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(来自的问候整数序列在线百科全书!)
A000122号 雅可比θ函数θ_3(x)=Sum_{m=-oo..oo}x^(m^2)的展开式(k^2=n的整数解的个数)。 1503
1,2,0,0,2,0,0,0,2,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,2,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,2,0,0,0,0,0,0,0,0,0 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
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评论
Ramanujanθ函数:f(q)(参见A121373号),φ(q)(当前序列),psi(q)(A010054号),chi(q)(A000700型).
一维晶格Z的Theta级数。
此外,本质上与一维晶格A_1、A*_1、D_1、D*_1的θ级数相同。
将n写成正方形的方法的数量。
密切相关:theta_4(x)=Sum_{m=-oo..oo}(-x)^(m^2)。请参见A002448号.
D.Zagier在《模块形式的1-2-3》第30页列出的14个原始eta-products中的第6个,它们是重量为1/2的全纯模块形式-迈克尔·索莫斯2016年5月4日
参考文献
Tom M.Apostol,《数论中的模函数和Dirichlet级数》,第二版,Springer,1990年,练习1,第91页。
J.M.Borwein和P.B.Borwein.,《Pi和AGM》,威利出版社,1987年,第64页。
L.Comtet,《高级组合数学》,Reidel,1974年,第104页,[5n]。
J.H.Conway和N.J.A.Sloane,“球形填料、晶格和群”,Springer-Verlag,第102页。
N.J.Fine,《基本超几何级数与应用》,美国。数学。Soc.,1988年;第93页,等式(34.1);第78页,等式(32.22)。
G.H.Hardy和E.M.Wright,定理352,第282页。
J.Tannery和J.Molk,Eléments de la Théorie des Fonctions Elliptiques,第2卷,Gauthier-Villars,巴黎,1902年;切尔西,纽约,1972年,见第27页。
E.T.Whittaker和G.N.Watson,《现代分析课程》,剑桥大学出版社,第4版,1963年,第464页。
链接
史蒂文·芬奇,数学常数II《数学及其应用百科全书》,剑桥大学出版社,剑桥,2018年。
M.D.Hirschorn和J.A.Sellers,划分为四的可分辨非倍数的同余模3第14.9.6条,《整数序列杂志》,第17卷(2014年)。
K.Ono、S.Robins和P.T.Wahl,整数表示为三角数之和《Aequationes mathematicae》,1995年8月,第50卷,第1-2期,第73-94页。
迈克尔·索莫斯,Ramanujan theta函数简介
埃里克·魏斯坦的数学世界,Ramanujan Theta函数
埃里克·魏斯坦的数学世界,Jacobi Theta函数
配方奶粉
eta(q^2)^5/(eta(q)*eta(q^4))^2的q次幂展开。
周期4序列的欧拉变换[2,-3,2,-1,…]。
G.f.A(x)满足0=f(A(x-迈克尔·索莫斯2004年7月20日
G.f.A(x)满足0=f(A(x,A(x^3),A(x ^9)),其中f(u,v,w)=w^4-v^4+w*(u-w)^3-迈克尔·索莫斯2019年5月11日
G.f.:求和{m=-oo..oo}x^(m^2);
a(0)=1;对于n>0,a(n)=0,除非n是一个正方形,当a(n)=2。
G.f.:产品{k>0}(1-x^(2*k))*(1+x^)(2*k-1))^2。
G.f.:s(2)^5/(s(1)^2*s(4)^2),其中s(k):=subs(q=q^k,eta(q)),其中eta(q)是Dedekind函数,参见。A010815号.[罚款]
雅可比三乘积恒等式表明,对于|x|<1,z!=0,产品{n>0}{(1-x^(2n))(1+x^。
对于n>0,a(n)=2*(楼层(sqrt(n))-楼层(squart(n-1)))-米凯尔·奥尔顿,2015年1月17日
G.f.是周期1傅里叶级数,满足f(-1/(4t))=2^(1/2)(t/i)^(1/2)f(t),其中q=exp(2Pi it)-迈克尔·索莫斯2016年5月5日
a(n)=A000132号(n) (模块4)-约翰·M·坎贝尔2016年7月7日
