显示找到的37个结果中的1-10个。
将n因子分解为正整数的次数>1，因此不可能为每个因子选择不同的素因子。
+10
41
0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 2, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 4, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 3, 1, 0, 2, 1, 0, 0, 0, 6, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 3, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 7, 1, 1, 0, 1, 0, 3, 0, 3, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 1, 10, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 10, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 7, 4, 0, 0, 2, 0, 0
评论
例如，因子分解f=2*3*6有两种方法来选择每个因子的素因子，即（2,3,2）和（2,3,1），但这两种方法都没有所有不同的元素，因此f在a（36）下计算。
例子
a（1）=0到a（24）=3分解：
... 2*2 ... 2*4 3*3 .. 2*2*3 ... 2*8 . 2*3*3 . 2*2*5 ... 2*2*6
2*2*2 4*4 2*3*4
2*2*4 2*2*2*3
2*2*2*2
数学
facs[n_]：=如果[n<=1，{{}}，连接@@表[Map[Prepend[#，d]&，Select[facs[n/d]，Min@@#>=d&]]，{d，Rest[Divisors[n]]}]；
表[Length[Select[facs[n]，Select[Tuples[First/@FactorInteger[#]&/@#]，UnsameQ@@#&]={}&]]，{n，100}]
权重为n的非同构多集划分的数量与选择公理的严格版本相矛盾。
+10
39
0, 0, 1, 3, 12, 37, 133, 433, 1516, 5209, 18555
评论
多集划分是有限非空多集的有限多集。多集分区的权重是其元素的基数之和。权重通常与顶点数不同。
选择公理说，给定任何一组非空集合Y，可以从每个集合中选择一个包含一个元素的集合。严格版本要求该集合具有与Y相同的基数，这意味着没有元素被多次选择。
例子
a（2）=1到a（4）=12个多集分区的非同构代表：
{{1},{1}} {{1},{1,1}} {{1},{1,1,1}}
{{1},{1},{1}} {{1,1},{1,1}}
{{1},{2},{2}} {{1},{1},{1,1}}
{{1},{1},{2,2}}
{{1},{1},{2,3}}
{{1},{2},{1,2}}
{{1},{2},{2,2}}
{{2},{2},{1,2}}
{{1},{1},{1},{1}}
{{1},{1},{2},{2}}
{{1},{2},{2},{2}}
{{1},{2},{3},{3}}
数学
sps[{}]：={{}}；sps[set:{i_，___}]：=联接@@函数[s，前缀[#，s]和/@sps[Complement[set，s]]/@Cases[子集[set]，{i，___}]；
mpm[n_]：=连接@@表[Union[Sort[Sort/@（#/.x_Integer:>s[[x]]）]和/@sps[Range[n]]]，{s，Flatten[MapIndexed[Table[#2，{#1}]&，#]]和/@整数分区[n]}]；
brute[m_]：=第一个[Sort[Table[Sort[排序/@（m/.Rule@@@表[{i，p[i]]}，{i，长度[p]}]）]，{p，排列[Union@@m]}]]；
表[Length[Union[brute/@Select[mpm[n]，Select[Tuples[#]，UnsameQ@@#&]={}&]]，{n，0，6}]
n节点连接的单循环图的数目。
（原名M1438 N0568）
+10
37
