显示找到的22个结果中的1-10个。
1, 5, 40, 385, 4095, 46376, 548340, 6690585, 83615350, 1064887395, 13770292256, 180320238280, 2386316821325, 31864803599700, 428798445360120, 5809228810425801, 79168272296871450, 1084567603590147950
评论
广义加泰罗尼亚数C（k，n）：=二项式（k*n+1，n）/（k*n+1）变为负k=-|k|，其中|k|>=2，（-1）^（n-1））*二项式。
k族{c（k，n+1）}_{n>=0}，k>=1的普通生成函数是G（k，x）=超几何（Aseq（k+1），Bseq（k），（k+1 k）_1，…，b（k）_k]，其中b（k，这导致取消a-section 1条款。感谢Dixon J.Jones询问通用公式-沃尔夫迪特·朗2024年2月4日
{C（k，n）}_{n>=0}的o.g.f.在Graham-Knuth-Patashnik的书中，在第200、349页用B_k（z）表示（1994年第二版，第200、363页）-沃尔夫迪特·朗2024年3月7日
参考文献
罗纳德·格雷厄姆（Ronald L.Graham）、唐纳德·科努特（Donald E.Knuth）和奥伦·帕塔什尼克（Oren Patashnik），《混凝土数学》（Concrete Mathematics），艾迪森·韦斯利（Addison-Wesley），马萨诸塞州雷丁（Reading），第二版，1994年，第200、363页。
链接
K.Kobayashi、H.Morita和M.Hoshi，有序树的编码《IEEE信息理论国际研讨会论文集》，ISIT 2000，意大利索伦托，2000年6月25日。
Elżbieta Liszewska，Wojciech Młotkowski，加泰罗尼亚序列的一些亲属，arXiv:1907.10725[math.CO]，2019年。
配方奶粉
a（n）=二项式（（k+1）*n-2，n）/（k*n-1），其中k=5。
G.f.：y*（1-y）^5的逆级数。
a（n）=（5/6）*二项式（6*n，n）/（6*n-1）。[布鲁诺·贝塞利，2014年1月17日]
G.f.：（5/6）*（1-浅层（[-1，1，2，3，4]/6，[1，2，3,4]/5，（6^6/5^5）*x））。
例如：（5/6）*（1-hypergeom（[-1,1,2,3,4]/6，[1,2,3,1,5]/5，（6^6/5^5）*x））。（结束）
带递归的D-有限5*n*（5*n-4）*（5xn-3）*（5*n-2）*（5-n-1）*a（n）-72*（6*n-7）*（3*n-1）*（2*n-1-R.J.马塔尔2021年5月7日
数学
Rest@系数列表[Inverse Series[y（1-y）^5，{y，0，18}]，x]，x](*迈克尔·德弗利格2019年10月13日*）
交叉参考
囊性纤维变性。A000012号,A000108号,A001764号,A002293号,A002294号,A002295号,A002296号,A006013号,A062994号,A006632号,A007556号,A118971号,A130565型,A234466号,A234513型,A234573型,A235340型.
a（n）=7*二项式（8*n+7，n）/（8*n+7）。
+10
13
1, 7, 77, 1015, 14763, 228459, 3689595, 61474519, 1048927880, 18236463245, 321899509386, 5753527081211, 103922382296180, 1893943017506925, 34783258504651434, 643111366544129175, 11960812088346090200, 223614812152492437432, 4200107505573406222425
评论
Fuss-Catalan序列是a（n，p，r）=r*二项式（np+r，n）/（np+r），这是p=8，r=7的情况。
链接
J-C.阿瓦尔，多元保险丝-加泰罗尼亚数，arXiv:0711.0906v1，离散数学。，308 (2008), 4660-4669.
