显示找到的13个结果中的1-10个。
扩展例如f.exp(2*(exp(x)-1))。 (原名M1662 N0653)
+10 77
1, 2, 6, 22, 94, 454, 2430, 14214, 89918, 610182, 4412798, 33827974, 273646526, 2326980998, 20732504062, 192982729350, 1871953992254, 18880288847750, 197601208474238, 2142184050841734, 24016181943732414, 278028611833689478, 3319156078802044158, 40811417293301014150
评论
贝尔多项式的值:将n个标记球放入n个未标记(但为2色)的框中的方法。
将n个带标签的球放入一组袋子中,然后将袋子放入2个带标签盒子中的方法的数量。下面给出了一个示例-彼得·巴拉2013年3月23日
参考文献
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
链接
M.Aigner,贝尔数的一个特征,离散。数学。,205 (1999), 207-210.
迭戈·阿尔西斯、卡米洛·冈萨雷斯和塞巴斯蒂安·马尔克斯,超空间中非交换变量中的对称函数,arXiv:2312.00574[math.CO],2023。
C.Banderier、M.Bousquet-Mélou、A.Denise、P.Flajolet、D.Gardy和D.Gouyou-Beauchamps,生成树的生成函数《离散数学》246(1-3),2002年3月,第29-55页。
雅克·卡利埃和科琳·卢塞特,网络可靠性评估的分解算法在第一届图与优化国际学术讨论会(GOI)上,1992年(Grimentz)。离散应用程序。数学。65(1996),141-156(参见第152页和图6)。
Marin Knežević、Vedran Krčadinac和Lucija Relić,二项式系数和无符号斯特林数的矩阵乘积,arXiv:2012.15307[math.CO],2020年。
T.S.Motzkin,气缸和其他分类号的分类号,《组合数学》。症状。纯数学。19,AMS,1971年,第167-176页。[注释,扫描件]
弗兰克·西蒙,计算网络可靠性的代数方法论文,Rerum Naturalium博士(Dr.rer.nat.),Fakultät Mathematik und Naturwissenschaften der Technischen Universityät Dresden,2012年。见表5.1发件人N.J.A.斯隆2013年1月4日
雅各布·斯普里图拉,关于着色因子分解,arXiv:2008.09984[math.CO],2020年。
配方奶粉
a(n)=exp(-2)*Sum_{k>=1}2^k*k^n/k-贝诺伊特·克洛伊特2003年9月25日
G.f.满足2*(x/(1-x))*A(x/;二项变换的两倍等于序列左移一位-保罗·D·汉纳,2003年12月8日
PE=exp(matpascal(5)-matid(6));A=PE^2;a(n)=a[n,1]-戈特弗里德·赫尔姆斯2007年4月8日
通用公式:1/(1-2x-2x^2/(1-3x-4x^2/-(1-4x-6x^2//(1-5x-8x^2/(1-6x-10x^2/.(1-……(连分数))-保罗·巴里2009年4月29日
O.g.f.:求和{n>=0}2^n*x^n/产品{k=1..n}(1-k*x)-保罗·D·汉纳2012年2月15日
a(n)~exp(-2-n+n/LambertW(n/2))*n^n/LambertW(n/2)^(n+1/2)-瓦茨拉夫·科泰索维奇2013年1月6日
G.f.:(G(0)-1)/(x-1)/2,其中G(k)=1-2/(1-k*x)/(1-x/(x-1/G(k+1));(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年1月16日
G.f.:1/Q(0),其中Q(k)=1+x*k-x-x/(1-2*x*(k+1)/Q(k+1;(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年3月7日
G.f.:((1+x)/Q(0)-1)/(2*x),其中Q(k)=1-(k+1)*x-2*(k+1;(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月3日
G.f.:T(0)/(1-2*x),其中T(k)=1-2*x^2*(k+1)/(2*x*2*(k+1)-(1-2*x-x*k)*(1-3*x-x*k)/T(k+1;(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年10月24日
a(n)=和{k=0..n}A033306号(n,k)=和{k=0..n}二项式(n,k)*Bell(k)*Bell(n-k),其中Bell=A000110号(见Motzkin,第170页)-丹尼·罗拉布2015年10月18日
例子
a(2)=6:将2个球放入袋子(用{}表示),然后放入2个带标签的盒子(用[]表示)的六种方法如下
01: [{1,2}] [ ];
02: [ ] [{1,2}];
03: [{1}] [{2}];
04: [{2}] [{1}];
05: [{1} {2}] [ ];
06: [ ] [{1} {2}].