1, 2, 5, 13, 33, 89, 240, 657, 1806, 5026, 13999, 39260, 110381, 311465, 880840, 2497405, 7093751, 20187313, 57537552, 164235501, 469406091, 1343268050, 3848223585, 11035981711, 31679671920, 91021354454, 261741776369, 753265624291, 2169441973139, 6252511838796
参考文献
R.C.Read和R.J.Wilson，《图形地图集》，牛津，1998年。
J.Riordan，《组合分析导论》，威利出版社，1958年，第150页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
链接
Audace A.V.Dossou-Olory公司，图和具有极值连通子图的单圈图，arXiv:1812.02422[math.CO]，2018年。
R.K.盖伊，第二强大数定律，数学。Mag，63（1990），第1期，3-20。[带注释的扫描副本]
S.Karim、J.Sawada、Z.Alamgirz和S.M.Husnine，生成固定内容的手镯《理论计算机科学》第475卷，2013年3月4日，第103-112页。
理查德·马塔尔，无重叠圈的连通图计数，arXiv:1808.06264[math.CO]，2018年。
Marko Riedel等人。，非同构连通单圈图《数学堆栈交换》，2018年11月。（使用PET推导算法和Maple实现。）
M.L.Stein和P.R.Stein，p=18点以下线性图和连通线性图的计数，报告LA-3775，加利福尼亚大学洛斯阿拉莫斯科学实验室，新墨西哥州洛斯阿拉莫斯，1967年10月。doi:10.2172/4180737。
例子
a（3）=1到a（6）=13个简单图的代表：
{12,13,23} {12,13,14,23} {12,13,14,15,23} {12,13,14,15,16,23}
{12,13,24,34} {12,13,14,23,25} {12,13,14,15,23,26}
{12,13,14,23,45} {12,13,14,15,23,46}
{12,13,14,25,35} {12,13,14,15,26,36}
{12,13,24,35,45} {12,13,14,23,25,36}
{12,13,14,23,25,46}
{12,13,14,23,45,46}
{12,13,14,23,45,56}
{12,13,14,25,26,35}
{12,13,14,25,35,46}
{12,13,14,25,35,56}
{12,13,14,25,36,56}
{12,13,24,35,46,56}
（结束）
数学
需要[“Combinatorica`”]；
nn=30；s[n_，k_]：=s[n，k]=a[n+1-k]+如果[n<2k，0，s[n-k，k]]；a[1]=1；a[n]：=a[n]=和[a[i]s[n-1，i]i，{i，1，n-1}]/（n-1）；rt=表[a[i]，{i，1，nn}]；应用[Plus，Table[Take[CefficientList[CycleIndex[DihedralGroup[n]，s]/。表[s[j]->表[Sum[rt[[i]]x^（k*i），{i，1，nn}]，{k，1，nn}][[j]]，{j，1，nne}]，x]，nn]，{n，3，nn}]](*杰弗里·克雷策，2012年10月12日，根据罗伯特·拉塞尔在里面A000081号*)
（*第二个节目：*）
树Gf[nn_]：=模块[｛A｝，A=表[1，｛nn｝]；对于[n=1，n<=nn 1，n++，A[[n+1]]=1/n*Sum[d*A[[d]]，{d，除数[k]}]*A[[n-k+1]]，{k，1，n}]]；x A.x^范围[0，nn-1]]；
seq[n_]：=模[{t，g}，如果[n<3，{}，t=TreeGf[n-2]；g[e_]：=正常[t+O[x]^（商[n，e]+1）]/。x->x^e+O[x]^（n+1）；求和[Sum[EulerPhi[d]*g[d]^（k/d），{d，除数[k]}]/k+If[OddQ[k]，g[1]*g[2]^商[k，2]，（g[1]^2+g[2]）*g[2]^（k/2-1）/2]，{k，3，n}]/2//删除[系数列表[#，x]，3]&]；
黄体脂酮素
