搜索： a308641-编号：a308651
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A308640型
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| 将n写成（2^a*3^b）^2+c*（2c+1）+d*（3d+1）/2的方法的数量，其中a、b、c是非负整数，d是整数。 |
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1, 1, 1, 2, 2, 3, 1, 2, 4, 1, 4, 3, 3, 4, 1, 7, 2, 2, 7, 2, 5, 2, 4, 5, 1, 8, 5, 2, 3, 4, 6, 2, 3, 4, 2, 3, 7, 6, 5, 4, 7, 6, 1, 7, 5, 4, 6, 4, 4, 1, 6, 9, 2, 5, 3, 3, 5, 6, 7, 4, 7, 5, 4, 6, 6, 6, 4, 4, 5, 3, 9, 7, 4, 8, 2, 8, 5, 4, 10, 3, 9, 6, 5, 6, 4, 11, 7, 5, 8, 4, 7, 7, 8, 8, 2, 14, 6, 3, 8, 4
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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猜想1:a（n）>0表示所有n>0。
猜想2：设k为1或2。那么，任何正整数n都可以写成（2^a*3^b）^2+k*c^2+d*（3d+1）/2，其中a、b、c是非负整数，d是整数。
猜想3：设k为1或-1。然后，任何正整数n都可以写成（2^a*3^b）^2+c*（5c+3k）/2+d*（3d+1）/2，其中a、b、c是非负整数，d是整数。
我们已经验证了所有n=1..10^6的猜想1-3。
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链接
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孙志伟，关于多边形数的泛和，科学。中国数学。58（2015），第7期，1367-1396。
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例子
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a（230）=1，其中230=（2^3*3^0）^2+3*（2*3+1）+10*（3*10+1）/2。
a（2058）=1，2058=（2^0*3^0）^2+25*（2*25+1）+（-23）*（3*（-23）+1）/2。
a（26550）=1，其中26550=（2^0*3^3）^2+14*（2*14+1）+130*（3*130+1）/2。
a（39433）=1，其中39433=（2*3^3）^2+135*（2*135+1）+17*（3*17+1）/2。
a（505330）=1，其中505330=（2*3^2）^2+198*（2*198+1）+533*（3*533+1）/2。
a（537830）=1，其中537830=（2^5*3^2）^2+402*（2*402+1）+（-296）*（3*（-296，+1）/2。
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数学
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PenQ[n_]：=PenQ[n]=整数Q[Sqrt[24n+1]]；
tab={}；Do[r=0；Do[If[PenQ[n-4^a*9^b-c（2c+1）]，r=r+1]，{a，0，Log[4，n]}，{b，0，Log[9，n/4^a]}、{c，0，（Sqrt[8（n-4^a*9^b）+1]-1）/4}]；tab=追加[tab，r]，{n，1，100}]；打印[选项卡]
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非n
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作者
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经核准的
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A308644型
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| 将n写成（3^a*5^b）^2+c*（3c+1）/2+d*（7d+1）/2的方法的数量，其中a和b是非负整数，c和d是整数。 |
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1, 1, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 4, 2, 5, 3, 2, 3, 2, 3, 1, 3, 4, 3, 4, 5, 3, 5, 4, 6, 2, 2, 4, 4, 6, 2, 4, 6, 7, 5, 3, 4, 6, 3, 4, 4, 2, 4, 3, 4, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 2, 3, 8, 3, 5, 4, 7, 5, 4, 4, 4, 4, 5, 4, 1, 4, 5, 4, 1, 3, 3, 6, 4, 7, 7, 3, 5, 7, 8, 2, 4, 5, 6, 7, 3, 8, 5, 7, 8, 4, 7, 8, 2
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猜想1:对于所有n>0，a（n）>0。此外，任何正整数n都可以写成（3^a*5^b）^2+c*（3c+1）/2+d*（7d+3）/2，其中a和b是非负整数，c和d是整数。
猜想2：设r为1或3。然后，任何正整数n都可以写成（3^a*4^b）^2+c*（3c+1）/2+d*（7d+r）/2，其中a和b是非负整数，c和d是整数。
我们已经验证了所有n=1..10^6的猜想1-2。
