显示找到的23个结果中的1-10个。
[n]的置换数A（n，k）避免了k的二进制展开给出的连续步长模式，其中1=向上，0=向下；方阵A（n，k），n>=0，k>=0。
+10
57
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 4, 1, 1, 1, 1, 2, 5, 8, 1, 1, 1, 1, 2, 6, 17, 16, 1, 1, 1, 1, 2, 6, 21, 70, 32, 1, 1, 1, 1, 2, 6, 19, 90, 349, 64, 1, 1, 1, 1, 2, 6, 21, 70, 450, 2017, 128, 1, 1, 1, 1, 2, 6, 23, 90, 331, 2619, 13358, 256, 1, 1
例子
A（4,5）=19，因为有4个！={1,2,3,4}的24个置换，其中只有5个置换不能避免由5=1012:（1,3,2,4），（1,4,2,3），（2,3,1,4）。
方阵A（n，k）开始：
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...
1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, ...
1, 1, 4, 5, 6, 6, 6, 6, 6, ...
1, 1, 8, 17, 21, 19, 21, 23, 24, ...
1, 1, 16, 70, 90, 70, 90, 111, 116, ...
1, 1, 32, 349, 450, 331, 450, 642, 672, ...
1, 1, 64, 2017, 2619, 1863, 2619, 4326, 4536, ...
1, 1, 128, 13358, 17334, 11637, 17334, 33333, 34944, ...
MAPLE公司
A： =proc（n，k）选项记忆；局部b，m，r，h；
如果k<2，则返回1 fi；
m： =iquo（k，2，'r'）；h： =2^ilog2（k）；
b： =proc（u，o，t）选项记忆`如果`（u+o=0，1，
`如果`（t=m且r=0，0，加上（b（u-j，o+j-1，irem（2*t，h）），j=1..u））+
`如果`（t=m且r=1,0，加上（b（u+j-1，o-j，irem（2*t+1，h）），j=1..o））
结束；忘记（b）；
b（n，0，0）
结束时间：
seq（seq（A（n，d-n），n=0..d），d=0..15）；
数学
清除[A]；A[n_，k_]：=A[n，k]=模[{b，m，r，h}，如果[k<2，返回[1]；{m，r}=商余数[k，2]；h=2^楼层[Log[2，k]]；b[u_，o_，t_]：=b[u，o，t]=如果[u+o==0，1，如果[t==m&r==0、0，总和[b[u-j，o+j-1，Mod[2*t，h]]，{j，1，u}]+如果[t=m&r==1，0，总和[b[u+j-1，o-j，Mod[2*t+1，h]，{j，1，o}]]；b[n，0，0]]；表[表[A[n，d-n]，{n，0，d}]，{d，0，15}]//扁平(*Jean-François Alcover公司2014年9月22日，翻译自枫叶*）
交叉参考
列给出：0，1：A000012号, 2:A011782号, 3:A049774号, 4, 6:A177479号, 5:A177477号, 7:A117158号, 8, 14:A177518号, 9:177519英镑, 10:A177520号, 11, 13:A177521号, 12:A177522号, 15:A177523号, 16, 30:A177524号, 17:A177525号, 18, 22:A177526号, 19, 25:A177527号, 20, 26:A177528号, 21:A177529号, 23, 29:A177530号, 24, 28:A177531号, 27:A177532号, 31:177533英镑, 32, 62:177534英镑, 33:A177535号, 34, 46:A177536号, 35, 49:A177537号, 36, 54:A177538号, 37, 41:A177539号, 38:A177540号, 39, 57:A177541号, 40, 58:A177542号, 42:A177543号, 43, 53:A177544号, 44, 50:A177545号, 45:A177546号, 47, 61:A177547号, 48, 60:A177548号, 51:A177549号, 52:A177550号, 55, 59:A177551号, 56:A177552号, 63:A177553号, 127:A230051型, 255:A230231型, 511:A230232型, 1023:A230233型, 2047:A254523号.
行读取的三角形：T（n，k）（n>=1，0<=k<=上限（n/2）-1）=具有k个峰值的[n]排列数。
+10
19
1, 2, 4, 2, 8, 16, 16, 88, 16, 32, 416, 272, 64, 1824, 2880, 272, 128, 7680, 24576, 7936, 256, 31616, 185856, 137216, 7936, 512, 128512, 1304832, 1841152, 353792, 1024, 518656, 8728576, 21253376, 9061376, 353792, 2048, 2084864, 56520704, 222398464, 175627264, 22368256
评论
安德烈（1895）首先定义了这些数字。在他的符号中，T（n，k）=Q（n+1，2*（k+1））表示n>=1和0<=k<=上限（n/2）-1。
他的三角形如下（第148页）：
Q_｛2,2｝
问题{3,2}
Q_{4,2}Q_{4，4}
Q_{5,2}Q_{4}
Q_{6,2}
Q_{7,2}Q_{7.4}Q_}7,6}
...