树Gf（N）={my（A=向量（N，j，1））；对于（N=1，N-1，A[N+1]=1/N*和（k=1，N，sumdiv（k，d，d*A[d]）*A[N-k+1]）；x*Ser（A）}
序列（n）={if（n<3，[]，my（t=TreeGf（n-2））（2）^（k/2-1）/2））}\\安德鲁·霍罗伊德2018年5月5日
将n分解为大于1的正整数的次数，以便可以为每个因子选择不同的素因子。
+10
37
1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 2, 1, 1, 3, 1, 3, 2, 2, 1, 4, 1, 2, 1, 3, 1, 5, 1, 1, 2, 2, 2, 5, 1, 2, 2, 4, 1, 5, 1, 3, 3, 2, 1, 5, 1, 3, 2, 3, 1, 4, 2, 4, 2, 2, 1, 9, 1, 2, 3, 1, 2, 5, 1, 3, 2, 5, 1, 6, 1, 2, 3, 3, 2, 5, 1, 5, 1, 2, 1, 9, 2, 2, 2
评论
例如，因子分解f=2*3*6有两种方法来选择每个因子的素因子，即（2,3,2）和（2,3,1），但这两种方法都没有所有不同的元素，因此f不计入a（36）中。
例子
选定n的a（n）因子分解：
1 6 12 24 30 60 72 120
2*3 2*6 2*12 2*15 2*30 2*36 2*60
3*4 3*8 3*10 3*20 3*24 3*40
4*6 5*6 4*15 4*18 4*30
2*3*5 5*12 6*12 5*24
6*10 8*9 6*20
2*3*10 8*15
2*5*6 10*12
3*4*5 2*3*20
2*5*12
2*6*10
3*4*10
3*5*8
4*5*6
数学
facs[n_]：=如果[n<=1，{{}}，连接@@表[Map[Prepend[#，d]&，Select[facs[n/d]，Min@@#>=d&]]，{d，Rest[Divisors[n]]}]；
表格[Length[Select[facs[n]，Select[Tuples[First/@FactorInteger[#]和/@#]，UnnameQ@@#&]={}&]]，{n，100}]
1, 0, 0, 1, 15, 222, 3670, 68820, 1456875, 34506640, 906073524, 26154657270, 823808845585, 28129686128940, 1035350305641990, 40871383866109888, 1722832666898627865, 77242791668604946560, 3670690919234354407000, 184312149879830557190940, 9751080154504005703189791
参考文献
V.F.Kolchin，随机图。数学及其应用百科全书53。剑桥大学出版社，剑桥，1999年。
配方奶粉
a（n）=和{n=1..n}（（n！/n！）*和{n_1+n_2+…+n_n=n}乘积{i=1..n}(A057500型（n i）/n i！））。[V.F.Kolchin p.31，（1.4.2）]将分子项n_i^（n_i-2）替换为A057500型（n_i）。
例如：exp（B（T（x）），其中B（x）=（log（1/（1-x））-x-x^2/2）/2，T（xA000169号（标记有根的树）-杰弗里·克雷策2012年1月24日
a（n）~2^（-1/4）*exp（-3/4）*γ（3/4）*n^（n-1/4）/sqrt（Pi）*（1-7*Pi/（12*GAMMA（3/4，^2*sqrt（n）））-瓦茨拉夫·科特索维奇2013年8月16日
例子
a（6）=3670，因为A057500型（6） =3660，两个三角形可以用10种方式标记。
a（0）=1到a（4）=15个简单图：
{} . . {12,13,23} {12,13,14,23}
{12,13,14,24}
{12,13,14,34}
{12,13,23,24}
{12,13,23,34}
{12,13,24,34}
{12,14,23,24}
{12,14,23,34}
{12,14,24,34}
{12,23,24,34}
{13,14,23,24}
{13,14,23,34}
{13,14,24,34}
{13,23,24,34}
{14,23,24,34}
（结束）
MAPLE公司
cy:=proc（n）选项记忆；
