搜索： a051424-编号：a051424
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1, -1, -1, 0, 1, 0, 1, -1, 0, 0, 1, -3, 2, 0, 3, -1, -2, -10, 8, 5, 8, -6, -3, -24, 17, 8, 12, -15, 19, -37, 18, -29, 18, 3, 109, -72, -28, -153, 46, 72, 335, -165, -86, -346, 84, -34, 650, -224, 245, -492, -69, -1054, 966, 161
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0, 12
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评论
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反转A051424号通过离散卷积：和{k=0..n}rpp（k）rpp2（n-k）=delta{n，0}。这很容易通过序列的生成函数定义看到。
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链接
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配方奶粉
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出租rpp（n）：=A051424号（n） ，并且这个序列等于rpp2（n），我们有以下两个欧拉函数的公式：
φ（n）=和{j=1..n}和{k=1..j-1}和}i=0..j-1-k}rpp2（n-j）rpp（j-1-k-i）艾弗森{（i+k+1，k）=1}；
φ（n）=和{d:（d，n）=1}（和{k=1..d+1}和{i=1..d}和}j=2..k}rpp（k-j）rpp2（i+1-k）mu{d，i}φ（j））。
我在我写的一篇文章中证明了这些表达是正确的，这篇文章激发了对这个序列的需求。如有合理的电子邮件请求，可提供证明。
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数学
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（*对于序列的所有项A051424号在数据库中列出，序列的部分生成函数如下所示：
rpp2[编号]：=
系列系数[1/（1+q+2 q^2+3 q^3+4 q^4+6 q^5+7 q^6+10 q^7+
12 q^8+15 q^9+18 q^10+23 q^11+27 q^12+33 q^13+
38 q^14+43 q^15+51 q^16+60 q^17+70 q^18+81 q^19+
92 q^20+102 q^21+116 q^22+134 q^23+153 q^24+171 q^25+
191 q^26+211 q^27+236 q^28+266 q^29+301 q^30+
335平方米31+367平方米32+399平方米33+442平方米34+485平方米35+
542 q^36+598 q^37+649 q^38+704 q^39+771 q^40+
849 q^41+936 q^42+1023 q^43+1103 q^44+1185 q^45+
1282 q^46+1407 q^47+1535 q^48+1662 q^49+1790 q^50+
1917 q^51+2063 q^52+2245 q^53+2436 q^54），{q，0，n}]
表[rpp2[n]，{n，0，53}]*）
（*此生成函数由以下代码从原始序列数据创建：*）
字符串拆分[“1，1，2，3，4，6，7，10，12，15，18，23，27，33，38，43，51，60，70，81，92，102，116，134，153，171，191，211，236，266，301，335，367，399，442，485，542，598，649，704，771，849，936，1023，1103，1185，1282，1407，1535，1662，1790，1917，2063，2245，2436”，“]
MapIndexed[ToExpression[（#1）]幂[q，First[#2]-1]&，%]
应用[Plus，%]
TeXForm@PolynomialForm[%，传统订单->错误]
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交叉参考
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关键词
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签名
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作者
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状态
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经核准的
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2009年2月
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| 对k进行编号，使j-th素数（j）除以k的指数j的gcd为1。 |
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209
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2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 58, 60, 62, 64, 66, 68, 69, 70, 72, 74, 75, 76, 77, 78, 80, 82, 84, 85, 86, 88, 90, 92, 93, 94, 95, 96, 98, 99, 100, 102, 104
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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序列中的任何整数k都会进行编码（通过“Heinz编码”cf。A056239号)gcd为1的整数的多集，即包含j的r_j个副本的多集，如果k因子为Product_j prime（j）^{r_j}，gcd_jj=1。
很明显，序列包含所有偶数，没有奇素数或奇素数幂。它还清楚地包含了所有可以被连续素数整除的数字。
具有相对素数部分的整数分区的Heinz数，其中整数分区的Heinz数（y_1，…，y_k）是素数（y_1）**质数（yk）-古斯·怀斯曼2018年4月13日
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链接
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例子
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6是一个项，因为6=p_1*p2和gcd（1,2）=1。