当s为奇数，或n<=1，或s>n时，他的Q（n，s）=0。此外，当n>=2时，Q_{n，2}=2^（n-2）。
对于n>=3和s>=2，他的复发率是Q（n，s）=s*Q（n-1，s）+（n-s+1）*Q（n-1，s-2）。（显然，对于s奇数，我们得到Q（n，s）=0+0=0。）
就当前数组而言，Andrés（1895）递归变为T（n，k）=（2*k+2）*T（n-1，k）+（n-2*k）*T。在这种情况下，我们假设T（n，k）=0，k>=上限（n/2）或k<0。
（结束）
我们进一步澄清了安德烈（1895）定义的Q（n，s）量。在他的论文中，安德烈考虑了[n]的循环置换，并讨论了置换中的极大值、极小值和所谓的“序列”。
安德烈在19世纪的几篇论文中使用的排列中的“序列”一词是指排列中从最大值到最小值的连续数字列表，反之亦然，并且不包含任何内部最小值或最大值。Comtet在Ex.13（第260-261页）中也重复了这一术语（尽管他指的是相应的指数，而不是排列本身中的数字）。
一些作者将这些所谓的“序列”（由André和Comtet定义）称为“交替运行”（或只是“运行”）。如果我们在一个圆上的两个方向之一以升序阅读这些所谓的“序列”，那么我们实际上是在处理“循环运行”。
Q（n，s）是[n]（在（n-1）中）的循环置换数！总共）正好有这些所谓的“序列”（“交替运行”）中的s。
安德烈（1895）证明，在[n]的循环置换中，最大值的数目等于最小值的数目，并且他所谓的“序列”（“交替运行”）的数目总是偶数（即Q（n，s）=0表示s奇数）。
他还表明，如果v=floor（n/2），那么[n]的循环排列中所谓的“序列”（“交替运行”）的长度的唯一可能值是2，4。。。，2*v.这就是为什么当s是奇数，或n<=1，或s>n时Q（n，s）=0。
注意，求和{t=1..floor（n/2）}Q_{n，2*t}=求和{t=1..flower（n/2”）}t（n-1，t-1）=（n-1）！=[n]的循环置换总数。
由于T（n，k）=Q（n+1，2*（k+1））对于n>=1和0<=k<=上限（n/2）-1，我们得出结论：具有k个峰值的[n]的（线性）排列数等于具有这些所谓“序列”（“交替运行”）的2*（k+1）的[n+1]的循环排列数。
（结束）
该数组的作者间接假设[n]的（线性）置换的“峰值”是置换的内部最大值；即，我们忽略了置换端点处的极大值。
类似地，[n]的（线性）置换的“谷”是置换的内部最小值；即，我们忽略了置换端点处的极小值。
由于置换a_1a_2的补码。。。a_n（使用单行符号，而不是循环符号）是（n+1-a_1）（n+1-a_2）。。。（n+1-a_n），因此，对于n>=2和0<=k<=上限（n/2）-1，T（n，k）也是[n]的（线性）置换数，正好有k个谷。
（结束）
参考文献
弗洛伦斯·南丁格尔·大卫和D.E.巴顿，《组合机会》，查尔斯·格里芬，1962年；见表10.6，第163页。[他们使用符号T_{N，T^*}^{**}，其中N是置换的长度，T^*是置换中的峰数。他们还给出了André的递归。因此，这里N=N，k=T^*-Petros Hadjicostas公司，2019年8月9日]
Florence Nightingale David、Maurice George Kendall和D.E.Barton，对称函数和联合表，剑桥，1966年，第261页，表7.3。
I.P.Goulden和D.M.Jackson，《组合计数》，John Wiley and Sons，纽约，1983年，示例3.3.46-Emeric Deutsch公司2009年7月26日
T.K.Petersen，《欧拉数字》，Birkhäuser，2015年，第4章。
链接
S.Billey、K.Burdzy和B.E.Sagan，给定峰值集的排列，arXiv:1209.0693[math.CO]，2012年。
S.Billey、K.Burdzy和B.E.Sagan，给定峰值集的排列，J.国际顺序。16 (2013), #13.6.1.