二项式（n-1，2）*加（（n-3）/（n-2-t）*n^（n-2-t），t=1..n-2）
结束时间：
T： =proc（n，k）选项记住`if`（k=0，1，`if`（k<0或n<k，0，
加（二项式（n-1，j）*（（j+1）^（j-1）*T（n-j-1，k-j）
+cy（j+1）*T（n-j-1，k-j-1），j=0..k））
结束时间：
a： =n->T（n，n）：
数学
nn=20；t=总和[n^（n-1）x^n/n！，{n，1，nn}]；丢弃[Range[0]，nn]！系数列表[系列[Exp[Log[1/（1-t）]/2-t/2-t^2/4]，{x，0，nn}]，x]，1](*杰弗里·克雷策2012年1月24日*）
表[Length[Select[Subsets[Subsets[Range[n]，{2}]，{n}]，Length[Celect[Tuples[#]，UnsameQ@@#&]]=0&]]，{n，0，5}](*古斯·怀斯曼2024年1月25日*）
黄体脂酮素
F（n，n）={my（s=0，K，D，Mc）；对于部分（P=n，D=集合（P）；K=向量（#D）；
对于（i=1，#D，K[i]=#选择（x->x==D[i]，Vec（P））；
Mc=n/触头（i=1，#D，K[i]！）；
s+=Mc*prod（i=1，#D，A057500型（D[i]）^K[i]/（D[i！^K[i）），[3，n]，[n，n]）；s}；
a（n）={my（n）；和（n=1，n，F（n，n））}；
（PARI）seq（n）={my（w=lambertw（-x+O（x*x^n））；Vec（serlaplace（exp（-log（1+w）/2+w/2-w^2/4））}\\安德鲁·霍罗伊德2021年5月18日
权重为n的非同构集合系统的数量与选择公理的严格版本相矛盾。
+10
35
0, 0, 0, 0, 1, 1, 5, 12, 36, 97, 291
评论
集系统是有限非空集的有限集。集合系统的权重是其元素的基数之和。权重通常与顶点数不同。
选择公理说，给定任意一组非空集Y，都可以从中选择一个包含元素的集。严格版本要求该集合具有与Y相同的基数，这意味着没有元素被多次选择。
例子
a（5）=1到a（7）=12集合系统的非同构代表：
{{1},{2},{3},{2,3}} {{1},{2},{1,3},{2,3}} {{1},{2},{1,2},{3,4,5}}
{{1},{2},{3},{1,2,3}} {{1},{3},{2,3},{1,2,3}}
{{2},{3},{1,3},{2,3}} {{1},{4},{1,4},{2,3,4}}
{{3},{4},{1,2},{3,4}} {{2},{3},{2,3},{1,2,3}}
{{1},{2},{3},{4},{3,4}} {{3},{1,2},{1,3},{2,3}}
{{1},{2},{3},{1,3},{2,3}}
{{1},{2},{3},{2,4},{3,4}}
{{1},{2},{3},{4},{2,3,4}}
{{1},{3},{4},{2,4},{3,4}}
{{1},{4},{5},{2,3},{4,5}}
{{2},{3},{4},{1,2},{3,4}}
{{1},{2},{3},{4},{5},{4,5}}
数学
sps[{}]：={{}}；sps[set:{i_，___}]：=联接@@函数[s，前缀[#，s]和/@sps[Complement[set，s]]/@Cases[子集[set]，{i，___}]；
mpm[n_]：=连接@@表[Union[Sort[Sort/@（#/.x_Integer:>s[[x]]）]和/@sps[Range[n]]]，{s，Flatten[MapIndexed[Table[#2，{#1}]&，#]]和/@整数分区[n]}]；
brute[m_]：=第一个[Sort[Table[Sort[排序/@（m/.Rule@@@表[{i，p[i]]}，{i，长度[p]}]）]，{p，排列[Union@@m]}]]；
表[Length[Union[brute/@Select[mpm[n]，UnsameQ@@#&And@@UnsameQ@@@#&Select[Tuples[#]，UnnameQ@@#&]={}&]]，{n，0，8}]
交叉参考
囊性纤维变性。A302545型,A306005型,A316983型,A317533型,A319616型,A321155型,A321405型,A326031,A330223型,A330227,A367905型.
