我们发展了具有分级网格的高阶Galerkin方法来求解二维问题矩形上的反应扩散问题。借助比较原理，我们建立了精确的任意阶高阶偏导数的上界解决方案。根据解的高阶偏导数的先验信息，我们设计了隐式和显式渐变网格，从而得到了具有最优收敛阶的问题。通过数值实验证实理论估计并证明所提出网格的性能优于Shishkin网布。

我们关注的是全离散有限差分格式的收敛性Korteweg-de-Vries-Kawahara方程，这是一个受色散扰动的输运方程三阶和五阶术语。它描述了小而有限振幅长波的演变在流体动力学的各种问题中。全线衰减情况和周期性考虑了案例。如果初始数据$u|_{t=0}=u_0$具有高正则性，则H^5（\mathbb{R}）$中的$u_0证明收敛于经典解。最后，通过实例说明了该算法的收敛性。

本文开发了一种浸入式有限体积元（IFVE）方法，用于求解一些具有非齐次跳跃条件的界面问题。使用源删除非齐次跳跃条件技术，新的IFVE方法是有限体积元具有齐次跳跃条件和have的等效界面问题的方法常用有限体积元方法的特性。由此产生的IFVE方案简单且具有均匀矩形分区和双重网格的二阶精度。错误分析证明了新的IFVE方法在$L^2$范数和$O（h）$中具有通常的$O（h^2）$收敛性$H^1$标准。文中还给出了数值例子来证明新算法的有效性方法。

我们考虑一种新的Hermite三次正交样条配置（OSC）格式来求解不包含边界子区间的两点边值问题间隔。例如，这种TPBVP出现在交替方向隐式OSC解中任意区域上的抛物问题。该方案涉及给定Dirichlet的转移内部间隔端点的边界值。收敛性分析表明该方案在最大范数下具有最优的四阶精度。数值结果证实理论结果。

本文研究了间断函数的收敛性和超收敛性一维线性对流扩散问题的Galerkin（DG）方法设置。我们证明了当使用带有$p\geqslate 1$的$p$次分段多项式时，DG解及其导数在$L^2$范数中分别表现出最优的$\mathcal{O}（h^{p+1}）$和$\mathcal{O{（h ^p）$收敛速度。我们进一步证明了$p$度DG解及其导数是$\mathcal{O}（h^{2p}）$超收敛分别位于下风点和上风点。数值实验表明理论速率是最优的，DG方法不会产生任何振荡。我们观察到，即使在存在边界的情况下，也有最佳的收敛速度和超收敛速度使用Shishkin网格时的层。

本文提出了一种新的数值逼近保守性方法一般随机微分方程在Stratonovich意义下具有守恒量。我们证明了如果噪声是可交换的，则该方法的均方阶为1，并且一般情况下，弱阶为1。由于建议的方法可能需要计算确定性积分，我们分析了使用求积公式对收敛性的影响订单。此外，基于随机向量场的分裂技术，我们构造了与上述方法顺序相似的保守合成方法。最后，数字实验证明了我们的理论结果。

在这份手稿中，我们考虑了三维外部斯托克斯问题研究相应的连续和离散公式的可解性对偶变分公式的耦合（其中速度、压力和应力是原始的主要未知数）。这个目前的工作是我们提供的分析和结果的扩展和完整版本上一篇论文[ZAMM Z.Angew.Math.Mech.93（2013），No.6-7，437-445]。更准确地说，在采用不可压缩条件来消除压力后，我们考虑得出的结果环形空间上不同边界条件下的速度-应力-速度方法有界域，并将基本方程与一个或两个边界积分耦合将常规和正规迹线应用于Green表示时产生的方程外部无界区域中的公式。因此，我们得到了鞍点算子方程，然后用著名的Babuška-Brezzi理论进行分析。我们证明了这一点在连续公式的基础上，预先确定相关的齐次问题，并指定有限元要满足的明确假设和边界元子空间，以保证各个Galerkin格式的稳定性。特别是，根据最近对拉普拉斯函数的类似分析，我们可以扩展本案的经典Johnson&Nédélec程序，没有任何限制耦合边界的光滑性要求，但仅限于Lipschitz连续性。此外，与弹性问题的已知方法不同，我们还可以扩展Costabel和Han通过提供3D Stokes问题的直接证明所需的强制性质，即不通过矛盾和使用自然每个空间的范数，而不是依赖于网格的范数。最后，我们简要描述了混凝土满足上述假设的离散空间的示例。