搜索： a002699-编号：a002699
|
| |
|
|
A002697号
|
| a（n）=n*4^（n-1）。
（原名M4534 N1923）
|
|
+10
49
|
|
|
|
0, 1, 8, 48, 256, 1280, 6144, 28672, 131072, 589824, 2621440, 11534336, 50331648, 218103808, 939524096, 4026531840, 17179869184, 73014444032, 309237645312, 1305670057984, 5497558138880, 23089744183296
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,3
|
|
|
评论
|
切比雪夫多项式T（2n）中x^（2n-2）的系数为-a（n）。
设M_n是n×n矩阵M_（i，j）=1+2*abs（i-j）；则det（M_n）=（-1）^（n-1）*a（n-1）-贝诺伊特·克洛伊特，2002年5月28日
字母表{0,1,2,3}中长度为n+1的所有单词中的子序列数00。示例：a（2）=8，因为我们有00000100200310020300（其他57=A125145号（3） 长度为3的单词没有子序列00）。a（n）=Sum_｛k=0..n｝k*A128235号（n+1，k）-Emeric Deutsch公司2007年2月27日
设P（A）是一个n元集A的幂集-罗斯·拉海耶2007年12月30日（见下文Bernard Schott的评论。）
设P（A）是一个n元集A的幂集，B是P（A）与其自身的笛卡尔积。然后，当（x，y）位于B中且x！=时，从B中移除（y，x）y并将其命名为R35。则a（n）=R35的每个（x，y）的x和y对称差的大小之和。[建议编辑上述评论；作者：罗斯·拉海耶]
这个序列中的数字是n-立方体（布尔超立方体）图的维纳指数。例如，3立方体是维纳指数为48的标准立方体的图形-K.V.Iyer公司2009年2月26日
起始（1，8，48，…）=[1，4，0，0，…]的第四个二项式变换。
等于2^n X 2^n半幻方数组中的项之和，其中每行和每列由集合（1、3、5、7…）中的项的二项式频率组成。
前几个这样的数组=[1][1,3；3,1]/问：。
[1, 3, 5, 3;
3, 1, 3, 5;
5, 3, 1, 3;
3, 5, 3, 1]
（项之和=48，每行和每列中（1，3，5）的二项式频率为（1，2，1））
[1, 3, 5, 3, 5, 7, 5, 3;
3, 1, 3, 5, 7, 5, 3, 5;
5、3、1、3、5、3、5、7；
3、5、3、1、3、5、7、5；
5, 7, 5, 3, 1, 3, 5, 3;
7, 5, 3, 5, 3, 1, 3, 5;
5, 3, 5, 7, 5, 3, 1, 3;
3, 5, 7, 5, 3, 5, 3, 1]
（术语总和=256，每行和每列由1、3、3、5和1 7组成）
…（结束）
设P（A）是n元素集A的幂集，B是P（A）与其自身的笛卡尔乘积。则a（n）=B的每个（x，y）的x和y的交集大小之和-罗斯·拉海耶2013年1月5日
设[n]表示集合{1,2,3，…，n}，并用p=p（1）p（2）p（3）表示[n]元素的n置换。。。p（n），其中p（i）是p给出的线性顺序中的第i个条目。如果i<j，p（i。用inv（p）表示p的反转数，并调用2n-置换p=p（1）p（2）。。。如果p（1）<p（3）<…<p（2n-1）和p（2）<p（4）<…<p（2n）。然后求和（inv（p））=n*4^（n-1），其中求和取p的所有2阶2n-置换。见下文Bona参考-罗斯·拉海耶2014年1月21日
在x和y坐标乘积的半长度n的Dyck路径的所有峰值上求和-阿洛伊斯·海因茨，2015年5月29日
