搜索： a008303-编号：a008303
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A334774飞机
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| 按行读取的三角形：T（n，k）是1..n的2个不可区分副本的排列数，正好有k个局部最大值。 |
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26
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1, 3, 3, 9, 57, 24, 27, 705, 1449, 339, 81, 7617, 48615, 49695, 7392, 243, 78357, 1290234, 3650706, 2234643, 230217, 729, 791589, 30630618, 197457468, 314306943, 128203119, 9689934, 2187, 7944321, 686779323, 9080961729, 30829608729, 31435152267, 9159564513, 529634931
(列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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1,2
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评论
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此外，1…n的2个不可区分副本的排列数正好具有k-1个峰值。峰值是内部最大值。
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链接
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配方奶粉
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T（n，k）=F（2，n，k-1,0），其中F（m，n，p，q）=和{i=0..p}和{j=0..min（m-i，q）}F（m、n-1，p-i，q-j+i）*二项式（m+2*（q-j）+1，2*q+i-j+1）*二项式（q-j+1）p>0时，1，p，q）=0。
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示例
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三角形开始：
1;
3, 3;
9, 57, 24;
27, 705, 1449, 339;
81, 7617, 48615, 49695, 7392;
243, 78357, 1290234, 3650706, 2234643, 230217;
729、791589、30630618、197457468、314306943、128203119、9689934；
...
1122的T（2,1）=3排列具有1个局部极大值，分别为1122、1221、2211。
1122的T（2，2）=3排列有2个局部极大值，分别为1212，2112，2121。
1122的T（2,1）=3排列，0个峰为221121122。
1122的T（2,2）=3排列有1个峰，为2121121212。
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黄体脂酮素
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（PARI）
峰值（sig，D）={
my（F（lev，p，q）=我的（key=[lev，p，q]，z）；如果（！mapisdefined（FC，key，&z），
my（m=sig[lev]）；z=if（lev==1，if（p==0，二项式（m-1，q），0），和（i=0，p，和（j=0，min（m-i，q）），self（）（lev-1，p-i，q-j+i）*二项式式（m+2*（q-j）+1，2*q+i-j+1）*二项式（q-j+1，i）*二项式（q+j+1，j）））；
映射（FC，键，z））；z） ；
本地（FC=Map（））；
向量（#D，i，F（#sig，D[i]，0））；
}
行（n）={PeaksBySig（向量（n，i，2），[0..n-1]）}
{用于（n=1,8，打印（行（n））}
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交叉参考
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关键词
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作者
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经核准的
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A242783型
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| [n]的置换数T（n，k），其中n的二进制展开式给出的连续步长模式正好出现k次（可能重叠），其中1=向上，0=向下；三角形T（n，k），n>=0，按行读取。 |
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+10
24
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1, 1, 2, 5, 1, 21, 3, 70, 50, 450, 270, 4326, 602, 99, 12, 1, 34944, 5376, 209863, 139714, 13303, 1573632, 1366016, 530432, 158720, 21824925, 15302031, 2715243, 74601, 302273664, 161855232, 14872704, 2854894485, 2600075865, 712988175, 59062275
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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0.3
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评论
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链接
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示例
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T（7,3）=12，因为{1,2,3,4,5,6,7}的12个排列正好有3个（可能重叠）连续阶梯模式向上，向上，向上，由7=111_2的二元展开给出：（1,2,3,4,5,7,6），（1,2,3,4,6,7,5），（1,2,3,5,6,7,4），（1,2,4,5,6,7,7,3），（1,3,4,5,6,7,7,2），（2,1,3,4,5,6,7,7），（2,3,4,5,6,7,1），（3,1,2,4,5,6,7,7），（4,1,2,3,5,6,7,7）， (5,1,2,3,4,6,7), (6,1,2,3,4,5,7), (7,1,2,3,4,5,6).
