搜索： a218465-编号：a218464
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A217788型
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| 最小整数s>p_n，使得sum_{k=1}^n p_k*s^（n-k）（以s为基数的数字[p_1，…，p_n]）是素数，其中p_k表示第k个素数。 |
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3, 4, 8, 9, 16, 15, 72, 37, 30, 54, 54, 54, 80, 91, 78, 204, 182, 110, 286, 183, 158, 231, 228, 105, 252, 189, 198, 119, 178, 252, 280, 152, 164, 423, 170, 185, 190, 249, 1006, 249, 678, 200, 254, 480, 216, 234, 322, 601, 264, 301, 260, 269, 244, 308, 280, 364, 612, 635, 310, 420
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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评论
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猜想：对于任何整数n>=m>0，都有无穷多个正整数s>p_n，使得数字sum_{k=m}^np_k*s^{n-k}（即以s为基数的[p_m，…，p_n]）是素数；此外，最小的此类整数s（用s（m，n）表示）不超过（n+1）*（m+n+1）。
注意，s（1，n）=a（n）和s（4,21）=546<（21+1）*（21+4+1）=572。
作者的一个相关猜想表明，对于每个n=2,3，。。。多项式和{k=1}^npk*x^（n-k）是某素数的不可约模。另请参阅作者的评论A000040型.
该猜想可以进一步扩展如下：如果a_1<…<a_n是带有a_n素数的互异整数，则有无穷多个整数b>a_n，使得基b中的[a_1，a_2，…，a_n]是素数。
例如，以55272为基数的[2,3，…，210211]和以300为基数的[17,19,27,34,38,41]都是质数。
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链接
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例子
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a（3）=8，因为2*8^2+3*8+5=157是素数，但2*6^2+3*6+5=95和2*7^2+3*7+5=124不是素数。
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数学
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A[n_，x_]：=A[n，x]=和[素数[k]*x^（n-k），{k，1，n}]；Do[Do[If[PrimeQ[A[n，s]]==真，打印[n，“”，s]；转到[aa]]，{s，素数[n]+1，（n+1）（n+2）}]；打印[n，“”，反例]；标签[aa]；继续，{n，1100}]
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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2, 5, 2, 7, 11, 31, 13, 19, 89, 17, 37, 37, 43, 19, 137, 29, 3, 7, 2, 19, 13, 59, 139, 37, 2, 239, 31, 337, 487, 97, 337, 97, 307, 181, 223, 19, 79, 401, 2, 491, 269, 211, 97, 193, 719, 149, 97, 191, 83, 613
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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评论
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猜想：对于任意n>0，我们有一个（n）<=n*（n+1），并且SF_n（x）=sum_{k=0}^n的Galois群A005117号有理数上的（k+1）*x^{n-k}与对称群S_n同构。
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链接
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例子
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a（4）=7，因为SF_4（x）=x^4+2x^3+3x^2+5x+6是不可约模7，但是2，3，5中任意一个的可约模。很容易检查SF_4（x）==（x-2）*（x^3-x^2+x+2）（mod 5）。
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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2, 2, 2, 3, 2, 2, 7, 2, 17, 7, 5, 3, 3, 2, 109, 3, 101, 19, 229, 5, 2, 23, 23, 17, 107, 269, 2, 29, 2, 31, 37, 197, 107, 73, 37, 7, 59, 233, 3, 3, 7, 43, 43, 5, 2, 47, 269, 61, 43, 3, 53, 13, 3, 643, 13, 5, 151, 59, 2
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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评论
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猜想：对于所有n>1，a（n）<n*（n+3）/2。
注意，a（20）=229<20*（20+3）/2=230。
该猜想是由E.S.Selmer的结果引发的，即对于任意n>1，多项式x^n-x-1在有理数域上是不可约的。
我们还推测，对于每一个n=2,3，。。。存在不超过第（2n-2）个素数的正整数z，使得z^n-z-1是素数，并且在有理域上x^n-x-1的伽罗瓦群同构于对称群S_n。
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链接
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例子
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a（8）=7，因为f（x）=x^8-x-1是不可约模7，但可约模是2，3，5中的任意一个，
f（x）==（x^2+x+1）*（x^6+x^5+x^3+x^2+1）（模2），
f（x）==（x^3+x^2-x+1）*（x^5-x^4-x^3-x^2+x-1）（mod 3），
f（x）==（x^2-2x-2）*（x^6+2x^5+x^4+x^3-x^2-2）（模型5）。
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数学
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Do[Do[If[If[不可约多项式Q[x^n-x-1，模->素数[k]]==真，打印[n，“”，素数[k]]；转到[aa]]，{k，1，PrimePi[n*（n+3）/2-1]}]；
