显示找到的26个结果中的1-10个。
不规则三角形,其中第n行包含数<=n,其素因子是n的素因子的子集。
+10 37
1, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 4, 1, 5, 1, 2, 3, 4, 6, 1, 7, 1, 2, 4, 8, 1, 3, 9, 1, 2, 4, 5, 8, 10, 1, 11, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 1, 13, 1, 2, 4, 7, 8, 14, 1, 3, 5, 9, 15, 1, 2, 4, 8, 16, 1, 17, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 1, 19, 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 1, 3, 7, 9, 21, 1, 2, 4, 8, 11, 16, 22, 1, 23
评论
非素数幂的复合c具有A010846号(c)=A000005号(c)+A243822型(c) ,其中A243822型(c) 是非零正的,因为c的最小素数p产生至少一个半除数(例如p^2<c)。因此,它们有一组除数c和至少一个半除数p^2。对于不是素数幂的平方c,p^2可以除以c,但p^3不能。最小平方c=12,2^3不除以12,但小于12,是最小素数12的乘积。所有其他的偶数平方c都承认不除c的2的幂,因为必须有另一个素数q>2。(结束)
数字1<=k<=n,这样(floor(n^k/k)-floor((n^k-1)/k))=1-迈克尔·德弗利格2016年5月26日
数字1<=k<=n,这样k|n^e与e>=0-迈克尔·德弗利格2018年5月29日
例子
n=6:{1,2,3,4,6}。
n=7:{1,7}。
n=8:{1,2,4,8}。
n=9:{1,3,9}。
n=10:{1,2,4,5,8,10}。
n=11:{1,11}。
n=12:{1,2,3,4,6,8,9,12}。
MAPLE公司
A: =proc(n)局部F,S,S,j,p;
F: =数量理论:-系数集(n);
S: ={1};
对于F do中的p
S: ={seq(seq(S*p^j,j=0..floor(log[p](n/S)),S=S)}
od;
S公司
终末程序;地图(op,[seq(A(n),n=1..100)])#罗伯特·伊斯雷尔2014年7月15日
数学
pf[n_]:=如果[n==1,{},转置[FactorInteger[n]][[1]];子集Q[lst1_,lst2_]:=交集[lst1,lst2]==lst1;压扁[Table[pvn=pf[n];选择[Range[n],SubsetQ[pf[#],pfn]&],{n,27}]]
(*第二个节目:*)
f[x_,y:0]:=
块[{m,n,nn,j,k,p,t,v,z},
n=绝对值[x];nn=如果[y==0,n,y];
如果[n==1,{1},
z=长度@
映射索引[集合[{p[#2],m[#2]},{#1,0}]&@@
{#1,第一个[#2]}&,FactorInteger[n][[All,1]]];
k=次数@@数组[p[#]^m[#]&,z];集合[{v,t},{1,False}];
Union@Reap[Do[Set[t,k>nn];
如果[t,k/=p[v]^m[v];m[v]=0;v++;如果[v>z,中断[]],
v=1;母猪[k]];m[v]++;k*=p[v],{i,无穷}]][[-1,1]]];
0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 1, 0, 0, 4, 0, 2, 1, 3, 0, 3, 0, 3, 0, 2, 0, 10, 0, 0, 2, 4, 1, 5, 0, 4, 2, 3, 0, 11, 0, 3, 2, 4, 0, 5, 0, 6, 2, 3, 0, 8, 1, 3, 2, 4, 0, 14, 0, 4, 2, 0, 1, 14, 0, 4, 2, 12, 0, 6, 0, 5, 3, 4, 1, 15, 0, 4, 0, 5, 0, 16, 1, 5, 3, 3, 0, 20, 1, 4, 3, 5, 1, 8, 0, 7, 2, 6
评论
曾用名:n的“半除数”的个数,不除n而除n^e的数m<n表示某个整数e>1。请参阅ACM Inroads论文。
链接
迈克尔·德弗利格,将基数作为工具进行探索《ACM Inroads》,2012年3月,第3卷,第1期,第4-12页。
例子
a(10)=2,因为S(10)\D(10)={1,2,4,5,8,10}\{1,2,5,10}={4,8}。a(16)=0,因为S
---------------------------
6 1 {4}
10 2 {4, 8}
12 2 {8, 9}
14 2 {4, 8}
15 1 {9}
18 4 {4, 8, 12*, 16}
20 2 {8, 16}
21 1 {9}
22 3 {4, 8, 16}
24 3 {9, 16, 18*}
26 3 {4, 8, 16}
28 2 {8, 16}
30 10 {4, 8, 9, 12, 16, 18, 20, 24, 25, 27}
数学
表[Count[Range[n],_?(与[Divisible[n,Times@@FactorInteger[#][[All,1]],!Divisible[n,#]]&)],{n,120}](*迈克尔·德弗利格2024年8月11日*)
交叉参考
囊性纤维变性。A000005号,A000961号,A024619美元,A027750型,A010846号,A045763号,A162306型,A243823型,A272618型,A304570型,A355432飞机,A361235型.