三角形T（n，k）开始于：
：n\k:0 1 2 3 4。。。
+-----+------------------------------------
: 0 : 1;
: 7 : 4326, 602, 99, 12, 1; [第7行，共行A220183号]
: 9 : 209863, 139714, 13303; [第9行，共行A230695型]
：10:1573632、1366016、530432、158720；[第10行，共行A230797型]
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MAPLE公司
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T： =proc（n）选项记忆；局部b，k，r，h；
k： =iquo（n，2，'r'）；h： =2^ilog2（n）；
b： =proc（u，o，t）选项记忆`如果`（u+o=0，1，展开(
加（b（u-j，o+j-1，irem（2*t，h））*`如果`（r=0且t=k，x，1），j=1..u）+
加（b（u+j-1，o-j，irem（2*t+1，h））*`如果`（r=1，t=k，x，1），j=1..o））
结束：忘记（b）；
（p->seq（系数（p，x，i），i=0..度（p））（b（n，0，0））
结束时间：
seq（T（n），n=0..15）；
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数学
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T[n_]：=T[n]=模[{b，k，r，h}，{k，r}=商余数[n，2]；h=2^楼层[Log[2，n]]；b[u_，o_，t_]：=b[u，o，t]=如果[u+o==0，1，展开[Sum[b[u-j，o+j-1，Mod[2*t，h]]*如果[r==0&t==k，x，1]，{j，1，u}]+总和[b[u+j-1，o-j，Mod[2*t+1，h]]*如果[r==1&t=k，x,1]，{j，1，o}]]；函数[p，表[系数[p，x，i]，{i，0，指数[p，x]}][b[n，0，0]]；表[T[n]，{n，0，15}]//扁平(*Jean-François Alcover公司2016年2月20日之后阿洛伊斯·海因茨*)
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交叉参考
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k=0-10列给出：A242785型,A246221型,A246222号,A246223号,A246224号,46225英镑,A246226号,A246227号,A246228号,A246229号,A243105型.
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A008970型
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| 三角形T（n，k）=P（n，k）/2，n>=2，1<=k<n，是1…n排列数的一半，因此差异具有相同符号的k次运行。 |
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13
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1, 1, 2, 1, 6, 5, 1, 14, 29, 16, 1, 30, 118, 150, 61, 1, 62, 418, 926, 841, 272, 1, 126, 1383, 4788, 7311, 5166, 1385, 1, 254, 4407, 22548, 51663, 59982, 34649, 7936, 1, 510, 13736, 100530, 325446, 553410, 517496, 252750, 50521, 1, 1022, 42236, 433162, 1910706, 4474002, 6031076, 4717222, 1995181, 353792
(列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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2,3
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参考文献
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L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第261页，#13，p_{n，k}。
F.N.David、M.G.Kendall和D.E.Barton，《对称函数和联合表》，剑桥，1966年，第260页，表7.2.1。
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链接
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安德烈爵士，交替排列的梅云纹，J.数学。采购。申请。，7 (1881), 167-184.
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配方奶粉
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设P（n，k）=具有k个“序列”的[1..n]的置换数。请注意A008970型给出P（n，k）/2。则g.f.：Sum_{n，k}P（n，k）*u^k*t^n/n！=（1+u）^（-1）*（（1-u）*（1-sin（v+t*cos（v））-1），其中u=sin（v）。
P（n，1）=2，P（n，k）=k*P（n-1，k）+2*P（n-1，k-1）+（n-k）*P（n-1，k-2）。
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示例
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三角形起点
1;
1, 2;
1, 6, 5;
1, 14, 29, 16;
1, 30, 118, 150, 61;
...