MAPLE公司
#第二个Maple项目:
b: =proc(n,m)选项记忆;
`如果`(n=0,2^m,m*b(n-1,m)+b(n-1,m+1))
结束时间:
a: =n->b(n,0):
数学
表[Sum[StirlingS2[n,k]*2^k,{k,0,n}],{n,0,21}](*杰弗里·克雷策2009年10月6日*)
mx=16;p=1;范围[0,mx]!系数列表[系列[Exp[(Exp[p*x]-p-1)/p+Exp[x]],{x,0,mx}],x](*罗伯特·威尔逊v2012年12月12日*)
黄体脂酮素
(PARI)a(n)=如果(n<0,0,n!*polceoff(exp(2*(exp[x+x*O(x^n))-1)),n))
(PARI){a(n)=polcoeff(总和(m=0,n,2^m*x^m/prod(k=1,m,1-k*x+x*O(x^n)),n)}/*保罗·D·汉纳2012年2月15日*/
(鼠尾草)扩展(30,2)#零入侵拉霍斯2008年6月26日
(岩浆)[&+[2^k*StirlingSecond(n,k):k in[0..n]]:n in[0..25]]//文森佐·利班迪2019年5月18日
交叉参考
囊性纤维变性。A000110号,A000587号,A002871号,A027710号,A056857号,A068199号,A068200型,A068201型,A078937号,A078938号,A078944号,A078945号,A109128号,A129323号,A129324号,A129325号,A129327号,A129328号,A129329号,A129331号,A129332号,A129333号,A144180号,A144223号,A144263号,A189233号,A213170型,A221159型,A221176型.
将n个已标记的球放入n个未标记(但为3色)的框中的方法数。
+10 40
1, 3, 12, 57, 309, 1866, 12351, 88563, 681870, 5597643, 48718569, 447428856, 4318854429, 43666895343, 461101962108, 5072054649573, 57986312752497, 687610920335610, 8442056059773267, 107135148331162767, 1403300026585387686, 18946012544520590991
评论
将n个带标签的球放入一组袋子中,然后将袋子放入3个带标签盒子中的方法的数量-彼得·巴拉2013年3月23日
链接
Jacob Sprittulla,关于着色因子分解,arXiv:2008.09984[math.CO],2020年。
配方奶粉
例如:exp{3(E^x-1)}-迈克尔·索莫斯2002年10月18日
a(n)=exp(-3)*Sum_{k>=0}3^k*k^n/k-贝诺伊特·克洛伊特2003年9月25日
通用系数:3*(x/(1-x))*A(x/[1-x)]=A(x)-1;二项变换的三倍等于序列左移一位-保罗·D·汉纳,2003年12月8日
PE=exp(matpascal(5))/exp(1);A=PE^3;a(n)=a[n,1],精确整数算术:PE=exp(matpascal(5)-matid(6));A=PE^3;a(n)=a[n,1]-戈特弗里德·赫尔姆斯2007年4月8日
G.f.:(G(0)-1)/(x-1)/3,其中G(k)=1-3/(1-k*x)/(1-x/(x-1/G(k+1));(递归定义的连分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年1月16日
G.f.:T(0)/(1-3*x),其中T(k)=1-3*x^2*(k+1)/(3*x*2*(k+1)-(1-3*x-x*k)*(1-4*x-x*k)/T(k+1));(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年10月24日
a(n)~n^n*exp(n/LambertW(n/3)-3-n)/(sqrt(1+LambertW(n/3))*LambertW(n/3^n)-瓦茨拉夫·科泰索维奇2014年3月12日
通用公式:总和{j>=0}3^j*x^j/产品{k=1..j}(1-k*x)-伊利亚·古特科夫斯基2019年4月7日
MAPLE公司
b: =proc(n,m)选项记忆`如果`(n=0,
1,m*b(n-1,m)+3*b(n-1,m+1))
结束时间:
a: =n->b(n,0):
数学
颜色=3;阵列[钟,25];对于[x=1,x<=25,x++,钟形[x]=0];铃铛[1]=颜色;
打印[“1”,颜色];对于[n=2,n<=25,n++,bell[n]=colors*bell[n-1];
