搜索： a137608-编号：a137608
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A033762号
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| 产品t2（q^d）；d|3，其中t2=theta2（q）/（2*q^（1/4））。 |
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1, 1, 0, 2, 1, 0, 2, 0, 0, 2, 2, 0, 1, 1, 0, 2, 0, 0, 2, 2, 0, 2, 0, 0, 3, 0, 0, 0, 2, 0, 2, 2, 0, 2, 0, 0, 2, 1, 0, 2, 1, 0, 0, 0, 0, 4, 2, 0, 2, 0, 0, 2, 0, 0, 2, 2, 0, 0, 2, 0, 1, 0, 0, 2, 2, 0, 4, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 3, 0, 2, 0, 0, 2, 0, 0, 2, 0, 0, 3, 2, 0
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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评论
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奇数正整数中8*n+4=x^2+3*y^2的解的个数-迈克尔·索莫斯2004年9月18日
4*n+2=x^2+y^2+z^2的整数解的一半，其中0=x+y+z，x和y是奇数-迈克尔·索莫斯2011年7月3日
给定g.f.A（x），则q^（1/2）*2*A（q）表示为phi_1（z），其中q=exp（Pi i z）在Conway和Sloane中。
平面六角形晶格（A2）相对于边的θ级数的一半。
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参考文献
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Burce C.Berndt，Ramanujan笔记本第三部分，Springer-Verlag，1991年，见第223页条目3（i）。
J.H.Conway和N.J.A.Sloane，“球形填料、晶格和群”，Springer-Verlag，1999年，第103页。参见公式（13）。
Nathan J.Fine，《基本超几何级数与应用》，美国。数学。Soc.，1988年；第78页，等式（32.27）。
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链接
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Michael D.Hirschorn，关于数字表示的三个经典结果，Sem.Lotharingien de Combinat公司。S42（1999），B42f。
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公式
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q^（-1/2）*（eta（q^2）*eta（q ^6））^2/（eta-迈克尔·索莫斯2004年4月18日
q^（-1）*（a（q）-a（q^4））/6的q^2次幂展开式，其中a（）是三次AGMθ函数-迈克尔·索莫斯，2006年10月24日
psi（x）*psi（x^3）的x次幂展开，其中psi（）是Ramanujanθ函数-迈克尔·索莫斯2011年7月3日
周期6序列的欧拉变换[1，-1，2，-1，1，-2，…]-迈克尔·索莫斯2004年4月18日
给定g.f.A（x），则B（x）=（x*A（x^2））^2满足0=f（B（x。
a（n）=b（2*n+1），其中b（）与b（2^e）=0^e，b（3^e）=1，b（p^e）=（1+（-1）^e）/2相乘，如果p==5（mod 6），否则b（p*e）=e+1。（说明：g.f.A（x）不是感兴趣的主要函数，而是B（x）=x*A（x^2），它是一个eta商，是乘法序列的生成函数。）
通用公式：（和{j>0}x^（（j^2-j）/2））*（和{k>0}x^。
通用公式：和{k>=0}a（k）*x^（2*k+1）=和{k>0}x^k*（1-x^k）*（1-x ^（4*k））*（1-x^。（结束）
G.f.：s（4）^2*s（12）^2/（s（2）*s（6）），其中s（k）：=subs（q=q^k，eta（q）），式中eta（q）是Dedekind函数，参见。A010815号.[罚款]
通用公式：和{k>=0}a（k）*x^（2*k+1）=和{k>0}x^k/（1+x^k+x^-迈克尔·索莫斯2005年11月4日
渐近平均值：极限{m->oo}（1/m）*Sum_{k=1..m}a（k）=Pi/（2*sqrt（3））=0.906899(A093766美元). -阿米拉姆·埃尔达尔2023年11月23日
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示例
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G.f.=1+x+2*x ^3+x ^4+2*x ^6+2**x ^9+2*x^10+x ^12+x ^13+2*×^15+。。。
G.f.=q+q^3+2*q^7+q^9+2*q^13+2*q*19+2*q ^21+q^25+q^27+2*qq^31+。。。
a（6）=2，因为8*6+4=52=5^2+3*3^2=7^2+3*1^2。
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数学
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a[n_]：=如果[n<0，0，DivisorSum[2 n+1，Mod[（3-#）/2，3，-1]&]]；(*迈克尔·索莫斯2011年7月3日*）
a[n_]：=如果[n<1，Boole[n==0]，时间@@（其中[#<2，0^#2，Mod[#，6]==5，1-Mod[#2，2]，True，#2+1]&@@@FactorInteger@（2 n+1））]；(*迈克尔·索莫斯2016年3月6日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=我的（a）；如果（n<0，0，a=x*O（x^n）；polceoff（（eta（x^2+a）*eta（x^6+a））^2/（eta/*迈克尔·索莫斯2004年9月18日*/
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，n=2*n+1；sumdiv（n，d，kronecker（-12，d）*（n/d%2））}/*迈克尔·索莫斯2005年11月4日*/
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，n=8*n+4；和（j=1，平方（n\3），（j%2）*issquare（n-3*j^2））}/*迈克尔·索莫斯2005年11月4日*/
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，sumdiv（2*n+1，d，kronecker（-3，d）））}/*迈克尔·索莫斯2016年3月6日*/
（岩浆）A:=基（模形式（伽马1（12），1），202）；A[2]+A[4]/*迈克尔·索莫斯2014年7月25日*/
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交叉参考
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参见。A002324号,A004016号,A005881号,A035178号,A091393号,A093766号,A093829号,A096936级,A112298号,A113447号,A113661号,A113974号,A115979号,A122860型,A123331号,A123484号,A136748号,137608英镑.