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MAPLE公司
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T： =proc（n，k）选项记忆`如果`（n<2，0，`如果`（k=1，1，
k*T（n-1，k）+2*T（n-1，k-1）+（n-k）*T（n-1，k-2））
结束时间：
seq（seq（T（n，k），k=1..n-1），n=2..12）#阿洛伊斯·海因茨2023年2月8日
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数学
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p[n/；n>=2，1]=2；p[n/；n>=2，k]/；1<=k<=n：=p[n，k]=k*p[n-1，k]+2*p[n-1，k-1]+（n-k）*p[n-1，k-2]；p[n，k]=0；t[n，k]：=p[n，k]/2；A008970型=扁平[表[t[n，k]，{n，2，11}，{k，1，n-1}]](*Jean-François Alcover公司，2012年4月3日，在给定重现期后*）
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交叉参考
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关键词
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作者
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扩展
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Larry Reeves（larryr（AT）acm.org）提供的更多术语，2001年2月1日
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状态
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经核准的
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A059427号
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| 行读取的三角形：T（n，k）是[n]与k个交替运行的排列数（n>=2，k>=1）。 |
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+10
11
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2, 2, 4, 2, 12, 10, 2, 28, 58, 32, 2, 60, 236, 300, 122, 2, 124, 836, 1852, 1682, 544, 2, 252, 2766, 9576, 14622, 10332, 2770, 2, 508, 8814, 45096, 103326, 119964, 69298, 15872, 2, 1020, 27472, 201060, 650892, 1106820, 1034992, 505500, 101042, 2, 2044
(列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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2,1
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评论
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排列732569148有4个交替运行：732、2569、91和148。
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参考文献
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L.Comtet，《高级组合数学》，莱德尔，多德雷赫特，荷兰，1974年，第261页，#13。
F.N.David和D.E.Barton，《组合机会》，纽约州哈夫纳，1962年，第157-162页。
F.N.David、M.G.Kendall和D.E.Barton，《对称函数和联合表》，剑桥，1966年，第262页，表7.2.1翻了一番。
D.E.Knuth，《计算机编程的艺术》。Addison-Wesley，Reading，MA，1973年，第3卷，第46和587-8页。
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链接
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安德烈爵士，交替排列，J.数学。采购。申请。，7 (1881), 167-184.
E.Rodney Canfield和Herbert S.Wilf，按排列的上下顺序计算排列，arXiv:math/0609704[math.CO]，2006年。
E.R.Canfield和H.S.Wilf，通过交替运行计算排列J.Combina.理论系列。A 115（2008），213-225。
L.Carlitz，按序列枚举排列，光纤。夸脱。，16 (1978), 259-268.
L.Carlitz，给定序列数的置换数，光纤。夸脱。，18 (1980), 347-352.
C.-O.Chow、S.-M.Ma、T.Mansour和M.Shattuck，按循环峰谷计算排列《数学与信息年鉴》（Annales Mathematicae et Informaticae），（2014），第43卷，第43-54页。
Qi Fang、Ya Nan Feng和Shi Mei Ma，置换和中心阶乘数的交替运行，arXiv:22022.13978[math.CO]，2022。
Ira M.Gessel和Yan Zhuang，用交替下降计数排列，arXiv:1408.1886[math.CO]，2014年。
R.P.斯坦利，置换的最长交替子序列，arXiv:math/0511419[math.CO]，2005年。
闫庄，单体网络和按游程计算排列，arXiv预印本arXiv:1505.02308[math.CO]，2015-2016。
Y.庄，按运行计数排列，J.Comb。理论Ser。A 142（2016），第147-176页。
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配方奶粉
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如果n<2或k<1或k>=n，P（n，k）=0；P（2，1）=2；P（n，k）=k*P（n-1，k）+2*P（n-1，k-1）+（n-k）*P（n-1，k-2）[André]-Emeric Deutsch公司2004年2月21日
行生成多项式P[n]满足P[n]=t*[（1-t^2）*dP[n-1]/dt+（2+（n-2）*t）*P[n-2]和P[2]=2*t。
T（n，k）=k*T（n-1，k）+2*T（n-1，k-1）+（n-k）*T。
例如：求和{n，k>=0}T（n，k）*x^n*T^k/n！=2*（1-t^2+t*sqrt（1-t^2）*sinh（x*sqort（1-t|2））/（（1+t）^2*（1-t*cosh（x*m2（1-t~2））））-2（1+t*x）/（1+t）。
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示例
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T（3,2）=4，因为排列132、312、213、231中的每一个都有两个交替运行：（13、32）、（31、12）、（21、13）、（23、31）；123和321中的每一个具有1个交替运行。
三角形（行n>=2，列k>=1）的开头如下：
2;
2, 4;
2, 12, 10;
2, 28, 58, 32;
2, 60, 236, 300, 122;
2, 124, 836, 1852, 1682, 544;
...