行读取的不规则数组:第n行包含(升序)数字1<=k<n,这样k的至少一个素除数p也除以n,k的至少1个素除法q与n互素。
+10 21
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 6, 6, 6, 0, 10, 0, 6, 10, 12, 6, 10, 12, 6, 10, 12, 14, 0, 10, 14, 15, 0, 6, 12, 14, 15, 18, 6, 12, 14, 15, 18, 6, 10, 12, 14, 18, 20, 0, 10, 14, 15, 20, 21, 22, 10, 15, 20, 6, 10, 12, 14, 18, 20, 22, 24, 6, 12, 15, 18, 21, 24, 6, 10, 12, 18, 20, 21, 22, 24, 26, 0, 14, 21, 22
评论
所有非零项k都是复合的,属于复合行n。这是因为素数k必须被n除或互素,而k=1既是n的除数,又是n的互素。此外,项k必须至少有两个不同的素数p和q。
质数p的第n行包含零,因为数字1<=k<p必须除以质数p或与质数p互素。
第n=4行和第6行是包含零的复合n的特殊情况。4是最小的合成数;没有复合k<n。6有素因子2和3,因此5是6的最小素互素;最小素因子和最小素互素与6的乘积是10,超过6,超出了所考虑的范围。复合材料n>6的情况并非如此。因此,组合n>6的行n至少包含1个非零值。
第n行的最小k=A096014号(n) <n,即A096014号(n) 关于复合n>6,是n的最小素因子p与n的最小素数q互素的乘积。n的最小k是偶数无平方半素数,因为2除n或互素与n,k的定义是一个至少有两个不同素数的数。p^2的最小k=2p为设置记录值A096014号(n) 当我们忽略素数n、n=4和n=6的值时。
在基n中,1/a(n)具有混合的循环展开式。
参考文献
哈代和赖特,《数论导论》。第三版,牛津大学出版社,1954年,第144-5页,定理136。
链接
M.De Vlieger,将基数作为工具进行探索《ACM Inroads》,2012年3月,第3卷,第1期,第4-12页。
例子
对于n=12,使k的素因子p也除以n的数1<=k<n是{2,3,4,6,8,9};{2,3,4,6}除以n=12,因此第n=12行是{8,9}。
n: k
1: 0
2: 0
3: 0
4: 0
5: 0
6: 0
7: 0
8: 6
9: 6
10: 6
11: 0
12: 10
13: 0
14: 6 10 12
15: 6 10 12
16: 6 10 12 14
17: 0
18: 10 14 15
19: 0
20: 6 12 14 15 18
数学
表[带[{r=First/@FactorInteger@n},选择[Range@n,Function[m,And[!SubsetQ[r,First/@FactorInteger@m],1<GCD[m,n]<n]]],{n,30}]/。{}->{0}//展平(*迈克尔·德弗利格2016年5月3日*)
a(n)=k<n的数量,使得rad(k)=rad(n)且k不除以n,其中rad(k)=A007947号(k) ●●●●。
+10 15
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 2, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 4, 0, 2, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1
例子
a(1)=18,自18/6>=3起。我们注意到rad(12)=rad(18)=6,但12不除以18。
a(2)=24,因为24/6>=3。拉德(18)=拉德(24)=6,24模18=6。
a(3)=36,因为36/6>=3。拉德(24)=拉德(36)=6,36模24=12。