对于[i=1,n-i>1,i++,bell[n-i]=bell[n-i]*(n-i)+colors*bell[n-i-1]];
bellsum=0;对于[t=0,t<n,t++,bellsum=bellsum+bell[n-t]];打印[n,“”,bellsum]]
黄体脂酮素
(PARI)a(n)=如果(n<0,0,n!*polceoff(exp(3*(exp[x+x*O(x^n))-1)),n))
(Sage)来自Sage.combinat.exnums导入expnums2
交叉参考
囊性纤维变性。A000110号,A001861号,A056857号,A078937号,A078938号,A078940号,A078944号,A078945号,A129323号,A129324号,A129325号,A129327号,A129328号,A129329号,A129331号,A129332号,A129333号,A144180号,A144223号,A144263号,A189233号,A221159型,A221176型.
作者
乔治·尤哈斯(gyuhasz(AT)vt.edu)和约翰·莱曼
1, 4, 20, 116, 756, 5428, 42356, 355636, 3188340, 30333492, 304716148, 3218555700, 35618229364, 411717043252, 4957730174836, 62045057731892, 805323357485684, 10820999695801908, 150271018666120564, 2153476417340487476
评论
将n个带标签的球放入一组袋子中,然后将袋子放入4个带标签盒子中的方法的数量-彼得·巴拉2013年3月23日
链接
弗兰克·西蒙,计算网络可靠性的代数方法论文,Rerum Naturalium博士(Dr.rer.nat.),Fakultät Mathematik und Naturwissenschaften der Technischen Universityät Dresden,2012年。见表5.1发件人N.J.A.斯隆2013年1月4日
配方奶粉
PE=exp(matpascal(5))/exp(1);A=PE^4;a(n)=a[n,1],精确整数算术:PE=exp(matpascal(5)-matid(6));A=PE^4;a(n)=a[n,1]-戈特弗里德·赫尔姆斯2007年4月8日
例如:exp(4*(exp(x)-1))。
a(n)=exp(-4)*Sum_{k>=0}4^k*k^n/k-贝诺伊特·克洛伊特2003年9月25日
通用系数:4*(x/(1-x))*A(x/[1-x)]=A(x)-1;二项变换的四倍等于这个序列左移一位-保罗·D·汉纳,2003年12月8日
G.f.:(G(0)-1)/(x-1)/4,其中G(k)=1-4/(1-k*x)/(1-x/(x-1/G(k+1));(递归定义的连分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年1月16日
G.f.:T(0)/(1-4*x),其中T(k)=1-4*x^2*(k+1)/(4*x*2*(k+1)-(1-(k+4)*x)*(1-(k+5)*x)/T(k+1;(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年10月28日
a(n)~n^n*exp(n/LambertW(n/4)-4-n)/(sqrt(1+LambertW(n+4))*LambertW*n/4^n)-瓦茨拉夫·科泰索维奇2014年3月12日
通用公式:总和{j>=0}4^j*x^j/产品{k=1..j}(1-k*x)-伊利亚·古特科夫斯基2019年4月7日
MAPLE公司
#第二个Maple项目:
b: =proc(n,m)选项记忆`如果`(n=0,4^m,
加(b(n-1,最大值(m,j)),j=1..m+1))
结束时间:
a: =n->b(n,0):
数学
表[n!,{n,0,20}]系数列表[E^(4E^x-4),{x,0,20}],x]
使用[{nn=20},系数列表[Series[Exp[4(Exp[x]-1)],{x,0,nn}],x]范围[0,nn]!](*哈维·P·戴尔2022年5月3日*)
黄体脂酮素
(鼠尾草)扩展(20,4)#零入侵拉霍斯2008年6月26日
交叉参考
囊性纤维变性。A000110号,A001861号,A027710号,A056857号,A078937号,A078938号,A078939号,A078944号,A078945号,A129323号,A129324号,A129325号,A129327号,A129328号,A129329号,A129331号,A129332号,A129333号,A144180号,A144223号,A144263号,A189233号,A221159型,A221176型.