C.-O.Chow、S.-M.Ma、T.Mansour和M.Shattuck，按循环峰谷计算排列，《数学与信息学年鉴》43（2014），43-54。
S.Elizalde和M.Noy，排列中的连续模式，高级申请。数学。30 (2003), 110-125; 见第5节。
R.C.恩林格，（1，…，n）置换的极大数计数杜克大学数学系。J.36（1969），575-579.-Ira M.Gessel，2013年10月23日
C.J.Fewster和D.Siemssen，按运行结构枚举排列，arXiv预印本arXiv:1403.1723[math.CO]，2014。
马仕美、马骏、叶让和叶荣南，B型1/k-欧拉多项式，arXiv:2001.07833[math.CO]，2020年。
Louis W.Shapiro、Wen-Jin Woan和Seyoum Getu，跑步、滑梯和精彩瞬间，SIAM J.代数与离散方法4（1983），459-466；见第461页。
闫庄，按运行计数排列，J.Comb。理论Ser。A 142（2016），第147-176页。
配方奶粉
例如：g（t，z）=[exp（bz）-exp（az）]/[b*exp-
求和{k>=0}k*T（n，k）=n*（n-2）/3=A090672号（n-1）。
第n行有上限（n/2）条款。（结束）
例如：tan（t*sqrt（x-1））/（sqrtt+2*t^2/2！+（4+2*x）*t^3/3！+（8+16*x）*t^4/4！+。。。。行生成多项式P（n，x）满足x^（n-1）*P（n、1+1/x^2）=R（n-1，x），其中R（n，x）是A185896号.A000670号（n） =（3/2）^（n-1）*P（n，8/9）-彼得·巴拉2011年10月14日
对于n>1和k>1，T（n，k）=（n-2*k+2）*T（n-1，k-1）+2*k*T（n-1，k）；T（n，1）=2^（n-1）；当k＞1时，T（1，k）＝0。
T（2*n，k）=4^（n-k+1）*Sum_{p=0..k}（-1）^p*（2*p+2*n-2*k-1）/（p+2*n-2*k-1(A008292号（2*n，k-p+1）+A008292号（2*n，2*n+p-k））。
T（2*n+1，k）=4^（n-k）*Sum_{p=0..k}（-1）^p*（p+n-k）/（p+2*n-2*k）二项式（p+2*n-2*k，p）(A008292号（2*n+1，k-p+1）+A008292号（2*n，2*n+p-k+1））对于k<>n（结束）
例子
三角形T（n，k）（行n>=1，列k>=0）的起始位置如下：
[ 1] 1;
[ 2] 2;
[ 3] 4, 2;
[ 4] 8, 16;
[ 5] 16, 88, 16;
[ 6] 32, 416, 272;
[ 7] 64, 1824, 2880, 272;
[ 8] 128, 7680, 24576, 7936;
[ 9] 256, 31616, 185856, 137216, 7936;
[10] 512, 128512, 1304832, 1841152, 353792;
T（3,1）=2，因为我们有132和231。
根据安德烈（1895）的符号（见上面的注释），我们有Q（4,2）=T（3,0）=4和Q（4,1）=T（3,1）=2。
超出（4-1）！=[4]的6个循环排列，排列1324和1423中的每个排列正好有4个所谓的“序列”（“交替运行”），而其余的每个排列（1234、1243、1342和1432）正好有2个所谓的序列（“交替循环”）。
具体来说，我们列出了上述循环排列的所谓“序列”（“交替运行”）：
1234-->1234和41（最多4个，最少1个）。
1243-->124和431（最多4个，最少1个）。
1324-->13、32、24和41（最大值3、4和最小值1、2）。
1342-->134和421（最多4个，最少1个）。
1423-->14、42、23和31（最大值3、4和最小值1、2），
1432->14和4321（最大值为4，最小值为1）。
（结束）
MAPLE公司
#Maple程序生成（通过直接计数）程序中指定的行n的生成多项式。
n:=8：使用（组合）：P:=置换（n）：st:=proc（P）局部ct，j:ct:=0：对于j从2到nops（P）-1 do，如果P[j-1]<P[j]和P[j+1]<P[j]，那么ct:=ct+1 else end if end do:ct end proc:sort（add（t^st（P[j]），j=1。。阶乘（n））#Emeric Deutsch公司2009年7月26日
#第二届枫叶计划：
a:=1+sqrt（1-t）：b:=1-sqrt（1-t）：G:=（exp（b*z）-exp（a*z））/（b*exp（a**）-a*exp。。ceil（（1/2）*n）-1）结束do；#以三角形形式生成序列-Emeric Deutsch公司2009年7月26日
#第三届枫叶计划：
b： =proc（u，o，t）选项记忆；展开（`if`（u+o=0，1，
加（b（u-j，o+j-1，0）*x^t，j=1..u）+
加（b（u+j-1，o-j，1），j=1..o））
结束时间：
T： =n->（p->seq（系数（p，x，i），i=0..度（p））（b（n，0$2））：
