本文中，半离散和完全离散有限体积元方法分析了一类线性双曲积分微分方程（FVEM）的近似解二维凸多边形域中的方程。数值的影响正交也进行了检验。在半离散情况下，$L^∞（L^2）$和$L^2∞（H^1）$范数中的最优误差估计在初始数据的最小正则性假设下成立，而在数据具有更高正则性的情况下，在$L^∞（L^）$范数中导出了拟最优估计。基于在二阶显式时间方法上，对一个完全离散的格式进行了检验，并对其进行了优化在空间和时间离散化参数的温和条件下，建立了误差估计。最后，进行了一些数值实验，验证了汇聚。

本文针对二阶和二阶非线性系统，提出了一种显式后验误差估计方法用Galerkin方法求解四阶常微分方程，显著地提供了精确的逐点计算误差估计。误差估计量由变分多尺度理论导出，其中利用精细尺度格林函数对子网格尺度进行近似。这种方法可以扩展到任何元素类型和顺序。二阶和四阶微分方程涵盖了各种各样的力学问题。弹性力学中的两个应用示例已研究：轴向加载梁和欧拉-贝努利梁。因为误差估计器它是显式的，可以很容易地实现，并且计算量很小。除了逐点误差估计，我们给出了$L^1$-范数中的局部和全局后验误差估计，$L^2$-范数和$H^1$-半范数。最后，误差的收敛速度和效率对估计量进行了分析。

在本文中，我们开发并分析了一种预处理技术和一种迭代二阶椭圆问题离散化线性方程组的求解器对称内罚间断Galerkin方法。我们方法的主要成分是分段多项式间断有限元空间的稳定分解将任意阶转化为线性协调空间和包含高频分量的空间。为了推导这种分解，我们引入了一种新的插值算子，它分段投影连续分段线性函数的任意阶多项式。我们证明了这一点算子是稳定的，这使得我们可以很容易地导出所需的空间分解。此外，我们证明了预处理系统的条件数和收敛速度迭代方法与网格大小无关。还显示了数值实验以证实这些理论结果。

在本文中，我们考虑一个描述多尺度流动的高尺度模型单相不可压缩流体与溶解化学物质的对流扩散输送通过非均质多孔介质。与传统均匀化或体积平均化不同技术上，我们不假设天平分离良好。新模型包括特殊情况经典均质模型和双重孔隙模型，但其特点是还存在描述局部平流输送影响的附加记忆项作为扩散。我们研究了所提出的记忆（卷积）核的数学性质并对数值方法进行严格的稳定性分析，以离散放大模型。将提供一些数值结果来验证放大模型，并显示每个记忆项在不同流动和传输状态下的定量意义。

构造了有限元对偶奇异函数法[FE-DSFM]并对Z.Cai和S.Kim在多边形域上求解拉普拉斯方程的精度进行了分析有一个凹角。在本文中，我们采用FE-DSFM来求解Stokes方程通过混合有限元方法。为此，我们计算奇异和对偶奇异在非凸角处解析函数。我们通过使用收缩来证明完备性映射定理，然后估计算法的误差。我们获得了最佳精度$O（h）$速度（$\rm{H}^1）(Ω)$ 和压力（单位：$L^2）(Ω）$，但我们只能证明以下项的$O（h^{1+\lambda}）$error边界速度$\rm{L}^2（\Omega）$和应力强度因子，其中$\lambda$是特征值（（4）的解）。然而，在数值实验中得到了最佳的精度结果。

我们研究了以细胞为中心的有限体积（FV）的一致性和收敛性$H^1_0（\Omega）$的外部近似，其中2D多边形域$\Omega$由以下网格离散化凸四边形。离散FV导数由所谓的泰勒级数定义扩建方案（TSES）。通过引入与FV空间，通过比较FV和FD空间，我们证明了FV外部空间的收敛性利用FD方法的一致性和收敛性进行近似。作为应用程序，我们构造了一些典型椭圆方程的离散FV逼近，并证明了离散FV逼近到精确解的收敛性。

我们首先提出了一种基于后验概率的自适应浸没有限元方法一般非齐次边界条件椭圆方程的误差估计Lipschitz域。基础有限元网格不需要拟合域的边界。证明了该浸没有限元方法的最优先验误差估计。这个然后用浸入式有限元法求解时变域中的抛物问题以及任意拉格朗日-欧拉（ALE）时间离散格式。一个后部推导了全离散浸没有限元法的误差估计，可用于在每个时间步长自适应更新时间步长和有限元网格。数字的实验报告支持理论结果。