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MAPLE公司
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P:=proc（n，k），如果n<2或k<1或k>=n，则0 elif n=2和k=1，然后2其他k*P（n-1，k）+2*P（n-1，k-1）+（n-k）*P（n-1，k-2）fi结束：P:=（n，k）->P（n+1，k）：矩阵（9，9，P）；
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数学
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t[n，k]：=t[n、k]=k*t[n-1，k]+2*t[n-1，k-1]+（n-k）*t[n-1，k-2]；
t[2,1]=2；t[n，k]/；n<2 | | k<1 | | k>=n=0；
扁平[表[t[n，k]，{n，2，11}，{k，1，n-1}][[1；；47]]
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交叉参考
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关键词
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A000431号
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| 扩展2*x^3/（（1-2*x）^2*（1-4*x））。
（原名M2089 N0824）
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+10
8
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0, 0, 0, 2, 16, 88, 416, 1824, 7680, 31616, 128512, 518656, 2084864, 8361984, 33497088, 134094848, 536608768, 2146926592, 8588754944, 34357248000, 137433710592, 549744803840, 2199000186880, 8796044787712, 35184271425536, 140737278640128, 562949517213696
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,4
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评论
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长度为n且只有一个谷的排列数。此外（对于n>0），还表示拾取n-1立方体中未通过边连接的两个2^（n-1）顶点的方法数-阿伦·梅耶洛维茨2014年4月21日
显然，通过说[n]排列的“谷”，阿伦·梅耶洛维茨间接假设“谷”是置换的内部最小值（即，我们忽略端点处可能的最小值）。由于置换b_1b_2的补码。。。b_n（使用单行符号，而不是循环符号）是（n+1-b_1）（n+1-b_2）。。。（n+1-bn），当前序列也是[n]的排列数，正好有一个峰值（即恰好有一个内部最大值）。
Comtet（他的书中第260-261页）将这些峰称为“中间峰”，以区别于“左峰”和“右峰”（即端点处的最大值）。
（结束）
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参考文献
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F.N.David、M.G.Kendall和D.E.Barton，《对称函数和联合表》，剑桥，1966年，第261页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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S.Billey、K.Burdzy和B.E.Sagan，给定峰值集的排列，arXiv预印本arXiv:1209.0693[math.CO]，2012。
S.Billey、K.Burdzy和B.E.Sagan，具有给定峰值集的置换，J.国际顺序。16 (2013), #13.6.1.
C.J.Fewster、D.Siemssen、，按运行结构枚举排列，arXiv预印本arXiv:1403.1723[math.CO]，2014。
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975【math.NT】，2009年。
R.G.Rieper和M.Zeleke，无谷序列，arXiv:math/0005180[math.CO]，2000年。
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配方奶粉
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对于n>=1，a（n）=（4^n-n2^（n+1））/8。
（结束）
a（n）=2（n-2）*（2（n-1）-n），n>=1-丹尼尔·福格斯2015年2月24日
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示例
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我们有一个（3）=2，因为置换123、132、213、231、312和321分别有0、1、0、1，0和0个峰值。此外，它们分别有0、0、1、0、0和0个山谷。
请注意，排列132和231（每一个都有一个峰值）分别是排列312和213的补充（每个都有1个谷）。
此外，a（4）=16，因为
1234->0个波峰和0个波谷（4321的补码）；
1243->1个峰值和0个谷值（补充4312）；