#D.André的复发（1895年）。
T:=proc（n，k）选项记忆；
如果n<1或2*k>（n-1），则返回0 fi；
如果k=0，则返回2^（n-1）fi；
（2*k+2）*T（n-1，k）+（n-2*k）*T
seq（seq（T（n，k），k=0..（n-1）/2），n=1..12）#彼得·卢什尼2019年8月6日
数学
来自Luc Roy，2010年7月8日：（开始）
展开[CoefficientList[Simplify[Inverse Series[Integrate[
序列[（1+m正弦[x]^2）^（-1），{x，0，15}，{m，0，15}]，x]]，x]
分母[系数列表[系列[Exp[x]，{x，0，15}]，x]]]
（*Luc Roy程序的Mathematica输出*）
{0，1，0，2 m，0，8 m+16 m^2，0，32 m+416 m^2+272 m^3，0，128 m+7680 m^2+44576 m^3+7936 m^4，0，512 m+128512 m^2+1304832 m^3+1841152 m^4+353792 m^5，0，2048 m+2084864 m^2+56520704 m^3+222398464 m^4+175627264 m^5+22368256 m^6，0，8192 m+33497088 m^2+2230947840平方米3+20261765120平方米4+41731645440平方米5+21016670208平方米^6+1903757312平方米7}
（结束）
（*另一个Mathematica程序*）
m=14；a=1+平方[1-t]；b=1-平方[1-t]；
g[z_]=（E^（b*z）-E^（a*z））/（b*E^；
gser=系列[g[z]，{z，0，m}]；
做[p[n]=n*系数[gser，z，n]//简化，{n，0，m}]；
扁平[表[系数[p[n]，t，j]，{n，0，m}，{j，0，天花板[n/2]-1}]]
表[表[系数[p[n]，t，j]，{n，0，m}，{j，0，上限[n/2]-1}]]
gf:=平方[x-1]Cot[y平方[x-1]]-1；ser:=系列[1/gf，{y，0，16}]；
cy[n]：=n！系数[ser，y，n]；行[n_]：=系数列表[cy[n]，x]；
表[行[n]，｛n，1，12｝]//压扁(*彼得·卢什尼2019年8月6日*）
黄体脂酮素
（C++）
#包括<vector>
#包括<iostream>
使用命名空间标准；
int峰值（常数向量<int>&perm）{
int pks=0；
for（int i=1；i<perm.size（）-1；i++）
如果（perm[i]>perm[i+1]&&perm[i]>perm[i-1]）pks++；
返回pks；
}
int main（int argc，char*argv[]）{
整数n=1；
如果（argc>1）n=atoi（argv[1]）；
int nmax=n+12；
如果（argc>2）nmax=atoi（argv[2]）；
对于（；n<nmax；n++）{
常数整型kmax=（n+1）/2；
向量<int>Tnk（kmax）；
向量<int>perm（n）；
对于（int i=0；i<n；i++）perm[i]=i+1；
int pks=峰值（perm）；
Tnk[pks]++；
while（next_permutation（perm.begin（），perm.end（）））{
pks=峰值（perm）；
Tnk[pks]++；
}
for（int i=0；i<Tnk.size（）；i++）cout<<Tnk[i]<<“，”；
}
}
（PARI）{T（n，k）=if（n＜1，0，my（z＝sqrt（1-y+y*O（y^（n\2））））；n！*polcoeff（polcoeff（z/（z-tanh（x*z）），n，x），k））}/*迈克尔·索莫斯2023年5月24日*/
交叉参考
T（2n，n-1）=T（2n+1，n）=A000182号（n+1）（正切数）。（结束）
行读取的三角形：T（n，k）是{1,2，…，n}具有k个双下降点（0<=k<=n-2）的置换数。我们说，如果p（i）>p（i+1）>p（i+2），i是置换p的双下降（也称为双下降）。
+10
18
1, 1, 2, 5, 1, 17, 6, 1, 70, 41, 8, 1, 349, 274, 86, 10, 1, 2017, 2040, 803, 167, 12, 1, 13358, 16346, 8221, 2064, 316, 14, 1, 99377, 143571, 86214, 28143, 4961, 597, 16, 1, 822041, 1365354, 966114, 374166, 88482, 11486, 1138, 18, 1
评论
第n行（n>=2）包含n-1个条目。
第一个Maple程序（通过直接计数）生成指定行n的生成多项式。
参考文献
I.P.Goulden和D.M.Jackson，组合计数，威利，纽约，1983年。
链接
S.Elizalde和M.Noy，排列中的连续模式，高级申请。数学。30 (2003), 110-123.
