我们考虑一个由以下描述的最优控制问题半线性抛物型偏微分方程状态约束。由于这个问题可能没有经典的解决方案，它也是以放松形式表示的。经典控制问题然后在空间中使用有限元方法进行离散隐式Crank-Nicolson中点方案，而控制是由成对块上双线性的经典控制近似。我们证明了最优序列的$L^2$中的强积累点（分别是容许和极值）离散控制是最优的（分别是。连续经典的容许和弱极值经典）问题，以及放松最优序列的累加点（分别为容许和极值松弛）离散控制是最优的（分别是容许的和弱极值松弛的）放松的问题。然后，我们将惩罚梯度投影方法应用于每个离散问题，以及连续经典问题的离散方法。不适当假设，我们证明了对于离散问题，第一种方法是容许的和极值的，以及第二种方法生成的离散控制序列如下可容许和弱极值经典（相对松弛）连续经典（相对宽松）问题。对于非凸问题其解是非经典的，我们证明了我们可以应用上面的以Gamkrelidze放松形式表述的问题的方法。最后，给出了数值算例。