Elżbieta Liszewska，Wojciech Młotkowski，加泰罗尼亚序列的一些亲属，arXiv:1907.10725[math.CO]，2019年。
配方奶粉
G.f.满足：B（x）={1+x*B（x）^（p/r）}^r，其中p=8，r=7。
带递归的D-有限：+7*（7*n+4）*（7*1）*-R.J.马塔尔2020年2月21日
a（n）=二项式（8*n+6，n+1）/（7*n+6.）。这是在中的注释中给出的c（k，n+1）的实例k=7A130564型.
y*（1-y）^7的组成逆是x*G（x），其中G是o.G.f.。也就是说，G（x）*（1-x*G（x））^7=1。这相当于上面第一行的公式，其中B=G。取A=B^（1/7），然后A*（1-x*B）=1或B*（1-x*B）^7=1。
o.g.f为g（x）=8F7（[7..14]/8，[8..14]/7；（8^8/7^7）*x）=（7/（8*x））*。参见上述示例。（结束）
数学
表[7二项式[8 n+7，n]/（8 n+7），｛n，0，40｝](*文森佐·利班迪2013年12月26日*）
黄体脂酮素
（PARI）a（n）=7*二项式（8*n+7，n）/（8*n+7）；
（PARI）{a（n）=局部（B=1）；对于（i=0，n，B=（1+x*B^（8/7））^7+x*O（x^n））；波尔科夫（B，n）}
（岩浆）[7*二项式（8*n+7，n）/（8*n+7）：[0.30]]中的n//文森佐·利班迪2013年12月26日
交叉参考
囊性纤维变性。A000108号,A007556号,A118971号,A130564型,A234461号,A234462号,A234463型,A234464号,A234465号,A234467号,A230390型.
1, 8, 100, 1496, 24682, 433160, 7932196, 149846840, 2898753715, 57135036024, 1143315429776, 23166186450680, 474347963242860, 9799792252101016, 204022381037886400, 4276098770070159096, 90151561242584838605, 1910564646571462338800
评论
Fuss-Catalan序列是一个（n，p，r）=r*二项式（np+r，n）/（np+r），其中p=9，r=8。
链接
J-C.阿瓦尔，多元保险丝-加泰罗尼亚数，arXiv:0711.0906v1，离散数学。，308 (2008), 4660-4669.
Elżbieta Liszewska，Wojciech Młotkowski，加泰罗尼亚序列的一些亲属，arXiv:1907.10725[math.CO]，2019年。
配方奶粉
G.f.满足：B（x）={1+x*B（x）^（p/r）}^r，其中p=9，r=8。
G.f.：表皮（[8，9，…，16]/9，[9，10，…，16]/8，（9^9/8^8）*x）。
E、 g，f.：表皮（[8，10，11，…，16]/9，[9，10，…，16]/8，（9^9/8^8）*x）。抄送：伊莉亚·古特科夫斯基A118971号.（结束）
递归D-有限128*（8*n+3）*-R.J.马塔尔2022年8月1日
上面给出的、在上面第一行中称为B的g.f.满足B（x）*（1-x*B（x））^8=1。有关等效性的模拟证明，请参见A234466号.x*B（x）是y*（1-y）^8的成分反转。
g.f.的另一个公式是B（x）=（8/（9*x））*（1-8F7（[-1,1,2,3,4,5,6.7]/9，[1,2,3,1,5,67]/8；（9^9/8^8）*x）。（结束）
数学
表[8二项式[9n+8，n]/（9n/8），{n，0，30}](*文森佐·利班迪2013年12月28日*）
黄体脂酮素
（PARI）a（n）=8*二项式（9*n+8，n）/（9*n+8）；
（PARI）{a（n）=局部（B=1）；对于（i=0，n，B=（1+x*B^（9/8））^8+x*O（x^n））；波尔科夫（B，n）}
（岩浆）[8*二项式（9*n+8，n）/（9*n+8）：[0.30]]中的n//文森佐·利班迪2013年12月28日
交叉参考
囊性纤维变性。A000108号,A118971号,A130564型,A143554号,A234466号,A234505型,A234506型,A234507型,A234508型,A234509型,234510英镑,A232265型.
a（n）=9*二项式（10*n+9，n）/（10*n+9）。
+10
12
1, 9, 126, 2109, 38916, 763686, 15636192, 330237765, 7141879503, 157366449604, 3520256293710, 79735912636302, 1825080422272800, 42148579533938784, 980892581545169496, 22980848343194476245, 541581608172776494554, 12829884648994115426295, 305349921559399354716430
评论
Fuss-Catalan序列是一个（n，p，r）=r*二项式（np+r，n）/（np+r），其中p=10，r=9。
链接
J-C.阿瓦尔，多元Fuss Catalan数，arXiv:0711.0906[数学.CO]，2007年；离散数学。，308 (2008), 4660-4669.