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链接
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例子
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a（152）=1，其中152=（3^0*5^0）^2+（-4）*（3*（-4）+1）/2+6*（7*6+1）/2。
a（129894）=1，其中129894=（3^0*5^1）^2+154*（3*154+1）/2+164*（7*164+1）/2。
a（200963）=1，其中200963=（3^1*5^0）^2+364*（3*364+1）/2+24*（7*24+1）/2。
a（371278）=1，其中371278=（3^3*5^1）^2+（-382）*（3*（-382。
a（534699）=1，其中534699=（3^2*5^2）^2+543*（3*543+1）/2+（-109）*（3*（-109）+1）/2。
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数学
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PenQ[n_]：=PenQ[n]=整数Q[Sqrt[24n+1]]；
tab={}；Do[r=0；Do[If[PenQ[n-9^a*25^b-x（7x+1）/2]，r=r+1]，{a，0，Log[9，n]}，{b，0，Log[25，n/9^a]}；{x，-Floor[（Sqrt[56（n-9^a*25^b）+1]+1）/14]，（Sqrt[56（n-9^a*15^b）+1）/14}]；tab=追加[tab，r]，{n，1，100}]；打印[选项卡]
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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经核准的
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A308656型
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| 将n写成（2^a*9^b）^2+c*（2c+1）+d*（3d+1）的方法数量，其中a和b是非负整数，c和d是整数。 |
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1, 1, 1, 3, 2, 3, 3, 2, 3, 1, 4, 2, 1, 4, 3, 4, 3, 5, 4, 3, 6, 2, 2, 4, 3, 6, 2, 4, 5, 3, 6, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 1, 4, 5, 5, 2, 3, 3, 2, 8, 3, 4, 5, 3, 5, 3, 3, 5, 3, 7, 1, 3, 5, 4, 6, 3, 6, 2, 2, 6, 5, 4, 6, 6, 7, 3, 4, 9, 5, 4, 5, 3, 4, 4, 11, 5, 5, 12, 5, 7, 5, 4, 10, 2, 7, 8, 4, 8, 7, 12, 5, 5, 5, 5
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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注意{x*（2x+1）：x是一个整数}={n*（n+1）/2:n=0,1,2，…}。
猜想1:a（n）>0表示所有n>0。
猜想2：如果f（x）是多项式x*（4x+1）、x*（5x+2）、xx（5x+4）、x*（7x+3）/2和x（7x+5）/2之一，那么任何正整数n都可以写成（2^a*9^b）^2+f（c）+d*（3d+1）/2，其中a和b是非负整数，c和d是整数。
猜想3：设r为1或2。那么任何正整数n都可以写成（2^a*7^b）^2+c*（2c+1）+d*（3d+r），其中a和b是非负整数，c和d是整数。
猜想4：如果g（x）是多项式x*（x+1）、x*（4x+3）、xx（7x+1）/2、x*“7x+3”/2和x*（7x+5）/2之一，那么任何正整数n都可以写成（2^a*7^b）^2+g（c）+d*（3d+1）/2，其中a和b是非负整数，c和d是整数。
我们已经验证了所有n=1..10^8的a（n）>0，以及所有n=1.10^6的猜想2-4。
林焦敏（南京大学学生）发现了一个与猜想1相反的例子：a（2109982225）=0-孙志伟2022年7月30日
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链接
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例子
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a（13）=1，其中13=（2^0*9^0）^2+2*（2*2+1）+（-1）*（3*（-1）+1）。
a（3515）=1，其中3515=（2^0*9^1）^2+0*（2*0+1）+（-34）*（3*（-34”）+1）。
a（124076）=1，124076=（2^3*9^1）^2+206*（2*206+1）+106*（3*106+1）。
a（141518）=1，其中141518=（2^1*9^2）^2+（-188）*（2*（-188，+1）+122*（3*122+1）。
a（345402）=1，其中345402=（2^7*9^0）^2+18*（2*18+1）+（-331）*（3*（-331。
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数学
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PQ[n]：=PQ[n]=整数Q[Sqrt[12n+1]]；