维数为n，Q_n的布尔超立方体图的所有j维子立方体上的所有边数之和，对于所有j，则a（n）=Sum_{j=1..n}二项式（n，j）*2^（n-j）*j*2^（j-1）-君士坦丁诺·库鲁齐德斯2024年3月24日
|
|
|
参考文献
|
Miklos Bona，排列组合学，Chapman和Hall/CRC，2004年，第1、43、64页。
C.Lanczos，应用分析。普伦蒂斯·霍尔（Prentice-Hall），新泽西州恩格尔伍德克利夫斯（Englewood Cliffs），1956年，第516页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
|
|
|
链接
|
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
|
|
|
配方奶粉
|
a（n）=n*4^（n-1）。
n.E.g.f.的第三个二项式变换：x*exp（4x）-保罗·巴里2003年7月22日
a（n）=和{k=0..n}k*二项式（2*n，2*k）-贝诺伊特·克洛伊特，2003年7月30日
对于n>=0，a（n+1）=和{i+j+k+l=n}二项式（2i，i）*二项式-菲利普·德莱厄姆2004年1月22日
a（n）=和{k=0..n}4^（n-k）*二项式（n-k+1，k）*二项式（1，（k+1）/2）*（1-（-1）^k）/2-保罗·巴里2004年10月15日
求和{n>0}1/a（n）=8*log（2）-4*log-杰姆·奥利弗·拉丰2009年9月11日
a（0）=0，a（n）=4*a（n-1）+4^（n-1-文森佐·利班迪2010年12月31日
a（0）=0，a（1）=1，a（n）=8*a（n-1）-16*a（n-2）-哈维·P·戴尔2012年1月18日
G.f.:W（0）*x/2，其中W（k）=1+1/（1-4*x*（k+2；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年8月19日
和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=4*log（5/4）-阿米拉姆·埃尔达尔2020年10月28日
对于n>0，a（n）=（-1）^（n-1）*det（M（n）），其中M（n）是n×n对称Toeplitz矩阵，其第一行由1，3，…组成。。。，2*n-1-斯特凡诺·斯佩齐亚2022年8月4日
|
|
|
例子
|
请参阅关于X和Y交点的注释。
如果A={b，c}，那么在P（A）中我们有：
{b} 国际{b} ＝{b}，
{b} 国际{b，c}={b}，
{c} 国际{c} ={c}，
{c} 国际{b，c}={c}，
{b，c}中间{b} ={b}，
{b，c}中间{c} ={c}，
{b，c}中间{b，c}={b，c}
和：{b}+{b}+{c}+{c}+{c}+{b}+{c}+{b，c}=8=2*4^（2-1）=a（2）。
其他十字路口是空的。
（结束）
|
|
|
MAPLE公司
|
|
|
|
数学
|
表[n 4^（n-1），{n，0，30}](*哈维·P·戴尔2012年1月18日*）
线性递归[{8，-16}，{0，1}，30](*哈维·P·戴尔，2012年1月18日*）
系数列表[系列[x/（1-4 x）^2，｛x，0，20｝]，x](*埃里克·韦斯特因2017年9月8日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）a（n）=如果（n<0，0，n*4^（n-1））
（弧垂）[n*4^（n-1）表示n在范围（22）内]#丹尼·罗拉布2015年3月27日
|
|
|
交叉参考
|
囊性纤维变性。A000051号,A000302号,A000984号,A001792号,A002457号,A002699号,A027656号,A038231号,A082134号,A083672号,A125145号,A128235号,A133224号,A212698型.