a(n)=(2/n)*和{k=1..n}A186690型(k) *a(n-k),a(0)=1-Seiichi Manyama先生2017年5月27日
a(n)=2*A010052号(n) 如果n>0。a(3*n+1)=2*A089801号(n) ●●●●。a(3*n+2)=0。a(4*n)=a(n)。a(4*n+2)=a(4xn+3)=0。a(8*n+1)=2*A010054号(n) ●●●●-迈克尔·索莫斯2019年5月11日
狄利克雷g.f.:2*ζ(2s)-1-弗朗索瓦·奥格2019年10月26日
G.f.似乎等于exp(2*Sum_{n>=0}x^(2xn+1)/(2*n+1)*(1+x^))-彼得·巴拉2021年12月23日
发件人彼得·巴拉2023年9月27日:(开始)
G.f.A.(x)满足A(x)*A(-x)=A(-x^2)^2。
A(x)=和{n>=1}x^(n-1)*乘积{k>=n}1-(-x)^k。
A(x)^2=1+4*Sum_{n>=1}(-1)^(n+1)*x^(2*n-1)/(1-x^。例如,见罚款,26.63。
A(x)=1+2*Sum_{n>=1}x^(n*(n+1)/2)*(乘积_{k=1..n-1}1+x^k)/(乘积_{k=1..n}1+x^(2*k))。见Fine,方程式14.43。(结束)
例子
G.f.=1+2*q+2*q^4+2*q^9+2*q^16+2*q ^ 25+2*q ^ 36+2*q ^ 49+2*。。。
MAPLE公司
加法(x^(m^2),m=-10..10):seq(系数(%,x,n),n=0..100);
#备选方案
A000122号:=进程(n)
如果n=0,则
1;
elif issqr(n)那么
2;
其他的
0 ;
结束条件:;
结束进程:
序列(A000122号(n) ,n=0..100)#R.J.马塔尔2021年2月22日
数学
a[n_]:=级数系数[EllipticTheta[3,0,q],{q,0,n}];(*迈克尔·索莫斯2011年7月11日*)
系数列表[Sum[x^(m^2),{m,-(n=10),n}],x]
平方R[1,范围[0,104]](*罗伯特·威尔逊v2014年7月16日*)
QP=Q手锤;s=QP[q^2]^5/(QP[q]*QP[q^4])^2+O[q]^105;系数列表[s,q](*Jean-François Alcover公司2015年11月24日*)
(4 q赭石[q^2]/q赭石[1,-q]^2+O[q]^101)[[3]](*弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2016年9月16日*)
黄体脂酮素
(PARI){a(n)=我的(a);如果(n<0,0,a=x*O(x^n);polceoff(eta(x^2+a)^5/(eta(x+a)*eta(x^4+a))^2,n))}/*迈克尔·索莫斯2011年3月14日*/
(PARI){a(n)=发行方(n)*2-(n==0)}/*迈克尔·索莫斯1999年6月17日*/
(岩浆)基础(模块形式(Gamma0(4),1/2),100)[1]/*迈克尔·索莫斯2014年6月10日*/
(Magma)L:=晶格(“A”,1);A<q>:=θ系列(L,20);A/*迈克尔·索莫斯2014年11月13日*/
(鼠尾草)
Q=对角线二次型(ZZ,[1])
Q.演示文稿_编号列表(105)#彼得·卢什尼2014年6月20日
(朱莉娅)
使用Nemo
函数JacobiTheta3(len,r)
R、 x=多项式环(ZZ,“x”)
e=θ_qexp(r,len,x)
0中j的[fmpz(系数(e,j)):len-1]结束
A000122列表(len)=JacobiTheta3(len,1)
A000122列表(105)|>打印#彼得·卢什尼2018年3月12日
(Python)
从sympy.theory.primetest导入为平方
定义A000122号(n) :如果n为1,则返回is_square(n)<<1#柴华武2023年5月17日
交叉参考
第1列,共列A286815型. -Seiichi Manyama先生2017年5月27日
第d行=第1行,共行A122141号.
囊性纤维变性。A002448号(θ_4)。部分金额给出A001650号.
囊性纤维变性。A010052号,A010054号,A089801号.
囊性纤维变性。A000007号,A004015号,A004016号,A008444号,A008445号,A008446号,A008447号,A008448号,A008449号(晶格的Theta系列A_0,A_3,A_2,A_4,…)。
关键词
非n,容易的,美好的
作者
状态
经核准的

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上次修改时间:美国东部夏令时2024年5月24日10:35。包含372773个序列。(在oeis4上运行。)