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| A101280号 |
| 按行读取三角形T（n，k）（n>=1，0<=k<=floor（（n-1）/2）），其中T（n，k）=（k+1）T（n-1，k）+（2n-4k）T（n-1，k-1）。 |
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4
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1, 1, 1, 2, 1, 8, 1, 22, 16, 1, 52, 136, 1, 114, 720, 272, 1, 240, 3072, 3968, 1, 494, 11616, 34304, 7936, 1, 1004, 40776, 230144, 176896, 1, 2026, 136384, 1328336, 2265344, 353792, 1, 4072, 441568, 6949952, 21953408, 11184128, 1, 8166, 1398000, 33981760
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,4
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评论
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第n行有上限（n/2）条款。
夏皮罗等人的论文解释了为什么T（n，k）是具有k个峰值的n个元素的排列数，并且进一步说明了每一个上升（上升）都紧接着一个峰值。[即，置换p_1…p_n具有进一步的属性，即（j>1和p_{j-1}<p_j）暗示（j<n和p_j>p_{j+1}）。]例如，在n=4、k=1的情况下，T（4,1）=8置换是1423、2143、2431、3142、3241、3421、4231、4132。
描述这一性质的一种更优雅的方法是：T（n，k）是具有k个下降的n个对象的排列数，使得每个下降都是一个峰值。n=4和k=1的八个示例现在是1243、1324、1342、1423、2314、2341、2413、3412。
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参考文献
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D.Foata和V.Strehl，“欧拉数和排列的变化”，载于国际组合学术讨论会，罗马，1973年9月，（Atti dei Convegni Lincei 17，罗马，1976年），129。
韩国牛，朱海德，曾江，基于A型和B型q-Eulerian多项式的q积分的两个新三角形，Ramanujan J（2013）31:115-127，DOI 10.1007/s11139-012-9389-3
T.K.Petersen，《欧拉数字》，Birkhauser，2015年，第4章。
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链接
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F.Bergeron，Ph.Flajolet和B.Salvy，增加树木的种类《计算机科学讲义》第581卷，J.-C.Raoult编辑，施普林格1992年，第24-48页。
L.Carlitz和Richard Scoville，广义欧拉数：组合应用《数学杂志》第265页（1974年），第111页。
D.Foata和M.P.Schützenberger，欧洲波利尼昂博物馆，arXiv:math/0508232[math.CO]，2005；数学讲义。138 (1970), 81-83.
Shi Mei Ma和Yeong Nan Yeh，置换的交替运行多项式，arXiv:1904.11437[math.CO]，2019年。见第4页。
A.Postnikov、V.Reiner和L.Williams，广义置换面，arXiv:math/0609184[math.CO]，2006-2007年。[彼得·巴拉2008年10月28日]
L.W.Shapiro、W.-J.Woan和S.Getu，跑步、滑梯和精彩瞬间，SIAM J.Alg。离散方法，4（1983），459-466。
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配方奶粉
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G.f.：和{n>=1，k>=0}T（n，k）T^kz^n/n！=C（t）（2-C（t；这里C（t）=（1-sqrt（1-4t））/2t是加泰罗尼亚数的生成函数(A000108号).
求和{k}欧拉（n，k）x^k=求和{k}T（n，k）x^k（1+x）^（n-1-2k）。例如，1+11x+11x^2+x^3=（1+x）^3+8x（1+x）。
设r（t）=sqrt（1-2*t），w（t）=（1-r（t。定义F（t，z）=r（t）*（1+w（t）*exp（r（t（t+t^2）*z^3/3！+（t+4*t^2）*z^4/4！+。。。；F（t，z）是代表A094503号.本表的示例f.为A（t，z）：=（f（2*t，z-1）/（2*t）=z+z^2/2！+（1+2*t）*z^3/3！+（1+8*t）*z^4/4！+。。。。
例如，f.A（t，z）满足自治偏微分方程dA/dz=1+A+t*A^2，其中A（t、0）=0。因此，反函数A（t，z）^（-1）可以表示为一个积分：A（t、z）^（-1）=int{x=0..z}1/（1+x+t*x^2）dx。
应用[Dominici，定理4.1]来反演积分，给出了计算表中行多项式R（n，t）的以下方法：设f（t，x）=1+x+t*x^2，并设D是算子f（t、x）*D/dx。然后R（n+1，t）=D^n（f（t，x））在x=0处进行评估。
根据Bergeron等人的定理1，行多项式R（n，t）是根平面在n个顶点上增加0-1-2树的生成函数，其中超次2的顶点具有权重t，所有其他顶点具有权重1。下面给出了一个示例。
（结束）
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例子
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三角形开始：
1;
1,
1, 2;
1, 8,
1, 22, 16;
1、52、136中，
1, 114, 720, 272;
...
n=4:在4个顶点上增加0-1-2树的9个加权平面为
..................................................................
..4...............................................................
..|...............................................................
..3..........4...4...............4...4...............3...3........
..|........./.....\............./.....\............./.....\.......
..2....2...3.......3...2...3...2.......2...3...4...2.......2...4..
..|.....\./.........\./.....\./.........\./.....\./.........\./...
..1……（t）1……….（t）1。。。。
..................................................................
..3...4...4...3...................................................
...\./.....\./....................................................
.（t）2。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。
....|.......|.....................................................
....1.......1.....................................................
因此R（4，t）=1+8*t。
（结束）
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枫木
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T： =proc（n，k）如果k<0，则0 elif n=1，k=0，则1 elif k>floor（n-1）/2），然后0 else（k+1）*T（n-1，k）+（2*n-4*k）*T以三角形形式生成序列#Emeric Deutsch公司2005年8月6日
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数学
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t[_，k_？负]=0；t[1，0]=1；t[n，k]/；k>（n-1）/2=0；t[n，k]：=t[n、k]=（k+1）*t[n-1，k]+（2*n-4*k）*t[n-1，k-1]；表[t[n，k]，{n，1，13}，{k，0，（n-1）/2}]//扁平(*Jean-François Alcover公司2012年11月22日*）
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交叉参考
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关键词
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非n,标签,容易的
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作者
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扩展
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经核准的
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