1, 2, 1, 6, 4, 1, 22, 18, 6, 1, 94, 88, 36, 8, 1, 454, 470, 220, 60, 10, 1, 2430, 2724, 1410, 440, 90, 12, 1, 14214, 17010, 9534, 3290, 770, 126, 14, 1, 89918, 113712, 68040, 25424, 6580, 1232, 168, 16, 1, 610182, 809262, 511704, 204120, 57204, 11844, 1848, 216, 18, 1
评论
Riordan数组[exp(2*exp(x)-2),x],其生产矩阵具有例如f.exp(x*t)(t+2*exp))。[保罗·巴里,2008年11月26日]
配方奶粉
PE=exp(matpascal(5))/exp(1);A=PE^2;a(n)=a[n,column],精确整数算术:PE=exp(matpascal(5)-matid(6));A=PE^2;a(n)=a[n,1]-戈特弗里德·赫尔姆斯2007年4月8日
例子
[0] 1;
[1] 2, 1;
[2] 6, 4, 1;
[3] 22, 18, 6, 1;
[4] 94, 88, 36, 8, 1;
[5] 454, 470, 220, 60, 10, 1;
[6] 2430, 2724, 1410, 440, 90, 12, 1;
[7] 14214, 17010, 9534, 3290, 770, 126, 14, 1;
[8] 89918, 113712, 68040, 25424, 6580, 1232, 168, 16, 1;
MAPLE公司
#将三角形计算为矩阵M(dim,p)。
带(线性代数):M:=(n,p)->局部j,k;矩阵功率(subs(exp(1)=1,
矩阵指数(矩阵(n,n,[seq(seq(`if`(j=k+1,j,0),
k=0..n-1),j=0..n-1])),p):M(8,2)#彼得·卢什尼,2024年3月28日
黄体脂酮素
(PARI)k=9;m=matpascal(k)-matid(k+1);pe=匹配(k+1)+总和(j=1,k,m^j/j!);A=pe^2;A类/*戈特弗里德·赫尔姆斯2007年4月8日;由修订乔治·菲舍尔2024年3月28日*/
1, 3, 1, 12, 6, 1, 57, 36, 9, 1, 309, 228, 72, 12, 1, 1866, 1545, 570, 120, 15, 1, 12351, 11196, 4635, 1140, 180, 18, 1, 88563, 86457, 39186, 10815, 1995, 252, 21, 1, 681870, 708504, 345828, 104496, 21630, 3192, 336, 24, 1, 5597643, 6136830, 3188268
评论
Riordan数组[exp(3*exp(x)-3),x],其生产矩阵具有例如f.exp(x*t)(t+3*exp))。[来自保罗·巴里,2008年11月26日]
配方奶粉
PE=exp(matpascal(5))/exp(1);A=PE^3;a(n)=a[n,顺序读取],使用精确的整数算术:PE=exp(matpascal(5)-matid(6));A=PE^3;a(n)=a[n,按顺序读取]-戈特弗里德·赫尔姆斯2007年4月8日
例子
排:
1,
3,1,
12,6,1,
57,36,9,1,
309,228,72,12,1,
1866,1545,570,120,15,1,
12351,11196,4635,1140,180,18,1,
...