打印[n，“”，反例]；标签[aa]；继续，{n，2100}]
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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经核准的
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A224197年
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| 最小b>p_n^2，使得基b中的[p_1^2，p_2^2，…，p_n^2]是素数，其中p_j表示第j个素数。 |
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11, 26, 51, 124, 177, 312, 394, 668, 843, 978, 1398, 1730, 1911, 2242, 2859, 3496, 3724, 4532, 5073, 5358, 6269, 6906, 7927, 9422, 10205, 10766, 11522, 12060, 12923, 16142, 17220, 18788, 19409, 22806, 22965, 25562, 26570, 28038, 30636
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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评论
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猜想：（i）对于任意正整数k和不同正整数a_1<a_2<…<如果a_n带有a_n素数，则有无穷多个整数b>a_n^k，因此基b中的[a_1^k，a_2^k，…，a_n^k]是素数。
（ii）对于正整数k，m和n>m，设s_k（m，n）表示最小整数b>p_n^k，使得基b中的[p_m^k，p_{m+1}^k，…，p_n^k]是素数。然后我们得到不等式sk（m，n）<=（n+1）^k*（m+n+1）。
这是作者关于A217788型注意，此处定义的s（m，n）与s_1（m，n）相同。似乎s_2（m，n）<p_{n+1}*p_{m+n+1}。
例如，以900为基数的[2^2,6^2,9^2,20^2,29^2]和以10268为基数的[37^2,38^2,60^2,90^2101^2]都是质数。此外，s_3（1,15）=103960，s_5（3,5）=161098。
注意，对于任何大于13^2的整数，基数b中的数字[2^2,5,6156,13^2]是复合的，因为
4x^4+5x^3+6x^2+156x+169=（4x+13）*（x^3-2x^2+8x+13。
尽管1、2、3、113、115是相对素数的两两，但在任何基b>115中[1,2,3113115]是复合的，因为x^4+2x^3+3x^2+113x+115=（x+5）*（x^3-3x^2+18x+23）。
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链接
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例子
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a（35）=s2（1,35）=22806，因为基22806中的[p_1^2，p_2^2，…，p_{35}^2]是素数。注意p_{36}^2=22801<22806<p_{35}*p_{37}=23393。
a（287）=s2（1287）=3519434，因为基3519434中的[p_1^2，p_2^2，…，p_{287}^2]是素数。注意p{287}*p{289}=3519367<3519434<p{288}^2=3523129<p{280}*p_{289neneneep=3526883。
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数学
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A[n_，x_]：=A[n，x]=和[素数[k]^2*x^（n-k），{k，1，n}]
Do[Do[Do[If[PrimeQ[A[n，b]]==真，打印[n，“”，b]；转到[aa]]，{b，素数[n]^2+1，素数[1][n+2]-1}]；
打印[n，“”，反例]；标签[aa]；继续，{n，2100}]]
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A224210型
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| 使sum_{k=0}^n（k+1）^2*x^{n-k}是不可约模p的最小素数p。 |
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8
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2、11、7、17、11、3、7、97、3、89、31、113、43、7、23、23、17、67、23、109、17、277、103、283、59、101、157、127、29、79、23、223、73、269、433、137、5、659、109、401、419、7、373、131、89、269、149、61、829、881
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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1,1
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评论
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猜想：对于每个n>0，a（n）不超过第（4n-3）素数。此外，对于任意整数m>1和n>0，多项式sum_{k=0}^n（k+1）^m*x^{n-k}是不可约模素数，其有理数上的Galois群与对称群S_n同构，。。。有无穷多个整数b>n^m，因此以b为底的[n^m…，2^m，1^m]是素数。
我们有一个类似的猜想，上面的（k+1）^m被（2k+1）μm替换。
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链接
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例子
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a（3）=7，因为f（x）=x^3+4x^2+9x+16是模7不可约的，但模2、3、5中的任何一个都是可约的。请注意
f（x）==x*（x-1）^2（模2），f（x
和
f（x）==（x+1）*（x-1）^2（mod 5）。
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数学
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A[n_，x_]：=和[（k+1）^2*x^（n-k），{k，0，n}]
Do[Do[If[If[不可约多项式Q[A[n，x]，模->素数[k]]==真，打印[n，“”，素数[k]]；转到[aa]]，{k，1，素数[4n-3]}]；
打印[n，“”，反例]；标签[aa]；继续，{n，1100}]
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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2, 3, 2, 11, 3, 2, 193, 113, 2, 29, 71, 167, 19, 3, 7, 13, 199, 5, 101, 59, 13, 41, 3, 359, 7, 11, 2, 31, 197, 139, 3, 59, 2, 139, 83, 37, 23, 193, 587, 199, 67, 47, 401, 41, 571, 73, 1063, 229, 1163, 47, 53, 239, 347, 223, 577, 499, 271, 269, 11, 179
