反向误差分析是研究数值长期行为的重要工具方法。它的主要思想是使用扰动方程，即修正方程来表示数值解。由于随机反向误差分析尚未得到很好的发展到目前为止。本文研究了随机修正方程及其反向误差分析建立了具有强收敛性的Euler-Maruyama方法。就像确定性案例一样，用形式级数表示的随机修正方程一般不收敛。但是在那里存在级数的最优截断，使得修正方程的一步误差相对于时间步长而言，为次指数小。此外，随机倒退的结果采用误差分析方法研究了欧拉-马鲁亚马方法在Kubo振荡器上的误差增长。

在本文中，我们考虑有限体积单元的后验误差估计凸多边形域上一般二阶拟线性椭圆问题的方法在平面上，提出一种基于残差的误差估计方法，并推导出全局上、局部误差估计$H^1$-范数中近似误差的下限。此外，对于某些特殊的拟线性椭圆问题，我们提出了一种基于残差的后验误差估计，并导出了全局$L^2$-范数中错误的上限。还提供了数值实验来验证我们的理论结果。

我们获得了半线性奇异解的改进导数估计一维扰动反应扩散问题。这使我们能够修改转换Shishkin离散化网格的粗细部分之间的点。我们证明了通过在修改的网格上使用中心有限差分格式获得的数值解，在摄动参数中保持与标准上相同的一致收敛阶Shishkin网布。然而，修改后的网格在层中的密度可能比标准网格更大，在这种情况下，数值结果表明，计算的精度有所提高解决方案。

Crank-Nicolson（CN）正交样条配置法及其交替对于一类非线性方程的近似解，考虑了方向隐式（ADI）对应两个空间变量的线性抛物问题。证明了这两种方法都是二阶的在时间上准确，在空间上的某些H^j$规范中具有最佳顺序。此外，空间中的$L^∞$估计都是派生的。

本文提出了一种基于多级离散化的局部并行算法提出用有限元法求解特征值问题。有了这个新方案，将在最细网格中求解特征值问题转化为求解特征值最粗网格上的问题和各级边值问题的一系列解网格。因此，这种多级局部并行方法提高了整体效率求解特征值问题。给出了一些数值实验来验证新方法的效率。

我们考虑了一种全离散、高效的磁流体力学（MHD）流动算法，该算法基于Elsässer变量公式和解耦的时间步长方案MHD系统，但仍提供与时间步长相关的无条件稳定性。我们证明了方案的稳定性和最优收敛性，并将该方案与基于用惩罚投影方法处理每个解耦的系统。数值实验包括验证了我们对一些分析测试问题的分析的所有预测收敛速度，显示了该方案在一组渠道流动问题上的结果与在以下情况下发现的结果很好地匹配用原始变量中的MHD进行了计算，最后显示了该方案的性能井在通道上流过台阶。

线性方程组$Ax=b$的最小二乘解对于参数非常重要工程、应用数学和统计学中的估算。有几种方法其解包括QR分解、Cholesky分解、奇异值分解（SVD）和Krylov子空间方法。后一种方法是针对稀疏$A$矩阵开发的出现在偏微分方程解中。QR（及其变体RRQR）SVD方法通常用于工程和统计数据。尽管Cholesky分解是向后稳定的，并且已知具有最少的操作计数，一些作者建议在应用程序中使用QR。在本文中，我们重新研究具有全列秩的稠密$a$矩阵的最小二乘问题由随机矩阵理论的最新结果指导的数值实验。与…相反当前接受的信念，比较Cholesky和QR解对随机变量的敏感性各种低到中等条件数的参数扰动不显著与机器精度之间的差异。人工高条件矩阵的实验数字表明，这两种解决方案的相对差异仅为顺序的平均值$10^{-6}$。最后，Cholesky的计算速度明显快于QR——平均值QR的计算时间是Cholesky的两到四倍，而标准使用Cholesky的计算时间偏差约为QR的三分之一。我们的结论在本文中，对于$Ax=b$的系统，其中$A$具有完整的列秩，如果条件数值较低或中等，则采用Cholesky分解的正规方程法为优选QR。

线性和非线性最优Dirichlet边界控制问题的数值解研究了半线性波动方程。最优控制问题被重新表述为一个系统方程（最优性系统）的初始值问题（线性或半线性）波动方程和伴随波动方程的终值问题。离散优化系统采用打靶法求解。收敛特性在精确可控性的背景下，数值打靶方法的计算实验。特别是，在线性波动方程的情况下，收敛得到了光滑最小值$L^2$-范数Dirichlet控制和泛型的近似，非光滑最小值$L^2$-范数Dirichlet控件。

本文提出了$mathcal{C}^1$-有理二次分形插值曲面的理论（FIS）在矩形网格上。首先，我们沿着利用单变量$\mathcal{C}^1$-有理二次分形插值函数的插值域（分形边界曲线）。然后我们构造有理二次FIS作为混合组合具有$x$方向和$y$方向分形边界曲线。发展的有理二次型当相应的分形边界曲线是单调的时，FIS是单调的。我们推导正方向和负方向缩放参数的最佳范围，以便有理二次分形边界曲线本质上是单调的。推导了对称有理二次型FIS的$x$方向和$y$方向标度矩阵之间的关系对称曲面数据。分形边界曲线中的缩放参数有助于我们得到了各种单调/对称有理二次型FIS，而不改变给定的表面数据。提供了数值示例来演示综合性能有理二次FIS在拟合单调/对称曲面数据中的应用。趋同本文对原函数进行了单调有理二次FIS分析。

本文开发了一种用于复杂空间中不规则区域上的亥姆霍兹/泊松方程。其动机之一本文用于模拟不同几何形状的波散射。这张纸是第一次浸入复杂空间中的界面方法。新方法采用了以下方法的组合：浸入式界面法、快速傅里叶变换、增广策略平方插值和Schur补码的广义最小残差法系统，都在复杂的空间中。新方法在$L^∞$范数下具有二阶精度并且需要$O（N log（N））$操作。提供了各种实际或复波数。