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| A239473型 |
| 行读取的三角形：的签名版本A059260号：序列a（n，x）的部分和根据其二项式变换（1+a（.，x））^n展开的系数；截断指数的拉盖尔多项式展开。 |
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9
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1, 0, 1, 1, -1, 1, 0, 2, -2, 1, 1, -2, 4, -3, 1, 0, 3, -6, 7, -4, 1, 1, -3, 9, -13, 11, -5, 1, 0, 4, -12, 22, -24, 16, -6, 1, 1, -4, 16, -34, 46, -40, 22, -7, 1, 0, 5, -20, 50, -80, 86, -62, 29, -8, 1, 1, -5, 25, -70, 130, -166, 148, -91, 37, -9, 1, 0, 6, -30, 95, -200, 296, -314, 239, -128, 46, -10, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0.8
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评论
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上面的下三角数组T和拉盖尔多项式L（k，x）=和{j=0..k}（-1）^j二项式（k，j）x^j/j！，以下身份保持不变：
（A） 和{k=0..n}（-1）^kL（k，x）=和{k=0..n}T（n，k）x^k/k！；
（B） 和{k=0..n}x^k/k！=和{k=0..n}T（n，k）L（k，-x）；
（C） 和{k=0..n}x^k=和{k=0..n}T（n，k）（1+x）^k=（1-x^（n+1））/（1-x）。
更一般地，对于多项式序列，
（D） 和{k=0..n}P（k，x）=和{k=0..n}T（n，k）（1+P（.，x））^k，
其中，例如，对于Appell序列，例如Bernoulli多项式，undarally，（1+Ber（.，x））^k=Ber（k，x+1）。
通过j的本影替换，恒等式B从A开始！A中x^j的L（j，-x）。恒等式C与素数指数的分圆多项式有关，通过拉普拉斯变换从B开始。
积分C得到了和{k=0..n}T（n，k）（2^（k+1）-1）/（k+1=H（n+1）的调和数。
对于x>=0，恒等式A>=0（参见MathOverflow链接，了解Hermite多项式的计算）。
从恒等式C，W（m，n）=（-1）^n和{k=0..n}T（n，k）（2-m）^k=m>2的完全图k_m的任意两个不同顶点之间长度为n+1的游程数。
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链接
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J.亚当斯，关于J（x）-II组，《拓扑》，第3卷，第137-171页，佩加蒙出版社，（1965年）。
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公式
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T（n，k）=和{j=0..n}（-1）^（j+k）*二项式（j，k）。
例如：（exp（t）-（x-1）*exp（（x-1，*t））/（2-x）。
O.g.f.（第n行）：（1-（x-1）^（n+1））/（2-x）。
关联的操作员身份：
如果D=D/dx，：xD:^n=x^n*D^n，并且：dx:^n=D^n*x^n，那么bin（xD，n）=二项式（xD、n）=：xD:^n/n！和L（n，-：xD:）=：Dx:^n/n=bin（xD+n，n）=（-1）^n bin（-xD-1，n），
A-o）和{k=0..n}（-1）^kL（k，-：xD:）=和{k=0..n}:-Dx:^k/k！
=和{k=0..n}T（n，k）：-xD:^k/k！=和{k=0..n}（-1）^k T（n，k）bin（xD，k）
B-o）和{k=0..n}:xD:^k/k！=Sum_｛k=0..n｝，T（n，k）L（k，-：xD:）
=和{k=0..n}T（n，k）：Dx:^k/k！=求和{k=0..n}，bin（xD，k）。
相关二项式恒等式：
A-b）求和{k=0..n}（-1）^k bin（s+k，k）=求和{k=0..n}（-1）^k T（n，k）bin（s，k）
=Sum_{k=0..n}bin（-s-1，k）=Sum{k=0.0.n}T（n，k）bin（s-1+k，k）
B-B）和{k=0..n}bin（s，k）=和{k=0..n}T（n，k）bin（s+k，k）
=总和{k=0..n}（-1）^k bin（-s-1+k，k）
=总和{k=0..n}（-1）^k T（n，k）bin（-s-1，k）。
特别是，从s=n的B-B开始，和{k=0..n}T（n，k）bin（n+k，k）=2^n。从s=0的B-B，行和都是1。
其中s-1=m=0,1,2，。。。，B-B给出有限差分（递归）：