P.Flajolet和R.Sedgewick，分析组合数学, 2009; 参见第210页
Y.庄，按运行计数排列，J.Comb。理论Ser。A 142（2016），第147-176页。
配方奶粉
例如：1/（1-x-求和{k，n}I（n，k）（y-1）^k*x^n/n！）其中I（n，k）是yx^3/（1-y*x-y*x^2）的普通生成函数展开中y^k*x^n的系数。请参阅链接部分中的Flajolet和Sedgewick参考-杰弗里·克雷策2012年12月12日
例子
T（5,2）=8，因为我们有15432、25431、35421、43215、45321、53214、54213和54312。
三角形开始：
1;
1;
2;
5, 1;
17, 6, 1;
70, 41, 8, 1;
349, 274, 86, 10, 1;
MAPLE公司
n:=7:dds:=proc（p）local ct，j:ct:=0：对于从3到nops（p）的j，如果p[j]<p[j-1]和p[j-1-]<p[2]，那么ct:=ct+1 else end if end do:ct end proc:with（组合）：p:=置换（n）：f[n]：=排序（添加（t^dds（p[i]），i=1。。阶乘（n））；
#第二个Maple项目：
b： =proc（u，o，t）选项记忆`如果`（u+o=0，1，展开(
加（b（u-j，o+j-1，1），j=1..u）+
加（b（u+j-1，o-j，2）*`如果`（t=2，x，1），j=1..o））
结束时间：
T： =n->（p->seq（系数（p，x，i），i=0..度（p）））（b（n，0，1））：
数学
nn=10；u=y-1；a=应用[Plus，表[Normal[Series[y x ^3/（1-y x-y x ^2），{x，0，nn}][[n]]/（n+2）！，{n，1，nn-2}]/.y->u；范围[0，nn]！系数列表[级数[1/（1-x-a），{x，0，nn}]，{x、y}]//网格(*杰弗里·克雷策2012年12月12日*）
交叉参考
列k=0..10给出A049774美元,A274997型,A230621型,A279292型,A279293型,A279294型,A279295型,1979年2月,A279297号,A279298型,A279299型.
[n]的置换的数量T（n，k），连续阶跃模式上、下、下精确出现k次；三角形T（n，k），n>=0，0<=k<=max（0，floor（（n-1）/3）），按行读取。
+10
14
1, 1, 2, 6, 21, 3, 90, 30, 450, 270, 2619, 2322, 99, 17334, 20772, 2214, 129114, 195372, 38394, 1067661, 1958337, 591543, 11259, 9713682, 20933154, 8826246, 443718, 96393726, 238789782, 131367258, 12450834, 1036348587, 2900868876, 1989555210, 297195804, 3052323
评论
T（n，k）也是[n]的置换数，连续阶跃模式上下出现k次。
列k渐近于c（k）*（3*sqrt（3）/（2*Pi））^n*n！*n ^k。
猜想：c（k）=c（0）*（c（0”-1）^k/（3^k*k！）。
数字验证：
c（0）=1.96650951227123825842868…=（1+exp（Pi/sqrt（3）））*平方（3）/（2*Pi）
c（1）=0.63355004986067503869384。。。
c（2）=0.10205535828170995196503。。。
c（3）=0.01095971939528021798。。。
c（4）=0.000882722753946826148。。。
c（5）=0.00005687732922585807984。。。
c（6）=0.000003054026651631929902。。。
c（7）=0.0000001405593242634352116。。。
c（8）=0.000000566049683079281633。。。
c（9）=0.000000000 2026268159682390665。。。
c（10）=0.00000000000652802483581788974。。。
c（20）=1.172921625090753…*10^（-28）
c（30）=1.2959323…*10^（-47）
c（40）=5.0751…*10^（-68）
（结束）
例子
T（4,1）=3：（1,4,3,2），（2,4,3,1），（3,4,2,1）。
三角形T（n，k）开始于：
: 0 : 1;
: 1 : 1;
: 2 : 2;
: 3 : 6;
: 4 : 21, 3;
: 5 : 90, 30;
: 6 : 450, 270;
: 7 : 2619, 2322, 99;
: 8 : 17334, 20772, 2214;
: 9 : 129114, 195372, 38394;
: 10 : 1067661, 1958337, 591543, 11259;