具有相对质数部分的整数分区序列开始于：
02 : (1)
04 : (11)
06 : (21)
08 : (111)
10 : (31)
12 : (211)
14 : (41)
15 : (32)
16 : (1111)
18 : (221)
20 : (311)
22 : (51)
24 : (2111)
26 : (61)
28 : (411)
30 : (321)
32 : (11111)
33 : (52)
34 : (71)
35 : (43)
36 : (2211)
38 : (81)
40 : (3111)
（结束）
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MAPLE公司
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p： =1：对于ind到10000 do p:=nextprime（p）；素数索引[p]：=ind；日期：
输出：=[]：对于从2到100的n do m:=[]；f： =系数（n）[2]；g： =0；
对于k到nops（f），做mk：=素数索引[f[k][1]；m： =[op（m），mk]；
g： =gcd（g，mk）；od；如果g=1，则输出：=[op（out），n]；fi；od：输出；
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数学
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选择[Range[200]，GCD@@PrimePi/@FactorInteger[#][[All，1]]===1&](*古斯·怀斯曼2018年4月13日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）isok（n）=我的（f=系数（n））；gcd（应用（x->primepi（x），f[，1]））==1\\米歇尔·马库斯2017年7月19日
（Python）
从sympy导入gcd，primepi，primefactors
def ok（n）：返回gcd（[primepi（p）for p in primefactors（n）]）==1
打印（[n代表范围（151）中的n，如果正常（n）]）#因德拉尼尔·戈什2017年8月6日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A001222号,A007359号,A051424号,A056239号,A289506型,A289507型,A289508型,A296150型,A302696型,A302697型,A302698型,A302796型.
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A302696型
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| 素数索引（带重复）是两两互质的数。具有两两互质部分的整数分区的非素数Heinz数。 |
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1, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 38, 40, 44, 46, 48, 51, 52, 55, 56, 58, 60, 62, 64, 66, 68, 69, 70, 74, 76, 77, 80, 82, 85, 86, 88, 92, 93, 94, 95, 96, 102, 104, 106, 110, 112, 116, 118, 119, 120, 122, 123, 124, 128, 132
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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n的素数指数是一个数m，使得素数（m）除以n。如果没有一对具有除1以外的公约数，则两个或多个数是互质。除非一个数字等于1，否则它不被视为互质。
整数分区的Heinz数（y_1，…，y_k）是素数（y_1）**素数（y_k）。
数字36=素数（1）*prime（1）*素数（2）*price（2）不包含在序列中，因为这对素数索引{2,2}不是互质-古斯·怀斯曼2021年12月6日
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链接
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例子
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具有两两互质部分的整数分区序列开始于：（），（1），（11），（21），（111），（31），（211），（41），（32），（1111）。
此列表中缺少以下项：（2）、（3）、（4）、（22）、（5）、（6）、（7）、（221）、（8）、（42）、（9）、（33）和（222）。
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MAPLE公司
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过滤器：=proc（n）局部F；
F： =系数（n）[2]；
如果nops（F）=1，那么如果F[1][1]=2，则返回true，否则返回false fi-fi；
如果ormap（t->t[2]>1且t[1]<>2，F），则返回假fi；
F： =映射（t->numtheory:-pi（t[1]），F）；
ilcm（op（F））=转换（F，`*`）
结束进程：
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数学
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素数MS[n_]：=如果[n===1，{}，平坦[Cases[FactorInteger[n]，{p_，k_}:>表[PrimePi[p]，{k}]]]；
选择[范围[200]，或[#===1，CoprimeQ@@primeMS[#]]&]
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黄体脂酮素
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（PARI）是A302696（n）=如果（i素数（n）！（n%2），如果（！issquarefree（n>>evaluation（n，2）），0，my（pis=apply（primepi，factor（n）[，1]））；（lcm（pis）==系数回溯（pis）））\\安蒂·卡图恩2021年12月6日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000837号,A000961号,A001222号,A005117号,A007359号,A051424号,A275024型,A289508型,A289509型,A298748型,A302568型,A302569型,A302697型,A302698型,A327512型,A327513型.
