（和（k=0，（平方（8*n+1）-1）\2，x^（k*（k+1）/2），x*O（x^n））^2，n））}；
1, 0, 0, 2, 2, 0, 0, 2, 1, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 2, 2, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 3, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 2, 2, 0, 0, 4, 2, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 4, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 2, 4, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 2, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 4, 1, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 6, 2, 0, 0, 4, 0
参考文献
B.C.Berndt，Ramanujan笔记本第五部分，Springer-Verlag，见第373页第32条。
J.H.Conway和N.J.A.Sloane，“球形填料、晶格和群”，Springer-Verlag，第120页。
配方奶粉
a（n）与a（2）=0相乘，a（2^e）=2如果e>1，a（p^e）=e+1如果p==1（mod 4），a（p ^e）=（1+（-1）^e）/2如果p==3（mod4）
通用公式：（θ_3（q）*θ_3（q^4）-1）/2。
例子
x+2*x^4+2*x^5+2*x ^8+x^9+2*x×^13+2*x x^16+2*x x ^17+4*x ^20+。。。
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=如果（n<1，0，qfrep（[1，0；0，4]，n）[n]）}
（PARI）{a（n）=如果（n<1，0，如果（n%4==1，sumdiv（n，d，（-1）^（d\2）
（PARI）{a（n）=局部（a，p，e）；如果（n<1，0，a=系数（n）；prod（k=1，matsize（a）[1]，如果（p=a[k，1]，e=a[k，2]；如果（p=2，2*（e>1），如果（p%4==3，（1+（-1）^e）/2，e+1））））}
phi（-q）*phi（q^4）的q次幂展开式，其中phi（）是Ramanujanθ函数。
+10
三
1, -2, 0, 0, 4, -4, 0, 0, 4, -2, 0, 0, 0, -4, 0, 0, 4, -4, 0, 0, 8, 0, 0, 0, 0, -6, 0, 0, 0, -4, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 4, -4, 0, 0, 8, -4, 0, 0, 0, -4, 0, 0, 0, -2, 0, 0, 8, -4, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -4, 0, 0, 4, -8, 0, 0, 8, 0, 0, 0, 4, -4, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 8, -2
配方奶粉
eta（q）^2*eta（q^8）^5/（eta（q^2）*eta。
周期16序列的欧拉变换[2，-1，-2，1，-2，-1，-2-，-4，-2，-1-，-2，-2，1-2，1-2，-2，-2-。
莫比乌斯变换是周期16序列[2，2，2，4，-2，-2，2，0，-2，2-，2，2-，-4，-2，-2-，-2，2-0，…]。
G.f.是周期1傅里叶级数，满足f（-1/（16 t））=8（t/i）G（t），其中q=exp（2 Pi it），G（）是A134013号.
a（4*n+2）=a（4xn+3）=0。
G.f.:1-2*（x/（1+x^2）+x^3/（1+x^6）-2*x^4/（1+x^8）+…）。
例子
G.f.=1-2*q+4*q^4-4*q^5+4*q*8-2*q^9-4*qq^13+4*qqu16-4*q^17+。。。
数学
a[n_]：=级数系数[EllipticTheta[4，0，q]椭圆Theta[3，0，q ^4]，{q，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2015年10月30日*）
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=如果（n<1，n==0，如果（n%4<2，（n%2*-6+4）*sumdiv（n，d，kronecker（-4，d）））}；
（PARI）{a（n）=（-1）^n*如果（n<1，n==0，2*qfrep（[1,0；0,4]，n）[n]）}；
（PARI）{a（n）=我的（a）；如果（n<0，0，a=x*O（x^n）；polceoff（eta（x+a）^2*eta（x^8+a）|5/eta（x2+a）/eta（x^4+a）*2/eta（x ^16+a）_2，n））}；
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