1324->1峰1谷（4231的补充）；
1342->1个峰值和0个谷值（4213的补码）；
1423->1峰1谷（补充4132）；
1432->1个峰和0个谷（4123的补充）；
2134->0个峰和1个谷（3421的补充）；
2143->1峰1谷（补足3412）；
2314->1峰1谷（补足3241）；
2341->1个峰和0个谷（3214的补码）；
2413->1峰1谷（3142的补充）；
2431->1个峰值和0个谷值（3124的补码）；
3124->0峰1谷（补足2431）；
3142->1峰1谷（补充2413）；
3214->0个峰和1个谷（补足2341）；
3241个->1个波峰和1个波谷（补充2314个）；
3412->1峰1谷（2143的补充）；
3421->1个峰值和0个谷值（2134的补码）；
4123->0峰1谷（补足1432）；
4132->1峰1谷（补充1423）；
4213->0个峰和1个谷（补充1342）；
4231->1个峰值和1个谷值（补充1324）；
4312->0峰1谷（补充1243）；
4321->0峰值和0谷（1234的补码）。
（结束）
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MAPLE公司
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a： =n->如果n=0，则为0（矩阵（[[2，0，0]]）。矩阵（3，（i，j）->如果（i=j-1），则1 elif j=1，然后[8，-20，16][i]其他0 fi）^（n-1））[1，3]fi:seq（a（n），n=0..30）#阿洛伊斯·海因茨2008年8月26日
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数学
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nn=30；系数列表[级数[2*x^3/（（1-2*x）^2*（1-4*x）），{x，0，nn}]，x](*T.D.诺伊，2012年6月20日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[0]cat[（4^n-n*2^（n+1））/8:n in[1..30]]//文森佐·利班迪2015年2月18日
（PARI）concat（向量（3），Vec（2*x^3/（（1-2*x）^2*（1-4*x））+O（x^40））\\米歇尔·马库斯2016年1月31日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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-1, -1, 0, 1, 6, 29, 150, 841, 5166, 34649, 252750, 1995181, 16962726, 154624469, 1505035350, 15583997521, 171082318686, 1985148989489, 24279125761950, 312193418011861, 4210755676649046, 59445878286889709, 876726137720576550, 13483686390543382201
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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0,5
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评论
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n>=2的a（n）mod 10是周期序列重复：0，1，6，9。
对于n>=2，a（n）是[n]上具有n-2个“序列”（在Comtet术语中是最大单调运行）并开始增加的排列数-迈克尔·索莫斯2013年8月28日
关于评论迈克尔·索莫斯上面，根据Comtet（1974）的Ex.13（第260-261页），排列中的“序列”实际上是根据Andreé的排列中的一个“序列”。他在以下链接中引用的几篇论文中使用了这个术语。
在数组术语中A059427号，这些由Comtet和André定义的排列中的所谓“序列”被称为“交替运行”（或只是“运行”）。我们在下面讨论这些所谓的“序列”。
我们澄清了，a（n）实际上是[n]上具有Comtet和André定义的n-2个“序列”的排列数的一半。
安德烈（1884）将[n]的置换的“最大值”定义为置换中大于其两个邻居的任何数字，如果它是一个内部数字，或者大于其单个邻居，如果它位于置换的开始或结束。
安德烈（1884）还将[n]置换的“最小值”定义为置换中小于其两个相邻数的任意数，如果它是一个内部数，或者小于其单个相邻数，如果其位于置换的开始或结束处。
根据André和Comtet的说法，[n]置换中的“序列”是置换中以最大值开始、以最小值结束的连续数的列表，反之亦然，但没有内部最大值和最小值。如上所述，其他作者将这些所谓的“序列”称为“交替运行”（或仅称为“运行”）。
例如，在[8]的排列78125436中，我们有三个极大值，即8、5和6；三个最小值，7、1和3；以及所谓的“序列”（“交替运行”）78、81、125、543、36（见安德烈（1884）第122页）。
如果在上述排列中，我们取差8-7、1-8、2-1、5-2、4-5、3-4、6-3，我们可以形成一个连续差符号的单词（列表）：+-++--+。
一般来说，如果在[n]的置换中，例如a_1、a_2、，。。。，a_n（用单线表示法，但不是循环表示法），我们形成差异a_2-a_1，a_3-a_2。。。，an-a{n-1}，然后我们得到n-1符号（+或-）的列表。
对于n>=2，André（1885）将[n]的置换称为“alternate”，如果它有n-1个所谓的“sésequences”（“altervate runs”）；即，如果相应的符号列表在+和-之间交替。有关顺序，请参阅文档和参考A000111号和A001250号.
