显示发现的41个结果中的1-10个。
{1..n}的非空子集的集合数与选择公理的严格版本相矛盾。
+10
66
0, 0, 1, 67, 30997, 2147296425, 9223372036784737528, 170141183460469231731687303625772608225, 57896044618658097711785492504343953926634992332820282019728791606173188627779
评论
选择公理说，给定任意一组非空集Y，都可以从中选择一个包含元素的集。严格版本要求该集合具有与Y相同的基数，这意味着不会多次选择任何元素。
例子
a（2）=1集合系统是{{1}，{2}，}。
a（3）=67集合系统具有以下21个非同构代表：
{{1},{2},{1,2}}
{{1},{2},{3},{1,2}}
{{1},{2},{3},{1,2,3}}
{{1},{2},{1,2},{1,3}}
{{1},{2},{1,2},{1,2,3}}
{{1},{2},{1,3},{2,3}}
{{1},{2},{1,3},{1,2,3}}
{{1},{1,2},{1,3},{2,3}}
{{1},{1,2},{1,3},{1,2,3}}
{{1},{1,2},{2,3},{1,2,3}}
{{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}
{{1},{2},{3},{1,2},{1,3}}
{{1},{2},{3},{1,2},{1,2,3}}
{{1},{2},{1,2},{1,3},{2,3}}
{{1},{2},{1,2},{1,3},{1,2,3}}
{{1},{2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}
{{1},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}
{{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3}}
{{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{1,2,3}}
{{1},{2},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}
{{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}
数学
表[Length[Select[Subsets[Rest[Subsets[Range[n]]]，Select[Tuples[#]，UnsameQ@#&]={}&]]，{n，0，3}]
交叉参考
囊性纤维变性。A007716号,A083323美元,A092918美元,A102896号,A283877号,A306445,A355739型,A355740型,A367862飞机,A367905型,A368409型,A368413型.
权重为n的非同构多集划分的数量与选择公理的严格版本相矛盾。
+10
39
0, 0, 1, 3, 12, 37, 133, 433, 1516, 5209, 18555
评论
多集划分是有限非空多集的有限多集。多集分区的权重是其元素的基数之和。权重通常与顶点数不同。
选择公理说，给定任意一组非空集Y，都可以从中选择一个包含元素的集。严格版本要求该集合具有与Y相同的基数，这意味着不会多次选择任何元素。
例子
a（2）=1到a（4）=12个多集分区的非同构代表：
{{1},{1}} {{1},{1,1}} {{1},{1,1,1}}
{{1},{1},{1}} {{1,1},{1,1}}
{{1},{2},{2}} {{1},{1},{1,1}}
{{1},{1},{2,2}}
{{1},{1},{2,3}}
{{1},{2},{1,2}}
{{1},{2},{2,2}}
{{2},{2},{1,2}}
{{1},{1},{1},{1}}
{{1},{1},{2},{2}}
{{1},{2},{2},{2}}
{{1},{2},{3},{3}}
数学
sps[{}]：={{}}；sps[set:{i_，___}]：=联接@@函数[s，前缀[#，s]和/@sps[Complement[set，s]]/@Cases[子集[set]，{i，___}]；
mpm[n_]：=连接@@表[Union[Sort[Sort/@（#/.x_Integer:>s[[x]]）]和/@sps[Range[n]]]，{s，Flatten[MapIndexed[Table[#2，{#1}]&，#]]和/@整数分区[n]}]；
brute[m_]：=第一个[Sort[Table[Sort[排序/@（m/.Rule@@@表[{i，p[i]]}，{i，长度[p]}]）]，{p，排列[Union@@m]}]]；
表[Length[Union[brute/@Select[mpm[n]，Select[Tuples[#]，UnsameQ@@#&]={}&]]，{n，0，6}]
0, 0, 0, 2, 15, 110, 936, 12073, 273972, 12003332, 1018992968, 165091159269, 50502031331411, 29054155657134165, 31426485969804026075, 64001015704527557101231, 245935864153532932681481794, 1787577725145611700547871854870, 24637809253125004524383007473440146
评论
我们可以在第53页的“巨型组件的诞生”中找到以下链接：“图或多重图的多余部分是边的数量加上非循环组件的数量，减去顶点的数量。”
如果G只有一个具有4个节点的复杂组件，则G的“非复杂部分”可以是，
a） 一个4级森林。有6个森林，所以2*6=12个图形。
b） 一个三角形和一个孤立顶点，或2*1=2个图形。
c） 一个4阶单圈图，因此2*2=4个图。
链接
Svante Janson、Donald E.Knuth、Tomasz Luczak和Boris Pittel，巨型组件的诞生.