a(6)=54,因为54/6>=3。{12,24,36,48}中的m是这样的:rad(m)=rad(54)=6,但无一除以54,以此类推。
数学
rad[n_]:=rad[n]=倍@@FactorInteger[n][[All,1]];表[Which[PrimePowerQ[n],0,SquareFreeQ[n],0,True,r=rad[n];计数[Select[Range[n],Nor[PrimePowerQ[#],SquareFreeQ[#]]&],_?(和[rad[#]==r,Mod[n,#]!=0]&)]],{n,120}]
黄体脂酮素
a(n)=我的(rn=拉德(n));总和(k=1,n-1,如果(n%k,rad(k)==rn))\\米歇尔·马库斯,2023年2月23日
交叉参考
囊性纤维变性。A007947号,A010846号,A013929号,A020639美元,A024619美元,A027750型,A126706号,A162306型,A243822型,A272618型,A360589型,A360768型.
行读取的不规则数组:第n行包含(按数字顺序)小于等于n的正整数,这些正整数既不是n的除数,也不是n的互质。如果没有这样的整数,则将0放入第n行。
+10 14
0, 0, 0, 0, 0, 4, 0, 6, 6, 4, 6, 8, 0, 8, 9, 10, 0, 4, 6, 8, 10, 12, 6, 9, 10, 12, 6, 10, 12, 14, 0, 4, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 0, 6, 8, 12, 14, 15, 16, 18, 6, 9, 12, 14, 15, 18, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 0, 9, 10, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 10, 15, 20, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 6, 12, 15, 18, 21, 24
评论
如果每个小于等于n的正整数与n互素或除n,则第n行为0。
当第n行不为空(这里用0表示)时,第n行的项是复合的,因为素数p<n必须除或互素为n,空积1除且互素为所有数。对于以下内容,让素数p除以n,素数q与n互素。
n行为空,n<8,n=6除外。
行n的m项有两种不同的种类。第一种是非除数正则数g inA272618型(n) 也就是说,这些数字是素数p的乘积,素数p也除以n,而没有素数q与n互素,但g本身不除以n。素数幂n=p^k不能包含数字gA272618型(n) 因为它们只有一个不同的素因子p;所有带0的正则数g=p^e除以p^kA272618型数字4是最小的组合,等于n=4,因此必须将其除以;4是5的互质。数字4既不是6的互质,也不是6的除数。
第二个是数字h inA272619型(n) 这是除n的至少一个素数p和与n互素的素数q的乘积。
最小n=8,其中有一个数字A272619型为8;数字6是最小的两个不同素数的乘积。6除以6,与7互素。数字6既不是素数8的互质,也不是素数幂8的除数;4除以8,不出现在a(8)中。
不可能有其他物种,因为素数p<=n除以n,q<n与n互质,并且素数q不包括任何p的乘积与n互质。
由于这两种物种,第1行<=n<=5和n=7为空,因此第n行中为0。
(结束)
例子
12的除数是:1,2,3,4,6,12。<=12且与12互素的正整数为:1,5,7,11。所以第12行包含的正整数<=12不在这两个列表中:8,9,10。
不规则三角形T(n,k)开始于:
n\k 1 2 3 4 5 6 7。。。
1: 0
2: 0
3: 0
4: 0
5: 0
6: 4
7: 0
8: 6
9: 6
10: 4 6 8
11: 0
12: 8 9 10
13: 0
14: 4 6 8 10 12
15: 6 9 10 12