对于n>=2，André（1885）将[n]的置换称为“准交替”，如果它有n-2个所谓的“序列”（“交替运行”）；即，如果相应的符号列表在+和-之间交替，除了单个++或单个-，但不是两者都有。
在上面的例子中，排列78125436有5个所谓的“序列”（“交替符号”）和5<8-2<8-1；也就是说，它既不是交替的，也不是准交替的。通过查看其对应的符号列表+-++--+，我们可以得出相同的结论。置换既不是交替的，也不是准交替的，因为我们有一个++和一个--。
在第316页，安德烈（1885）给出了以下两个[8]排列的例子：31426587和32541768（使用单行符号表示排列）。第一个有符号列表-+-+-++，而第二个有符号的列表-+-->。第一个是交替的，而第二个是准交替的（因为只有一个——）。或者，第一个有n-1=7个所谓的“序列”（“交替运行”），即31、14、42、26、65、58、87，而第二个有n-2=6个所谓“序列”，即32、25、541、17、76、68。
这里2*a（n）是[n]的拟交替置换的总数。实际上，安德烈（18841885）用P_{n，s}表示[n]的置换数，正好是他所谓的“序列”（“交替运行”）的s。他用符号A_n表示[n]的交替排列数的一半，用B_n表示[n]的准交替排列数。
因此，P_{n，n-1}=2*A_n=2*A000111号（n）=A001250号（n） 对于n>=2和P_{n，n-2}=2*B_n=2*a（n）对于n>=2。
我们有P_{n，s}=A059427号（n，s）对于n>=2和s>=1。另见Comtet（1974）第261页。对于n>=3和s>=3，它们满足André递推P_{n，s}=s*P_{n-1，s}+2*P_}n-1，s-1}+（n-s）*P_2n-1，s2}，其中P（n，1）=2表示n>=2，P（n、s）=0表示s>=n。
对[n]的循环排列进行计数的数字Q（n，s）正好是s个所谓的“序列”（“交替运行”）出现在数组中A008303号德西雷·安德烈也对其进行了研究（见参考文献）。
（结束）
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参考文献
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L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第261页。
E.Netto，Lehrbuch der Combinatorik。第二版，Teubner，Leipzig，1927年，第113页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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安德烈爵士，交替排列的梅云纹，J.数学。采购。申请。，7 (1881), 167-184.
F.Morley，具有指定序列数的排列数的生成函数，公牛。阿默尔。数学。《刑法典》第4卷（1897年），第23-28页。[讨论了德西雷·安德烈的所谓“序列”。第24页表中r=1列显示了当前序列的移位版本。然而，他对“跑步”的定义非常不标准！在他的论文中，字母r的定义是排列中相邻数字的三元组的数量，这些数字按数量级（升序或降序）出现。他证明了在[n]的任何置换b中，r+s=n-1，其中s是安德烈所谓的“序列”的数量（即“交替运行”的数量）。因此，r＝1，当且仅当s＝n-2-Petros Hadjicostas公司，2019年8月9日]
Eric Weisstein的《数学世界》，多对数.
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配方奶粉
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例如：（1-2*cos（x））/（1-sin（x）。
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示例
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G.f.=-1-x+x^3+6*x^4+29*x^5+150*x^6+841*x^7+5166*x^8+34649*x^9+。。。
a（3）=1，置换123。a（4）=6，排列1243、1342、1432、2341、2431、3421。
我们详细阐述了上述示例。对于[3]的排列，我们有以下符号序列：
123 -> ++; 132 --> +-; 213 -> -+; 213 -> 213; 231 -> +-; 312 -> -+; 321 --> --.
因此，123和321是准交替的，a（3）=2/2=1。
对于[4]的排列，我们有：
1234->++（非交替或准交替）；
1243->++-（准交替）；
1324->+-+（交替）；
1342->++-（准交替）；
1423->+-+（备用）；
1432->+--（准交替）；
2134->-++（准交替）；
2143->-+-（备用）；
2314->+-+（备用）；
2341->++-（准交替）；
2413->+-+（交替）；
2431->+--（准交替）；
3124->-++（准交替）；
3142->-+-（备用）；
3214->-->（准交替）；
3241->-+-（备用）；
3412->+-+（备用）；
3421->+--（准交替）；
4123->-++（准交替）；
4132->-+-（备用）；
4213->-->（准交替）；
4231->-+-（备用）；
4312->-->（准交替）；
4321->----（既不是交替也不是准交替）。
因此我们有10=2*A000111号(4) =A001250号（4） [4]的交替置换和2*a（4）=2*6=12的拟交替置换。剩下的2个排列（1234和4321）各有一个所谓的“序列”（“交替运行”）。
因此，P_{n=4，s=1}=2，P__{n=4，s=2}=12，以及P_{n=4，s=10}=10（数组见第n=4行A059427号).