满足严格选择公理版本的权重为n的非同构集系统的数量。
+10
32
1, 1, 2, 4, 8, 17, 39, 86, 208, 508, 1304
评论
集系统是有限非空集的有限集。集合系统的权重是其元素的基数之和。
选择公理说，给定任意一组非空集Y，都可以从中选择一个包含元素的集。严格版本要求该集合具有与Y相同的基数，这意味着不会多次选择任何元素。
例子
a（1）=1到a（5）=17集合系统的非同构表示：
{1} {12} {123} {1234} {12345}
{1}{2} {1}{23} {1}{234} {1}{2345}
{2}{12} {12}{34} {12}{345}
{1}{2}{3} {13}{23} {14}{234}
{3}{123} {23}{123}
{1}{2}{34} {4}{1234}
{1}{3}{23} {1}{2}{345}
{1}{2}{3}{4} {1}{23}{45}
{1}{24}{34}
{1}{4}{234}
{2}{13}{23}
{2}{3}{123}
{3}{13}{23}
{4}{12}{34}
{1}{2}{3}{45}
{1}{2}{4}{34}
{1}{2}{3}{4}{5}
数学
表[Length[Select[bmp[n]，UnsameQ@@#&And@@UnsameQ@@@#&Select[Tuples[#]，UnnameQ@@#&]={}&]]，{n，0，10}]
交叉参考
囊性纤维变性。A001055号,A007717号,A302545型,A306005型,A316983型,A319560型,321194美元,A321405型,A330223型,A367769型,A367901型.
0, 0, 0, 7, 381, 21748, 1781154, 249849880, 66257728763, 34495508486976, 35641629989151608, 73354595357480683904, 301272202621204113362497, 2471648811029413368450098688, 40527680937730440155535277704046, 1328578958335783199341353852258282496
参考文献
J.Riordan，《组合分析导论》，多佛，2002年，第2页。
数学
csm[s_]：=With[｛c=Select[Subsets[Range[Length[s]]，｛2｝]，Length[Cintersection@@s[[#]]>0&]｝，If[c==｛｝，s，csm[Sort[Append[Delete[s，List/@c[[1]]]，Union@@s[[c[[1]]]；
表[Length[Select[Subsets[Subsets[Range[n]，{2}]]，Union@@#=Range[n]&&Length[csm[#]]<=1&Select[Tuples[#]，UnsameQ@@#&]={}&]]，{n，0，5}](*古斯·怀斯曼2024年2月19日*）
黄体脂酮素
（PARI）seq（n）={my（A=O（x*x^n），t=-lambertw（-x+A））；Vec（serlaplace（log（总和（k=0，n，2^二项式（k，2）*x^k/k！，A））-log（1/（1-t））/2-t/2+3*t^2/4），-n）}\\安德鲁·霍罗伊德2022年1月15日
满足严格选择公理版本的权重为n的非同构多集划分数。
+10
31
1, 1, 3, 7, 21, 54, 165, 477, 1501, 4736, 15652
评论
多集划分是有限非空多集的有限多集。多集分区的权重是其元素的基数之和。权重通常与顶点数不同。
选择公理说，给定任意一组非空集Y，都可以从中选择一个包含元素的集。严格版本要求该集合具有与Y相同的基数，这意味着没有元素被多次选择。
例子
a（1）=1到a（4）=21多集分区的非同构代表：
{{1}} {{1,1}} {{1,1,1}} {{1,1,1,1}}
{{1,2}} {{1,2,2}} {{1,1,2,2}}
{{1},{2}} {{1,2,3}} {{1,2,2,2}}
{{1},{2,2}} {{1,2,3,3}}
{{1},{2,3}} {{1,2,3,4}}
{{2},{1,2}} {{1},{1,2,2}}
{{1},{2},{3}} {{1,1},{2,2}}
{{1,2},{1,2}}
{{1},{2,2,2}}
{{1,2},{2,2}}
{{1},{2,3,3}}
{{1,2},{3,3}}
{{1},{2,3,4}}
{{1,2},{3,4}}
{{1,3},{2,3}}
{{2},{1,2,2}}