Elżbieta Liszewska和Wojciech Młotkowski，加泰罗尼亚序列的一些亲属，arXiv:1907.10725[math.CO]，2019年。
配方奶粉
G.f.满足：B（x）={1+x*B（x）^（p/r）}^r，其中p=10，r=9。
G.f.：表皮（[9，10，…，18]/10，[10，11，…，18]/9，（10^10/9^9）*x）。
例如：hypergeom（[9，11，12，…，18]/10，[10，11，…，18]/9，（10^10/9^9）*x）。抄送：伊莉亚·古特科夫斯基A118971号.（结束）
a（n）=二项式（10*n+8，n+1）/A130564型.x*B（x）是y*（1-y）^9的成分倒数，因此B（x，x）*（1-x*B，x））^9=1。关于涉及超几何函数9F8的B（x）的另一个公式，请参见A234513型. -沃尔夫迪特·朗2024年2月15日
数学
表[9二项式[10n+9，n]/（10n+9），{n，0，30}]
黄体脂酮素
（PARI）a（n）=9*二项式（10*n+9，n）/（10*n+9）；
（PARI）{a（n）=局部（B=1）；对于（i=0，n，B=（1+x*B^（10/9））^9+x*O（x^n））；波尔科夫（B，n）}
（岩浆）[9*二项式（10*n+9，n）/（10*n+9）：[0.30]]中的n；
交叉参考
囊性纤维变性。A000108号,A059968号,A118971号,A130564型,A234513型,A234525型,第234526页,A234527号,A234528号,A234529号,234570英镑,A234571型,A229963型.
a（n）=6*二项式（5*n+6，n）/（5*n+6）。
+10
11
1, 6, 45, 380, 3450, 32886, 324632, 3290040, 34034715, 357919100, 3815041230, 41124015036, 447534498320, 4910258796240, 54257308779600, 603260892430960, 6744185681876505, 75764901779438850, 854867886710698755, 9683529727259434200
评论
Fuss-Catalan序列是a（n，p，r）=r*二项式（n*p+r，n）/（n*p+r）；这是p=5，r=6的情况。
参考文献
C.H.Pah，M.R.Wahiddin，Raney数和树枚举的组合解释，离散数学开放期刊，2015，5，1-9；http://www.scirp.org/journal/ojdm; http://dx.doi.org/10.4236/ojdm.2015.51001
配方奶粉
G.f.满足：A（x）={1+x*A（x）^（p/r）}^r，这里p=5，r=6。
发件人：佩特·巴拉，2015年10月16日：（开始）
O.g.f.A（x）=1/x*级数反转（x*C（-x）^6），其中C（x）=（1-sqrt（1-4*x））/（2*x）是加泰罗尼亚数字的O.g.fA000108号参见其他Fuss-Catalan序列的交叉参考，其o.g.f.1/x*序列反转（x*C（-x）^k），k=3到11。
数学
表[6二项式[5n+6，n]/（5n+6），{n，0，30}]
黄体脂酮素
（PARI）a（n）=6*二项式（5*n+6，n）/（5*n+6）；
（PARI）{a（n）=局部（B=1）；对于（i=0，n，B=（1+x*B^（5/6））^6+x*O（x^n））；波尔科夫（B，n）}
（岩浆）[6*二项式（5*n+6，n）/（5*n+6）：[0.30]]中的n；
1, 1, 5, 65, 1505, 51505, 2354725, 135258625, 9373203425, 761486105825, 71001537157925, 7475144493546625, 877222642396170625, 113551974107296500625, 16073867927431440597125, 2470217878902686107522625, 409596824402404827033730625, 72890993386914239524503090625, 13857243751694786173837746653125
配方奶粉
（1） A'（x）/A（x）=G（x）^4。
（2） A'（x）=exp（5*x*G（x）^4）。
（3） A（x）=exp（积分G（x）^4 dx）。
（6） A（x）=和{n>=0}A251585型（n） *（x/A（x））^n/n！和
哪里A251585型（n） =5^（n-3）*（n+1）^（n-5）*（16*n^3+87*n^2+172*n+125）。