16: 6 10 12 14
17: 0
18: 4 8 10 12 14 15 16
19: 0
20: 6 8 12 14 15 16 18
MAPLE公司
行:=proc(n)局部r;
r: =删除(t->成员(igcd(t,n),[1,t]),[$1..n]):
如果r=[],则0 else op(r)fi
结束进程:
A: =[seq](第(n)行,n=1..30)#罗伯特·伊斯雷尔2016年1月19日
数学
表[Select[Range@n,Nor[Divisible[n,#],CoprimQ[n,#]]&]/。{}->{0},{n,27}]//压扁(*迈克尔·德弗利格2017年8月19日*)
最大整数k<n,使得k的任何素因子也是n的素因子。
+10 13
1, 1, 2, 1, 4, 1, 4, 3, 8, 1, 9, 1, 8, 9, 8, 1, 16, 1, 16, 9, 16, 1, 18, 5, 16, 9, 16, 1, 27, 1, 16, 27, 32, 25, 32, 1, 32, 27, 32, 1, 36, 1, 32, 27, 32, 1, 36, 7, 40, 27, 32, 1, 48, 25, 49, 27, 32, 1, 54, 1, 32, 49, 32, 25, 64, 1, 64, 27, 64, 1, 64, 1, 64, 45, 64, 49, 72, 1, 64, 27
评论
函数a(n)补充了Euler的phi函数:1)如果n是素数的幂(实际上,inA285710型). 2) 对于“几乎所有数字”,a(n)+phi(n)>=n(参见A285709型,A208815型). 3) a(2n)=n+1当且仅当n是梅森素数。4) Lim a(n^k)/n^k=1,如果n至少有两个素因子,并且k趋于无穷大。
换句话说,最大整数k<n,使得k|n^e与整数e>=0。
对于素数p,a(p)=1。更一般地说,对于ω(n)=1的n,即e>0的素数幂p^e,a(p^e)=p^(e-1)。
对于ω(n)>1的n,a(n)不除n。如果n=pq,q=p+2,则p^2<n,虽然p^2不除n,但p^2|n^e,e>1。如果n有两个以上不同的素数p,则这些除数的幂p^m将出现在(1..n-1)的范围内,使得p^m>n/lpf(n)(lpf(n)=A020639美元(n) )。由于a(n)是其中最大的一个,因此a(n)不是n的除数。
(结束)
链接
Aled Walker和Alexander Walker,数字受限的算术级数,arXiv:1809.02430[math.NT],2018年。
例子
a(10)=8,因为8是最大的整数<10,只能用素数2和5来写。a(78)=72,因为72是只使用素数2、3和13可以写出的小于78的最大数。(78=2*3*13).
数学
表[如果[n==2,1,模块[{k=n-2,e=Floor@Log2@n},而[PowerMod[n,e,k]!=0,k--];k] ],{n,2,81}](*迈克尔·德弗利格2017年4月26日*)
黄体脂酮素
(PARI)a(n)={对于步骤(k=n-1,2,-1,f=因子(k);okk=1;对于(i=1,#f~,if((n%f[i,1])!=0,okk=0;中断;);如果(okk,返回(k)););返回(1);}\\米歇尔·马库斯2013年6月11日
(平价)
(Python)
从sympy导入除数
从sympy.theory.factor导入核心
def a007947(n):如果核心(d)==d,则返回max(d表示d的除数(n))
定义a(n):
k=n-1
为True时:
如果a007947(k*n)==a007948(n):返回k
其他:k-=1
交叉参考
囊性纤维变性。A000010号,A007947号,A051953号,A162306型,A208815型,A272618型,A285328型,A285699型,A285707型,A285709型,A285710型,A285711型.