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A302569型
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| 素数或素数指数是两两互质的数。具有两两互质部分的整数分区的Heinz数。 |
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76
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2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 20, 22, 23, 24, 26, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 37, 38, 40, 41, 43, 44, 46, 47, 48, 51, 52, 53, 55, 56, 58, 59, 60, 61, 62, 64, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 73, 74, 76, 77, 79, 80, 82, 83, 85, 86, 88, 89
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,1
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评论
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n的素数指数是一个数字m，素数（m）除以n。
整数分区的Heinz数（y_1，..，y_k）是素数（y_1）**质数（yk）。
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链接
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例子
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条目A302242型描述了正整数和多集多系统之间的对应关系。在这种情况下，它给出了以下多集系统的序列。
02: {{}}
03: {{1}}
04: {{},{}}
05: {{2}}
06: {{},{1}}
07: {{1,1}}
08: {{},{},{}}
10: {{},{2}}
11: {{3}}
12: {{},{},{1}}
13: {{1,2}}
14: {{},{1,1}}
15: {{1},{2}}
16: {{},{},{},{}}
17: {{4}}
19: {{1,1,1}}
20: {{},{},{2}}
22: {{},{3}}
23: {{2,2}}
24: {{},{},{},{1}}
26: {{},{1,2}}
28: {{},{},{1,1}}
29: {{1,3}}
30: {{},{1},{2}}
31: {{5}}
32: {{},{},{},{},{}}
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数学
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素数MS[n_]：=如果[n===1，{}，扁平[Cases[FactorInteger[n]，{p_，k_}:>表[PrimePi[p]，{k}]]]；
选择[Range[200]，或[PrimeQ[#]，CoprimeQ@@primeMS[#]]&]
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黄体脂酮素
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（PARI）是（n）=如果（n＜9，返回（n＞1））；n> >=估价（n，2）；如果（n<9，返回（1））；my（f=系数（n））；如果（vecmax（f[，2]）>1，则返回（0））；如果（#f~==1，返回（1））；my（v=应用（primepi，f[，1]），P=vecprod（v））；对于（i=1，#v，如果（gcd（v[i]，P/v[i]>1，返回（0）））；1 \\查尔斯·格里特豪斯四世2021年11月11日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000961号,A001222号,A005117号,A007359号,A007716号,A051424号,A056239号,A076610型,A101268号,A275024型,A302505型,A302568型.
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A007359号
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| 将n划分为>=2的两两互质部分的数目。
（原名M0143）
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1, 0, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 3, 3, 5, 4, 6, 5, 5, 8, 9, 10, 11, 11, 10, 14, 18, 19, 18, 20, 20, 25, 30, 35, 34, 32, 32, 43, 43, 57, 56, 51, 55, 67, 78, 87, 87, 80, 82, 97, 125, 128, 127, 128, 127, 146, 182, 191, 185, 184, 193, 213, 263, 290, 279, 258, 271, 312, 354, 404, 402
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,6
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评论
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这个序列对群论很有意义。由a（n）计数的分区对应于n个元素对称群的最优阶共轭类：它们没有不动点，它们的阶是其循环长度的直积，并且它们不包含在p<n的Sym_p的子群中。A123131号给出了这些分区可以达到的最大顺序（LCM）。
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参考文献
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N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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配方奶粉