a（n）=和{k=0..n}5^k*n/k！*n>1的二项式（5*n-k-5，n-k）*（k-1）/（n-1）。
重复次数：8*（2*n-3）*（4*n-7）*（4*n-5）*（25*n^3-210*n^2+598*n-581）*a（n）=5*（15625*n*n^7-240625*n^6+1592500*n^5-5883125*n^4+13135350*n^3-17781015*n~2+1356657*n-4523904）*a●●●●-瓦茨拉夫·科特索维奇2014年12月7日
a（n）~5^（5*n-11/2）*n^（n-2）/（2^（8*n-9）*exp（n-1））-瓦茨拉夫·科特索维奇2014年12月7日
例子
例如：A（x）=1+x+5*x^2/2！+65*x^3/3！+1505*x^4/4！+51505*x^5/5！+。。。
这样A（x）=exp（5*x*G（x）^4）/G（x）*4
G（x）=1+x+5*x^2+35*x^3+285*x^4+2530*x^5+23751*x^6+。。。
请注意
A'（x）=经验（5*x*G（x）^4）=1+5*x+65*x^2/2！+1505*x^3/3！+51505*x^4/4！+。。。
逻辑推导。
e.g.f.的对数开始于：
对数（A（x））=x+4*x^2/2+26*x^3/3+204*x^4/4+1771*x^5/5+。。。
因此A'（x）/A（x）=G（x）^4。
F的幂表。
形成系数表x^k/k！在A（x）^n中，如下所示。
n=1:[1、1、5、65、1505、51505、2354725、135258625，…]；
n=2:[1、2、12、160、3680、124560、5637760、321147200…]；
n=3:[1、3、21、291、6705、225315、10112805、571694355…]；
n=4:[1、4、32、464、10784、361120、16101760、904145920…]；
n=5:[1、5、45、685、16145、540645、23993725、1339552925…]；
n=6:[1、6、60、960、23040、774000、34254720、1903435200，…]；
n=7:[1，7，77，1295，31745，1072855，47438125，2626525615，…]；
n=8:[1，8，96，1696，42560，1450560，64195840，3545600000，…]。。。
[1, 2, 21, 464, 16145, 774000, 47438125, 3545600000, ...]
由公式得出：
[x^n/n！]A（x）^（n+1）=5^（n-3）*。
数学
扁平[{1，1，表[Sum[5^k*n！/k！*二项式[5*n-k-5，n-k]*（k-1）/（n-1），{k，0，n}]，{n，2，20}]}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2014年12月7日*）
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=局部（G=1）；对于（i=1，n，G=1+x*G^5+x*O（x^n））；n！*polcoeff（exp（5*x*G*4）/G^4，n）}
对于（n=0，20，打印1（a（n），“，”）
（PARI）{a（n）=如果（n==0|n==1，1，sum（k=0，n，5^k*n！/k！*二项式（5*n-k-5，n-k）*（k-1）/（n-1））}
对于（n=0，20，打印1（a（n），“，”）
1, 6, 57, 650, 8184, 109668, 1533939, 22137570, 327203085, 4928006512, 75357373305, 1166880131820, 18259838103852, 288308609783760, 4587430875645660, 73484989079268690, 1184104656043939071
评论
广义加泰罗尼亚数C（k，n）：=二项式（k*n+1，n）/（k*n+1）变为负k=-|k|，其中|k|>=2，（-1）^（n-1））*二项式。
链接
Elżbieta Liszewska，Wojciech Młotkowski，加泰罗尼亚序列的一些亲属，arXiv:1907.10725[math.CO]，2019年。
配方奶粉
a（n）=二项式（（k+1）*n-2，n）/（k*n-1），其中k=6。
G.f.：y*（1-y）^6的逆级数。
a（n）=（6/7）*二项式（7*n，n）/（7*n-1）。[布鲁诺·贝塞利2014年1月17日]