: 11 : 9713682, 20933154, 8826246, 443718;
MAPLE公司
b： =proc（u，o，t）选项记忆`如果`（u+o=0，1，展开(
加（b（u-j，o+j-1，[1，3，1][t]）*`如果`（t=3，x，1），j=1..u）+
加（b（u+j-1，o-j，2），j=1..o））
结束时间：
T： =n->（p->seq（系数（p，x，i），i=0..度（p）））（b（n，0，1））：
seq（T（n），n=0..15）；
数学
b[u_，o_，t_]：=b[u，o，t]=如果[u+o==0，1，展开[Sum[b[u-j，o+j-1，{1，3，1}[[t]]*如果[t==3，x，1]，{j，1，u}]+和[b[u+j-1，o-j，2]，{j、1，o}]]；T[n_]：=函数[{p}，表[系数[p，x，i]，{i，0，指数[p，x]}][b[n，0，1]]；表[T[n]，{n，0，15}]//扁平(*Jean-François Alcover公司2015年2月10日之后阿洛伊斯·海因茨*)
交叉参考
k=0-10列给出：A177479号,A246246号,46247英镑,A246248型,A246249号,A246250型,A246251型,A246252型,A246253号,246254英镑,A246255型.
连续阶跃模式010或101正好出现k次（可能重叠）的[n]置换的数量T（n，k），其中1=向上，0=向下；三角形T（n，k），n>=0，k=max（0，n-3），按行读取。
+10
11
1, 1, 2, 6, 14, 10, 52, 36, 32, 204, 254, 140, 122, 1010, 1368, 1498, 620, 544, 5466, 9704, 9858, 9358, 3164, 2770, 34090, 67908, 90988, 72120, 63786, 18116, 15872, 233026, 545962, 762816, 839678, 560658, 470262, 115356, 101042, 1765836, 4604360, 7458522
例子
三角形T（n，k）开始于：
: 1;
: 1;
: 2;
: 6;
: 14, 10;
: 52, 36, 32;
: 204, 254, 140, 122;
: 1010, 1368, 1498, 620, 544;
: 5466, 9704, 9858, 9358, 3164, 2770;
: 34090, 67908, 90988, 72120, 63786, 18116, 15872;
: 233026, 545962, 762816, 839678, 560658, 470262, 115356, 101042;
MAPLE公司
b： =proc（u，o，t，h）选项记忆；展开(
`如果`（u+o＝0，1，`如果`（t＝0，加上（b（u-j，j-1，1$2），j＝1..u），
加法（`if`（h=3，x，1）*b（u-j，o+j-1，[1，3，1][t]，2），j=1..u）+
加法（`if`（t=3，x，1）*b（u+j-1，o-j，2，[1，3，1][h]），j=1..o））
结束时间：
T： =n->（p->seq（系数（p，x，i），i=0..度（p））（b（n，0$3））：
seq（T（n），n＝0..12）；
数学
b[u_，o_，t_，h]：=b[u，o，t，h]=展开[If[u+o==0，1，If[t==0、Sum[b[u-j，j-1，1，1]、{j，1，u}]、Sum[如果[h==3，x，1]*b[u.j，o+j-1，{1，1}[t]]、2]、{j、1、u}]+总和[If[Ct==3、x、1]*b[u+j-1、o-j，2，{1，3，1}[[h]]，{j，1，o}]]]；
T[n_]：=函数[p，表[系数[p，x，i]，{i，0，指数[p，x]}][b[n，0，0，0]]；
[n]的置换的数量T（n，k），其连续阶梯模式上、下、上、下恰好出现k次（可能重叠）；三角形T（n，k），n>=0，0<=k<=max（0，floor（（n-3）/2）），按行读取。
+10
6
1, 1, 2, 6, 24, 104, 16, 528, 192, 3296, 1472, 272, 23168, 12800, 4352, 179712, 132352, 42880, 7936, 1573632, 1366016, 530432, 158720, 15207424, 14781952, 7662336, 1911296, 353792, 158880768, 178102272, 101713920, 31813632, 8491008, 1801996288, 2282645504
例子
T（5,1）=16:13254、14253、14352、15243、15342、23154、24153、24351、25143、25341、34152、34251、35142、35241、45132、45231。
T（7.2）=272:1325476、1326475、1326574。。。，6735241, 6745132, 6745231.