|
|
|
关键词
|
非n,容易的
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A053125号
|
| 切比雪夫U（n，2*x-1）多项式系数的三角形（x的指数按降序排列）。 |
|
+10
15
|
|
|
|
1, 4, -2, 16, -16, 3, 64, -96, 40, -4, 256, -512, 336, -80, 5, 1024, -2560, 2304, -896, 140, -6, 4096, -12288, 14080, -7680, 2016, -224, 7, 16384, -57344, 79872, -56320, 21120, -4032, 336, -8, 65536, -262144, 430080, -372736, 183040, -50688, 7392, -480, 9, 262144, -1179648, 2228224, -2293760, 1397760
(列表;桌子;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,2
|
|
|
评论
|
偏移量为1时，这也是以x的递减幂展开的2*U（2*n-1，x）的系数三角形。W.Lang，2007年3月7日。
|
|
|
参考文献
|
C.Lanczos，应用分析。普伦蒂斯·霍尔（Prentice-Hall），新泽西州恩格尔伍德克利夫斯（Englewood Cliffs），1956年，第518页。
西奥多·里夫林，切比雪夫多项式：从近似理论到代数和数论，2。编辑，威利，纽约，1990年。
|
|
|
链接
|
|
|
|
配方奶粉
|
a（n，m）=A053124号（n，n-m）=（4^（n-m））*A053123号（n，m）=（4^（n-m））*（-1）^m）*二项式（2*n+1-m，m），如果n>=m，则为0。
a（n，m）：=-2*a（n-1，m-1）+4*a（n-1，m）-a（n-2，m-2），a（-2，m）:=0=：a（n、-2），a；
第m列（带符号三角形）的G.f:（-x）^m）*Po（m+1，4*x）/（1-4*x，^（m+1），其中Po（k，x）：=总和（‘二次（k，2*j+1）*x^j’，‘j’=0..层（k/2））。
|
|
|
例子
|
{1}; {4,-2}; {16,-16,3}; {64,-96,40,-4}; {256,-512,336,-80,5};... 例如，第四行（n=3）对应于多项式U^{*}（3，m）=U（3,2*x-1）=64*x^3-96*x^2+40*x-4。
|
|
|
数学
|
反向/@系数列表[表[ChebyshevU[n，2 x-1]，{n，0，10}]，x]//平坦(*埃里克·韦斯特因2018年4月4日*）
反向/@系数列表[ChebyshevU[Range[0，10]，2 x-1]，x]//平坦(*埃里克·韦斯特因2018年4月4日*）
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
| |
|
|
|
3, 24, 144, 768, 3840, 18432, 86016, 393216, 1769472, 7864320, 34603008, 150994944, 654311424, 2818572288, 12079595520, 51539607552, 219043332096, 927712935936, 3917010173952, 16492674416640, 69269232549888, 290271069732864, 1213860837064704, 5066549580791808
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
1,1
|
|
|
评论
|
请参阅中的一般说明A212697型这个特殊序列是在基b=4时获得的，对应于自旋S=（b-1）/2=3/2。
设P（A）是n元集A的幂集，B是P（A）与其自身的笛卡尔积。则a（n）=B中每个（x，y）的x和y并集的大小之和-伯纳德·肖特，2013年1月4日
|
|
|
链接
|
斯坦尼斯拉夫·斯库拉，OEIS上的磁共振，Stan的核磁共振博客（2014年12月31日），2019年11月12日检索。
|
|
|
配方奶粉
|
a（n）=n*（b-1）*b^（n-1）。对于此序列，设置b=4。
a（n）=3*n*4^（n-1）。
a（n）=Sum_{i>=0}二项式（n，i）*i*3^i-杰弗里·克雷策2013年8月8日
总尺寸：3*x/（4*x-1）^2-科林·巴克2014年11月3日
|
|
|
数学
|
表[Sum[二项式[n，i]i 3^i，{i，0，n}]，{n，1，21}](*杰弗里·克雷策，2013年8月8日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）mtrans（n，b）=n*（b-1）*b^（n-1）；
对于（n=1100，写入（“b212698.txt”，n，“”，mtrans（n，4））
（岩浆）[1..30]]中的[3*n*4^（n-1）：n//文森佐·利班迪2015年11月29日
|
|
|
交叉参考
|
囊性纤维变性。A001787号,A212697型,A212699型,A212700型,A212701型,A212702型,A212703型,A212704型（对于b=2,3,5,6,7,8,9,10）。
|
|
|
关键词
|
非n,容易的
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A002700型