G.f.：（6/7）*（1-hypergeom（[-1,1,2,3,4,5]/7，[1,2,3,15]/6，（7^7/6^6）*x））。
例如：（6/7）*（1-hypergeom（[-1，1，2，3，4，5]/7，[1，2，3,4，5，6]/6，（7^7/6^6）*x））。（结束）
数学
表[二项式[7n-2，n]/（6n-1），{n，20}](*哈维·P·戴尔2013年2月25日*）
1, 10, 95, 920, 9135, 92752, 959595, 10084360, 107375730, 1156073100, 12565671261, 137702922560, 1519842008360, 16880051620320, 188519028884675, 2115822959020080, 23851913523156675, 269958280013904870, 3066451080298820830, 34946186787944832400
评论
Fuss-Catalan序列是a（n，p，r）=r*二项式（np+r，n）/（np+r），这是p=5，r=10的情况。
配方奶粉
G.f.满足：B（x）={1+x*B（x）^（p/r）}^r，其中p=5，r=10。
G.f.：浅层（[2，11/5，12/5，13/5，14/5]，[11/4，3，13/4，7/2]，（3125/256）*x）-罗伯特·伊斯雷尔2014年9月7日
数学
表[2二项式[5n+10，n]/（n+2），{n，0，40}](*文森佐·利班迪2013年12月16日*）
黄体脂酮素
（PARI）a（n）=2*二项式（5*n+10，n）/（n+2）；
（PARI）{a（n）=局部（B=1）；对于（i=0，n，B=（1+x*B^（1/2））^10+x*O（x^n））；波尔科夫（B，n）}
（岩浆）[2*二项式（5*n+10，n）/（n+2）：[0.30]]中的n//文森佐·利班迪2013年12月16日
1, 4, 30, 260, 2465, 24796, 260008, 2811216, 31117240, 350890260, 4016744586, 46556054072, 545273713228, 6443442857024, 76727957438650, 919796418086076, 11091249210406816, 134439965189940176, 1637160457090585016, 20019920157735604796, 245733987135102838131
配方奶粉
a（n）=Sum_{k=0..n}二项式（n-1，n-k）*二项式（5*k+3，k）/（k+1）。
G.f.：A（x）=B（x/（1-x）），其中B（x）＝（1/x）*系列_翻转（x*（1-x，^4）。
黄体脂酮素
（PARI）a（n）=总和（k=0，n，二项式（n-1，n-k）*二项式[5*k+3，k）/（k+1）]；
a（4n+k）=（k+1）*二项式（5n+k，n）/（4n=k+1），k=0..3。
+10
5
1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 11, 18, 26, 35, 80, 136, 204, 285, 665, 1155, 1771, 2530, 5980, 10530, 16380, 23751, 56637, 100688, 158224, 231880, 556512, 996336, 1577532, 2330445, 5620485, 10116873, 16112057, 23950355, 57985070, 104819165
评论
Riordan数组（1，x（1-x^4））^（-1）的行和。
配方奶粉
G.f.满足：A（x）=1+x*A（x）^2*A（-x）*A（I*x）*A（-I*x）-保罗·D·汉纳2012年6月4日
G.f.:E（1）（t*E（5）（t^4））（表3中的第五项），其中E（d）（t）在Hering链接的公式3中定义。（结束）
数学
表[k=Mod[n，4]；（k+1）二项式[（5n-k）/4，（n-k）%4]/（n+1），{n，0，40}](*罗伯特·拉塞尔2024年3月14日*）
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=局部（a=1+x+x*O（x^n））\\保罗·D·汉纳2012年6月4日
（PARI）{a（n）=局部（a=1+x）；对于（i=1，n，a=1+x*a*exp（总和（m=1，n\4，4*polceoff（log（a+x*O（x^n）），4*m）*x^（4*m\\保罗·D·汉纳2012年6月4日
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