三角形T（n，k）开始于：
: 0 : 1;
: 1 : 1;
: 2 : 2;
: 3 : 6;
: 4 : 24;
: 5 : 104, 16;
: 6 : 528, 192;
: 7 : 3296, 1472, 272;
: 8 : 23168, 12800, 4352;
: 9 : 179712, 132352, 42880, 7936;
: 10 : 1573632, 1366016, 530432, 158720;
MAPLE公司
b： =proc（u，o，t）选项记忆`如果`（u+o=0，1，展开(
加（b（u-j，o+j-1，[1，3，1，3][t]）*`如果`（t=4，x，1），j=1..u）+
加（b（u+j-1，o-j，[2，2，4，2][t]），j=1..o））
结束时间：
T： =n->（p->seq（系数（p，x，i），i=0..度（p）））（b（n，0，1））：
数学
b[u_，o_，t_]：=b[u，o，t]=如果[u+o==0，1，展开[Sum[b[u-j，o+j-1，{1，3，1，3}[[t]]*如果[t==4，x，1]，{j，1，u}]+和[b[u+j-1，o-j，{2，2，4，2}[t]]，{j，1，o}]]；T[n_]：=函数[p，表[系数[p，x，i]，{i，0，指数[p，x]}][b[n，0，1]]；表[T[n]，{n，0，15}]//扁平(*Jean-François Alcover公司2016年10月24日之后阿洛伊斯·海因茨*)
[n]的置换的数量T（n，k），连续阶梯模式上下上精确出现k次（可能重叠）；三角形T（n，k），n>=0，0<=k<=max（0，floor（n/2）-1），按行读取。
+10
5
1, 1, 2, 6, 19, 5, 70, 50, 331, 328, 61, 1863, 2154, 1023, 11637, 16751, 10547, 1385, 81110, 144840, 102030, 34900, 635550, 1314149, 1109973, 518607, 50521, 5495339, 12735722, 13046040, 6858598, 1781101, 51590494, 134159743, 157195762, 97348436, 36004400
例子
T（4,1）=5:13241423231424133412。
三角形T（n，k）开始于：
: 0 : 1;
: 1 : 1;
: 2 : 2;
: 3 : 6;
: 4 : 19, 5;
: 5 : 70, 50;
: 6 : 331, 328, 61;
: 7 : 1863, 2154, 1023;
: 8 : 11637, 16751, 10547, 1385;
: 9 : 81110, 144840, 102030, 34900;
: 10 : 635550, 1314149, 1109973, 518607, 50521;
MAPLE公司
b： =proc（u，o，t）选项记忆`如果`（u+o=0，1，展开(
加（b（u-j，o+j-1，[1，3，1][t]），j=1..u）+
加（b（u+j-1，o-j，2）*`如果`（t=3，x，1），j=1..o））
结束时间：
T： =n->（p->seq（系数（p，x，i），i=0..度（p）））（b（n，0，1））：
seq（T（n），n=0..15）；
数学
b[u_，o_，t_]：=b[u，o，t]=如果[u+o==0，1，展开[Sum[b[u-j，o+j-1，{1，3，1}[[t]]，{j，1，u}]+总和[b[u+j-1，o-j，2]*如果[t==3，x，1]，{j，1，o}]]；
T[n_]：=函数[p，表[系数[p，x，i]，{i，0，指数[p，x]}][b[n，0，1]]；
[n]的置换数p，使得p的上升和下降序列分别由n的二进制展开式中的0和1编码（从右向左读取，必要时使用前导0）。
+10
5
1, 0, 0, 1, 3, 16, 26, 20, 69, 370, 1006, 945, 1266, 3015, 2365, 1001, 4367, 24736, 76960, 69615, 138397, 322944, 286824, 133056, 159391, 546504, 978054, 674245, 531530, 957320, 495495, 142506, 906191, 5537808, 18828096, 16231039, 37000909, 81351936, 71761536
配方奶粉
a（2^n-1）=二项式（2^n-2，n）。
a（2^n）=二项式（2^ n，n+1）-1。
例子
a（0）=1:（），空置换。
a（3）=1:321（向下，向下）。
a（4）=3:1243、1342、2341（向上、向上、向下）。
a（5）=16:21435、21534、31425、31524、32415、32514、41325、41523、42315、42513、43512、51324、51423、52314、52413、53412（下、上、下、上）。
a（6）=26:143256、153246、154236、163245、164235、165234、243156、253146、254136、263145、264135、265134、342156、352146、354126、362145、364125、365124、452136、453126、462135、463125、465123、562134、563124、564123（上、下、上、上）。