例子
下面我们显示a（8）=12073。请注意A140636号（n） 是具有n个节点的正余连通图的数目。
设G是一个具有8个节点的正余连通图。在这种情况下，G有一个或两个复杂分量。我们有3个8阶图，其中包含两个复杂分量。下图描述了其中一个图表：
O--O…O--O
|\..|...|\./|
|.\.|...|.十、|
|..\|...|/.\|
O--O…O--O
如果G有一个具有5个节点的复数分量，
如果G有一个具有6个节点的复杂组件，则G的非复杂部分是一个2阶森林。有2片森林。我们有A140636号（6） *2或186个图形。
如果G有一个包含7个节点的复杂组件，则G的非复杂部分是一个孤立的顶点。我们有A140636号（7） ，或809个图形。
总数为3+12+2+4+39+13+186+809+11005=12073。
数学
brute[m_]：=第一个[Sort[Table[Sort[Cort/@（m/.Rule@@@Table[{（Union@@m）[[i]]，p[[i]]}，{i，Length[p]}]）]，{p，排列[Range[Length[Union@@m]]}]]]；
表[Length[Union[brute/@Select[Subsets[Subsets[Range[n]，{2}]]，Select[Tuples[#]，UnsameQ@@#&]={}&]]，{n，0，5}](*古斯·怀斯曼2024年2月14日*）
将n分解为大于1的正整数的次数，以便可以为每个因子选择不同的素因子。
+10
37
1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 2, 1, 1, 3, 1, 3, 2, 2, 1, 4, 1, 2, 1, 3, 1, 5, 1, 1, 2, 2, 2, 5, 1, 2, 2, 4, 1, 5, 1, 3, 3, 2, 1, 5, 1, 3, 2, 3, 1, 4, 2, 4, 2, 2, 1, 9, 1, 2, 3, 1, 2, 5, 1, 3, 2, 5, 1, 6, 1, 2, 3, 3, 2, 5, 1, 5, 1, 2, 1, 9, 2, 2, 2
评论
例如，因子分解f=2*3*6有两种方法来选择每个因子的素因子，即（2,3,2）和（2,3,1），但这两种方法都没有所有不同的元素，因此f不计入a（36）中。
例子
选定n的a（n）因子分解：
1 6 12 24 30 60 72 120
2*3 2*6 2*12 2*15 2*30 2*36 2*60
3*4 3*8 3*10 3*20 3*24 3*40
4*6 5*6 4*15 4*18 4*30
2*3*5 5*12 6*12 5*24
6*10 8*9 6*20
2*3*10 8*15
2*5*6 10*12
3*4*5 2*3*20
2*5*12
2*6*10
3*4*10
3*5*8
4*5*6
数学
facs[n_]：=如果[n<=1，{{}}，连接@@表[Map[Prepend[#，d]&，Select[facs[n/d]，Min@@#>=d&]]，{d，Rest[Divisors[n]]}]；
表格[Length[Select[facs[n]，Select[Tuples[First/@FactorInteger[#]和/@#]，UnnameQ@@#&]={}&]]，{n，100}]
n的整数分区数，以便可以为每个部分选择不同的素因子。
+10
36
1, 0, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 12, 12, 16, 18, 22, 26, 29, 29, 37, 41, 49, 55, 61, 68, 72, 88, 98, 110, 120, 135, 146, 166, 190, 209, 227, 252, 277, 309, 346, 379, 413, 447, 500, 548, 606, 665, 727, 785, 857, 949, 1033, 1132, 1228, 1328, 1440
例子
分区（10,6,4）有选择权（5,3,2），因此在a（20）下计算。
a（0）=1到a（10）=4分区：
() . (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)
(3,2) (4,3) (5,3) (5,4) (6,4)
(5,2) (6,2) (6,3) (7,3)
(7,2) (5,3,2)
a（0）=1到a（17）=12个分区（0={}，a..H=10..17）：
0 . 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G H
32 43 53 54 64 65 66 76 86 87 97 98
52 62 63 73 74 75 85 95 96 A6 A7号
72 532 83 A2 94 A4 A5 B5 B6
92 543 A3 B3 B4 C4 C5
732 B2 C2 C3 D3 D4
652 653 D2 E2 E3
743 654 754 F2层
752 753 763 665
762 853 764
A32 952 A43型
B32 7532型
数学
表[Length[Select[Integer Partitions[n]，Length[Celect[Tuples[If[#==1，{}，First/@FactorInteger[#]]&/@#]，UnsameQ@@#&]]>0&]]，{n，0，30}]
交叉参考
囊性纤维变性。A000040型,A000720号,A133686号,A355739型,A355740型,A355745型,A367771型,A367905型,A370585型,A370586型,A370636型.