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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1,1
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评论
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猜想：对于所有n>0，a（n）<4n^2-1。
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链接
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例子
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a（5）=3，因为多项式和{k=0}^5B_5*x^{5-k}=x^5+x^4+2*x^3+5*x^2+15*x+52是不可约模3，但是可约模2。
还要注意，a（7）=193<4*7^2-1=195。
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数学
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A[n_，x_]：=A[n，x]=和[BellB[k]*x^（n-k），{k，0，n}]
Do[Do[If[If[不可约多项式Q[A[n，x]，模->素数[k]]==真，打印[n，“”，素数[k]]；转到[aa]]，{k，1，PrimePi[4n^2-2]}]；
打印[n，“”，反例]；标签[aa]；继续，{n，1100}]
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A224480型
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| 使x^n+sum_{k=1}^np_k*x^{n-k}是不可约模q的最小素数q，其中p_k表示第k素数。 |
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+10
4
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2, 11, 2, 2, 2, 2, 2, 53, 13, 3, 5, 2, 2, 2, 2, 421, 29, 19, 7, 2, 29, 37, 2, 743, 41, 23, 13, 47, 5, 2, 269, 139, 211, 31, 73, 307, 2, 2, 5, 89, 23, 839, 181, 379, 173, 89, 2, 353, 101, 307, 3, 29, 389, 2, 863, 71, 503, 619, 193, 2
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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1,1
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评论
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猜想：对于所有n>0的情况，a（n）<=（n+4）*（n+5）+1。
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链接
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例子
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a（10）=3，因为P（x）=x^{10}+2*x^9+3*x^8+5*x^7+7*x^6
+11*x^5+13*x^4+17*x^3+19*x^2+23*x+29是不可约模3，但可约模2，for，
P（x）==（x+1）^2*（x^3+x+1）*（x^5+x^3+1）（模式2）。
还要注意a（16）=421=（16+4）*（16+5）+1。
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数学
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A[n_，x_]：=A[n，x]=和[x^n+素数[k]*x^（n-k），{k，1，n}]
Do[Do[If[If[不可约多项式Q[A[n，x]，模->素数[k]]==真，打印[n，“”，素数[k]]；转到[aa]]，{k，1，PrimePi[n^2+9n+21]}]；
打印[n，“”，反例]；标签[aa]；继续，{n，1100}]
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000040型,A220947型,A220072型,A223934号,A224210型,A224416型,A224417号,224418英镑,A217788型,A224197号,A218465型,A217785型.
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A220947型
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| 使sum_{k=0}^nF（k+1）*x^{n-k}是不可约模p的最小素数p，其中F（j）表示斐波那契数A000045号（j） ●●●●。 |
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+10
三
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2, 3, 2, 11, 3, 2, 5, 3, 2, 11, 5, 41, 181, 31, 73, 89, 5, 7, 71, 11, 29, 5, 193, 41, 89, 61, 2, 43, 3, 31, 13, 191, 2, 61, 103, 97, 103, 47, 383, 367, 89, 17, 191, 1627, 193, 163, 5, 337, 349, 23, 149, 193, 199, 233, 173, 617, 593, 59, 113, 151
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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1,1
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评论
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猜想：对于所有n>0，a（n）<=n^2+12。
这种现象经常发生。事实上，对于许多有趣的整数序列a（k）（k=1,2,3，…），多项式x^n+sum_{k=0}^na（k）*x^{n-k}（n>0）中的每一个都是不可约模，其中a，b，c是合适的非负常数。
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链接
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例子
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a（2）=3，因为x^2+x+2是不可约模3但可约模2。
还要注意a（13）=181=13^2+12。
