A243953-OEIS公司

A243953型

例如：exp（总和{n>=1}A000108号（n-1）*x^n/n），其中A000108号（n） =二项式（2*n，n）/（n+1）构成加泰罗尼亚数字。

1, 1, 2, 8, 56, 592, 8512, 155584, 3456896, 90501632, 2728876544, 93143809024, 3550380249088, 149488545697792, 6890674623094784, 345131685337530368, 18664673706719019008, 1083931601731053223936, 67278418002152175960064, 4444711314548967826259968

(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

0, 3

链接

文森佐·利班迪，n=0..100时的n，a（n）表

保罗·巴里，整数序列上的加泰罗尼亚变换及相关变换《整数序列杂志》，第8卷（2005年），第05.4.5条。

配方奶粉

例如，A（x）满足：

（1） A（x）=exp（1-平方（1-4*x））*（1+平方（1-4]））/2。

（2） A（x）^2-A（x）*A'（x）+x*A'[x）^2=0（微分方程）。

（3） [x^n/n！]A（x）^（n+1）=（n+1。

（4） A（x）=G（x/A（x）），使得A（x*G（x）！。

（5） A（x）=x/级数_反转（x*G（x）），其中G（x”）=和{n>=0}（n+1）^（n-2）*2^n*x^n/n！。

（6） x=LambertW（-2*x/A（x））*（2+LambertW（-2*x/A（x）））/4。[根据公式瓦茨拉夫·科特索维奇在里面A127670型]

a（n）~2^（2*n-5/2）*n^（n-2）/exp（n-1）-瓦茨拉夫·科特索维奇，2014年6月22日

a（n）=总和（i=0..n-1，（n-1）/（n-i-1）*二项式（2*i，i）/（i+1）*a（n-i-1）），a（0）=1-弗拉基米尔·克鲁奇宁2015年2月22日

发件人彼得·巴拉2017年4月14日：（开始）

a（n+2）=2^（n+1）*A001515号（n） ●●●●。

a（n+1）=和{k=0..n}二项式（n+k-1,2*k）*2^（n-k）*（2*k/k！。

递归的D-有限a（n）=（4*n-10）*a（n-1）+4*a（n-2），a（0）=a（1）=1。

e.g.f.的导数A'（x）等于exp（2*x*c（x）），即A'（x）是第3节Barry中定义的exp（2%x）的加泰罗尼亚变换。（结束）

例如，A（x）满足（x/A（x））'=1/A'（x）-亚历山大·伯斯坦2023年10月31日

例子

G.f.：A（x）=1+x+2*x^2！+8*x^3/3！+56*x^4/4！+592*x^5/5！+8512*x^6/6！+。。。

例如f.的对数导数等于加泰罗尼亚数字：

对数（A（x））=x+x^2/2+2*x^3/3+5*x^4/4+14*x^5/5+42*x^6/6+132*x^7/7+429*x^8/8++A000108号（n-1）*x^n/n+。。。

因此A'（x）/A（x）=C（x），其中C（x。

此外，例如f.A（x）满足：

A（x）=1+x/A（x）+4*（x/A（x））^2/2！+32*（x/A（x））^3/3！+400*（x/A（x））^4/4！+6912*（x/A（x））^5/5！+…+（n+1）^（n-2）*2^n*（x/A（x））^n/n！+。。。

如果我们形成一个系数表x^k/k！在A（x）^n中，如下所示：

[1, 1, 2, 8, 56, 592, 8512, 155584, 3456896, ...];

[1, 2, 6, 28, 200, 2064, 28768, 511424, 11106432, ...];

[1, 3, 12, 66, 504, 5256, 72288, 1259712, 26822016, ...];

[1, 4, 20, 128, 1064, 11488, 158752, 2740480, 57517184, ...];

[1, 5, 30, 220, 2000, 22680, 319600, 5525600, 115094400, ...];

[1, 6, 42, 348, 3456, 41472, 602352, 10533024, 219321216, ...];

[1, 7, 56, 518, 5600, 71344, 1075648, 19176304, 401916032, ...];

[1, 8, 72, 736, 8624, 116736, 1835008, 33554432, 712166016, ...];

[1, 9, 90, 1008, 12744, 183168, 3009312, 56687040, 1224440064, ...]; ...

则主对角线等于（n+1）^（n-1）*2^n，对于n>=0：

[1, 2, 12, 128, 2000, 41472, 1075648, 33554432, 1224440064, ...].

注意，和{n>=0}（n+1）^（n-2）*2^n*x^n/n！是的e.g.fA127670型.

数学

系数列表[系列[E^（1-平方[1-4*x]）*（1+Sqrt[1-4*x]）/2，{x，0，20}]，x]*范围[0，20]！(*瓦茨拉夫·科特索维奇2014年6月22日*）

黄体脂酮素

（PARI）/*显式公式：*/

{a（n）=n！*polceoff（exp（1-sqrt（1-4*x+x*O（x^n）））*（1+sqrt

对于（n=0，25，打印1（a（n），“，”）

（PARI）/*例如f.的对数导数等于加泰罗尼亚数字：*/

{A000108号（n） =二项式（2*n，n）/（n+1）}

{a（n）=n！*polceoff（exp（总和（m=1，n，A000108号（m-1）*x^m/m）+x*O（x^n）），n）}

对于（n=0，25，打印1（a（n），“，”）

（PARI）/*来自[x^n/n！]A（x）^（n+1）=（n+1”^（n-1）*2^n*/

{a（n）=n！*polceoff（x/serreverse（x*和（m=0，n+1，（m+1）^（m-2）*（2*x）^m/m！）+x^2*O（x^n）），n）}

对于（n=0，25，打印1（a（n），“，”）

（最大值）

a（n）：=如果n=0，则1为其他和（（n-1）/（n-i-1）*二项式（2*i，i）/（i+1）*a（n-i-1），i，0，n-1）/*弗拉基米尔·克鲁奇宁2015年2月22日*/

交叉参考

囊性纤维变性。A000108号,A127670型,A243954型,2013年2月.

囊性纤维变性。A251663型,A251664型,2015年2月,A251666型,A251667型,A251668型,A251669型,A251670型.

囊性纤维变性。A251573型,A251574型,A251575型,A251576号,A251577号,2015年2月,A251579型,A251580型.

囊性纤维变性。A001515号.

上下文中的顺序：A325290型 A197949号 A363589型*A005439号 A128814号 A108208号

相邻序列：A243950型 A243951型 A243952型*A243954型 A243955型 A243956型

关键词

非n,容易的

作者

保罗·D·汉纳2014年6月21日

状态

经核准的