权重为n的非同构集合系统的数量与选择公理的严格版本相矛盾。
+10
35
0, 0, 0, 0, 1, 1, 5, 12, 36, 97, 291
评论
集系统是有限非空集的有限集。集合系统的权重是其元素的基数之和。权重通常与顶点数不同。
选择公理说，给定任意一组非空集Y，都可以从中选择一个包含元素的集。严格版本要求该集合具有与Y相同的基数，这意味着不会多次选择任何元素。
例子
a（5）=1到a（7）=12集合系统的非同构代表：
{{1},{2},{3},{2,3}} {{1},{2},{1,3},{2,3}} {{1},{2},{1,2},{3,4,5}}
{{1},{2},{3},{1,2,3}} {{1},{3},{2,3},{1,2,3}}
{{2},{3},{1,3},{2,3}} {{1},{4},{1,4},{2,3,4}}
{{3},{4},{1,2},{3,4}} {{2},{3},{2,3},{1,2,3}}
{{1},{2},{3},{4},{3,4}} {{3},{1,2},{1,3},{2,3}}
{{1},{2},{3},{1,3},{2,3}}
{{1},{2},{3},{2,4},{3,4}}
{{1},{2},{3},{4},{2,3,4}}
{{1},{3},{4},{2,4},{3,4}}
{{1},{4},{5},{2,3},{4,5}}
{{2},{3},{4},{1,2},{3,4}}
{{1},{2},{3},{4},{5},{4,5}}
数学
sps[{}]：={{}}；sps[set:{i_，___}]：=联接@@函数[s，前缀[#，s]和/@sps[Complement[set，s]]/@Cases[子集[set]，{i，___}]；
mpm[n_]：=连接@@表[Union[Sort[Sort/@（#/.x_Integer:>s[[x]]）]和/@sps[Range[n]]]，{s，Flatten[MapIndexed[Table[#2，{#1}]&，#]]和/@整数分区[n]}]；
brute[m_]：=第一个[Sort[Table[Sort[排序/@（m/.Rule@@@表[{i，p[i]]}，{i，长度[p]}]）]，{p，排列[Union@@m]}]]；
表[Length[Union[brute/@Select[mpm[n]，UnsameQ@@#&And@@UnsameQ@@@#&Select[Tuples[#]，UnnameQ@@#&]={}&]]，{n，0，8}]
交叉参考
囊性纤维变性。A302545型,A306005型,A316983型,A317533型,A319616型,A321155型,2014年3月5日,A326031,A330223型,A330227,A367905型.
n的整数分区数，因此不可能为每个部分选择不同的素因子。
+10
33
0, 1, 1, 2, 4, 5, 10, 12, 19, 26, 38, 51, 71, 94, 126, 165, 219, 285, 369, 472, 605, 766, 973, 1226, 1538, 1917, 2387, 2955, 3657, 4497, 5532, 6754, 8251, 10033, 12190, 14748, 17831, 21471, 25825, 30976, 37111, 44331, 52897, 62952, 74829, 88755, 105145, 124307
例子
a（0）=0到a（7）=12分区：
. (1) (11) (21) (22) (41) (33) (61)
(111) (31) (221) (42) (322)
(211) (311) (51) (331)
(1111) (2111) (222) (421)
(11111) (321) (511)
(411) (2221)
(2211) (3211)
(3111) (4111)
(21111) (22111)
(111111) (31111)
(211111)
(1111111)
数学
表[Length[Select[Integer Partitions[n]，Length[Celect[Tuples[If[#==1，{}，First/@FactorInteger[#]]&/@#]，UnsameQ@@#&]]==0&]]，{n，0，30}]
交叉参考
囊性纤维变性。A000040型,A000720号,A133686号,A355739型,A355740型,A367771型,A367867飞机,A367905型,A370583型,A370585型,A370586型,A370636型.