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数学
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A[n_，x_]：=A[n，x]=和[Fibonacci[k+1]*x^（n-k），{k，0，n}]
Do[Do[If[If[不可约多项式Q[A[n，x]，模->素数[k]]==真，打印[n，“”，素数[k]]；转到[aa]]，{k，1，PrimePi[n^2+12]}]；
打印[n，“”，反例]；标签[aa]；继续，{n，1100}]
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A223942美元
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| 最小素数q，使（x^{pn}-1)/（x-1）是不可约模q，其中pn是第n素数。 |
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+10
2
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2, 2, 2, 3, 2, 2, 3, 2, 5, 2, 3, 2, 7, 3, 5, 2, 2, 2, 2, 7, 5, 3, 2, 3, 5, 2, 5, 2, 11, 3, 3, 2, 3, 2, 2, 7, 5, 2, 5, 2, 2, 2, 19, 5, 2, 3, 2, 3, 2, 7, 3, 7, 7, 11, 3, 5, 2, 43, 5, 3
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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1,1
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评论
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众所周知，（x^{p^n}-1）/（x^{p^{n-1}-1）在任何素数p和正整数n的有理数上是不可约的。
我们有以下“互易定律”：对于任意正整数n和素数p>2和q，分圆多项式（x^{p^n}-1）/（x^}p^{n-1}-1）是不可约模q当且仅当q是本原根模p^n。
这可以证明如下：当任意k次的F_q=Z/qZ上的一元不可约多项式除以环F_q[x]中的x^{q^k}-x时，对于某些k<p^n-p^{n-1}的多项式F（x）=（x^{p^n}-1）/。注意gcd（x^{p^n}-1，x^{q^k-1}-1）=x^{gcd（p^n，q^k-1）}-1。如果p^n|q^k-1，则x^{p^n}-1|x^{q^k}-x，因此f（x）除以x^{q^k}-x；如果p^n不除q^k-1，那么gcd（x^{p^n}-1，x^{q^k-1}-1）除x^{p ^{n-1}}-1，因此f（x）是x^{q ^k}-x的互质。因此，f（x。
根据上面的“互易定律”，在n=1的情况下，我们有一个（k）=A002233号（k） 对于所有k>1。
猜想：对于所有n>0，a（n）<=sqrt（7*p_n）。
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链接
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例子
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由于f（x）=（x），a（9）=5^{23}-1)/（x-1）是不可约模5，但可约模2和3之一，对于，
f（x）==（x^{11}+x^9+x^7+x^6+x^5+x+1）
*（x^{11}+x^{10}+x^6+x^5+x^4+x^2+1）（模式2）
和
f（x）==（x^{11} -x个^8-x^6+x^4+x^3-x^2-x-1）
*（x^{11}+x^{10}+x^9-x^8-x^7+x^5+x^3-1）（修改版3）。
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数学
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Do[Do[If[If[不可约多项式Q[Sum[x^k，{k，0，素数[n]-1}]，模->素数[k]]==真，打印[n，“”，素数[k]]；转到[aa]]，{k，1，PrimePi[Sqrt[7*Prime[n]]}]；
打印[n，“”，反例]；标签[aa]；继续，{n，1100}]
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A220949型
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| 最小素数p使得sum_{k=0}^n（2k+1）*x^（n-k）是不可约模p。 |
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+10
1
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2, 2, 3, 2, 5, 3, 71, 23, 11, 2, 5, 2, 13, 23, 47, 47, 269, 2, 7, 19, 53, 101, 7, 53, 113, 11, 23, 2, 43, 347, 53, 283, 191, 17, 41, 2, 239, 677, 3, 281, 37, 641, 613, 41, 17, 269, 181, 137, 383, 41, 127, 2, 71, 739, 71, 353, 59, 2, 83, 2
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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1,1
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评论
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猜想：对于所有n>0，a（n）<=n^2+22。
在被（2k+1）^m（m=2,3，…）替换的定义中，我们有类似的2k+1猜想。
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链接
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例子
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a（5）=5，因为f（x）=x^5+3*x^4+5*x^3+7*x^2+9*x+11是模5不可约的，但f（x）==（x+1）*（x^2+x+1）^2（mod 2）和f（x）==（x+1）^4*（x-1）（mod 3）。
还要注意a（7）=71=7^2+22。
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数学
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A[n_，x_]：=A[n，x]=和[（2k+1）*x^（n-k），{k，0，n}]；Do[Do[If[If[不可约多项式Q[A[n，x]，模->素数[k]]==真，打印[n，“”，素数[k]]；转到[aa]]，{k，1，PrimePi[n^2+22]}]；打印[n，“”，反例]；标签[aa]；继续，{n，1100}]
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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经核准的
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