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关键词
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非n
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作者
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(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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1,7个
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评论
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参考文献
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J.V.Uspensky和M.A.Heaslet，初等数论，纽约州麦格劳-希尔，1939年，第346页。
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链接
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公式
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莫比乌斯变换是周期6序列[1,0,0,0，-1，0，…]-迈克尔·索莫斯2006年2月14日
G.f.A（x）满足0=f（A（x，x），A（x^2），A，（x^3），A）（x^6），其中f（u1，u2，u3，u6）=（u1-u2）*（u1-u2-u3+u6）-（u2-u6）*（1+3*u6）-迈克尔·索莫斯，2005年5月29日
Dirichlet g.f.：zeta（s）*L（chi，s），其中chi（n）=克罗内克（-12，n）。和{n>0}a（n）/n^s=Product_{p素数}1/（（1-p^-s）*（1-Kronecker（-12，p）*p^/s））-迈克尔·索莫斯2011年6月24日
如果p=2或p=3，a（n）与a（p^e）=1相乘；如果p==1（mod 6），a（p*e）=1+e。
通用公式：和{k>0}（x^k+x^（3*k））/（1+x^2（2*k）+x^1（4*k）-迈克尔·索莫斯2006年2月14日
（psi（q）^3/psi（q^3）-1）/3的q次幂展开式，其中psi（）是Ramanujanθ函数-迈克尔·索莫斯2015年8月4日
渐近平均值：极限{m->oo}（1/m）*Sum_{k=1..m}a（k）=Pi/（2*sqrt（3））=0.906899(A093766号). -阿米拉姆·埃尔达尔2023年11月16日
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示例
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G.f.=q+q^2+q^3+q^4+q^6+2*q^7+q^8+q^9+q^12+2*qq^13+2*q*14+。。。
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数学
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a[n_]：=如果[n<1，0，和[KroneckerSymbol[-12，d]，{d，除数[n]}]；(*迈克尔·索莫斯2011年6月24日*）
a[n_]：=如果[n<1，0，Times@@（其中[#<5，1，Mod[#，6]==5，1-Mod[#2，2]，True，#2+1]&@@@因子整数@n)]; (*迈克尔·索莫斯2015年8月4日*）
a[n_]：=级数系数[（椭圆Theta[2,0，q^（1/2）]^3/椭圆Theta[2]，0，q~（3/2）]-4）/12，{q，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2015年8月4日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=如果（n<1，0，sumdiv（n，d，kronecker（-12，d）））}/*迈克尔·索莫斯2004年4月18日*/
（PARI）{a（n）=如果（n<1，0，direculer（p=2，n，1/（（1-X）*（1-kronecker（-12，p）*X））[n]）}/*迈克尔·索莫斯2011年6月24日*/
（PARI）{a（n）=我的（a）；如果（n<0，0，a=x*O（x^n）；polceoff（（eta（x^3+a）*eta（x^2+a）^6/（eta/*迈克尔·索莫斯2009年8月11日*/
（PARI）{a（n）=my（a，p，e）；如果（n<1，0，a=因子（n）；prod（k=1，matsize（a）[1]，[p，e]=a[k，]；如果（p<5，1，p%6==5，1-e%2，1+e））}/*迈克尔·索莫斯2015年8月4日*/
（岩浆）A:=基础（模块形式（Gamma1（6），1），88）；B<q>：=（A[1]-1）/3+A[2]；B类/*迈克尔·索莫斯2015年8月4日*/
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非n,容易的,多重
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作者
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