作者
Istvan Beck(istbe(AT)online.no),2003年2月7日
-1, -2, -2, -3, -2, -3, -2, -4, -3, -2, -2, -4, -2, -2, -3, -5, -2, -2, -2, -4, -3, -1, -2, -5, -3, -1, -4, -4, -2, 2, -2, -6, -2, 0, -3, -4, -2, 0, -2, -5, -2, 3, -2, -3, -4, 0, -2, -5, -3, 0, -2, -3, -2, 0, -3, -5, -2, 0, -2, 2, -2, 0, -4, -7, -3, 6, -2, -2
评论
随着n的增加,a(n)的值通常不太经常为负值。
a(1)=-1。
对于素数p,自1|p起a(p)=-2,共音被限制为除数p。
对于完美素数幂p^e,a(p^e)=-(e+1),因为在p^e的同调项中,所有与p^e没有素因子q互素的m<p^e都是具有1<p^k<=p^e之幂p^k;所有这些p^k除以p^e。
例子
a(30)=2,因为30有8个除数,数字{4,8,9,12,16,18,20,24,25,27}用e>1除以30^e;A243822型(30)=10和A000005号(30) = 8; 10 - 8 = 2. 或者,A010846号(30) = 18; 18 - 2*8 = 2.
a(n)和相关序列的一些值:
----------------------------------------------------
1 -1 1 0 1 0
2 -2 2 0 2 0
3 -2 2 0 2 0
4 -3 3 0 3 0
5 -2 2 0 2 0
6 -3 5 1 4 {4}
7 -2 2 0 2 0
8 -4 4 0 4 0
9 -3 3 0 3 0
10 -2 6 2 4 {4,8}
11 -2 2 0 2 0
12 -4 8 2 6 {8,9}
...
30 2 18 10 8 {4,8,9,12,16,18,20,24,25,27}
...
34 0 8 4 4 {4,8,16,32}
...
数学
表[Count[Range[n],_?(PowerMod[n,Floor@Log2@n,#]==0&)]-2除数Sigma[0,n],{n,68}]
交叉参考
囊性纤维变性。A000005号,A002110号,A010846号,A243822型,A272618型,A272619型,A299991型,A299992型,A300155型,A300156型,A300157型.
30, 42, 60, 66, 70, 74, 78, 82, 84, 86, 90, 94, 98, 102, 106, 110, 114, 118, 120, 122, 126, 130, 132, 134, 138, 140, 142, 146, 150, 154, 156, 158, 162, 165, 166, 168, 170, 174, 178, 180, 182, 186, 190, 194, 195, 198, 202, 204, 206, 210, 214, 218, 220, 222, 226
评论
这个序列列出了在n的余音中非除数k多于除数d的数字。
最小的奇数项是165。
数学
选择[Range@226,Function[n,Count[Range[n],_?(PowerMod[n,Floor@Log2@n,#]==0&)]>2除数Sigma[0,n]]]
6, 10, 12, 14, 15, 18, 20, 21, 22, 24, 26, 28, 33, 35, 36, 39, 40, 44, 45, 48, 51, 52, 55, 56, 57, 63, 65, 68, 69, 72, 75, 76, 77, 80, 85, 87, 88, 91, 92, 93, 95, 96, 99, 100, 104, 108, 111, 112, 115, 116, 117, 119, 123, 124, 129, 133, 135, 136, 141, 143, 144
评论
素数p有2个除数{1,p};这两个数字构成了p的共音:共音中没有非除数。
素数幂p^i有(i+1)除数;同一素数p的所有小幂,即p^j与0<=j<=i,也除以p^i。这些数字构成p^i的余弦;共音中没有非除数。
因此,我们可以忽略n在余音中没有非除数的情况,因为它们的除数明显多于非除数。
这个序列列出了ω(n)>1的(复合)数n,其中n的余弦中的非除数k少于除数d。
最小的奇数项是15。
以下术语m是最小的A001222号(m) ={2,3,4,…}:{6,12,24,48,96,192,384,1152,2304,4608,13824,27648,55296,110592,331776,663552,1327104,3981312,7962624,15925248,…}
0≤k≤7时小于10^k的项数:{0,2,44,319,2171,15545,119469,969749}。
例子
6是第一项,因为它是具有多个不同素数除数的最小数,其除数(4)比A243822型(6) = 1.