（结束）
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MAPLE公司
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seq（i！*系数（系列（（1+（tan（t）+sec（tBarbara Haas Margolius（Margolius，AT）math.csuohio.edu），2001年3月12日
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数学
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a[n_]：=如果[n<0，0，n！级数系数[（1-2 Cos[x]）/（1-Sin[x]），{x，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2013年8月28日*）
nmax=22；ee=表[2^n*EulerE[n，1]+EulerE[n]，{n，0，nmax+1}]；dd=表[差异[ee，n][[1]]//Abs，{n，0，nmax+1}]；a[n]：=dd[[n+2]]-2dd[[n+1]]；a[0]=-1；表[a[n]，{n，0，nmax}](*Jean-François Alcover公司，2016年2月10日，之后保罗·柯茨*)
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黄体脂酮素
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（PARI）x='x+O（'x^99）；Vec（塞拉普拉斯（（1-2*cos（x））/（1-sin（x）
（Python）
从mpmath导入polylog，j，mp
mp.dps=20
定义a（n）：如果n==0，则返回-1，否则为int（2*abs（polylog（-n-1，j））-4*abs
（Python）
从itertools导入count、islice、accumpt
产量-1
blist=（0，1）
对于计数（2）中的n：
产量-2*blist[-1]+（blist:=元组（累加（反向（blist），初始=0））[-1]
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交叉参考
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关键词
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签名
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作者
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扩展
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更多术语来自Barbara Haas Margolius（Margolius，AT）math.csuohio.edu），2001年3月12日
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状态
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经核准的
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A183270型
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| T（n，k）是1…n+2*k-2的单缺陷置换数，其最大值正好为k。 |
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+10
7
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0, 3, 2, 120, 80, 15, 4760, 3552, 860, 64, 249984, 199168, 57064, 6576, 220, 17512704, 14548480, 4643712, 681984, 42112, 672, 1599330304, 1367568384, 469942528, 80506880, 6849792, 242688, 1904, 185616337920, 162107703296, 58754129408
(列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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单一缺陷排列省略一个值，重复另一个值。
T（1,1）为零，因为单个元素没有缺陷排列。
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链接
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配方奶粉
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示例
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表格开始：
0 3 120 4760 249984 17512704 1599330304 ...
2 80 3552 199168 14548480 1367568384 ...
15 860 57064 4643712 469942528 ...
64 6576 681984 80506880 ...
220 42112 6849792 ...
672 242688 ...
1904 ...
...
n=4且最大值为2的一些解：
(6,1,4,4,3,2) (4,3,1,5,6,6) (4,2,1,2,3,5) (3,2,1,6,4,3) (5,5,6,1,2,3).
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黄体脂酮素
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T（n，k）={my（m=n+2*k-3）；（m+1）*和（i=1，m，PeaksBySig（向量（m，j，if（i==j，2，1）），[k-1]）[1]）}\\安德鲁·霍罗伊德2020年5月12日
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A263789型
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| 按行读取的三角形：T（n，k）（n>=0，0<=k<=floor（n/2））是n和k谷的排列数（循环考虑）。 |
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+10
7
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1, 1, 0, 2, 0, 6, 0, 16, 8, 0, 40, 80, 0, 96, 528, 96, 0, 224, 2912, 1904, 0, 512, 14592, 23040, 2176, 0, 1152, 69120, 221184, 71424, 0, 2560, 316160, 1858560, 1372160, 79360, 0, 5632, 1413632, 14353152, 20252672, 3891712, 0, 12288, 6223872, 104742912
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,4
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评论
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推测：列k>0对n*2^（n-2*k）*k^（n-1）是渐近的-瓦茨拉夫·科特索维奇2015年10月26日
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链接
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配方奶粉
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示例
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三角形开始：
1;
1;
0, 2;
0, 6;
0, 16, 8;
0, 40, 80;
0、96、528、96；
...