tab={}；Do[r=0；Do[If[PQ[n-81^a*4^b-x（2x+1）]，r=r+1]，{a，0，Log[81，n]}，{b，0，Log[4，n/81^a]}；{x，-Floor[（Sqrt[8（n-81^a*4^b）+1]+1）/4]，（Sqrt[8（n-81^a*4^b）+1]-1）/4}]；tab=追加[tab，r]，{n，1，100}]；打印[选项卡]
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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经核准的
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A308661型
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| 将12*n+5写成（2^a*5^b）^2+c^2+d^2的方法数，其中a、b、c、d是a>0和c<=d的非负整数。 |
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三
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1、2、3、3、2、3、5、5、4、5、3、5、5、5、5、6、4、3、5、4、7、6、6、2、8、5、5、5、6、5、6、10、6、8、4、6、8、8、7、3、10、5、9、6、7、3、9、7、2、7、6、9、8、6、8、9、5、4、7、4、5、7、5、8、8、7，6，4，8，10，6，10，3，6，9，6，11，5，9，4，4，8，8，10，9，7，4，5，11，7，9，10
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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猜想1:a（n）>0，所有n=0,1,2，。。。。等价地，对于每个非负整数n，我们可以用a，b，c，d非负整数将3*n+1写成a*（a+1）/2+b*（b+1）/2+（2^c*5^d）^2。
猜想2：对于每个n=0,1,2，。。。我们可以用a，b，c，d非负整数和d>0将24*n+10写成a^2+b^2+（2^c*3^d）^2。
我们已经分别验证了n到2*10^8和10^8的猜想1和2。
根据Gauss-Legendre关于三个平方和的定理，对于每个n=0,1，。。。我们可以把4*n+1（或4*n+2，或8*n+3）写成三个平方的和。
假设1适用于n<8.33*10^9-乔瓦尼·雷斯塔2019年6月19日
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链接
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例子
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a（0）=1，12*0+5=（2^1*5^0）^2+0^2+1^2。
a（4）=2，其中12*4+5=53=（2^1*5^0）^2+0 ^2+7^2=（2^2*5^0）^2+1^2+6^2。
a（441019）=2，其中12*441019+5=5292233=（2^1*5^2）^2+513^2+2242^2=（2|3*5^1）^2+757^2+2172^2。
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数学
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SQ[n_]：=SQ[n]=整数Q[Sqrt[n]]；
tab={}；Do[r=0；Do[If[SQ[12n+5-4^a*25^b-x^2]，r=r+1]，{a，1，Log[4，12n+5]}，{b，0，Log[25，（12n+5）/4^a]}；tab=追加[tab，r]，{n，0，100}]；打印[选项卡]
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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经核准的
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A308662型
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| 将n写成（2^a*5^b）^2+c*（3c+1）+d*（3d+2）的方法的数量，其中a和b是非负整数，c和d是整数。 |
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+10个
三
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1, 1, 1, 2, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 3, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 5, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 6, 4, 3, 3, 5, 4, 4, 3, 6, 5, 6, 3, 2, 6, 3, 6, 2, 3, 4, 4, 6, 5, 5, 4, 4, 6, 1, 4, 4, 4, 6, 3, 5, 2, 6, 7, 3, 2, 5, 5, 4, 5, 6, 8, 5, 6, 5, 4, 8, 3, 7, 3, 3, 7, 3, 6, 7, 4, 4, 7, 7, 4, 4, 8, 7, 4, 3, 6, 4, 7, 7, 4, 1, 6, 7
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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猜想1:a（n）>0表示所有n>0。
猜想2：设r为1或2。然后，任何正整数n都可以写成（2^a*5^b）^2+c*（2c+1）+d*（3d+r），其中a和b是非负整数，c和d是整数。
我们已经验证了所有n=1..10^8的猜想1和2。
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链接