数学
选择[Lange@144,Function[n,And[PrimeNu[n]>1,Count[Range[n],_?(PowerMod[n,Floor@Log2@n,#]==0&)]<2除数Sigma[0,n]]]
按行读取三角形:T(n,k)是n的最小幂,可以被k整除,如果不存在这样的幂,则为-1。
+10 4
0, 0, 1, 0, -1, 1, 0, 1, -1, 1, 0, -1, -1, -1, 1, 0, 1, 1, 2, -1, 1, 0, -1, -1, -1, -1, -1, 1, 0, 1, -1, 1, -1, -1, -1, 1, 0, -1, 1, -1, -1, -1, -1, -1, 1, 0, 1, -1, 2, 1, -1, -1, 3, -1, 1, 0, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, 1, 0, 1, 1, 1, -1, 1, -1, 2, 2, -1, -1, 1, 0, -1, -1, -1, -1, -1, -1
评论
T(n,1)=0,自1|n^0起。
T(n,p)=1,对于从p|n^1开始的n的素数p。
对于自d|n^1以来n的除数d>1,T(n,d)=1。
质数p的第n行有最大值1,因为所有k<p都是p的互质,只有当k=p时,k|p^1才有。
大于1的值仅适用于复合n>4的复合k,但并非在所有情况下都适用。复合n的无平方核k的T(n,k)=1。
T(n,k)=-1,对于数k>1对n互素,以及对于是至少一个素数q对n和一个素数p|n的乘积的数。
对于n^k(modk)=0的所有数字k,T(n,k)都是非负的,即k的所有素数p也除以n。
T=floor(log_2(n))的第n行中的最大可能值s,因为任意数m<=n的最大可能重数与2的完美幂有关,因为2是最小素数。当s>1时,此数字s首先出现在T(2^s+2,2^s)处。
如果T(n,k)是正的,1/k终止以n为基数的基数点后的T(n、k)位。如果T(n,k)为负,1/k是以n为底的循环数。
T(a*b,c*d)=最大值(T(a,c),T(b,d)),如果GCD(a,b)=1,GCD。
如果GCD(a,b)=1且T(n,a)>=0且T(n,b)>=0。(结束)
例子
三角形T(n,k)开头(为清楚起见,-1显示为“.”):
n \k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16。。。
1: 0
2: 0 1
3: 0 . 1
4: 0 1 . 1
5: 0 . . . 1
6: 0 1 1 2 . 1
7: 0 . . . . . 1
8: 0 1 . 1 . . . 1
9: 0 . 1 . . . . . 1
10: 0 1 . 2 1 . . 三。1
11: 0 . . . . . . . . . 1
12: 0 1 1 1 . 1 . 2 2 . . 1
13: 0 . . . . . . . . . . . 1
14: 0 1 . 2 . . 1 3 . . . . . 1
15: 0 . 1 . 1 . . . 2 . . . . . 1
...
MAPLE公司
f: =程序(n,k)局部Fk,Fn,i;
如果k=1,则返回0fi;
Fk:=系数(k)[2];
Fn:=映射(t->padic:-ordp(n,t[1]),Fk);
如果min(Fn)=0,则-1其他max(seq(ceil(Fk[i,2]/Fn[i]),i=1..nos(Fk))fi
结束进程:
seq(seq(f(n,k),k=1..n),n=1..20)#罗伯特·伊斯雷尔,2016年12月28日
数学
表[Boole[k==1]+(Boole[#[-1,1]]==1](-1+长度@#)/。0->-1)&@NestWhileList[Function[s,{#1/s,s}]@GCD[#1,#2]&@@#&,{k,n},And[First@#!=1,!CoprimQ@@#]&],{n,16},{k
表[SelectFirst[Range[0,Floor@Log2@n],PowerMod[n,#,k]==0&]/。k_/;MissingQ@k->-1,{n,12},{k,n}]//TableForm(*版本10.2*)
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