本文讨论了描述$L^2$梯度流的非线性二阶抛物型系统对于一类线性增长能量泛函。除了他们的差别诉求几何和变分微积分，线性增长能量泛函和它们的梯度流也自然地产生于图像的新兴应用彩色图像去噪等处理。在本文中，我们介绍了一个家庭最小化线性增长的彩色图像去噪变分模型$\rm{R}^3$中单位球面映射的能量泛函。这些模型概括了已被深入研究的流行的1-调和映射模型近年来。为了计算变分模型的解，我们首先导出它们的$L^2$-梯度流方程，然后引入一些完全离散的梯度流动方程的隐式有限元方法。事实证明了所提出的有限元方法是唯一可解和绝对可解的稳定，有限元解收敛到PDE解网格大小趋于零。通过数值实验证明彩色图像降噪变分模型的有效性并证明了所提出的有限元方法的有效性。一个数字文中还对所提出的模型与逐信道模型进行了比较提出了。