|
| 切比雪夫多项式的系数：n*（2*n+1）*4^（n-1）。
（原M3147 N1275）
|
|
+10
6
|
|
|
|
3, 40, 336, 2304, 14080, 79872, 430080, 2228224, 11206656, 55050240, 265289728, 1258291200, 5888802816, 27246198784, 124822487040, 566935683072, 2555505541120, 11441792876544, 50921132261376, 225399883694080, 992858999881728, 4354066045992960
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
1,1
|
|
|
参考文献
|
科尼利厄斯·兰佐斯，应用分析。普伦蒂斯·霍尔（Prentice-Hall），新泽西州恩格尔伍德克利夫斯（Englewood Cliffs），1956年，第518页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
|
|
|
链接
|
科尼利厄斯·兰佐斯，应用分析.（选定页面的注释扫描）
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
|
|
|
配方奶粉
|
a（n）=12*a（n-1）-48*a（n-2）+64*a（n3）-科林·巴克2015年6月15日
a（n）=1/2*Sum_{k=0..2*n}k^2*二项式（2*n，k）。囊性纤维变性。A002699号. -彼得·巴拉2017年4月9日
和{n>=1}1/a（n）=8+8*log（2）-12*log。
和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=16*arctan（1/2）+4*log（5/4）-8。（结束）
|
|
|
MAPLE公司
|
|
|
|
数学
|
表[n*（2*n+1）*2^（2*n-2），{n，1，30}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2014年6月3日*）
线性递归[{12，-48，64}，{3，40，336}，30](*哈维·P·戴尔2018年5月17日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）Vec（-x*（4*x+3）/（4*x-1）^3+O（x^30））\\科林·巴克2015年6月15日
（岩浆）[4^（n-1）*n*（2*n+1）：n在[1..30]]中//G.C.格鲁贝尔2019年7月23日
（鼠尾草）[4^（n-1）*n*（2*n+1）for n in（1..30）]#G.C.格鲁贝尔2019年7月23日
（GAP）列表（[1..30]，n->4^（n-1）*n*（2*n+1））#G.C.格鲁贝尔2019年7月23日
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
非n,容易的
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A254632型
|
| 行读取三角形，T（n，k）=4^n*[x^k]超几何（[3/2，-n]，[3]，-x），n>=0，0<=k<=n。 |
|
+10
三
|
|
|
|
1, 4, 2, 16, 16, 5, 64, 96, 60, 14, 256, 512, 480, 224, 42, 1024, 2560, 3200, 2240, 840, 132, 4096, 12288, 19200, 17920, 10080, 3168, 429, 16384, 57344, 107520, 125440, 94080, 44352, 12012, 1430, 65536, 262144, 573440, 802816, 752640, 473088, 192192, 45760, 4862
(列表;桌子;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,2
|
|
|
链接
|
|
|
|
配方奶粉
|
T（n，k）=4^（n-k）*C（n，k）*加泰罗尼亚语（k+1）。
|
|
|
例子
|
[ 1]
[ 4, 2]
[ 16, 16, 5]
[ 64, 96, 60, 14]
[ 256, 512, 480, 224, 42]
[1024, 2560, 3200, 2240, 840, 132]
[4096, 12288, 19200, 17920, 10080, 3168, 429]
|
|
|
MAPLE公司
|
h:=n->简化（hypergeom（[3/2，-n]，[3]，-x））：
seq（打印（seq（4^n*系数（h（n），x，k），k=0..n）），n=0..9）；
|
|
|
数学
|
T[n_，k_]：=4^（n-k）二项式[n，k]加泰罗尼亚数[k+1]；
|
|
|
黄体脂酮素
|
（鼠尾草）
A254632型=λn，k:（4）^（n-k）*二项式（n，k）*加泰罗尼亚数（k+1）
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A328000型
|
| a（n）=和{k=0..n}（k！*（n-k）！）/（地板（k/2）*地板（（n-k）/2）！）^2 |
|
+10
三
|
|
|