{{3},{1,2,3}}
{{1},{2},{3,3}}
{{1},{2},{3,4}}
{{1},{3},{2,3}}
{{1},{2},{3},{4}}
数学
sps[{}]：={{}}；sps[set:{i_，___}]：=联接@@函数[s，前缀[#，s]和/@sps[Complement[set，s]]/@Cases[子集[set]，{i，___}]；
mpm[n_]：=连接@@表[Union[Sort[Sort/@（#/.x_Integer:>s[[x]]）]和/@sps[Range[n]]]，{s，Flatten[MapIndexed[Table[#2，{#1}]&，#]]和/@整数分区[n]}]；
brute[m_]：=第一个[Sort[Table[Sort[排序/@（m/.Rule@@@表[{i，p[i]]}，{i，长度[p]}]）]，{p，排列[Union@@m]}]]；
表[Length[Union[brute/@Select[mpm[n]，Select[Tuples[#]，UnsameQ@@#&]={}&]]]，{n，0，6}]
最多有一个循环的n节点连接图的数量。
（原名M1151）
+10
29
1, 1, 1, 2, 4, 8, 19, 44, 112, 287, 763, 2041, 5577, 15300, 42419, 118122, 330785, 929469, 2621272, 7411706, 21010378, 59682057, 169859257, 484234165, 1382567947, 3952860475, 11315775161, 32430737380, 93044797486, 267211342954, 768096496093, 2209772802169
评论
还包括覆盖最多n条边的n个顶点的未标记连通图。对于这个定义，我们有一个（1）=0，可能还有一个（0）=0-古斯·怀斯曼2024年2月20日
参考文献
J.Riordan，《组合分析导论》，威利出版社，1958年，第150页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
链接
理查德·马塔尔，无重叠圈的连通图计数，arXiv:1808.06264[math.CO]，2018年。
例子
a（0）=1到a（5）=8图的代表：
{} . {12} {12,13} {12,13,14} {12,13,14,15}
{12,13,23} {12,13,24} {12,13,14,25}
{12,13,14,23} {12,13,24,35}
{12,13,24,34} {12,13,14,15,23}
{12,13,14,23,25}
{12,13,14,23,45}
{12,13,14,25,35}
{12,13,24,35,45}
（结束）
数学
需求[“Combinatorica`”]；nn=20；t[x_]：=总和[a[n]x^n，{n，1，nn}]；
a[0]=0；
b=下降[压扁[
sol=解决始终[
0==系列[
t[x]-x乘积[1/（1-x^i）^a[i]，{i，1，nn}]，{x，0，nn}，
x] ；表[a[n]，{n，0，nn}]/。溶胶]，1]；
r[x_]：=和[b[[n]]x^n，{n，1，nn}]；c（c）=
删除[表格[
系数列表[
系列[CycleIndex[DihedralGroup[n]，s]/。
表[s[i]->r[x^i]，{i，1，n}]，{x，0，nn}]，x]，{n，3，
nn}]//总计，1]；
d[x_]：=总和[c[[n]]x^n，{n，1，nn}]；系数列表[
序列[r[x]-（r[x]^2-r[x^2]）/2+d[x]+1，{x，0，nn}]，x](*杰弗里·克雷策2014年11月17日*）
黄体脂酮素
树Gf（N）={my（A=向量（N，j，1））；对于（N=1，N-1，A[N+1]=1/N*和（k=1，N，sumdiv（k，d，d*A[d]）*A[N-k+1]）；x*Ser（A）}
seq（n）={my（t=TreeGf（n））；my（g（e）=subt（t+O（x*x^（n\e）），x，x^e）+O（x*x^n））（1）^2+g（2））*g（2”^（k/2-1）/2）}\\安德鲁·霍罗伊德和华盛顿Bomfim2021年5月15日
交叉参考
囊性纤维变性。A000272号,A006649号,A116508号,A140637号,A143543号,A367862飞机,A367863飞机,A368951型,A369197型,A370317型,A370318型.
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