本文针对一类随机最优控制问题，提出了一种简单有效的梯度投影算法。基本迭代块是计算梯度通过欧拉解状态方程和共存方程投影目标泛函方法和使用蒙特卡罗模拟。讨论了收敛性，并进行了大量的数值试验。将此算法扩展到更通用的可能性还讨论了随机最优控制。

本文针对超材料中麦克斯韦方程组发展了一种新的能量守恒S-FDTD格式。我们首先导出了控制超材料中的方程，然后提出能量守恒的S-FDTD格式用于解决基于交错网格的问题。我们证明了所提出的方案是能量以离散形式守恒且无条件稳定。根据能量法，我们进一步证明了超材料中麦克斯韦方程组的格式是一阶的时间和空间的二阶。进行了数值实验以确认能量守恒和格式的收敛速度。此外，数值例子也以显示电磁波在DNG超材料中的传播特征。

摘要研究了一类对流通量方向为奇异摄动抛物型对流扩散方程初边值问题的网格逼近问题对流通量内部退化时区域内的横向边界区域和右侧在退化线上具有第一类不连续性。这个方程中的高阶导数乘以$\varepsilon^2$，其中$\varεsilon$是微扰参数，$\varesilon\in（0,1]$。对于$\varebsilon$的小值，内部层出现在集合的邻域中，其中右侧具有不连续性。基于标准单调函数的有限差分格式均匀网格下微分方程的逼近仅在条件$N^{-1}=o（\varepsilon）$，$N^{-1}_0=o（1）$，其中$N+1$和$N_0+1$是空间中的节点数和时间网格。在分段均匀上构造有限差分格式在所述内层的邻域中冷凝的网格。该方案的解以$mathcal{O}（N）的速率一致收敛于$varepsilon$-^{-1}lnN+N个^{-1}_0)$. 数值实验证实了理论结果。

非局部扩散模型对包含不连续性或其他奇异性的连续物体的变形提供了适当的描述，而这些是无法描述的正确地使用固体力学的经典理论。然而，由于非局部扩散算子，非局部扩散模型的数值方法甚至全刚度矩阵。直接求解器通常需要$O（N^3）$个操作和$O（N2）$个内存，其中$N$是未知数。我们为非局部扩散模型具有以下特点：（i）它降低了计算成本从$O（N^3）$到$O（N log^2 N）$，内存需求从$0（N^2）$到$O（N）$。（ii）仅要求刚度矩阵评估中的单重积分。数值实验表明方法的实用性。

在本文中，我们获得了应用于Navier-Stokes方程的全离散分步格式的最优一阶误差估计。此方案使用分解粘度在时间上的变化和有限元在空间上的变化。
在[15]中，获得了相应的时间离散格式的最佳一阶误差估计（速度和压力），特别是使用了近似的$H^2乘以H^1$估计速度和压力。现在，我们使用这个时间离散格式作为辅助问题来研究全离散有限元格式，获得速度和关于时间上最大范数和空间上$H^1乘以L^2$-范数的压力。
这些误差估计的证明基于三个要点：a）提供一些新的估计对于现在必须使用的时间离散格式（在[15]中没有证明），b）给出一个离散版本使用FE-Stokes的$W^{1,6}乘以L^6$-范数的稳定性投影仪，以及c）使用在初始时间消失的权重函数将使误差保持不变估计，而不对精确解施加全局兼容性。

本文介绍了求解奇摄动对流扩散问题的局部间断Galerkin（LDG）和连续有限元（CFEM）耦合方法问题。当在Shishkin下使用耦合连续-不连续线性有限元时网格，均匀收敛速度$O（N^{-1}英寸N）在相关规范中确定$，其中$N$为元素的数量。数值实验补充了理论结果。此外，a在Shishkin网格上数值观察到了$L^2$范数的均匀收敛速度$O（N^{-2}）$。

