通过深入细化与拉普拉斯算子相关的增量未知矩阵是第一阶的$p（d）O（1/H^2）O（|log_dh|^3）$增量未知数，第二个为$q（d）O（1/H^2）O（（log_dh）^2）$订单增量未知量，其中$d$是细化的深度，$H$是最粗网格的网格大小，$h$是最细网格的网格尺寸网格，$p（d）=\frac{d-1}{2}$和$q（d）=\frac{d-1{2}\frac{1}{12} d日（d^2-1）美元。此外，如果使用块对角线（缩放）预处理预处理增量未知矩阵的条件数对于一阶增量未知数和$q（d）O（|log_dh|）$表示二阶增量未知数。为了进行比较与拉普拉斯相关的节点未知矩阵的条件数运算符是$O（1/h^2）$。因此，增量未知预条件器是高效的，具有深度细化，但它的效率随着细化深度的增加，以某种速度恶化。

众所周知的物流模型已经广泛应用在确定性理论中进行研究。有许多案例研究在生态学、生物学和环境科学。由于环境的存在波动和缺乏测量精度，必须处理随机性对此类模型的影响。作为更真实的建模，我们建议非线性随机微分方程（SDE）$$dX（t）=[（\rho+\lambda X（tX（t）^{\alpha}|K-X（t通过Wiener过程$W$和正实数常数$\rho$、$\lambda$、$K$、$\ mu$、$\salpha$、$\teta\geq0$。我们讨论适定性、正则性（有界性）以及它们解的唯一性。但是这种随机logistic方程的解析解很少有人知道。因此，必须借助SDE的数值解进行研究增长模式的时间演变、退出等各个方面波动增长的频率、平均通过时间和影响参数。我们介绍了充分数值分析的一些基本方面这些模型的随机扩展，如数值正则性和均方收敛。保持合理的问题离散化条件下解析解的边界问题具有实际意义的模型的基本作用，尤其是反射或吸收间隔的保存障碍。可以通过以下方法避免连续状态空间的离散化适当的方法。平衡隐式方法（见Schurz，IJNAM 2（2），第197-220页，2005）用于构造强收敛具有所需单调特性的近似。数值研究可以带来随机逻辑模型的显著特征（例如。几乎肯定单调性，几乎肯定一致有界性，延迟初始进化或更早的拐点与确定性模型）。

本文提出了一组新的交替段显式隐式（NASEI）格式是基于一维扩散问题。这些方案能够并行计算；空间三阶精度；在合理的网格下保持稳定条件。数值算例表明，NASEI方案比旧的ASEI或ASCN方案更准确。

ODE的隐式集成方案，如Runge-Kutta和Runge-Kutta-Nyström方法在数学和数值求解常微分方程的工程。每集成方法需要为集成。如果$h$太大或太小隐式格式相对较低。作为每个隐式集成方案具有方案固有的全局错误，我们选择计算以达到规定的整体误差作为度量集成方案的效率。在本文中，我们提出通过最小化通用的效率函数来选择$h$的思想Runge-Kutta和Runge-Kutta-Nyström集成例程。这个效率函数是这些方法的关键组成部分可变步长方法。我们还研究解决中间产物使用牛顿法和皮卡德法计算这些程序的阶段值迭代。然后，我们在一些标准上展示了这种方法的有效性文献中发现的问题，包括著名的刚性系统。

作者建立了一个有限元求解算法一类大刚度拟线性方程的最优速度变化和振荡。特别是，该算法可以成功处理负刚度的软夹杂物。除了收敛性分析，给出了大量的数值算例。

一般多维自治动力系统和考虑了它们的数值离散化。非标准基于$theta$-方法和二阶Runge-Kutta方法设计了保持稳定性的有限差分格式分析。它们的基本稳定性是从理论上建立的还得到了一组数值示例的支持。

我们将分段常数水平集方法（PCLSM）应用于多相运动问题，特别是纯平均曲率运动。我们使用一个水平集函数来表示多个区域，并通过关联由表面张力组成的能量泛函（与长度成比例），我们为平均曲率运动问题。使用了一些运算符拆分方案以有效地解决问题。数值实验提供给用平均曲率表示多相问题的运动效率。