满足严格选择公理版本的权重为n的非同构集系统的数量。
+10
32
1, 1, 2, 4, 8, 17, 39, 86, 208, 508, 1304
评论
集系统是有限非空集的有限集。集合系统的权重是其元素的基数之和。
选择公理说，给定任意一组非空集Y，都可以从中选择一个包含元素的集。严格版本要求该集合具有与Y相同的基数，这意味着不会多次选择任何元素。
例子
a（1）=1到a（5）=17集合系统的非同构表示：
{1} {12} {123} {1234} {12345}
{1}{2} {1}{23} {1}{234} {1}{2345}
{2}{12} {12}{34} {12}{345}
{1}{2}{3} {13}{23} {14}{234}
{3}{123} {23}{123}
{1}{2}{34} {4}{1234}
{1}{3}{23} {1}{2}{345}
{1}{2}{3}{4} {1}{23}{45}
{1}{24}{34}
{1}{4}{234}
{2}{13}{23}
{2}{3}{123}
{3}{13}{23}
{4}{12}{34}
{1}{2}{3}{45}
{1}{2}{4}{34}
{1}{2}{3}{4}{5}
数学
表[Length[Select[bmp[n]，UnsameQ@@#&And@@UnsameQ@@@#&Select[Tuples[#]，UnnameQ@@#&]={}&]]，{n，0，10}]
交叉参考
囊性纤维变性。A001055号,A007717号,A302545型,A306005型,A316983型,A319560型,A321194型,2014年3月5日,A330223型,A367769型,A367901型.
满足严格选择公理版本的权重为n的非同构多集划分数。
+10
31
1, 1, 3, 7, 21, 54, 165, 477, 1501, 4736, 15652
评论
多集划分是有限非空多集的有限多集。多集分区的权重是其元素的基数之和。权重通常与顶点数不同。
选择公理说，给定任意一组非空集Y，都可以从中选择一个包含元素的集。严格版本要求该集合具有与Y相同的基数，这意味着不会多次选择任何元素。
例子
a（1）=1到a（4）=21多集分区的非同构代表：
{{1}} {{1,1}} {{1,1,1}} {{1,1,1,1}}
{{1,2}} {{1,2,2}} {{1,1,2,2}}
{{1},{2}} {{1,2,3}} {{1,2,2,2}}
{{1},{2,2}} {{1,2,3,3}}
{{1},{2,3}} {{1,2,3,4}}
{{2},{1,2}} {{1},{1,2,2}}
{{1},{2},{3}} {{1,1},{2,2}}
{{1,2},{1,2}}
{{1},{2,2,2}}
{{1,2},{2,2}}
{{1},{2,3,3}}
{{1,2},{3,3}}
{{1},{2,3,4}}
{{1,2},{3,4}}
{{1,3},{2,3}}
{{2},{1,2,2}}
{{3},{1,2,3}}
{{1},{2},{3,3}}
{{1},{2},{3,4}}
{{1},{3},{2,3}}
{{1},{2},{3},{4}}
数学
sps[{}]：={{}}；sps[set:{i_，___}]：=联接@@函数[s，前缀[#，s]和/@sps[Complement[set，s]]/@Cases[子集[set]，{i，___}]；
mpm[n_]：=连接@@表[Union[Sort[Sort/@（#/.x_Integer:>s[[x]]）]和/@sps[Range[n]]]，{s，Flatten[MapIndexed[Table[#2，{#1}]&，#]]和/@整数分区[n]}]；
brute[m_]：=第一个[Sort[Table[Sort[排序/@（m/.Rule@@@表[{i，p[i]]}，{i，长度[p]}]）]，{p，排列[Union@@m]}]]；
表[Length[Union[brute/@Select[mpm[n]，Select[Tuples[#]，UnsameQ@@#&]={}&]]]，{n，0，6}]
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0
评论
如果可以为每个元素选择不同的除数，则多集是压缩的。
例子
a（96）=4分解：（2*2*2x2*2*3），（2*2*2*2*6），（2*2*2*3*4），（2,2*2*12）。
数学
facs[n_]：=如果[n<=1，{{}}，连接@@表[Map[Prepend[#，d]&，Select[facs[n/d]，Min@@#>=d&]]，{d，Rest[Divisors[n]]}]；
表[Length[Select[facs[n]，Length[Celect[Tuples[Divisors/@#]，UnsameQ@@#&]]==0&]]，{n，100}]
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