黄体脂酮素
(PARI)m=matpascal(5)-matid(6);pe=匹配(6)+m/1!+m^2/2+m^3/3+m^4/4+m^5/5;A=pe^3-戈特弗里德·赫尔姆斯2007年4月8日
0, 1, 4, 18, 88, 470, 2724, 17010, 113712, 809262, 6101820, 48540778, 405935688, 3557404838, 32577733972, 310987560930, 3087723669600, 31823217868318, 339845199259500, 3754422961010522, 42843681016834680, 504339820818380694
配方奶粉
PE=exp(matpascal(5))/exp(1);A=PE^2;a(n)=a[n,2],采用精确整数运算:PE=exp(matpascal(5)-matid(6));A=PE^2;a(n)=a[n,2]
数学
表[Sum[BellB[n,2],{i,0,n}],{n,-1,20}](*零入侵拉霍斯2009年7月16日*)
0, 0, 0, 1, 8, 60, 440, 3290, 25424, 204120, 1705680, 14836470, 134240040, 1262060228, 12313382536, 124509169330, 1303109358880, 14098102762160, 157473907149600, 1813923418494126, 21523529286435000, 262809607270736540
配方奶粉
PE=exp(matpascal(5))/exp(1);A=PE^2;a(n)=a[n,4],精确整数算术:PE=exp(matpascal(5)-matid(6));A=PE^2;a(n)=a[n,4]
数学
A056857号[n_,c]:=如果[n<=c,0,BellB[n-1-c]二项式[n-1,c]];
黄体脂酮素
(PARI)m=matpascal(30)-matid(31);pe=matid(31)+总和(i=1,30,m^i/i!);A=pe^2;A[,4]\\Herman Jamke(hermanjamke(AT)fastmail.fm),2008年5月1日
扩展
更多术语来自R.J.马塔尔和Herman Jamke(hermanjamke(AT)fastmail.fm),2008年5月1日
0, 1, 6, 36, 228, 1545, 11196, 86457, 708504, 6136830, 55976430, 535904259, 5369146272, 56145107577, 611336534802, 6916529431620, 81152874393168, 985767316792449, 12376996566040980, 160399065135692073
配方奶粉
PE=exp(matpascal(5))/exp(1);A=PE^3;a(n)=a[n,2],精确整数算术:PE=exp(matpascal(5)-matid(6));A=PE^3;a(n)=a[n,2]
数学
表[Sum[BellB[n,3],{i,0,n}],{n,-1,18}](*零入侵拉霍斯2009年7月16日*)
0, 0, 1, 9, 72, 570, 4635, 39186, 345828, 3188268, 30684150, 307870365, 3215425554, 34899450768, 393015753039, 4585024011015, 55332235452960, 689799432341928, 8871905851132041, 117581467377389310, 1603990651356920730
配方奶粉
PE=exp(matpascal(5))/exp(1);A=PE^3;a(n)=a[n,3],精确整数算术:PE=exp(matpascal(5)-matid(6));A=PE^3;a(n)=a[n,3]
数学
A056857美元[n_,c]:=如果[n<=c,0,BellB[n-1-c]二项式[n-1,c]];
0, 0, 0, 1, 12, 120, 1140, 10815, 104496, 1037484, 10627560, 112508550, 1231481460, 13933510734, 162864103584, 1965078765195, 24453461392080, 313549334233440, 4138796594051568, 56188737057169593, 783876449182595400
配方奶粉
PE=exp(matpascal(5))/exp(1);A=PE^3;a(n)=a[n,4],精确整数算术:PE=exp(matpascal(5)-matid(6));A=PE^3;a(n)=a[n,4]
数学
A056857号[n,c_]:=如果[n<=c,0,BellB[n-1-c]二项式[n-1,c]];
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