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例子
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a（17）=9严格划分为大于1的两两互质部分是（17），（15,2），（14,3），（13,4），（12,5），（11,6），（10,7），（9,8），（7,5,3,2）-古斯·怀斯曼2018年4月14日
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MAPLE公司
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带有（数字理论）：
b： =proc（n，i，s）选项记忆；局部f；
如果n=0，则为1
elif i<2，然后为0
否则f:=系数集（i）；
b（n，i-1，select（x->is（x<i），s））+`如果`（i<=n和f相交s={}，
b（n-i，i-1，select（x->为（x<i），s并集f），0）
fi（菲涅耳）
结束时间：
a： =n->b（n，n，{}）：
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数学
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b[n_，i_，s_]：=b[n，i，s]=模[{f}，如果[n==0|i==1，1，如果[i<2，0，f=FactorInteger[i][[All，1]]；b[n，i-1，选择[s，#<i&]]+如果[i<=n&&f~交集~s=={}，b[n-i，i-1；选择[s~并集~f，#<i&]]，0]]]；a[n]：=b[n，n，{}]-b[n-1，n-1，{}]；表[a[n]，{n，0，80}](*Jean-François Alcover公司2014年2月17日之后阿洛伊斯·海因茨*)
表[Length[Select[Integer Partitions[n]，FreeQ[#，1]&&（Length[#]==1||互质Q@@#）&]]，{n，20}](*古斯·怀斯曼2018年4月14日*）
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000837号,A007359号,A007360型,A051424号,A101268号,A123131号,A184956号,A187718号,A289508型,A289509型,A298748型,A302569型,A302696型,A302698型,A302797型.
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关键词
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非n,容易的
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作者
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扩展
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更多条款来自Pab Ter（pabrlos2（AT）yahoo.com），2005年11月13日
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状态
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经核准的
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1, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 3, 4, 5, 4, 6, 7, 7, 9, 11, 12, 13, 15, 17, 20, 23, 25, 27, 32, 35, 40, 45, 50, 55, 58, 67, 78, 84, 95, 101, 113, 124, 137, 153, 169, 180, 198, 219, 242, 268, 291, 319, 342, 374, 412, 450, 492, 535, 573, 632, 685, 746, 813, 868, 944
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,5
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链接
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例子
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a（14）=7个严格整数分区是（14），（11,3），（10,4），（9,5），（8,6），（7,5,2），（4,3）。
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数学
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表[Length[Select[Integer Partitions[n]，UnsameQ@#&Select[Tuples[#，2]，Unsame Q@@#&Divisible@@#&]=={}&]]，{n，60}]
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黄体脂酮素
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（PARI）
lista（nn）={local（Cache=Map（））；
my（不包括向量（nn，n，sumdiv（n，d，2^（n-d）））；
my（a（n，m=n，b=0）=
如果（n==0，1，
而（m>n||位测试（b，0），m--；b> >=1）；
我的（hk=[n，m，b]，z）；
如果（！mapisdefined（缓存、hk和z），
z=如果（m，self（）（n，m-1，b>>1）+self（，n-m，m，位（b，不包括[m]）），0）；
mapput（缓存，hk，z））；z） ）；
对于（n=1，nn，打印1（a（n），“，”）
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000009号,A000837号,A003238号,A006126号,A051424号,A259936型,A275307型,2011年2月16日,A285572型,A285573型,A290103型,A293606型,A293993型,A303364型.