|
1, 2, 5, 16, 28, 96, 160, 512, 896, 2560, 4864, 12288, 25600, 57344, 131072, 262144, 655360, 1179648, 3211264, 5242880, 15466496, 23068672, 73400320, 100663296, 343932928, 436207616, 1593835520, 1879048192, 7314866176, 8053063680, 33285996544, 34359738368
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,2
|
|
|
链接
|
|
|
|
配方奶粉
|
a（n）=和{k=0..n}s（k）*s（n-k）其中s（n）=A056040型（n） ●●●●。
a（n）=[x^n]（4*x^2-x-1）^2/（1-4*x*2）^3。
a（n）=2^（n-5）*（n*（n+2）+32），如果n是2^（n-1）*（n+1）。
当n>=1时，a（2^n-1）=2^（2^n-2+n）。
a（n）=n！[x^n]（1/32）*exp（-2*x）*（8+exp（4*x）*（8+x）*3+2*x）+x*（13+2*x））。
当n>5时，a（n）=12*a（n-2）-48*a（n-4）+64*a（n-6）。（结束）
|
|
|
MAPLE公司
|
摆动：=n->n/伊科（n，2）^2:a:=n->添加（摆动（k）*摆动（n-k），k=0..n）：
seq（`if`（irem（n，2）=0，2+n*（n+2）/16，n+1）*2^（n-1），n=0..31）；
|
|
|
数学
|
A328000列表[len_]：=系数列表[Series[（4 x^2-x-1）^2/（1-4 x^2）^3，{x，0，len}]，x]；A328000列表[31]
线性递归[{0，12，0，-48，0，64}，{1，2，5，16，28，96}，40](*哈维·P·戴尔2022年6月19日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）x='x+O（'x^32）；
Vec（塞拉普拉斯（（3*x+8）*sinh（2*x）+（2*x^2+16*（x+1））*cosh（2*x））/16））
（PARI）Vec（（1+x-4*x^2）^2/（（1-2*x）^3*（1+2*x）*3）+O（x^30））\\科林·巴克2020年2月5日
（岩浆）[IsOdd（n）在[0..30]]中选择2^（n-1）*（n+1）其他2^//马吕斯·A·伯蒂2020年2月5日
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
非n,容易的
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A303602
|
| a（n）=和{k=0..n}k*二项式（2*n+1，k）。 |
|
+10
2
|
|
|
|
0, 3, 25, 154, 837, 4246, 20618, 97140, 447661, 2028478, 9070110, 40122028, 175913250, 765561564, 3310623412, 14238676712, 60949133949, 259809601870, 1103420316566, 4670886541308, 19714134528598, 82985455688276, 348481959315660, 1460179866076504, 6106070639175122
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,2
|
|
|
评论
|
这些术语与5（mod 6）不一致。
|
|
|
链接
|
|
|
|
配方奶粉
|
例如：（（1+8*x）*exp（2*x）-（1+4*x）*I_0（2**）-4*x*I_1（2**x））*exp（2%x）/2，其中I_m（.）是第一类修正贝塞尔函数。
总面积：（1+4*x-sqrt（1-4*x））/（2*（1-4*）^2）。
递归D-有限：n*（2*n-1）*a（n）=2*（2xn+1）*（4*n-3）*a。（结束）
a（n）=（2*n+1）*（4^n-二项式（2*n，n））/2。
|
|
|
MAPLE公司
|
seq（加上（k*二项式（2*n+1，k），k=0..n），n=0..24）#保罗·拉瓦2018年5月10日
|
|
|
数学
|
表[Sum[k二项式[2n+1，k]，{k，0，n}]，{n，0，30}]
系数列表[级数[（1+4*x-Sqrt[1-4*x]）/（2*（1-4*x）^2），{x，0，25}]，x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2018年5月10日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（Sage）[（2*n+1）*（4^n-二项式（2*n，n））/2代表（0..30）中的n]
（PARI）a（n）=（2*n+1）*（4^n-二项式（2*n，n））/2\\查尔斯·格里特豪斯四世2023年10月23日
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
非n,容易的
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
搜索在0.018秒内完成
|