求和{k=0..n}（-1）^k T（n，k）bin（m，k）=Sum_{k=0..n}（-1）^k bin（m+k，k）=T（n+m，m），即T列的有限差产生T的移位列。T列是交叉引用中列出的序列的有符号移位版本。由于有限差分是对合，T（n，k）=Sum_{j=0..k}（-1）^jT（n+j，j）bin（k，j）}。Gauss-Newton插值可以用来给出s非整数的广义T（n，s）。
U（n，cos（x））=e^（-n*i*x）*Sum_{k=0..n}T（n，k）*（1+e^A053117号并且i^2＝-1-汤姆·科普兰2014年10月18日
当a（n，x）=e^（nx）时，部分和为1+e^x++e^（nx）=和{k=0..n}T（n，k）（1+e^x）^k=[x/（e^x-1）][e^！，其中Ber（n，x）是伯努利多项式（参见亚当斯第140页）。在x=0时计算这些表达式的（d/dx）^m，给出了整数的m次幂的部分和、它们的二项式变换和伯努利多项式之间的关系。
当a（n，x）=（-1）^ne^（nx）时，部分和是1-e^x++（-1）^ne^（nx）=和{k=0..n}T（n，k）（1-e^x）*x^k/k！，其中Eul（n，x）是Euler多项式。在x=0时计算这些表达式的（d/dx）^m，给出了整数的符号m次幂的部分和之间的关系；它们的二项式变换，与第二类斯特林数和置换面体的面数有关；和欧拉多项式。
（结束）
如中所示A059260号，根据具有该项系数的二元多项式的生成器由（1/（1-y））*1/（1+（y/（1-y））*x-（1/（1-y））*x^2）=1+y+（x^2-x*y+y^2）+（2*x^2*y-2*x*y^2+y^3）+（x^4-2*x^3*y+4*x^2*y^2-3*x*y^3+y^4）+…给出。其形式为-h2*1/（1+h1*x+h2*x^2），与A049310型其中h1=y/（1-y）和h2=-1/（1-y）=-（1+h1）-汤姆·科普兰2016年2月16日
D中的P（k，x）=x给出了求和{k=0..n}T（n，k）*Sum{j=0..k}二项式（k，j）=Sum{k=0..n}T（n、k）2^k=n+1。
量子整数[n+1]_q=（q^（n+1）-q^，（-n-1））/（q-q^-（-1））=q^
T（n，k）=[x^k]和{j=0..n}（x-1）^j-彼得·卢什尼2019年7月9日
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例子
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1
0 1
1 -1 1
0 2 -2 1
1 -2 4 -3 1
0 3 -6 7 -4 1
1 -3 9 -13 11 -5 1
0 4 -12 22 -24 16 -6 1
1-4 16-34 46-40 22-7 1
0 5 -20 50 -80 86 -62 29 -8 1
1-5 25-70 130-166 148-91 37-9 1
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MAPLE公司
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加（二项式（j，k）*（-1）^（j+k），j=k.n）；
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数学
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表[和[（-1）^（j+k）*二项式[j，k]，{j，0，n}]，{n，0，10}，{k，0，n}]//展平(*G.C.格鲁贝尔2018年2月6日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）对于（n=0，10，对于（k=0，n，print1（总和（j=0，n，（-1）^（j+k）*二项式（j，k）），“，”））\\G.C.格鲁贝尔2018年2月6日
（岩浆）[[（&+[（-1）^（j+k）*二项式（j，k）:j in[0..n]]）：k in[0..n]]：n in[0..10]]//G.C.格鲁贝尔2018年2月6日
（圣人）
Trow=λn：求和（（x-1）^j，对于（0..n）中的j）.list（）
对于n in（0..10）：打印（Trow（n））#彼得·卢什尼2019年7月9日
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交叉参考
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关键字
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作者
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扩展
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公式re-Euler多项式修正汤姆·科普兰2024年3月8日
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状态
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经核准的
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