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MAPLE公司
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b： =proc（u，o，t）选项记忆；展开（`if`（u+o=0，x，
加（b（u-j，o+j-1，0），j=1..u）*`if`（min（t，n）>0，x，1）+
加（b（u+j-1，o-j，1），j=1..o））
结束时间：
T： =n->`如果`（n<2，1，（p->seq（n*系数（p，x，i）
，i=0..度（p））（b（n-1，0$2））：
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数学
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b[u_，o_，t_]：=b[u，o，t]=展开[If[u+o==0，x，Sum[b[u-j，o+j-1，0]，{j，1，u}]*如果[Min[t，n]>0，x；T[n_]：=如果[n<2，1，函数[p，表[n*系数[p，x，i]，{i，0，指数[p，x]}][b[n-1，0，0]]；表[T[n]，{n，0，14}]//扁平(*Jean-François Alcover公司2017年1月24日之后阿洛伊斯·海因茨*)
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交叉参考
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关键词
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非n,标签
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A000487号
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| 长度为n且正好有两个谷的排列数。
（原名M5022 N2165）
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+10
6
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16, 272, 2880, 24576, 185856, 1304832, 8728576, 56520704, 357888000, 2230947840, 13754155008, 84134068224, 511780323328, 3100738912256, 18733264797696, 112949304754176, 680032201605120, 4090088616099840, 24582312700149760, 147669797096652800
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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5,1
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参考文献
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F.N.David、M.G.Kendall和D.E.Barton，《对称函数和联合表》，剑桥，1966年，第261页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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C.J.Fewster、D.Siemssen、，按排列的运行结构枚举排列，arXiv预印本arXiv:1403.1723[math.CO]，2014。
R.G.Rieper和M.Zeleke，无谷序列，arXiv:math/0005180[math.CO]，2000年。
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配方奶粉
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总尺寸：16x^5（1-3x）/（1-2x）^3*（1-4x）^2*（1-6x））-拉尔夫·斯蒂芬2003年9月18日【德西雷·安德烈证明，1895年，第154页，用于圆形排列（见A008303号).彼得·卢什尼，2019年8月7日]
a（n）=（6^n+（2-2n）4^n+米切尔·哈里斯，2004年4月2日
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数学
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nn=30；下降[系数列表[系列[16 x ^5（1-3 x）/（（1-2 x）^3*（1-4 x）^2*（1-6 x）），{x，0，nn}]，x]，5](*T.D.诺伊2012年6月20日*）
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A000517号
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| 长度为n且正好有三个谷的排列数。
（原名M5431 N2360）
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+10
6
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272, 7936, 137216, 1841152, 21253376, 222398464, 2174832640, 20261765120, 182172651520, 1594922762240, 13684856848384, 115620218667008, 965271355195392, 7984436548730880, 65569731961159680, 535438370914959360, 4353038473793372160, 35266789418949672960
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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7,1
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参考文献
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F.N.David、M.G.Kendall和D.E.Barton，《对称函数和联合表》，剑桥，1966年，第261页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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C.J.Fewster、D.Siemssen、，按运行结构枚举排列，arXiv预印本arXiv:1403.1723[math.CO]，2014。
R.G.Rieper和M.Zeleke，无谷序列，arXiv:math/0005180[math.CO]，2000年。
常系数线性递归的索引项，签名（40，-700，7056，-45360，194304，-561728，1082624，-1332224，946176，-294912）。
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配方奶粉
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总尺寸：16x^7（17-184x+636x^2-720x^3）/（1-2x）^4*（1-4x）^3*（1-6x）^2*（1-8x））-拉尔夫·斯蒂芬2003年9月18日【德西雷·安德烈（DésiréAndré）于1895年证明，第154页，用于圆形排列（见A008303号).彼得·卢什尼，2019年8月7日]
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数学
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nn=20；下降[系数列表[系列[16 x ^7（17-184 x+636 x ^2-720 x ^3）/（（1-2 x）^4*（1-4 x）^3*（1-6 x）^2*（1-8 x）），{x，0，nn}]，x]，7](*T.D.诺伊2012年6月20日*）
线性递归[{40，-700，7056，-45360，194304，-561728，1082624，-133224，946176，-294912}，{272，7936，137216，1841152，21253376，222398464，2174832640，20261765120，182172651520，1594922762240}，20](*Jean-François Alcover公司2016年2月9日*）
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交叉参考
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非n
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