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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1, 1, 2, 4, 7, 13, 22, 38, 63, 101, 160, 254, 403, 635, 984, 1492, 2225, 3281, 4814, 7044, 10271, 14889, 21416, 30586, 43401, 61205, 85748, 119296, 164835, 226423, 309664, 422302, 574827, 781237, 1060182, 1436368, 1942589, 2622079, 3531152, 4742316, 6348411
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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链接
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配方奶粉
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似乎没有已知的公式。
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例子
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a（1）=1到a（5）=13组分：
(1) (2) (3) (4) (5)
(11) (12) (13) (14)
(21) (31) (23)
(111) (112) (32)
(121) (41)
(211) (113)
(1111) (131)
(311)
(1112)
(1121)
(1211)
(2111)
(11111)
（结束）
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数学
|
表[Length[Select[Join@@Permutations/@IntegerPartitions[n]，Length[#]<=1||互质Q@@#&]，{n，0，10}](*古斯·怀斯曼2020年10月18日*）
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A327516型
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| n的整数分区数为空、（1）或至少有两部分且这些部分是成对互质。 |
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+10
53
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1, 1, 1, 2, 3, 5, 6, 9, 11, 14, 17, 22, 26, 32, 37, 42, 50, 59, 69, 80, 91, 101, 115, 133, 152, 170, 190, 210, 235, 265, 300, 334, 366, 398, 441, 484, 541, 597, 648, 703, 770, 848, 935, 1022, 1102, 1184, 1281, 1406, 1534, 1661, 1789, 1916, 2062, 2244, 2435
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,4
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评论
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链接
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配方奶粉
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例子
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a（1）=1到a（8）=11分区：
(1) (11) (21) (31) (32) (51) (43) (53)
(111) (211) (41) (321) (52) (71)
(1111) (311) (411) (61) (431)
(2111) (3111) (511) (521)
(11111) (21111) (3211) (611)
(111111) (4111) (5111)
(31111) (32111)
(211111) (41111)
(1111111) (311111)
(2111111)
(11111111)
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数学
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表[Length[Select[Integer Partitions[n]，#=={}||CoprimQ@@#&]]，{n，0，30}]
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A007360型
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| 将n划分为不同且相对成对的质数部分的数目。
（原名M0264）
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+10
47
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1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 10, 13, 17, 19, 21, 22, 21, 24, 32, 37, 37, 38, 40, 45, 55, 65, 69, 66, 64, 75, 86, 100, 113, 107, 106, 122, 145, 165, 174, 167, 162, 179, 222, 253, 255, 255, 255, 273, 328, 373, 376, 369, 377, 406, 476, 553, 569, 537, 529
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,3
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参考文献
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N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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配方奶粉
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例子
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a（1）=1到a（10）=6个分区（a=10）：
（1） （2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（A）
(21) (31) (32) (51) (43) (53) (54) (73)
(41) (321) (52) (71) (72) (91)
(61) (431) (81) (532)
(521) (531) (541)
(721)
（结束）
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数学
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$RecursionLimit=1000；b[n_，i_，s_]：=b[n，i，s]=模[{f}，如果[n==0|i==1，1，如果[i<2，0，f=FactorInteger[i][[All，1]]；b[n，i-1，选择[s，#<i&]]+如果[i<=n&&f~Intersection~s={}，b[n-i，i-1，选择[s~Union~f，#<i&]]，0]]]；a[n]：=b[n，n，{}]-b[n-2，n-2，{}]；表[a[n]，{n，1100}](*Jean-François Alcover公司2014年3月20日之后阿洛伊斯·海因茨*)
表[Length[Select[Integer Partitions[n]，Length[%]==1||UnsameQ@@#&CoprimQ@@Union[#]&]]，{n，0，30}](*古斯·怀斯曼2019年9月23日*）
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交叉参考
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囊性纤维变性。A007359号,A038348号,A084422号,A186974号,A187106号,A303140,A302569型,A303362型,A304714型,A320426型,A320436型.
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关键词
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非n,容易的
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作者
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扩展
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更多条款来自Pab Ter（pabrlos2（AT）yahoo.com），2005年11月13日
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状态
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经核准的
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1, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 9, 12, 16, 18, 20, 21, 20, 23, 31, 36, 36, 37, 39, 44, 54, 64, 68, 65, 63, 74, 85, 99, 112, 106, 105, 121, 144, 164, 173, 166, 161, 178, 221, 252, 254, 254, 254, 272, 327, 372, 375, 368, 376, 405, 475, 552, 568, 536
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,5
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链接
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例子
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a（13）=9个严格分区是（7,6）、（8,5）、（9,4）、（10,3）、（11,2）、（12,1）、（7,5,1），（5,4,3,1）和（7,3,1）。
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数学
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表[Length[Select[Integer Partitions[n]，UnsameQ@@#&&ComprimQ@@#&]]，{n，30}]
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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搜索在0.043秒内完成
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