对于稳态、能量相关、费米方程的流线扩散（SD）和间断Galerkin（DG）有限元方法，我们导出了$L_2$范数的误差估计三个空间维度的方程。由于精确解的最大可用正则性。这里我们的重点是SD和DG设置中$h$和$hp$近似值的理论方面。

在本文中，我们研究了一种特殊的θ格式——[25]中提出的Crank-Nicolson格式的误差估计，该格式用于求解具有一般性的倒向随机微分方程生成器，$-dy_t=f（t，y_t，z_t）dt-z_tdW_t$。我们严格证明了在一些合理的规律下在$\varphi$和$f$上的条件下，当误差是在$L^p（p\geq1）$范数中测量的。

最小二乘（LS）有限元方法已成功地应用于科学和工程中的一系列问题。然而，使用LS方法仍有保留意见对于具有低正则性解决方案的问题。在本文中，我们考虑了二阶LS方法使用最小正则性假设的椭圆问题，即解只属于$H^1$空间。我们提供了一个理论分析，表明LS方法是有竞争力的替代方法通过确定LS解受混合和标准Galerkin溶液。

本文的主要目的是研究定常不可压磁流体力学（MHD）方程的非协调混合有限元逼近在3D中。一系列非协调有限元被用作速度场、压力的分段常数元和带有六面体或四面体上磁场的最低阶。采用一种新的简单方法用离散Poincaré-Friedrichs不等式代替离散Helmholtz分解方法。给出了近似解的存在性和唯一性。趋同给出了分析结果，并对L^2$-范数下的压力进行了最优阶误差估计正如速度场的破$H^1$-范数和磁场的H（$curl$）-范数一样派生。

在某些动力学或热力学条件下，蛋白质会发生巨大的构象变化，正式称为状态转换，导致其化学性质发生重大变化或生物功能。蛋白质的这些动态特性可以通过分子来研究动力学仿真。然而，与传统的动力学仿真协议相比解决了初值问题，蛋白质构象转变的模拟可以通过解决边界值问题，以及蛋白质的开始和结束状态来完成作为边界条件。虽然边界值问题通常更难解决，它为蛋白质构象的转变提供了一个更真实的模型，并具有一定的计算能力优势也很明显，特别是对于长时间模拟。这里我们研究的是用标准物模拟蛋白质构象转变的边值问题一类数值方法称为多重打靶法。我们描述了方法和讨论与特定应用程序的实现相关的问题，包括定义边界条件、初始轨迹的形成和收敛解决方案。我们展示了使用多重拍摄方法进行研究的结果小分子簇和丙氨酸二肽的构象转变，并显示这些方法在更大生物分子体系中的潜在扩展。

本文给出了两种基于投影的模变分多尺度（VMS）方法的稳定性，并对不可压Navier-Stokes方程进行了第一种方法的误差分析，将[39]中的分析扩展到包括非线性涡流粘度。在VMS中方法，未分辨尺度对已分辨小尺度的影响通过Smagorinsky型湍流粘度仅作用于边缘分辨尺度。不同的实现VMS模型是通过不同的波动模型产生的。我们分析了一种方法通过附加的，非耦合投影步长。我们证明了稳定性，识别了VMS模型和数值并给出误差估计。给出的数值试验证实并说明了理论估计。一种方法使用一个完全非线性的步骤来诱导VMS离散化。第二种方法引入了一个非线性涡流粘度模型，该模型具有成本低得多的线性解。

最佳$\mathcal{H} _2模型约简是研究大阶动力系统及其数值模拟的重要工具。我们将约简问题表示为最小化格拉斯曼流形的问题。这使我们能够形成快速梯度流适用于大规模最优$\mathcal的算法{H} _2$模型简化问题。提出的算法全局收敛，所得到的简化系统保持了原系统的稳定性。此外，基于快速梯度流算法，我们提出了一种序列二次近似该算法收敛速度更快，并保证全局收敛。数字的通过实例验证了近似精度和计算效率提出的算法。