a（7）=20:4321567，5321467，5421367，5431267，6321457，6421357，6431257，6521347，6531247，6541237，7321456，7421356，7431256，7521346，7531246，7541236，7621345，7631245，7641235，7651234（向下^3，向上^3）。
MAPLE公司
b： =proc（u，o，t）选项记忆`如果`（u+o=0，`如果`（t=0，1，0），
`如果`（irem（t，2）=0，加上（b（u-j，o+j-1，iquo（t，2）），j=1..u），
加（b（u+j-1，o-j，iquo（t，2），j=1..o））
结束时间：
a： =n->b（n，0，2*n）：
seq（a（n），n=0..42）；
[n]的置换的数量T（n，k），连续阶梯模式up-down，down，up正好出现k次（可能重叠）；三角形T（n，k），n>=0，0<=k<=max（0，floor（（n-2）/3）），按行读取。
+10
4
1, 1, 2, 6, 24, 109, 11, 588, 132, 3654, 1386, 26125, 13606, 589, 209863, 139714, 13303, 1876502, 1508756, 243542, 18441367, 17429745, 3953529, 92159, 197776850, 214536114, 63334182, 3354454, 2297242583, 2815529811, 1020982869, 93265537, 28739304385
例子
T（5,1）=11:14325、15324、15423、24315、25314、25413、34215、35214、35412、45213、45312。
T（8,2）=589:143276581432865714328756。。。，78635412, 78645213, 78645312.
三角形T（n，k）开始于：
: 0 : 1;
: 1 : 1;
: 2 : 2;
: 3 : 6;
: 4 : 24;
: 5 : 109, 11;
: 6 : 588, 132;
: 7 : 3654, 1386;
: 8 : 26125, 13606, 589;
: 9 : 209863, 139714, 13303;
: 10 : 1876502, 1508756, 243542;
: 11 : 18441367, 17429745, 3953529, 92159;
MAPLE公司
b： =proc（u，o，t）选项记忆`如果`（u+o=0，1，展开(
加（b（u-j，o+j-1，[1，3，4，1][t]），j=1..u）+
加（b（u+j-1，o-j，2）*`如果`（t=4，x，1），j=1..o））
结束时间：
T： =n->（p->seq（系数（p，x，i），i=0..度（p）））（b（n，0，1））：
seq（T（n），n=0..15）；
数学
b[u_，o_，t_]：=b[u，o，t]=如果[u+o==0，1，展开[
求和[b[u-j，o+j-1，{1，3，4，1}[[t]]，{j，1，u}]+
求和[b[u+j-1，o-j，2]*如果[t==4，x，1]，{j，1，o}]]]；
T[n_]：=系数列表[b[n，0，1]，x]；
避免由n的二进制展开给出的连续步长模式的[n]排列数，其中1=向上，0=向下。
+10
4
1, 1, 2, 5, 21, 70, 450, 4326, 34944, 209863, 1573632, 21824925, 302273664, 2854894485, 60269056512, 1207441809209, 19346879737625, 252773481889854, 2918333808555034, 69792946997645295, 982945842995115000, 16085109561896603059, 402131210857811703926
例子
a（4）=21，因为有4！={1,2,3,4}的24个置换（其中只有3个置换）无法避免4=1002:（1,4,3,2），（2,4,3,1），（3,4,2,1）的二进制展开所给出的上、下、下连续阶梯模式。
MAPLE公司
a： =proc（n）选项记忆；局部b，m，r，h；
如果n<2，则返回1fi；
m： =iquo（n，2，'r'）；h： =2^ilog2（n）；
b： =proc（u，o，t）选项记忆`如果`（u+o=0，1，
`如果`（t=m且r=0，0，加上（b（u-j，o+j-1，irem（2*t，h）），j=1..u））+
`如果`（t=m且r=1,0，加上（b（u+j-1，o-j，irem（2*t+1，h）），j=1..o））
结束；忘记（b）；
b（n，0，0）
结束时间：
seq（a（n），n=0..30）；
数学
a[n_]：=a[n]=模块[{b，m，r，h}，
如果[n<2，返回[1]；{m，r}=商余数[n，2]；
h=2^(长度@整数位数[n，2]-1）；
b[u_，o_，t_]：=b[u，o，t]=如果[u+o==0，1，
如果[t==m&&r==0，0，
总和[b[u-j，o+j-1，Mod[2t，h]]，{j，1，u}]]+
如果[t==m&&r==1，0，
求和[b[u+j-1，o-j，Mod[2t+1，h]]，{j，1，o}]]；
b[n，0，0]]；
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