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孙志伟，关于多边形数的泛和，科学。中国数学。58（2015），第7期，1367-1396。
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例子
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a（3）=1，其中3=（2^0*5^0）^2+（-1）*（3*（-1）+1）+0*（3*0+2）。
a（7）=1，其中7=（2^1*5^0）^2+（-1）*（3*（-1）+1）+（-1）x（3*）（-1）+2）。
a（10）=1，其中10=（2^0*5^0）^2+1*（3*1+1）+1*（3+1+2）。
a（52）=1，其中52=（2^0*5^0）^2+3*（3*3+1）+（-3）*（3*（-3）+2）。
a（98）=1，其中98=（2^0*5^1）^2+4*（3*4+1）+（-3）*（3*（-3）+2）。
a（14596）=1，其中14596=（2^3*5^0）^2+（-36）*（3*（-36。
a（22163）=1，22163=（2^3*5^0）^2+66*（3*66+1）+（-55）*（3*（-55）+2）。
a（150689）=1，其中150689=（2^6*5^1）^2+117*（3*117+1）+（-49）*（3*（-49。
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数学
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OctQ[n_]：=OctQ[n]=整数Q[Sqrt[3n+1]]；
tab={}；Do[r=0；Do[If[OctQ[n-4^a*25^b-x（3x+1）]，r=r+1]，{a，0，Log[4，n]}，{b，0，Log[25，n/4^a]}；{x，-Floor[（Sqrt[12（n-4^a*25^b）+1]+1）/6]，（Sqrt[12（n-4^a*15^b）+1）/6}]；tab=追加[tab，r]，{n，1，100}]；打印[选项卡]
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A308734型
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| 将n写为（2^a*3^b）^2+（2^c*5^d）^2+x^2+y^2的有序方式的数量，其中a、b、c、d、x、y是x<=y的非负整数。 |
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0, 1, 1, 1, 2, 3, 3, 1, 3, 5, 2, 3, 4, 4, 5, 1, 4, 8, 4, 4, 8, 8, 4, 3, 8, 7, 7, 6, 5, 13, 6, 1, 10, 11, 7, 7, 10, 9, 9, 5, 7, 18, 7, 5, 14, 11, 6, 3, 10, 11, 9, 8, 7, 15, 9, 4, 14, 12, 5, 10, 9, 10, 11, 1, 11, 19, 10, 6, 17, 21, 6, 8, 14, 12, 13, 7, 14, 21, 7, 4
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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四方形猜想：对于所有n>1，a（n）>0。
这比拉格朗日的四平方定理强得多。我们已经验证了所有n=2..10^9的（n）>0。
请注意，16265031不能用a，b，c，d，x，y非负整数写成（2^a*3^b）^2+（2^c*3^d）^2+x^2+y^2。
a（n）>0表示1<n<=10^10-乔瓦尼·雷斯塔2019年6月28日
我保证会提供2500美元作为对四方形猜想第一次正确证明的奖励-孙志伟2019年7月9日
Jiao-Min Lin（南京大学学生）对所有1<n<=1.6*10^11验证了a（n）>0-孙志伟2022年7月30日
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链接
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孙志伟，四平方的限制和，《国际数论》第15卷（2019年），1863-1893年。
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例子
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a（2^（2k+1））=1，其中2^。
a（2^（2k+2））=1，其中2^。
a（3）=1，其中3=（2^0*3^0）^2+（2^0*5^0）|2+0^2+1^2。
a（5）=2，其中5=（2^0*3^0）^2+（2^1*5^0）|2+0^2+0^2=（2*1*3^）|2+（2^0*5^ 0）^2+0 ^2+0^2。
a（11）=2，其中11=（2^0*3^0）^2+（2^0*5^0）^2+0^2+3^2=（2^0*3^1）^2+（2^0*5^0）^2+0^2+1^2。
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数学
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SQ[n_]：=SQ[n]=整数Q[Sqrt[n]]；
tab={}；Do[r=0；Do[If[SQ[n-4^a*9^b-4^c*25^d-x^2]，r=r+1]，{a，0，Log[4，n]}，{b，0，天花板[Log[9，n/4^a]]-1}，
{c，0，对数[4，n-4^a*9^b]}，{d，0，Log[25，（n-4^a*9^b）/4^c]}；tab=追加[tab，r]，{n，1，80}]；打印[选项卡]
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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